15.1.2 分式的基本性质（课件+教案+大单元整体教学设计）2025-2026学年华东师大版 数学八年级下册

第十五章 分式 15.1.2 分式的基本性质 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 通过类比分数的基本性质，抽象出分式的基本性质，理解“数式通性”的内涵，掌握分式基本性质的本质特征，提升抽象概括能力。 01 经历分式基本性质的猜想、验证、推导过程，明确“同乘（除）的整式不为零”的必要性，培养严谨的逻辑推理能力。 02 能运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，熟练完成分式的约分，能将分式化为最简分式。 03 02 新知导入 【想一想】1.什么是分式？ 形如 （A，B是整式，且B中含有字母）的式子，叫做分式. 其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母. 2.使分式有意义的条件是什么？ 分式的分母不等于零，即B≠0. 3.使分式的值为零的条件是什么？ 分式的分子等于零且分母不等于零，即A=0，B≠0 . 在进行分数的化简与运算时，常常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质，想一想，分数的基本性质是什么？ 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变。 03 新知探究 探究 分式的基本性质 类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？ 03 新知探究 探究 分式的基本性质 【观察】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 解：因为a≠0，所以 03 新知探究 探究 分式的基本性质 【观察】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 解：因为a≠0，所以 03 新知探究 探究 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 上述性质可以用式表示为： 注意： ①分子和分母必须同时进行乘除运算； ②乘除非零整式. 其中A，B，C是整式. 03 新知探究 【做一做】根据分式的基本性质填空 a2-ab a2-b2 3b x2 03 新知探究 【牛刀小试】分式的基本性质 03 新知探究 探究 分式的约分 【例3】约分： 分析：分式的约分，即把分子与分母的公因式约去，为此，首先要找出分子与分母的公因式. 03 新知探究 探究 分式的约分 找公因式的方法: (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； 例如：-16x2y3 和 20xy4 最大公因数是4 相同字母的最低次幂是xy3 公因式为4xy3 03 新知探究 探究 分式的约分 找公因式的方法: (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 例如：x2 - 4 和 x2-4x+4 x2 - 4分解因式为（x+2）（x-2）, x2- 4x+4分解因式为（x-2）2 所以 x2 - 4 和 x2-4x+4的公因式为（x-2）. 03 新知探究 探究 分式的约分 【例3】约分： 约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 总结归纳 分式约分时的注意事项： （1）约分前后分式的值要相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 03 新知探究 探究 分式的通分 【例4】通分： 分析：分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式. 通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 03 新知探究 探究 分式的通分 确定几个分式的最简公分母的方法： （1）当分母为多项式时，先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂; （5）写成乘积形式. 03 新知探究 探究 分式的通分 【例4】通分： 03 新知探究 探究 分式的通分 【例4】通分： 03 新知探究 探究 分式的通分 【例4】通分： （3）因为x2-y2=(x-y)(x+y)，x2+xy=x(x+y)， 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1. 根据分式的基本性质填空 2b2 3b x+y x2+2xy+y2 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 下列约分正确的是(　　) D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 下列分式中，为最简分式的是(　　). D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 约分 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： D 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 通分. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 通分. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 2.分式的约分. 3.分式的通分. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.将分式 中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值x-y ( ). A. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的6倍 D. 不变 D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.(1)约分 (2)通分 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3. 化简 的结果是（ ）. D 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： C 06 作业布置 【综合拓展类作业】 🧪 分式实验室 每轮6道题，一共3轮 限时6秒，判断变换对错 性质：分子分母同乘或除以同一个不为零的整式，分式值不变 答对+10分，答错/超时不扣分 🚀 开始挑战 第 1/3 轮 0 6s ✅ 正确 ❌ 错误 🏁 第1轮完成！ 本轮得分 0 ✅ 0/6 🔥 剩余 2 轮 继续下一轮 🏆 游戏完成 0 总题数 18 · 正确率 0% 🔄 再来一次 A．＝x3 B．＝0 C．＝ D．＝ A. B. C. D. (1)； (2). 解：＝＝－. ＝＝.　 5.式子 ， 的最简公分母是(　　) A．6xy2 B．2x2y2 C．12x3y2 D．6x2y2 7.先化简，再求值： ，其中x＝2，y＝. 解：＝＝＝， 当x＝2，y＝时，原式＝＝. 4.下列分式，，，中，最简分式有(　　) A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 $ 15.1.2 分式的基本性质 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十五章 课题 15.1.2 分式的基本性质 课时 1课时 课标要求 理解分式的基本性质，掌握分式基本性质的文字表述与符号表示，明确“分子分母同乘（除）不为零的整式”的核心条件。能运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，熟练完成分式的约分，能区分最简分式与非最简分式，掌握约分的基本步骤。经历分式基本性质的推导过程，体会类比迁移、转化与化归的数学思想，强化“数式通性”的认知，提升逻辑推理与代数运算能力。 教材分析 《分式的基本性质》是华师大版八年级下册第15章“分式”的第二课时，承接上一课时“分式的概念”，是分式知识体系的核心基础，同时为后续分式的通分、加减乘除运算及分式方程的求解提供关键依据，具有“承上启下”的重要作用。教材设计遵循“类比旧知—探究新知—应用巩固”的认知规律，以学生熟悉的分数基本性质为切入点，通过观察、猜想、验证，引导学生将分数的基本性质迁移到分式中，抽象出分式的基本性质。 学情分析 八年级学生已熟练掌握分数的基本性质（分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的值不变），能运用分数的基本性质进行分数的约分、通分；上一课时已掌握分式的概念，能准确区分分式与整式，明确分式有意义的条件（分母不为零）；同时，学生已掌握整式的乘除运算和因式分解的基础方法（提公因式法、公式法），为分式的约分提供了技能支撑。 核心素养目标 1.通过类比分数的基本性质，抽象出分式的基本性质，理解“数式通性”的内涵，掌握分式基本性质的本质特征，提升抽象概括能力。 2.经历分式基本性质的猜想、验证、推导过程，通过类比迁移进行合情推理，通过举例论证进行演绎推理，明确“同乘（除）的整式不为零”的必要性，培养严谨的逻辑推理能力。 3.能运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，熟练完成分式的约分，能将分式化为最简分式，提升代数运算的准确性与规范性。 教学重点 1. 分式的基本性质的理解与掌握（文字表述、符号表示及核心条件）。 2. 运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，分式约分的方法与步骤，能将分式化为最简分式。 教学难点 1. 理解分式基本性质中“分子分母同乘（除）的整式不为零”的必要性，规避变形中的易错点。 2. 面对分子分母为多项式的分式，能熟练进行因式分解，准确找到公因式并完成约分，做到约分彻底。 教学准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 教师出示问题 1.什么是分式？ 形如（A，B是整式，且B中含有字母）的式子，叫做分式. 其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母. 2.使分式有意义的条件是什么？ 分式的分母不等于零，即B≠0. 3.使分式的值为零的条件是什么？ 分式的分子等于零且分母不等于零，即A=0，B≠0 . 回答复习问题，准确表述分数的基本性质，举例说明分数的变形过程，唤醒旧知储备 通过复习分数基本性质和分式概念，为类比迁移铺垫基础，降低分式基本性质的探究难度 二、探究 探究分式的基本性质 在进行分数的化简与运算时，常常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质，想一想，分数的基本性质是什么？ 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变。 类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？ 【观察】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 解：因为a≠0，所以 解：因为a≠0，所以 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 上述性质可以用式表示为： 其中A，B，C是整式. 注意： ①分子和分母必须同时进行乘除运算； ②乘除非零整式. 【做一做】根据分式的基本性质填空 【例3】约分： 分析：分式的约分，即把分子与分母的公因式约去，为此，首先要找出分子与分母的公因式. 找公因式的方法： (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 分式约分时的注意事项： （1）约分前后分式的值要相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 【例4】通分： 分析：分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式. 通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 确定几个分式的最简公分母的方法： （1）当分母为多项式时，先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）写成乘积形式. （3）因为x2-y2=(x-y)(x+y)，x2+xy=x(x+y)， 结合分数基本性质，大胆猜想分式的基本性质，明确“同乘（除）的数”可改为“整式”； 记录分式基本性质的文字表述和符号表示，标注关键词，深刻理解性质的核心条件，强化严谨性意识。 类比分数的约分，自主总结分式约分的定义，理解约分的依据是分式的基本性质； 跟随教师的示范，认真学习约分的规范步骤，重点关注“找公因式”的方法（系数找最大公约数，字母找最低次幂，多项式先因式分解） 让学生经历“猜想—验证—总结”的完整探究过程，培养合情推理与演绎推理能力；通过具体实例验证，降低抽象性质的理解难度，让学生直观感受性质的合理性；关键词拆解强化性质的严谨性，针对性突破“忽略c≠0”的易错点。 类比分数约分引入分式约分，降低概念理解难度；例题示范从“单项式分式”到“多项式分式”，层层递进，规范解题步骤，突破“多项式分式约分”的难点；易错警示针对性纠正学生易犯错误，强化约分的核心原则，培养严谨的运算习惯。 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1. 根据分式的基本性质填空 2. 下列约分正确的是(　D　) A．＝x3 B．＝0 C．＝ D．＝ 3. 下列分式中，为最简分式的是(　D　). A. B. C. D. 4. 约分 (1)； (2). 解：＝＝－. ＝＝.　 【知识技能类作业】选做题： 5.式子 ， 的最简公分母是(　D　) A．6xy2 B．2x2y2 C．12x3y2 D．6x2y2 6. 通分. 【综合拓展类作业】 7.先化简，再求值： ，其中x＝2，y＝. 解：＝＝＝， 当x＝2，y＝时，原式＝＝. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 2.分式的约分 3.分式的通分 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书 设计 15.1.2分式的基本性质 ① 分式的基本性质. ② 分式的约分. ③ 分式的通分. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值x-y( D ). A. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的6倍 D. 不变 2.(1)约分 (2)通分 (2) 【知识技能类作业】选做题： 3. 化简 的结果是（ D ）. 4.下列分式，，，中，最简分式有(　C　) A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 【综合拓展类作业】 教学反思 本节课围绕分式的基本性质展开，以类比迁移为核心方法，通过“复习旧知—猜想验证—性质应用—巩固提升”的流程开展教学，紧扣教材核心，贴合八年级学生的认知特点，重点突破性质理解和分式约分的难点，整体教学效果良好，基本达成预设的核心素养目标。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学 科 ( 《 分式 》 大 单元教学设计 )数学 年 级 八年级 设计者 教材版本 华师大版 册、章 下册第十五章 课标要求 1.理解分式的概念，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，建立“数式通性”的认知。 2.熟练掌握分式的基本性质，能进行分式的约分、通分；掌握分式的加、减、乘、除及乘方运算，理解运算法则的推导逻辑，提升运算准确性与规范性。 3.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法（去分母转化为整式方程），能检验分式方程的根（排除增根）；能运用分式方程解决实际应用题，培养建模思想与实际应用能力。 4.经历“从具体到抽象”“转化与化归”“数形结合”的过程，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，感受分式知识与整式、方程知识的内在关联。 5.能运用分式及分式方程解决工程问题、行程问题、增长率问题等实际场景，体会数学知识的实用性，提升分析问题、解决问题的能力。 内容分析 《分式》是华师大版八年级下册第15章内容，是继七年级“整式”“一元一次方程”之后，对代数式与方程知识的进一步拓展与深化，也是后续学习反比例函数、二次函数及高中分式不等式、数列等知识的重要基础。本章以“数式通性”为核心纽带，将分数的性质与运算推广到分式，将一元一次方程的解法迁移到分式方程，构建起“整式—分式—分式方程”的代数式与方程知识体系，对学生形成完整的代数思维至关重要。 从知识逻辑来看，本章内容层层递进：先建立分式的概念（基础），再依托分式基本性质开展分式运算（核心技能），最后通过分式方程解决实际问题（应用拓展），符合“概念—性质—运算—应用”的代数知识学习规律，同时注重知识的实用性与思维的递进性，既能巩固前期整式、方程知识，又能为后续复杂代数问题的学习奠定基础。 学情分析 八年级学生已掌握七年级下册“整式的加减”“整式的乘除”“因式分解”等知识，能熟练进行整式运算与因式分解（提公因式法、公式法），为分式的约分、通分提供了技能支撑；同时，学生已掌握一元一次方程的解法与应用，能运用方程思想解决简单实际问题，为分式方程的学习奠定了方法基础。此外，学生对分数的性质、运算有扎实的认知，具备通过类比迁移学习分式知识的能力。同时学生此时正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，对类比、迁移的学习方法接受度较高，能通过分数知识推导分式的相关性质与运算。但学生的抽象思维仍不够成熟，对“分式有意义的条件”“增根的本质”等抽象概念的理解需要借助具体实例与直观分析；同时，学生的运算规范性与细心程度不足，在分式运算中易出现约分不彻底、通分出错、漏检验增根等问题。 单元目标 （一）教学目标 1.通过类比分数概念，抽象出分式的定义，理解分式的本质是“两个整式的商”，建立分式与整式的区别与联系，提升抽象概括能力。 2.熟练掌握分式的基本性质，能规范进行分式的约分、通分、加、减、乘、除及乘方运算；能准确解分式方程，检验并排除增根，提升运算的准确性与规范性。 3.经历分式基本性质、运算法则的推导过程，通过类比分数知识进行合情推理与演绎推理，培养逻辑推理能力；能通过分析分式方程增根的产生原因，推理检验的必要性。 4.能将实际问题中的数量关系转化为分式或分式方程，通过求解、检验解决实际问题，建立“实际问题—数学模型—求解检验”的建模流程，提升建模意识与应用能力。 5.通过分式与分数的类比、分式方程与整式方程的转化，建立数式、方程之间的关联，借助具体实例直观理解抽象概念，发展直观想象能力。 （二）教学重点、难点 重点 1. 理解分式的概念，能准确判断一个代数式是否为分式，掌握分式有意义、无意义、值为零的条件。 2. 掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的约分与通分，能将分式化为最简分式。 3. 熟练掌握分式的乘、除、乘方运算，以及同分母、异分母分式的加、减运算，能准确计算复杂分式运算题。 4. 理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，能检验分式方程的根，排除增根。 5.能运用分式方程解决工程、行程等实际问题，提升分析问题、解决问题的能力。 难点 1. 易混淆分式与整式的概念，忽略分式分母不能为零的条件，对分式值为零的条件（分子为零且分母不为零）理解不透彻。 2. 因式分解不熟练导致约分、通分出错；分式加减运算中，对最简公分母的确定不准确；运算过程中步骤混乱，符号出错。 3. 解分式方程时，忽略去分母过程中产生增根的原因，忘记检验步骤，或无法准确判断增根并舍去。 单元知识结构框架及课时安排 （1） 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号 单元主要内容 课时数 15.1分式及其基本性质 分式的定义； 分式的基本性质. 2 15.2 分式的运算 分式的乘除 分式的加减 2 15.3可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的定义 解分式方程 列分式方程解决实际问题 1 15.4零指数幂与负整数指数幂 零指数幂与负整数指数幂 科学计数法 2 达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务 15.1分式及其基本性质 1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式. 2.知道分式有意义、无意义和分式值为0的条件. 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 理解分式有意义和分式值为0的条件. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 任务一：讲解分式与分数的区别，理解分式何时有意义，分式何时值为零？ 任务二：巩固练习 1.通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示． 2.理解并掌握分式的基本性质和符号法则． 掌握分式的基本性质，能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分． 任务一：理解并掌握分式的基本性质。 任务二：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形。 15.2 分式的运算 1.类比分数的乘除法法则，探究得出并理解分式的乘除法法则. 2.会运用法则进行分式的乘除法的运算，体会数学的化归思想. 3.会借助分式的乘除法运算，进行化简求值. 经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力． 任务一：通过类比分数的乘除法法则，理解分式的乘除法法则。 任务二：巩固练习 1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算. 2.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 3.渗透类比转化的数学思想方法． 从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用。 任务一：探究同分母的分式加减法. 任务二：探究异分母的分式加减法. 15.3可化为一元一次方程的分式方程 1了解分式方程的概念． 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用． 理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法，了解解分式方程解的检验方法，从而渗透数学的转化思想． 任务一：理解分式方程的概念； 任务二：学会怎样解分式方程。 任务三：能用分式方程解决实际问题。 15.4零指数幂与负整数指数幂 1.理解负整数指数幂． 2掌握整数指数幂的运算性质． 掌握整数指数幂的运算性质，能熟练进行整数指数幂及其相关的计算. 任务一：理解负整数指数幂． 任务二：掌握整数指数幂的运算性质． 会用科学记数法表示小于1的数，能将用科学记数法表示的数还原为原数 能用负整数指数幂表示科学记数法 任务一：用科学记数法表示小于1的数 任务二：用科学记数法表示的数还原为原数。 学科网（北京）股份有限公司 $