第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（复习讲义，5考点9题型2重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 反比例函数的图象与性质 题型01 反比例函数的图象 题型02 根据反比例函数的图象所在象限求参数 题型03 反比例函数的增减性 题型04 反比例函数的对称性 命题点二 k的几何意义 题型01 已知比例系数求图形的面积 题型02 已知图形的面积求比例系数 命题点三 反比例函数与一次函数综合 题型01 反比例函数与一次函数综合 命题点四 反比例函数与几何综合 题型01 反比例函数与几何综合 命题点五 反比例函数的实际应用 题型01 反比例函数的实际应用 05·重难突破·思维进阶 27 突破一 反比例函数与新定义问题 突破二 反比例函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的增减性 / / 沈阳卷T13 理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能结合反比例函数图象确定增减性，比较自变量或函数值的大小关系。 反比例函数k的几何意义 / / 丹东卷T17 阜新卷T14 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能运用几何意义解决与面积相关的问题。 反比例函数与一次函数综合 / / 鞍山卷T22 营口卷T20 掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标的方法，结合图像分析两个函数的位置关系，比较反比例函数与一次函数的函数值大小，能结合特殊几何图形解决相关问题。 反比例函数与几何综合 / 辽宁省卷 T23 鞍山卷T15 锦州卷T15 盘锦卷T22 抚顺、葫芦岛卷T16 本溪、铁岭、辽阳卷T16 能运用反比例函数的图像和性质解决与几何图形结合的综合类问题，如面积问题、最值问题、折叠问题、旋转问题等。 反比例函数的实际应用 辽宁省卷 T12 / / 会根据实际问题识别反比例关系，建立反比例函数模型，并利用函数关系解决实际问题，如物理、工程、经济等领域。 命题预测 反比例函数在中考中的考查频率较高，题型较多样化，其中选择题与填空题以考查反比例函数的增减性、k的几何意义、求反比例函数表达式、与几何图形结合求解、以及简单实际应用为主，解答题常考查与一次函数结合等综合问题，近两年也有可能融入到新定义函数压轴题中考查。 考点一 反比例函数的增减性 1.反比例函数的定义 一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 2. 反比例函数的三种等价形式 标准式：（） 乘积式：（，最常用的变形形式，用于求 值或判断函数类型） 指数式：（，体现自变量次数为 ） 3. 反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，且两支关于原点中心对称。 反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 4. 反比例函数的增减性 的正负决定反比例函数的增减性 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大。 5. 图像的对称性 （1）中心对称：图像关于原点中心对称（若点 在双曲线上，则点 也一定在双曲线上）； （2）轴对称：图像关于直线 和 轴对称（若点 在双曲线上，则点 和 也一定在双曲线上）。 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y＝x和y＝－x），中心对称图形（对称中心为原点） 1．（2025·辽宁鞍山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁朝阳·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 考点二 反比例函数k的几何意义 1. 基本模型 过反比例函数 （）图像上任意一点 ，作 x轴、y轴的垂线，垂足分别为 、，则： 矩形 的面积：矩形； 三角形 （或 ）的面积：三角形。 2. 延伸模型 （1）斜垂线模型 过双曲线上一点 作x轴（或y轴）的垂线，连接 ，则 的面积恒为 。 （2）两点模型 若点 、 都在双曲线上，且 平行于x轴或y轴，则 的面积可通过分割法转化为两个基本三角形的面积和或差，最终仍与 相关。 （3）一次函数与反比例函数交点模型 一次函数与反比例函数的两个交点 、 关于原点对称，连接 、，则 的面积可通过“割补法”结合 的几何意义求解。 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为 ． 2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为 ． 3．（2025·辽宁·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为 ． 考点三 反比例函数与一次函数综合 1．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 2. 求反比例函数与一次函数的交点坐标 联立一次函数与反比例函数的解析式，组成方程组： 解此方程组，得到的解即为两个函数图像的交点坐标。 当方程组有两个不同的解时，两函数图像有两个交点； 当方程组有一个解时，两函数图像有一个交点； 当方程组无解时，两函数图像无交点。 3. 比较反比例函数与一次函数的函数值大小 给定自变量 的取值范围，通过观察图像或代入计算，比较一次函数值 与反比例函数值 的大小关系： ：一次函数图像在反比例函数图像上方对应的x的取值范围； ：一次函数图像在反比例函数图像下方对应的x的取值范围。 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 2．（2025·辽宁朝阳·二模）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．    (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 考点四 反比例函数与几何综合 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，以矩形的顶点为原点建立平面坐标坐标系，的中点落在轴上，反比例函数的图象经过点和点，若点的坐标为，则的值是 ． 2．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．      (1)求反比例函数的解析式． (2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标． 考点五 反比例函数的实际应用 1．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为 ． 2．（2025·辽宁·模拟预测）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度． 3．（2025·辽宁营口·模拟预测）国家规定，如果驾驶人员血液中每毫升的酒精含量大于或等于毫克且小于毫克，则被认定为饮酒后驾车，如果每毫升的血液中酒精含量大于或等于毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤，一般成人饮用低度白酒后，血液中酒精含量（单位：毫克/百毫升）与时间（单位：时）的关系可近似的用如图所示的图象表示． (1)求所在直线及部分双曲线的函数表达式（不用写的取值范围）； (2)饮用低度白酒后，肝部被严重损伤会持续多少时间？ (3)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请判断并说明理由． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，且两支关于原点中心对称。 反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． ►题型02 根据反比例函数的图象所在象限求参数 k>0时，图象在第一、三象限；k<0时，图象在第二、四象限. 【典例】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是 ． ►题型03 反比例函数的增减性 1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小. 注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 1. 忽略象限前提：跨象限比较时，误用同一象限内的增减性规律 2. 增减性记反：混淆k>0（每象限内y随x增而减）、k<0（每象限内y随x增而增）的性质 3. 图象位置漏判：未结合图象判断不同象限内函数值的大小（如k>0时，第一象限y值恒大于第三象限） 4. 自变量符号遗漏：比较自变量时，忽略x≠0及同一象限内x的符号一致性 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·一模）若点、、在反比例函数（是常数）的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·二模）若点在反比例函数的图象上，则下列关于该函数的说法正确的是（　　） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象分别位于第二、四象限 ►题型04 反比例函数的对称性 1. 对称规律记混：混淆原点（横纵全反）、y=x/y=-x（横纵互换/反号互换）的对称规则 2. 符号处理失误：原点对称仅变一个坐标符号，或轴对称时横纵符号/位置错 3. 特殊点误判：误求坐标轴上的对称点（反比例图象与轴无交点，对称点也不在轴上） 4. 漏验证：未将所求对称点代入解析式确认，导致错误 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 . 命题点二 k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求图形的面积 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，射线与函数（，）图象相交于点A，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，x轴相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是 ． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为 ． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为 . ►题型02 已知图形的面积求比例系数 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是7，则k的值（    ） A． B．10 C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是的边的中点，连接，以，为边作．反比例函数经过点两点，若的面积为6．则的值为（    ） A．－2 B．－4 C．8 D．－8 命题点三 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 反比例函数与一次函数综合 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，函数和函数的图象相交于点，若，则的取值范围是 ． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【变式】3．（2025·辽宁营口·三模）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 命题点四 反比例函数与几何综合 ►题型01 反比例函数与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是 ． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点为反比例函数图象上的一点，点在反比例函数图象上，点与点关于原点对称，连接，，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 【变式】1．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是 ．   【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． (1)求，的值； (2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 反比例函数的实际应用 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．蓄电池的电压是 B．当时， C．反比例函数关系式为 D．当时， 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）成反比例（如图），则下列说法正确的是（　　） A．气球内气体的压强随气体体积增大而增大 B．气球内气体的压强p关于体积V的函数表达式为 C．当气体体积为1m3时，它的压强为90kPa D．气体的压强大于150kPa时，气球会爆炸，则气体的体积应不小于0.8m3 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 2 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 突破一 反比例函数与新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数为函数和函数的“关联函数”，这两个点称为函数和函数的一对“关联点”．例如：如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，点关于轴对称，此时函数为函数和函数的“关联函数”，点和点是一对“关联点”． 【基础练习】 （1）请直接写出函数与函数的“关联函数”和“关联点”的坐标． （2）若函数与函数的“关联函数”的顶点在轴上，求的值． 【灵活应用】 （3）当函数与函数的自变量满足时，其“关联函数”的最大值为，最小值为，若，求的值． 【深度探究】 （4）在（3）的条件下，当直线与“关联函数”的交点从左到右依次为，则以点与一对“关联点”构成四边形，此四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．（参考数据：，，） 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为 由题意得方程：，化简得：， ∵， ∴， ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到： 然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长 （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2，请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为　　　；周长为　　　． ②对半矩形B的两边长为　　　． （4）在第（3）题的图形中，若点在双曲线上，轴，轴，垂足分别为B、C．连接，将沿若折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上 【变式】1．（2025·辽宁丹东·二模）在平面直角坐标系中，若某函数图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，当时，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”，将矩形沿折叠，点B的对应点为E． ①如图2，若点A的坐标为，点E落在y轴上，求k的值； ②如图3，当点E，D重合时，连接交于点P，以点O为圆心，长为半径作，若，当与的边有交点时，请直接写出k的取值范围． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个锐角顶点，则函数是的“勾股函数”．若函数经过直角三角形的两个锐角顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，函数的最大值记为，最小值记为，，则是的“”值． 已知：在平面直角坐标系中，，，轴． (1)如图，点坐标为，． ①判断一次函数是不是的“勾股函数”，若是，求出的“”值：若不是，请说明理由． ②是否存在反比例函数是的“勾股函数”．若存在，求出值：若不存在，请说明理由． (2)若点的坐标为，点的坐标为，二次函数是的“勾股函数”，且的“”值，求的值． 突破二 反比例函数与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，是反比例函数位于第一象限内的图象上的点，作射线交轴于点，连接，，若，的面积为18，则 ． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，是等边三角形，点B，C在x轴上，点，点D为的中点，点A，D恰好落在双曲线（k为常数，）上，则k的值为 ． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，正方形在第一象限，点，，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)接写出k的取值范围； (2)当反比例函数图象与交于点E，且E是中点，连接，点F在第一象限反比例函数图象上，点X为x轴上一点，且平分，求点F的坐标． 1．已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 2．已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为，则B点的坐标为 ． 5．反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 6．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 7．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10，，若反比例函数的图象同时经过C、D两点，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ）      A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式满足 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 10．如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 11．如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 13．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 14．人类免疫缺陷病毒（）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被侵入后，宿主体内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将侵入机体的时刻设为0时刻，在内T细胞的相对浓度变化量为二次函数，内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且时，T细胞的相对浓度为． (1)写出C关于t的函数解析式； (2)若T细胞相对浓度变化量在以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段． 15．小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】 （1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 16．若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 17．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 18．如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．    19．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 20．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为___________； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为9，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①若，点在第一象限，且点在点的上方，当时，求点的“对角矩形”的周长的最大值及点的坐标； ②若，当点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点时，求出的取值范围． 1．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 5．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 6．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 7．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 8．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 9．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 10．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 12．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 13．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 14．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 15．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 19．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 20．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 26 命题点一 反比例函数的图象与性质 题型01 反比例函数的图象 题型02 根据反比例函数的图象所在象限求参数 题型03 反比例函数的增减性 题型04 反比例函数的对称性 命题点二 k的几何意义 题型01 已知比例系数求图形的面积 题型02 已知图形的面积求比例系数 命题点三 反比例函数与一次函数综合 题型01 反比例函数与一次函数综合 命题点四 反比例函数与几何综合 题型01 反比例函数与几何综合 命题点五 反比例函数的实际应用 题型01 反比例函数的实际应用 05·重难突破·思维进阶 71 突破一 反比例函数与新定义问题 突破二 反比例函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 100 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的增减性 / / 沈阳卷T13 理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能结合反比例函数图象确定增减性，比较自变量或函数值的大小关系。 反比例函数k的几何意义 / / 丹东卷T17 阜新卷T14 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能运用几何意义解决与面积相关的问题。 反比例函数与一次函数综合 / / 鞍山卷T22 营口卷T20 掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标的方法，结合图像分析两个函数的位置关系，比较反比例函数与一次函数的函数值大小，能结合特殊几何图形解决相关问题。 反比例函数与几何综合 / 辽宁省卷 T23 鞍山卷T15 锦州卷T15 盘锦卷T22 抚顺、葫芦岛卷T16 本溪、铁岭、辽阳卷T16 能运用反比例函数的图像和性质解决与几何图形结合的综合类问题，如面积问题、最值问题、折叠问题、旋转问题等。 反比例函数的实际应用 辽宁省卷 T12 / / 会根据实际问题识别反比例关系，建立反比例函数模型，并利用函数关系解决实际问题，如物理、工程、经济等领域。 命题预测 反比例函数在中考中的考查频率较高，题型较多样化，其中选择题与填空题以考查反比例函数的增减性、k的几何意义、求反比例函数表达式、与几何图形结合求解、以及简单实际应用为主，解答题常考查与一次函数结合等综合问题，近两年也有可能融入到新定义函数压轴题中考查。 考点一 反比例函数的增减性 1.反比例函数的定义 一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 2. 反比例函数的三种等价形式 标准式：（） 乘积式：（，最常用的变形形式，用于求 值或判断函数类型） 指数式：（，体现自变量次数为 ） 3. 反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，且两支关于原点中心对称。 反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 4. 反比例函数的增减性 的正负决定反比例函数的增减性 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大。 5. 图像的对称性 （1）中心对称：图像关于原点中心对称（若点 在双曲线上，则点 也一定在双曲线上）； （2）轴对称：图像关于直线 和 轴对称（若点 在双曲线上，则点 和 也一定在双曲线上）。 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y＝x和y＝－x），中心对称图形（对称中心为原点） 1．（2025·辽宁鞍山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴当时，；当时，， ∵， ∴，故最小， 又∵在时，函数随着的增大而增大，且， ∴， ∴． 故选 ：D． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时时，据此解答即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时，时， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：A． 3．（2025·辽宁朝阳·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式分布求出的值，进而即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 同理可得，，， ∴， 故答案为：． 考点二 反比例函数k的几何意义 1. 基本模型 过反比例函数 （）图像上任意一点 ，作 x轴、y轴的垂线，垂足分别为 、，则： 矩形 的面积：矩形； 三角形 （或 ）的面积：三角形。 2. 延伸模型 （1）斜垂线模型 过双曲线上一点 作x轴（或y轴）的垂线，连接 ，则 的面积恒为 。 （2）两点模型 若点 、 都在双曲线上，且 平行于x轴或y轴，则 的面积可通过分割法转化为两个基本三角形的面积和或差，最终仍与 相关。 （3）一次函数与反比例函数交点模型 一次函数与反比例函数的两个交点 、 关于原点对称，连接 、，则 的面积可通过“割补法”结合 的几何意义求解。 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得． 过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 轴于点， ， ，， ， ， ， ∵轴， ∴ ， ∴， ∴， ， 根据反比例函数中 的几何意义，得 ， ． 又 ∵， ． 故答案为：3． 2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 作轴，垂足为，连接，根据反比例函数k值的几何意义和题意得出，根据相似三角形的判定和性质得出，设，则，代入计算求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，连接， 点、在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·辽宁·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，根据平行四边形得到，，再根据平行线间距离处处相等得到，最后根据反比例函数得到求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴轴，， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三 反比例函数与一次函数综合 1．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 2. 求反比例函数与一次函数的交点坐标 联立一次函数与反比例函数的解析式，组成方程组： 解此方程组，得到的解即为两个函数图像的交点坐标。 当方程组有两个不同的解时，两函数图像有两个交点； 当方程组有一个解时，两函数图像有一个交点； 当方程组无解时，两函数图像无交点。 3. 比较反比例函数与一次函数的函数值大小 给定自变量 的取值范围，通过观察图像或代入计算，比较一次函数值 与反比例函数值 的大小关系： ：一次函数图像在反比例函数图像上方对应的x的取值范围； ：一次函数图像在反比例函数图像下方对应的x的取值范围。 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 2．（2025·辽宁朝阳·二模）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．    (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； （3）解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 考点四 反比例函数与几何综合 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，以矩形的顶点为原点建立平面坐标坐标系，的中点落在轴上，反比例函数的图象经过点和点，若点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，求反比例函数关系式， 先作轴，作轴，作，交延长线于点F，根据矩形的性质证明，可得，可表示点A的坐标，再结合求出，然后说明，根据相似三角形的对应边相等得出答案． 【详解】解：过点C作轴，交x轴于点D，过点A作轴，交x轴于点E，过点B作，交延长线于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵点D是的中点， ∴点B的横坐标为1，则纵坐标为k，即． ∵， ∴， ∴， ∴， 则点A的横坐标为2，纵坐标为， 即， ∴， 即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 2．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则， 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．      (1)求反比例函数的解析式． (2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到， 推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可； （2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标． 【详解】（1）解：作轴于点G，如图，          图1 ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，    ∴， ∵，， ∴， 设，则，解得：， ∴， ∴点C的坐标为， 代入，得； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当在A点右侧时：如图1中图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵平分， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F的坐标是． ，， 当在A点左侧时，如图2： 轴，的平分线交直线于点， 点纵坐标为2，， ， ， 点横坐标为， ， 综上所述：F或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 考点五 反比例函数的实际应用 1．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流与电阻之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·辽宁·模拟预测）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 3．（2025·辽宁营口·模拟预测）国家规定，如果驾驶人员血液中每毫升的酒精含量大于或等于毫克且小于毫克，则被认定为饮酒后驾车，如果每毫升的血液中酒精含量大于或等于毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤，一般成人饮用低度白酒后，血液中酒精含量（单位：毫克/百毫升）与时间（单位：时）的关系可近似的用如图所示的图象表示． (1)求所在直线及部分双曲线的函数表达式（不用写的取值范围）； (2)饮用低度白酒后，肝部被严重损伤会持续多少时间？ (3)假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请判断并说明理由． 【答案】(1)所在直线的解析式为，双曲线的函数表达式为 (2)小时 (3)不能驾车去上班，理由见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出时两函数对应的的值，相减即可求解； （）求出晚上到第二天早上经过的时间，再代入到双曲线的函数表达式中求出的值，跟进行比较即可判断求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴所在直线的解析式为， 设双曲线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴双曲线的函数表达式为； （2）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∵， ∴肝部被严重损伤会持续小时； （3）解：不能驾车去上班，理由如下： 晚上到第二天早上经过了小时， 把代入，得， ∴不能驾车去上班． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，且两支关于原点中心对称。 反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限， ∴函数的图象与坐标轴的交点个数是 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断； 【详解】，F为常数， 的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限， ， 双曲线的图象在一象限, 故选：． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以写出y关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的y值，即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， y==， 当x=40时，y=6， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③D 【分析】（1）利用勾股定理以及面积法求得各边长和斜边上的高，设正方形的边长为，根据，利用“相似三角形对应的高的比等于相似比”列式计算即可求解； （2）①将代入计算即可求解； ②描点、连线，即可画出图象； ③结合表格观察函数图象即可判断． 【详解】解：（1）作交于点N，交于点M， 设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 此时正方形的边长是， 故答案为：； 解：（2）①当时，， 故答案为：； ②描点、连线，图象如图所示， ③由图可知： A、当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误； B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误； C、该函数图象没有对称轴，原说法错误； D、当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． ►题型02 根据反比例函数的图象所在象限求参数 k>0时，图象在第一、三象限；k<0时，图象在第二、四象限. 【典例】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 当时，反比例函数图像经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小； 当时，反比例函数图像经过第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 本题中，图象分布在第二、四象限，可知，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由反比例函数经过一、三象限，则，求出的取值范围即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可． 【详解】解：由题意得到， 解得． 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，解不等式即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得， 故答案为：． ►题型03 反比例函数的增减性 1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小. 注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 1. 忽略象限前提：跨象限比较时，误用同一象限内的增减性规律 2. 增减性记反：混淆k>0（每象限内y随x增而减）、k<0（每象限内y随x增而增）的性质 3. 图象位置漏判：未结合图象判断不同象限内函数值的大小（如k>0时，第一象限y值恒大于第三象限） 4. 自变量符号遗漏：比较自变量时，忽略x≠0及同一象限内x的符号一致性 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性．由可知，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点在第一象限内， ， 点和在第三象限内， ， ， 故选：A 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象过二，四象限， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·一模）若点、、在反比例函数（是常数）的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值的大小，由题意得出反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，结合即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·二模）若点在反比例函数的图象上，则下列关于该函数的说法正确的是（　　） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象分别位于第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴，故A错误，不符合题意； ∴函数图象分布在第二、四象限，当时，随的增大而增大，故B错误，不符合题意；D正确，符合题意； ∵， ∴函数图象不经过点，故C错误，不符合题意； 故选：D． ►题型04 反比例函数的对称性 1. 对称规律记混：混淆原点（横纵全反）、y=x/y=-x（横纵互换/反号互换）的对称规则 2. 符号处理失误：原点对称仅变一个坐标符号，或轴对称时横纵符号/位置错 3. 特殊点误判：误求坐标轴上的对称点（反比例图象与轴无交点，对称点也不在轴上） 4. 漏验证：未将所求对称点代入解析式确认，导致错误 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解答即可． 【详解】解：正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为 ． 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得 【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 一次函数与反比例函数的图象关于原点对称， 故答案为：0 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴点A和点B关于原点对称， 把代入到中得：， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 . 【答案】0. 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 命题点二 k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求图形的面积 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∵是的中点， ， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，射线与函数（，）图象相交于点A，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，x轴相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】由可得，求得，即可得出，由作图方法可知，是的平分线，可得，射线与轴的夹角为，可得出点关于直线对称，可得出，再由，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， 由作图方法可知，是的平分线， ， 射线与轴的夹角为， 点关于直线对称， ， ， ，且， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，反比例函数解析式k的几何意义，反比例函数的图象性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再根据图形面积之间的关系即可得到答案． 【详解】解：∵直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为-， ∴OC=， ∴BE=， ∵AB∥CD， ∴， ∴EF=OE=，OF=OE=， ∴S△BEF=EF•BE=××=， S△ODF=OD•OF=×a×=， ∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为 . 【答案】. 【分析】设，根据题意，，，即可得出，，解得，由，，求得、，然后根据三角形面积公式得到进行求解即可. 【详解】设， ∵， ∴，， ∴， ∵双曲线经过矩形的顶点， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴ ∴双曲线， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键． ►题型02 已知图形的面积求比例系数 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴． 故选：C 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，矩形的性质，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 设，则，，由此得到，，，然后利用四边形的面积为18求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴，即， 解得，． 故答案为：6． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是7，则k的值（    ） A． B．10 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答． 【详解】解：如图，连接，，与y轴交于点M， ∵轴，点A双在曲线上，点B在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据矩形对边平行和平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是的边的中点，连接，以，为边作．反比例函数经过点两点，若的面积为6．则的值为（    ） A．－2 B．－4 C．8 D．－8 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，反比例函数的性质．根据平行四边形的性质和三角形中线的性质，求得，，证明，求得，设，则，求得，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又函数经过点， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 命题点三 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 反比例函数与一次函数综合 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，函数和函数的图象相交于点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题． 先求出、的值，再根据函数图象即可求解． 【详解】∵在函数和函数上， ， 即，， ∵，即， 的范围如图中实线所示：即或． 故答案为：或． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Р的坐标为或或或 【分析】（1）把点坐标代入求得值即可； （2）根据（1）中反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，设一次函数与轴交于点，求得，最后利用即可得到答案； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时，利用两点坐标求两点距离的公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； 设一次函数与轴交于点，如图， 对于，当时，， ， ， ，， 的面积为． （3）解：点在轴上， ①当时，如图所示， ， ， ， 点的坐标为或； ②当时，如图所示， 设点， ，由①可知， ， 解得或（不合题意，舍去） 点的坐标为； ③当时，如图所示， 设点， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点Р的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 【变式】3．（2025·辽宁营口·三模）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图，    对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 命题点四 反比例函数与几何综合 ►题型01 反比例函数与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】把点代入，求得，则，设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，求出，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形求出． 【详解】解：把点代入，得， ∴， ∴， 设点， 如图，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 由作图方法可知，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点为反比例函数图象上的一点，点在反比例函数图象上，点与点关于原点对称，连接，，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过、分别作轴，轴于、，则，证明，得，由，，得，进而利用反比例函数的意义及相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：连接，过、分别作轴，轴于、，则， ∴， ∵点为反比例函数图象上的一点， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵反比例函数图象位于二四象限， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质及相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的判定及性是解题的关键． 【典例】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的结合综合，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和折叠的性质． （1）根据折叠得出，根据勾股定理得出，设，根据勾股定理得出，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点纵坐标为8，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：沿折叠，， ， 四边形是矩形，， ， ， 设， 根据勾股定理得：， ∴， ， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：点纵坐标为8， ， 即， ． 【变式】1．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，矩形的性质，先求解反比例函数为，结合矩形的性质求解，再结合平移的性质可得答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为， ∵矩形的对角线，相交于点， ∴点是的中点， ∵，的坐标分别为，， ∴，即， 当，则， ∴平移的距离为， 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是 ．   【答案】/ 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示： 点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，轴， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． (1)求，的值； (2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1)，； (2)点D的坐标为或 【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解； （2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为2， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为， 令，则， ∴点， 设点，则点， ∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得或， 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 反比例函数的实际应用 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．蓄电池的电压是 B．当时， C．反比例函数关系式为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据图象求出反比例函数解析式，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，且电流I与电阻R是反比例函数关系， ∴， A、蓄电池的电压是，故此项错误； B、当时，，由于电流I与电阻R是反比例函数关系，故此项正确； C、反比例函数关系式为，此项错误； D、反比例函数关系式为，当时，，此项错误． 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 【答案】(1) (2)物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为30时的两个时间，再将两时间之差与27比较，大于27则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意可知， ∴点C的坐标为 设反比例函数的解析式为， 将代入， 得 ， 解得∶， ∴反比例函数的解析式为 ， ∴将代入 得：， ∴点 D 的坐标为 ， ∴点A 的坐标为 ， 设时，y与x的函数解析式为， 由题图可得点B的坐标为， 将，代入， 得   解的： ， ∴当时，y关于x的函数解析式为； （2）解：物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由如下： 对于， 当时，， 解得． 对于 当时， ∵， ∴物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）成反比例（如图），则下列说法正确的是（　　） A．气球内气体的压强随气体体积增大而增大 B．气球内气体的压强p关于体积V的函数表达式为 C．当气体体积为1m3时，它的压强为90kPa D．气体的压强大于150kPa时，气球会爆炸，则气体的体积应不小于0.8m3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．根据图中的点可先求得反比例函数的解析式，再对每个选项逐项分析即可． 【详解】根据图形下降趋势，气球内气体的压强随气体体积增大而减小，此选项错误； 设，点代入得，即，此选项错误； C，当时，，此选项正确； D，由知，气体的压强大于150kPa时，则气体的体积应不小于0.6m3，此选项错误． 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 2 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 【答案】(1)（的整数），首付款为6万元 (2)平均每月应付万元 (3)他能在规定不计算利息的期限内结算 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是找出等量关系，列出函数解析式． （1）利用待定系数法，即可求出解析式； （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值； （3）知道了y的值，利用解析式即可求出自变量的值． 【详解】（1）解：由表格猜想y与x成反比例函数关系， 设y与x的函数表达式为， 当，，代入表达式得， ， 与x的函数表达式为（的整数）， 经检验表中其他各组对应值均满足此表达式， 当时，， （万元）． 首付款为6万元； （2）当时，（万元）， 答：平均每月应付0.35万元； （3）当时，， 解得， ， 答：他能在规定不计算利息的期限内结算． 突破一 反比例函数与新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数为函数和函数的“关联函数”，这两个点称为函数和函数的一对“关联点”．例如：如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，点关于轴对称，此时函数为函数和函数的“关联函数”，点和点是一对“关联点”． 【基础练习】 （1）请直接写出函数与函数的“关联函数”和“关联点”的坐标． （2）若函数与函数的“关联函数”的顶点在轴上，求的值． 【灵活应用】 （3）当函数与函数的自变量满足时，其“关联函数”的最大值为，最小值为，若，求的值． 【深度探究】 （4）在（3）的条件下，当直线与“关联函数”的交点从左到右依次为，则以点与一对“关联点”构成四边形，此四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（）“关联函数”为 ，“关联点”的坐标为和或和； （）； （）的值为或－1； （）能，的值为或 【分析】根据“关联函数”的定义可得“关联函数”的解析式是，设函数的一个点的坐标为，则关于轴的对称点的坐标为，根据“关联点”之间的关系得到方程，解方程求出“关联点”即可； 根据“关联函数”的定义可得“关联函数”的解析式是，“关联函数”的顶点在轴上，可得：，解方程求出值即可； 根据题意可得：“关联函数”的解析式为，根据解析式可以求出顶点坐标为，当时，，当时，，根据与“关联函数”的对称轴的关系分四种情况求解； 分别写出当的值为或时“关联函数”的解析式，根据平行四边形的性质表示出“关联点”的坐标，根据“关联点”的定义得到关于的方程，从而求出点 的坐标，再根据直线与“关联函数”的图象交于点，确定的值即可． 【详解】解：函数中，， 函数中， “关联函数”为； 设函数的一个点的坐标为，则关于轴的对称点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 解得：，， 点的坐标为或， 点的坐标为或， “关联点”的坐标为和或和； 解：根据题意，得“关联函数”为， “关联函数”的顶点在轴上， ， 解得：，， ， ； 解：根据题意，得“关联函数”为， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 抛物线的开口向下， ，即时， 可得：，， ， 解得：； 直线关于直线的对称直线为， 当时， 解得：时， 可得：，， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当， 解得：时， 可得：，， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时， ， ， 此时，， ， 解得：． 综上所述，的值为或； 解：能，的值为或． 当时，一次函数的表达式为， 反比例函数的表达式为， “关联函数”的表达式为． 设一次函数的一个点的坐标为， 则点关于轴对称的点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 点，， 轴， ， 点在“关联函数”的图象上， 点的坐标为， ， 当时，以为顶点的四边形是平行四边形， 点． 点也在“关联函数”的图象上， ， 解得：， 点， 直线与“关联函数”的图象交于点，， ； 当时，一次函数的表达式为， 反比例函数的表达式为， “关联函数”的表达式为， 设一次函数的一个点的坐标为， 则点关于轴对称的点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 整理得：， 解得：，， 点的横坐标为或， 点的横坐标为或， 点，关于轴对称， 轴， 的长为或． 点在“关联函数”的图象上， 设点的坐标为， ， 有以下两种情况： 当时， 以为顶点的四边形是平行四边形， 点， 点也在“关联函数”的图象上， ， 解得：， 点， 直线与“关联函数”的图象交于点，， ， 当时，以为顶点的四边形是平行四边形， 点， 点也在“关联函数”的图象上， ， 解得：， 点， 直线与“关联函数”的图象交于点，， （不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了新定义、反比例函数与一次函数交点问题、轴对称的性质、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是根据二次函数的性质确定点的坐标． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为 由题意得方程：，化简得：， ∵， ∴， ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到： 然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长 （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2，请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为　　　；周长为　　　． ②对半矩形B的两边长为　　　． （4）在第（3）题的图形中，若点在双曲线上，轴，轴，垂足分别为B、C．连接，将沿若折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上 【答案】（2）不存在对半矩形B，理由见解析；（3）①12，24；②，；（4）点P不在双曲线上，理由见解析 【分析】（2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，整理用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （3）①结合图像求得一次函数解析式为和反比例函数解析式，结合一次函数解析式和反比例函数解析式，可得矩形B的两边之和以及面积，即可求得矩形A的面积和周长；②联立一次函数和反比例函数，利用公式法可求出满足条件的矩形B的两边长； （4）设和交于点N，由折叠的性质和矩形的性质得，则有，设，则，利用勾股定理求得a，进一步得到，即可求得和，得到点代入，等式不成立，即可判断点P不在双曲线上． 【详解】解：（2）设所求矩形的一边是x，则另一边为， 由题意得方程：， 化简得：， ∵， ∴原方程无解， 则满足要求的矩形B不存在． （3）①设直线的关系式为，把，代入得：， 解得：， 则一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴矩形B的两边之和为6，面积为6， ∴矩形A的面积为，周长为：； 故答案为：12，24； ②把代入得， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴对半矩形B的两边长为，． 故答案为：，； （4）设和交于点N， 由得， ∴，设，则， 在中，，解得， ∴， 作轴，垂足为E， ∵轴， ∴， ∴， 则，解得，， 那么，点代入，等式不成立 故点P不在双曲线上． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程、一次函数和反比例函数的性质、折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和相似三角形的性质，解题的关键是利用函数图象得函数解析，并熟练掌握上述性质． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·二模）在平面直角坐标系中，若某函数图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，当时，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”，将矩形沿折叠，点B的对应点为E． ①如图2，若点A的坐标为，点E落在y轴上，求k的值； ②如图3，当点E，D重合时，连接交于点P，以点O为圆心，长为半径作，若，当与的边有交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，该函数为矩形的“友好函数” (2)①，②． 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； ②可证明四边形是正方形；根据题意可得直线经过A、C两点，证明，得到是等腰直角三角形，则，则可推出点A在直线，即，设，则，可求出；设，则，；求出当恰好经过点A时，；再证明当，与的边一定有交点，而，故当时，k随r增大而增大，据此可得答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， ， ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②由折叠的性质可得，故当点E与点D重合时，， ∴四边形是正方形； ∵直线经过点A，且是矩形的“友好函数”， ∴直线经过A、C两点， 由正方形的性质可得， ∵轴，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点A在第一象限， ∴点A的横纵坐标相同， ∴点A在直线，即， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设，则， ∴； 如图所示，当恰好经过点A时， 此时有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时； 当时，的长逐渐减小，则的半径逐渐减小，故此时与的边不可能有交点； 当时， 此时的长逐渐增大，则的半径逐渐增大， ∵， ∴的半径一定小于， ∴此时与的边一定有交点， 综上所述，当，与的边一定有交点， ∵， ∴当时，k随r增大而增大， ∵当时， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，二次函数的性质，正方形的性质与判定，勾股定理等等，运用数形结合的思想求解是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】题目属于新定义题型，考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质等，理解题意是解题关键． （1）将代入确定，再由题意即可求解； （2）设点，依题意可知点，再由中点坐标得出点，代入函数求解即可； （3）①设函数图像上的点，则点M的2倍横变点N的坐标为，设，得出点，代入函数解析式即可；②根据题意得出折点，，求出当直线过点H时，当直线与在点H下方只有一个交点时，两种情况下b的值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得；， ， 点B是点A的倍横变点，， 点； （2）设点，依题意得点， 点E是线段的中点， 点， 点E在直线上， ， 解得：， ， ， 点； （3）①设函数图像上的点， 则点M的2倍横变点N的坐标为， 设，则， 点， ， 函数的2倍横变函数的表达式为：； ②当时，， 整理得：， 解得：，， 折点，， 当直线过点H时， ，， 当直线与在点H下方只有一个交点时， 一元二次方程即：有两个相等的实数根， ， 解得：， 当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，b的取值范围是． 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个锐角顶点，则函数是的“勾股函数”．若函数经过直角三角形的两个锐角顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，函数的最大值记为，最小值记为，，则是的“”值． 已知：在平面直角坐标系中，，，轴． (1)如图，点坐标为，． ①判断一次函数是不是的“勾股函数”，若是，求出的“”值：若不是，请说明理由． ②是否存在反比例函数是的“勾股函数”．若存在，求出值：若不存在，请说明理由． (2)若点的坐标为，点的坐标为，二次函数是的“勾股函数”，且的“”值，求的值． 【答案】(1)①是，2；②存在，理由见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）①先求出A、B的坐标，然后根据的“勾股函数”的定义判断即可；根据一次函数的性质求出， ，最后根据的“”定义求解即可； ②根据的“勾股函数”的定义判断即可； （2）先求出顶点坐标，然后分情况讨论：第一种情况，点B在点A上方，即，（i）当点B和点A在对称轴左侧；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即；第二种情况，点B在点A下方，即，（i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即，讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，轴，点坐标为，， ∴点A的坐标为，点的坐标为． ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值随的增大而减小， ∴当时，，， ∴， ∴的“”值为2． ②答：存在． 理由：∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴点A和点在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且． （2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为，，轴， ∴， ∵二次函数经过A，两点， ∴将，代入得： ， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴其顶点坐标为：， 第一种情况，点在点上方，即， （i）当点和点A在对称轴左侧，即，解得，此时最大，最小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点和点之间，即， 解得， ∴， 此时最大，顶点值最小， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴和都舍去 第二种情况，点在点下方，即， （i）当点和点在对称轴右侧，即， 解得， 此时最大，最小， ∴，， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． （ii）当对称轴在点和点之间，即， 解得， ∵ ∴，此时最大，顶点值最小， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴ 综上所述，，，． 突破二 反比例函数与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，是反比例函数位于第一象限内的图象上的点，作射线交轴于点，连接，，若，的面积为18，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正比例函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形．作轴于点，轴，交的延长线于点，作于点，设交轴于点，设，则，，设点的横坐标为，则，可证明，则，即可推导出，则，所以，则，所以，，由，得，则，于是得，则，所以． 【详解】解：作轴于点，轴，交的延长线于点，作于点，设交轴于点， 直线经过原点，且与双曲线交于，两点， 点与点关于原点对称， 设，则，， 设点的横坐标为，则，， ，， ， ， ∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，是等边三角形，点B，C在x轴上，点，点D为的中点，点A，D恰好落在双曲线（k为常数，）上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点C的坐标为则，由等边三角形的性质可得出等边三角形的高，进而可得出顶点A的坐标，再根据线段中点的坐标可得出点D的坐标，把点A，点D的坐标分别代入反比例函数解析式中，得出关于c和k的方程组求解即可得出答案． 【详解】解：过点A作交与点E， 设点C的坐标为， 则， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴顶点A的坐标为：， ∵点D是的中点， ∴， 即， ∵点A和点D都在反比例函数上， ∴ ，， 即，， 联立方程组， 解得：，c的负值舍去. 故k的值为：， 故答案为： 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 【答案】 【分析】过C作，过作轴平行线等，构造出矩形、全等三角形，以及相似三角形， 利用三角函数，设未知数，结合点在上，求出点的坐标及相关线段长度， 依据线段旋转到的条件，证明三角形全等与相似，得出更多线段长度关系，进而得到点的坐标，最后根据点在上列方程求出参数，再根据点的坐标及在上，求出的值． 【详解】过作于，过作轴的平行线于 ， 轴 轴 设交轴于 ，交轴于 则四边形为矩形 ， 轴， 设， ，点横坐标为． 又∵点在上 ， ， ， ∵线段CB逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又在上 ， ， 又 又在上 ． 【点睛】本题考查反比例函数性质、几何图形的旋转、全等三角形、相似三角形及三角函数等知识；解题关键是通过作辅助线，利用几何图形性质建立线段与点坐标关系，结合点在反比例函数图象上的性质列方程求解． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，正方形在第一象限，点，，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)接写出k的取值范围； (2)当反比例函数图象与交于点E，且E是中点，连接，点F在第一象限反比例函数图象上，点X为x轴上一点，且平分，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质： （1）结合正方形的性质求出点C的坐标为，然后分别求出反比例函数图象过点A和点D时k的值，即可求解； （2）过点E作轴于点G，交于点P，过点P作于点H，根据角平分线的性质可得，证明，可得，然后求出点E的坐标为，可得，在中，根据勾股定理可得，从而得到点P的坐标为，分别求出直线的解析式，反比例函数解析式，然后联立两解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点，， ∴，轴， ∴点C的坐标为， 当反比例函数图象过点A时，， 当反比例函数图象过点C时，， ∴k的取值范围为； （2）解：如图，过点E作轴于点G，交于点P，过点P作于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，，E是中点， ∴点E的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴点F的坐标为． 1．已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 2．已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过二、四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵、， ∴， ∴， 故选：B． 3．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限； 若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限； 符合的为选项D， 故选D． 4．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为，则B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象关于原点对称的性质是解题的关键． 因为正比例函数和反比例函数的图象都是关于原点中心对称的图形，所以它们的交点、关于原点对称，根据关于原点中心对称的点的坐标特点“纵坐标，横坐标都互为相反数”，即可求得点坐标． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都是关于原点中心对称的图形， 它们的交点、关于原点对称， ， ∴B点的坐标为， 故答案为：． 5．反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为：． 6．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出，两点位置关系是解题关键．直接利用正比例函数与反比例函数的性质得出，两点关于原点对称，进而得出点的横坐标为，再结合图像即可求解． 【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ，两点关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 当时，的取值范围是， 故选：B． 7．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10，，若反比例函数的图象同时经过C、D两点，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合．涉及菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 由菱形的性质结合题意可知，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，即得出，再代入反比例函数解析式即可解出k的值，即可求出D的坐标． 【详解】解：根据题意可知，设． ∵菱形的边轴， ∴轴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 将代入，得：， 解得：． ∴ ∴ 故选：D． 9．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ）      A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式满足 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故C符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故D不符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先证得得出，，再证得求出，然后代入求解即可． 【详解】解：过点C作轴交于点E， 由旋转可得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由轴得， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵点恰好在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：2． 11．如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式． 设，，则，，根据，得到，再由点在反比例函数的图象上，即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 13．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得； （2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可． 【详解】（1）解：∵，的面积是6， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）∵点，，在的图象上， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交x轴于点C， ∴， ∴， 设直线上在第一象限的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式． 14．人类免疫缺陷病毒（）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被侵入后，宿主体内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将侵入机体的时刻设为0时刻，在内T细胞的相对浓度变化量为二次函数，内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且时，T细胞的相对浓度为． (1)写出C关于t的函数解析式； (2)若T细胞相对浓度变化量在以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和比例函数的应用，待定系数法求函数解析式． （1）当时，设，用待定系数法求出函数解析式；当时，设，由反比例函数经过，可求出反比例函数的解析式；即可得解； （2）先出当时，t的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：当时，设， 抛物线经过，， 代入得：， 解得：， ， 当时， 反比例函数经过，设， 代入得：， ； （2）解：当时，函数随着的增大而增大， 此时令，解得， 当时，随着的增大而减小， 令，则， 解得， 该机体患病的时间段为． 15．小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】 （1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或；（4）或或4 【分析】（1）根据表格描点，连线画出图象即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象求解即可； （4）根据题意画出图形，得到点P到x轴的距离为1，得到，，然后令，求出，即可求解． 【详解】（1）如图所示， （2）当时，将代入得， ∴ ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 综上所述，； （3）由图象可得，当或时，直线与函数图象有2个交点； （4）如图所示， ∵， ∴点P到x轴的距离为1 ∴由图象和网格可得，， ∴当时， 整理得， 解得（舍去）， ∴ 综上所述，点的横坐标为或或4． 【点睛】此题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，反比例函数和二次函数解析式，函数图象和性质，解题的关键是正确画出图象． 16．若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质当时，随的增大而减小即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴随的增大而减小， ①当点，在反比例函数的图象的同一个分支上时， ∵ ， ∴或， ∴或； ②当点，在反比例函数的图象的两个分支上时， ∵， ∴ ， ∴无解； 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题的关键． 17．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质可知，两个反比例函数的比例系数互为相反数，即可列方程求解． 【详解】解：反比例函数的图象与反比例函数的图象既关于x轴，又关于y轴成轴对称， ， ． 故选：C． 18．如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．    【答案】4 【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，   轴，     ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 即， 同理可得， ， ， ， 设，则，， ， 都在反比例函数上， ， 解得， ， 在中，， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键． 19．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为___________； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为9，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①若，点在第一象限，且点在点的上方，当时，求点的“对角矩形”的周长的最大值及点的坐标； ②若，当点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点时，求出的取值范围． 【答案】(1)①12；②； (2)或4； (3)①，；②或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查新定义运算，矩形、正方形的性质，反比例函数图象的性质与几何图形的综合，二次函数图形的性质，对称轴直线，最值的计算方法，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想，二次函数与几何图形面积的计算，解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）①如图所示，矩形是点，的“对角矩形”，则，，由周长的计算即可求解； ②根据题意，，如图所示，四边形是点，的“对角矩形”为正方形，则，设，则，，，由此列式求解即可； （2）根据题意得到，分两种情况，即点在点左边或右边，分别求解即可； （3）①求得二次函数解析式，设，如图所示，矩形是点，的“对角矩形”，则，，结合题意列式求解即可； ②可得点在抛物线的对称轴上，分类讨论，根据或分别讨论，依次求解即可解答． 【详解】（1）解：（1）①根据题意，如图2.1，矩形是点，的“对角矩形”， ，， ，， 周长为， 故答案为：12； ②直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，，则， ，， 如图2.2，四边形是点，的“对角矩形”为正方形，则， 设，则， ，， ， 解得， ， ； （2）解：点是函数图象上一点，且横坐标为， ， 如图，当点在点右边时，， 矩形是点、的“对角矩形”， ， ， ， 整理得：， 解得：（舍去）， 经检验是原方向的解； 当点在点左边时，， 同理可得， 解得（舍去）， 经检验是原方程的解， 的值为或4； （3）解：①当时，抛物线解析式为， 当时，， 当时，， 解得， 点是抛物线图象上，且在第一象限， 设， 如图，矩形是点，的“对角矩形”， ， ，， 点的“对角矩形”的周长为， 当时，点的“对角矩形”的周长取最大值为， 此时点； ②， 抛物线的顶点为， 当时，， 抛物线的顶点在点上方， 如图，当抛物线经过时，刚好有一个交点， 要使点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点，需要满足， 整理得， 令，当时，可得， 解得， 根据二次函数的性质可得的解析为或， ， ； 当时，点没有“对角矩形”； 当时，若，即时， 抛物线的顶点在点上方， 如图，当抛物线经过时，刚好有一个交点， 要使点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点，需要满足， 整理得， 令，当时，可得， 解得， 根据二次函数的性质可得的解析为或， ， ； 当时，若，即时， 点的“对角矩形”与抛物线无交点，不成立， 综上，或． 1．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 3．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 4．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 5．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 6．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 7．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 9．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 【答案】16000 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 12．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 13．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 14．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 15．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 16．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 18．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 19．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 20．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 2 / 146 学科网（北京）股份有限公司 $