第13讲 二次函数的图象与性质（复习讲义，5考点10题型2重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数的图象与性质，覆盖顶点坐标、对称性、与x轴交点、最值、系数关系等核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、题型预测、分层练习的系统架构，帮助学生梳理知识联系，结合真题训练突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“考点-题型-突破”三阶复习策略，如通过“二次函数与其他函数图象共存问题”的三步解题法培养数学思维，设置“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习和新定义问题探究，助力学生在有限时间内提升推理能力和应用意识，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 二次函数的图象与性质 题型01 二次函数与其他函数的图象共存问题 题型02 二次函数的基础性质 题型03 比较二次函数的函数值大小 题型04 二次函数的对称性 题型05 二次函数图象与x轴交点问题 命题点二 二次函数的图象变换 题型01 二次函数图象的平移 命题点三 二次函数的最值问题 题型01 二次函数的最值问题 命题点四 二次函数与方程及不等式 题型01 二次函数与一元二次方程 题型02 二次函数与不等式 命题点五 二次函数图象与系数的关系 题型01 二次函数图象与系数的关系 05·重难突破·思维进阶 26 突破一 二次函数图象与性质综合 突破二 二次函数图象与性质的新定义问题 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的顶点坐标 / / 沈阳卷T9 理解二次函数的定义，能根据二次函数不同的表达式确定图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与y轴交点坐标等。 二次函数图象的对称性 / 辽宁省卷 T14 / 利用二次函数图象的对称性求对称轴、会与增减性结合判断不同自变量下对应函数值的大小等。 二次函数图象与x轴交点问题 / 辽宁省卷 T14 / 会求二次函数与x轴的交点坐标，根据二次函数表达式判断与x轴有无交点或交点个数，及反之根据与x轴交点情况求参数等，理解与二次方程判别式的关系。 二次函数的最值问题 辽宁省卷 T20 / / 掌握开口方向与最值得关系，结合二次函数图象确定增减性区间，求不同自变量范围下的最值，及含参问题下的分类讨论等。 二次函数图象与系数的关系 / / 丹东卷T10 阜新卷T9 营口卷T10 理解二次函数图象与各项系数的关系，能根据二次函数的表达式分析图像的特征，并能利用图像判断系数的符号，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，会判断特殊代数式的值等。 命题预测 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 考点一 二次函数的顶点坐标 1.二次函数的定义 一般地，形如 （、、 为常数，且 ） 的函数，叫做二次函数。 2.二次函数表达式的三种形式 表达式形式 表达式 核心特征 适用场景 一般式 （） 包含三个待定系数 、、 已知图像上任意三个点的坐标 顶点式 （） 直接体现顶点坐标 已知顶点坐标或对称轴及一个点 交点式 （） 直接体现与x轴的交点 、 已知与x轴的两个交点及一个点 3.一般式配方为顶点式 通过配方法，，顶点坐标为 4.二次函数的图象与性质 表达式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 5.抛物线的顶点坐标 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 （一般式）或 （顶点式）。 1．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A．当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点 3．（2025·辽宁抚顺·三模）设抛物线的顶点在直线上，则k的值为（ ） A． B．-4 C．4 D．6 考点二 二次函数图象的对称性 1.若抛物线与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 2.对称点：若点 和点 在抛物线上，则两点关于对称轴对称，对称轴为直线 . 3.对称性点性质：若与是抛物线上的点，且关于对称轴x=n对称，则 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为 ． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 考点三 二次函数图象与x轴的交点问题 1.判别式决定抛物线与 x轴的交点个数 ：抛物线与x轴有两个不同的交点； ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：抛物线与x轴无交点。 2.与x轴交点坐标 当 时，交点横坐标为方程 的两个根 、，且满足韦达定理：，。 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为 ． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． 考点四 二次函数的最值问题 1.二次函数的增减性 当 时： 在对称轴左侧（），y 随 x 的增大而减小； 在对称轴右侧（），y 随 x 的增大而增大。 当 时： 在对称轴左侧（），y 随 x 的增大而增大； 在对称轴右侧（），y 随 x 的增大而减小。 2.最值 时，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标； 时，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标。 3.求最值方法 （1）配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 （2）顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 （3）区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 考点五 二次函数图象与系数的关系 1.二次函数与各项系数之间的关系 （1）二次项系数 开口方向：时，抛物线开口向上；时，开口向下； 开口大小： 越大，抛物线开口越小； 越小，开口越大； 最值： 时，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标； 时，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标。 （2）一次项系数 （与 共同决定对称轴） 对称轴公式：直线 ； 符号规律：“左同右异” 当 、 同号时，，对称轴在 y轴左侧； 当 、 异号时，，对称轴在 y轴右侧； 当 时，，对称轴为 y轴（直线 ）。 （3）常数项 抛物线与 y轴的交点坐标：令 ，得 ，交点为 ； 符号规律： 时，交点在y轴正半轴； 时，交点为原点； 时，交点在y轴负半轴。 （4）判别式 决定抛物线与 x轴的交点个数： ：抛物线与x轴有两个不同的交点； ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：抛物线与x轴无交点。 （5）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0； 若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0； 若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0。 （6）韦达定理：由图中情况决定。 2.二次函数图象的平移 遵循“上加下减，左加右减”的原则 二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的表达式． 设原抛物线为 （），平移后抛物线的形状不变（ 不变），仅顶点位置改变。 左右平移（针对自变量 ）： 向右平移 个单位（）：； 向左平移 个单位（）：。 上下平移（针对函数值 ）： 向上平移 个单位（）：； 向下平移 个单位（）：。 3.二次函数图象的对称与旋转 （1）对称变换： 设原抛物线为 （），对称后抛物线的 不变，开口方向可能改变。 关于x轴对称： 顶点关于x轴对称，开口方向相反，解析式为 或y= -a(x-h)²-k（顶点式）； 关于y轴对称： 顶点关于y轴对称，开口方向不变，解析式为 或y= a(x+h)²+k（顶点式）； 关于原点对称： 顶点关于原点对称，开口方向相反，解析式为 或y= -a(x+h)²-k（顶点式）； 关于顶点对称（旋转180°）： 顶点不变，开口方向相反，解析式为 （顶点式）。 （2）旋转变换： 绕顶点旋转180°：开口方向相反，顶点坐标不变，解析式为 ； 绕原点旋转180°：顶点关于原点对称，开口方向相反，解析式为 y= -a(x+h)²-k； 4.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根； 判别式 的作用： ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 5.二次函数与不等式的关系（以a>0为例） b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0的解集情况 x<x1或x>x2 取任意实数 ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 6.二次函数与一次函数的交点问题 联立二次函数与一次函数的解析式，组成方程组： 方程组的解即为两个函数图像的交点坐标； 消去 得到一元二次方程 ，其判别式决定交点个数： ：两个交点； ：一个交点； ：无交点。 1．（2025·辽宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴的两个交点分别为对于下列命题：①；②； ③④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．有下列四个结论：①；②；③若点在抛物线上，当时，；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 命题点一 二次函数的图象与性质 ►题型01 二次函数与其他函数的图象共存问题 ‌关注系数符号‌和‌善用图形特征‌： 第一步：标系数，定范围‌ 在选项图像旁标出函数表达式，根据图像位置推断系数正负。 第二步：找矛盾，排选项‌ 对比系数范围，存在矛盾则排除。 第三步：抓特征，定答案‌ 结合对称轴、与坐标轴交点等关键特征验证。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【典例】2．（2026·辽宁抚顺·一模）当时，与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2026·辽宁·模拟预测）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2026·辽宁·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式】3．（2026·辽宁·模拟预测）函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． ►题型02 二次函数的基础性质 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·一模）抛物线的顶点坐标是 ． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．与轴交于点 D．当时，随的增大而减小 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知抛物线开口向下，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 ►题型03 比较二次函数的函数值大小 1.抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大； 2.抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小。 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）若点、在二次函数的图象上，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2026·辽宁盘锦·三模）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知抛物线经过点，，，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． ►题型04 二次函数的对称性 对称性点性质：若与是抛物线上的点，且关于对称轴x=n对称，则 反之，若与是抛物线上的点，且满足，则抛物线的对称轴为x=。 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，二次函数与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，则线段的长为 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ． 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． ►题型05 二次函数图象与x轴交点问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）已知二次函数 与x轴相较于和，对称轴为则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，y 随 x 的增大而减小 C． D．方程 的两根是 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ． 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，则的值是 . 【变式】3．（2025·辽宁营口·二模）已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点．且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 命题点二 二次函数的图象变换 ►题型01 二次函数图象的平移 遵循“上加下减，左加右减”的原则。 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为 ． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“”形尺按图1摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： … … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：与的关系式是_______________； 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数（）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程； 方法1 方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点移到原点的位置，则：，，，所以点的坐标为________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 如图4，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为________； 将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 【应用】 （3）已知轴且，两个二次函数和（）的图象都经过，两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求的值． 命题点三 二次函数的最值问题 ►题型01 二次函数的最值问题 配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 开口方向判断‌：a > 0开口向上，有‌最小值‌；a < 0开口向下，有‌最大值‌。 区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 【变式】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是(   ) A．若，则二次函数y的最小值大于0 B．若，则二次函数y的最小值小于0 C．若，则二次函数y的最小值小于0 D．若，则二次函数y的最小值大于0 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 命题点四 二次函数与方程及不等式 ►题型01 二次函数与一元二次方程 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根。 ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 【典例】1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是 ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型02 二次函数与不等式 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【典例】2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的不等式的解集为 ． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）二次函数（m是常数），当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】4．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 命题点五 二次函数图象与系数的关系 ►题型01 二次函数图象与系数的关系 【典例】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）二次函数图像如图，①；②；③；④；⑤方程：无解．正确项的序号（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①⑤ 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 突破一 二次函数图象与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·二模）数学活动小组在函数学习中发现，研究不同函数的方法是一致的，因此，他们对一个分段函数开展了研究.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，经过点A的函数G的解析式为：. (1)试求出k，a的值； (2)点A关于原点的中心对称点为，判断点是否在函数G的图象上； (3)点，是函数G上的两点. ①若点M，N之间的函数图象有确定的最大值或最小值，求出m的取值范围； ②连接，若直线与线段没有交点，求出m的取值范围. 突破二 二次函数图象与性质的新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于直线的“镜面函数”的解析式； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求m的值； (3)已知抛物线关于直线的“镜面函数”图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·一模）已知是自变量的函数，当时，记函数的最大值为，最小值为，若存在实数，使得函数满足：，且，则称当时函数具有性质． (1)当时，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)当时，请直接写出一个具有性质的一次函数表达式； (3)当时，若有且只有一个实数，使得函数具有性质，求实数与的值． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称，则称该函数为“函数” (1)下列函数：①；②；③．其中是“函数”的是________（填序号）． (2)若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于，两点（点在点的左侧），函数图象的顶点为点，当时，求，的值． (3)若关于的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求的值． 1．二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 3．（2025·辽宁朝阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 4．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为 ． 6．（2025·辽宁·模拟预测）抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为 ． 7．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为 ．    9．定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．直线与抛物线在第四象限内恰有一个交点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 且当时，与其对应的函数值．则下列结论中，正确的是（    ） ①；②和3是关于x的方程的两个根；③． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 13．根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 14．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 15．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 16．如图，一条抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动，点，的坐标分别为，，当点的横坐标的最大值为时，则点的坐标为 ． 17．已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为 ． 20．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)函数的“最优纵横值”为_____； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)抛物线图象的顶点在直线上． ①当，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． ②抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n且，直接写出的取值范围．（用含的代数式表示） 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 5．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 7．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 8．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 10．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 11．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 15．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 16．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 21 命题点一 二次函数的图象与性质 题型01 二次函数与其他函数的图象共存问题 题型02 二次函数的基础性质 题型03 比较二次函数的函数值大小 题型04 二次函数的对称性 题型05 二次函数图象与x轴交点问题 命题点二 二次函数的图象变换 题型01 二次函数图象的平移 命题点三 二次函数的最值问题 题型01 二次函数的最值问题 命题点四 二次函数与方程及不等式 题型01 二次函数与一元二次方程 题型02 二次函数与不等式 命题点五 二次函数图象与系数的关系 题型01 二次函数图象与系数的关系 05·重难突破·思维进阶 55 突破一 二次函数图象与性质综合 突破二 二次函数图象与性质的新定义问题 06·优题精选·练能提分 74 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的顶点坐标 / / 沈阳卷T9 理解二次函数的定义，能根据二次函数不同的表达式确定图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与y轴交点坐标等。 二次函数图象的对称性 / 辽宁省卷 T14 / 利用二次函数图象的对称性求对称轴、会与增减性结合判断不同自变量下对应函数值的大小等。 二次函数图象与x轴交点问题 / 辽宁省卷 T14 / 会求二次函数与x轴的交点坐标，根据二次函数表达式判断与x轴有无交点或交点个数，及反之根据与x轴交点情况求参数等，理解与二次方程判别式的关系。 二次函数的最值问题 辽宁省卷 T20 / / 掌握开口方向与最值得关系，结合二次函数图象确定增减性区间，求不同自变量范围下的最值，及含参问题下的分类讨论等。 二次函数图象与系数的关系 / / 丹东卷T10 阜新卷T9 营口卷T10 理解二次函数图象与各项系数的关系，能根据二次函数的表达式分析图像的特征，并能利用图像判断系数的符号，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，会判断特殊代数式的值等。 命题预测 二次函数的图象与性质是中考的必考内容，考查题型多样，考查知识灵活多变，覆盖面广泛，难度上程度区分也多样化。二次函数的图象与性质主要围绕对称轴、顶点坐标、对称性、增减性、与x轴交点、与y轴交点、最值问题、图象与系数关系、与方程及不等式等进行结合考查。题型变化多样，注意灵活运用，提高解题速度。 考点一 二次函数的顶点坐标 1.二次函数的定义 一般地，形如 （、、 为常数，且 ） 的函数，叫做二次函数。 2.二次函数表达式的三种形式 表达式形式 表达式 核心特征 适用场景 一般式 （） 包含三个待定系数 、、 已知图像上任意三个点的坐标 顶点式 （） 直接体现顶点坐标 已知顶点坐标或对称轴及一个点 交点式 （） 直接体现与x轴的交点 、 已知与x轴的两个交点及一个点 3.一般式配方为顶点式 通过配方法，，顶点坐标为 4.二次函数的图象与性质 表达式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 5.抛物线的顶点坐标 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 （一般式）或 （顶点式）。 1．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A．当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点 【答案】B 【详解】二次函数, 所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，不符合题意； 当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确，符合题意； 顶点坐标为（2，-3），选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，不符合题意， 故答案选B 3．（2025·辽宁抚顺·三模）设抛物线的顶点在直线上，则k的值为（ ） A． B．-4 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了把二次函数化成顶点式，一次函数的性质，把化成顶点式，得出顶点坐标，再根据顶点在直线上，即可得出，进而可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴顶点为， 又∵顶点在直线上， ∴， ∴， 故选D． 考点二 二次函数图象的对称性 1.若抛物线与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 2.对称点：若点 和点 在抛物线上，则两点关于对称轴对称，对称轴为直线 . 3.对称性点性质：若与是抛物线上的点，且关于对称轴x=n对称，则 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解． 【详解】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点， ∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称， ∵D（6，4）， ∴点C坐标为（0，4）， ∴抛物线对称轴为直线x=3， 由B（8，0）可得点A坐标为（-2，0）， ∴S△ABC=AB•OC=×10×4=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴交点的性质，根与系数的关系（韦达定理）以及两点间距离公式的应用和解一元二次方程． 先将点的坐标代入得到关于，的关系式，再利用根与系数的关系得到，然后将代入求出，的值，从而得出抛物线表达式，最后令得到一元二次方程，解方程便可得到抛物线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：将点代入抛物线，得：， 化简得：，即， 设抛物线与x轴交点，，则： ，， ， ，即， ， ， 将代入得：， 化简得：，解得， ， ， 令，得，整理得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 故选： D． 考点三 二次函数图象与x轴的交点问题 1.判别式决定抛物线与 x轴的交点个数 ：抛物线与x轴有两个不同的交点； ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：抛物线与x轴无交点。 2.与x轴交点坐标 当 时，交点横坐标为方程 的两个根 、，且满足韦达定理：，。 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，求出顶点的坐标是解题的关键． 先求出，则可得，对称轴为直线，那么，由为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，则，故，再将其代入，即可求解． 【详解】解：记对称轴与轴交于点E， 当时，，而 ∴或， ∴， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵为等腰直角三角形，只能为， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 利用根与系数的关系求出图象与x轴交点的个数，再求出函数图象与y轴的交点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点， 当时，， ∴函数图象与y轴交于点， ∴图象与坐标轴的交点个数是3． 故答案为：3 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、一元二次方程的根的判别式等知识．利用抛物线与轴的交点问题，得到方程有两个相等的实数解，则根据根的判别式的意义得到，求解即可获得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：25． 考点四 二次函数的最值问题 1.二次函数的增减性 当 时： 在对称轴左侧（），y 随 x 的增大而减小； 在对称轴右侧（），y 随 x 的增大而增大。 当 时： 在对称轴左侧（），y 随 x 的增大而增大； 在对称轴右侧（），y 随 x 的增大而减小。 2.最值 时，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标； 时，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标。 3.求最值方法 （1）配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 （2）顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 （3）区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 考点五 二次函数图象与系数的关系 1.二次函数与各项系数之间的关系 （1）二次项系数 开口方向：时，抛物线开口向上；时，开口向下； 开口大小： 越大，抛物线开口越小； 越小，开口越大； 最值： 时，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标； 时，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标。 （2）一次项系数 （与 共同决定对称轴） 对称轴公式：直线 ； 符号规律：“左同右异” 当 、 同号时，，对称轴在 y轴左侧； 当 、 异号时，，对称轴在 y轴右侧； 当 时，，对称轴为 y轴（直线 ）。 （3）常数项 抛物线与 y轴的交点坐标：令 ，得 ，交点为 ； 符号规律： 时，交点在y轴正半轴； 时，交点为原点； 时，交点在y轴负半轴。 （4）判别式 决定抛物线与 x轴的交点个数： ：抛物线与x轴有两个不同的交点； ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：抛物线与x轴无交点。 （5）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0； 若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0； 若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0。 （6）韦达定理：由图中情况决定。 2.二次函数图象的平移 遵循“上加下减，左加右减”的原则 二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的表达式． 设原抛物线为 （），平移后抛物线的形状不变（ 不变），仅顶点位置改变。 左右平移（针对自变量 ）： 向右平移 个单位（）：； 向左平移 个单位（）：。 上下平移（针对函数值 ）： 向上平移 个单位（）：； 向下平移 个单位（）：。 3.二次函数图象的对称与旋转 （1）对称变换： 设原抛物线为 （），对称后抛物线的 不变，开口方向可能改变。 关于x轴对称： 顶点关于x轴对称，开口方向相反，解析式为 或y= -a(x-h)²-k（顶点式）； 关于y轴对称： 顶点关于y轴对称，开口方向不变，解析式为 或y= a(x+h)²+k（顶点式）； 关于原点对称： 顶点关于原点对称，开口方向相反，解析式为 或y= -a(x+h)²-k（顶点式）； 关于顶点对称（旋转180°）： 顶点不变，开口方向相反，解析式为 （顶点式）。 （2）旋转变换： 绕顶点旋转180°：开口方向相反，顶点坐标不变，解析式为 ； 绕原点旋转180°：顶点关于原点对称，开口方向相反，解析式为 y= -a(x+h)²-k； 4.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根； 判别式 的作用： ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 5.二次函数与不等式的关系（以a>0为例） b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0的解集情况 x<x1或x>x2 取任意实数 ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 6.二次函数与一次函数的交点问题 联立二次函数与一次函数的解析式，组成方程组： 方程组的解即为两个函数图像的交点坐标； 消去 得到一元二次方程 ，其判别式决定交点个数： ：两个交点； ：一个交点； ：无交点。 1．（2025·辽宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴的两个交点分别为对于下列命题：①；②； ③④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴公式，根据图象确定参数的取值范围，根与系数的关系等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 利用对称轴公式，根据图象确定参数的取值范围，根与系数的关系等逐项进行判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 故①错误，不符合题意； ②根据抛物线开口向上得，对称轴位于轴的右侧得异号，即， 抛物线交轴于负半轴得， ∴， 故②错误，不符合题意； ③由根与系数的关系得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故③正确，符合题意； ④， ∵， ∴， 即， 故④错误，不符合题意； ∴正确选项有：③， 故选：A． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，二次函数图象向下，与轴交于正半轴，得到，由二次函数的对称轴为直线， ，可判断①，由二次函数图象经过点，可判断②，由，得到，代入，可判断③，求得由二次函数图象与轴的另一个交点为，可得到，根据关于的方程无实数根，可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵二次函数图象经过点，二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴可分解因式为， ∴，即， ∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：B． 3．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．有下列四个结论：①；②；③若点在抛物线上，当时，；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，数形结合是解题的关键． 首先求出，然后得到当时，，即可判断①；然后得到，求出，，代入即可判断②；根据增减性即可判断③；由得到，然后代入即可判断④． 【详解】解：∵，对称轴为直线 ∴ ∴由图象可得，当时，，故①正确； ∴ ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，，故③错误； 若， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的有3个． 故选：C． 命题点一 二次函数的图象与性质 ►题型01 二次函数与其他函数的图象共存问题 ‌关注系数符号‌和‌善用图形特征‌： 第一步：标系数，定范围‌ 在选项图像旁标出函数表达式，根据图像位置推断系数正负。 第二步：找矛盾，排选项‌ 对比系数范围，存在矛盾则排除。 第三步：抓特征，定答案‌ 结合对称轴、与坐标轴交点等关键特征验证。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 【典例】2．（2026·辽宁抚顺·一模）当时，与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 【变式】1．（2026·辽宁·模拟预测）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A不符合题意． B．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意． C．图象中一次函数和二次函数，对称轴得到，故C符合题意． D．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧得到，矛盾，故D不符合题意． 故选：C． 【变式】2．（2026·辽宁·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键． 【变式】3．（2026·辽宁·模拟预测）函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答． 【详解】根据可得：函数的对称轴为：， 当时， 二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴左侧， 一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限； 当时， 二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴右侧， 一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限； 根据上述结果：可知A、C、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等． ►题型02 二次函数的基础性质 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·一模）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案． 【详解】解：根据抛物线顶点式顶点坐标为得， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线顶点坐标，解题关键是记得顶点式及其顶点坐标． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．与轴交于点 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据求抛物线对称轴的公式即可求得． 【详解】解：抛物线中，，， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线对称轴的公式，熟练掌握和运用求抛物线对称轴的公式是解决本题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知抛物线开口向下，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ； 故选：B． ►题型03 比较二次函数的函数值大小 1.抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大； 2.抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小。 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）若点、在二次函数的图象上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，根据二次函数的增减性，，随的增大而减小解答． 【详解】解：二次函数， 图象开口向下，对称轴为轴，顶点为，有最大值5，当时，随的增大而减小， ∵点、在二次函数的图象上，且， ． 故选：C． 【典例】2．（2026·辽宁盘锦·三模）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为：， ∴对称轴为：， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大，从而得到因变量的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线，且开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大， ∵<<1， ∴，即． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知抛物线经过点，，，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，抛物线上的点离对称轴越近，则对应的函数值越小，反之越大，根据这一特点即可作出选择． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，开口向上， ， 点B离对称轴最近，其次是点C，点A离对称轴最远， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握当抛物线开口向上时，抛物线上的点离对称轴越近，则对应的函数值越小或越大，反之越大或越小，是解题的关键． ►题型04 二次函数的对称性 对称性点性质：若与是抛物线上的点，且关于对称轴x=n对称，则 反之，若与是抛物线上的点，且满足，则抛物线的对称轴为x=。 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，二次函数与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，则线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称性，熟练掌握知识点是解题的关键． 由轴可得关于对称轴对称，求出对称轴，即可求解． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线，， ∵轴， ∴， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点，在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据轴，和二次函数的性质，即可得到点D的横坐标，从而可以写出点D的坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，则， 即， ∵点，在二次函数的图象上， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵轴， ∴点D的横坐标为：， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】（-1，0） 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （-1，0）， 故答案为：（-1，0）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称． 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    【答案】4 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，中点坐标公式；由题意得点A的坐标，设，利用对称关系求得点C的坐标；利用抛物线的对称性即可求得结果． 【详解】解：，则，对称轴为直线； 由题意设，则； ∵轴， ∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称， ∴． 故答案为：4． ►题型05 二次函数图象与x轴交点问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）已知二次函数 与x轴相较于和，对称轴为则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，y 随 x 的增大而减小 C． D．方程 的两根是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的增减性，二次函数与x轴的交点问题，熟记二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解决问题是解此题的关键． 根据题意画出图象，结合图象逐项判断即可． 【详解】解：如图， A．由图可知，根据所给条件无法判断，故不正确； B．若，则当时，y 随 x 的增大而减小；若， 则当时，y 随 x 的增大而增大，故不正确； C．由图可知，根据所给条件无法判断，故不正确； D．方程 的两根是，正确． 故选D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点， 令，则， ， ， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴二次函数与轴的两个交点的横坐标为分别为 1 和5． ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：直线． 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，则的值是 . 【答案】4 【分析】将已知抛物线解析式转化为一般式；然后由对称轴方程求得该抛物线的对称轴是直线；最后由抛物线的轴对称性质求得答案． 【详解】解：由知：． 则其对称轴为直线． 所以，点和点关于直线对称． 所以，． 解得． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．此题也可以利用待定系数法确定函数解析式，然后利用抛物线解析式与一元二次方程的关键求解． 【变式】3．（2025·辽宁营口·二模）已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点．且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据二次函数的图象与轴没有公共点，可得一元二次方程没有实数根，根据根的判别式可得；由函数解析式得出抛物线对称轴及开口方向，再根据抛物线的增减性得出a的取值范围，取交集即可． 【详解】解：二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点， 一元二次方程没有实数根， ， 解得； 二次函数的图象的对称轴为：直线，开口向上， 当时，随的增大而增大， ， 实数的取值范围是， 故选A． 命题点二 二次函数的图象变换 ►题型01 二次函数图象的平移 遵循“上加下减，左加右减”的原则。 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】（﹣7，0） 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案． 【详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2， 故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）． 故答案为（-7，0）． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 求得抛物线的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得平移后的对应点为的最短路程为，即可判断②对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断③对． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①对； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点平移后的对应点为的最短路程为，故②对； ，当时，，随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故③对． 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再利用平移规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得解析式：， ∴新抛物线的表达式为， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，学会化简二次函数的解析式是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象和系数的关系，根据抛物线开口向上，可得，据此判断A；抛物线与轴的交点在轴的下方，据此判断B；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 故A不正确； ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， 故B不正确； ∵时，， ∴， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故D正确． 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“”形尺按图1摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： … … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：与的关系式是_______________； 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数（）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程； 方法1 方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点移到原点的位置，则：，，，所以点的坐标为________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 如图4，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为________； 将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 【应用】 （3）已知轴且，两个二次函数和（）的图象都经过，两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求的值． 【答案】（1）图见解析，；（2）方法1：，；方法2：，；（3）． 【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握描点法画二次函数图象，二次函数图象和性质，二次函数的平移，是解本题的关键． （1）用描点连线法画函数图象，代入即得； （2）方法一，点，代入即得；：方法二，点代入即得； （3）第一个二次函数：，可得，顶点距为8．根据两个二次函数图象的顶点的距离为10，第二个二次函数的图象，顶点在之上2，得，不合；故顶点在之下，到线段的距离18，得． 【详解】解：（1）以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，连线：用光滑的曲线顺次连接各点．绘制函数图象如下： 由题意得，点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 故答案为：； （2）方案1：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 故答案为：，； 方案2：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 故答案为：，； （3）对于第一个二次函数：， 由， 得， 即该二次函数图象的顶点距的距离为8． 由题，两个二次函数图象的顶点的距离为10， 则对于第二个二次函数的图象， 其顶点在之上到的距离为2， 此时， 不符合题意； 故其顶点在之下，距线段的距离为， 此时． 命题点三 二次函数的最值问题 ►题型01 二次函数的最值问题 配方法‌：把一般式y=ax²+bx+c配成y = a(x - h)² + k的形式，顶点(h, k)的k值就是最值。 顶点公式法‌：直接用公式x=–求横坐标，再代入原式求 y，或直接用y=算最值。 开口方向判断‌：a > 0开口向上，有‌最小值‌；a < 0开口向下，有‌最大值‌。 区间最值处理‌：如果自变量有范围，先算顶点值，再算区间端点值，最后比较大小。 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得值和函数关系式，再求得最小值即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值， ∵图象经过点，其对称轴在轴右侧， ∴， ∴且， ∴或（舍去）， ∴， ∴该二次函数有最小值， 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接利用抛物线的开口向上，把抛物线化为顶点式，再求解即可. 【详解】解：． 由题意，得，解得． 故选D． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 【答案】A 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8， ∴在﹣1≤x≤4的取值范围内，当x＝3时，有最小值﹣8， 当x＝﹣1时，有最大值为y＝16﹣8＝8． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是(   ) A．若，则二次函数y的最小值大于0 B．若，则二次函数y的最小值小于0 C．若，则二次函数y的最小值小于0 D．若，则二次函数y的最小值大于0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数最值的求法．将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，函数最小值为， 则当时，则二次函数的最小值小于0． 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴ 化简得 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时t无解； 当时，∵，y随m增大而减小， ∴ ，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：D． 命题点四 二次函数与方程及不等式 ►题型01 二次函数与一元二次方程 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根。 ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 【典例】1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中x与的值的特征，确定的解x的范围即可． 【详解】解：根据表格的： 当时，， 当时，， 则关于x的一元一次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于、两点， 方程的根为，， 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是 ． 【答案】x1＝0，x2＝﹣4 【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解． 【详解】解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2， 根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2． 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．　 故答案为：x1＝0，x2＝−4． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． ►题型02 二次函数与不等式 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为， 由图可知，当或时，抛物线位于x轴的下方，即， 故答案为：B． 【典例】2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数图象与坐标轴的交点求不等式的解集，根据函数图象得出对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点为，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点为 ∴关于x的不等式的解集为 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）二次函数（m是常数），当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，根据二次函数的性质分情况讨论，列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴图像开口向上，与x轴的交点坐标为和， 当时，，有，解得； 当时，若，有，则，解得． 故有． 故选：B． 【变式】4．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断．②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断．③将点分别代入、求得m、n、a、b的值，然后得到，再将其化成顶点式即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③将点代入得：，解得：， 将点代入得：，解得：， ∴函数为：， ∴时，函数有最大值；即③正确． ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 命题点五 二次函数图象与系数的关系 ►题型01 二次函数图象与系数的关系 【典例】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）二次函数图像如图，①；②；③；④；⑤方程：无解．正确项的序号（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①⑤ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向，对称轴的位置，与轴的交点位置，判断①；对称轴判断②；图象与轴的交点个数判断③；对称轴结合的符号判断④；图象法求方程的解，判断⑤． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于正半轴， ∴，故①正确； ∵， ∴；故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴；故④错误； 由图象可知，函数的最大值为3， ∴图象与直线没有交点， ∴方程：无解；故⑤正确； 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线过点，对称轴为直线， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， ∴， ∴，故结论②错误； ∵是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴当时，， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与轴交于，， ∴， 若方程的两个根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 【变式】1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②符合题意； ③对称轴为，当和时函数值相等，都小于0， ，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断．②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断．③将点分别代入、求得m、n、a、b的值，然后得到，再将其化成顶点式即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③将点代入得：，解得：， 将点代入得：，解得：， ∴函数为：， ∴时，函数有最大值；即③正确． ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 突破一 二次函数图象与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先将二次函数的关系式配成顶点式，然后得出顶点坐标，再根据顶点到x轴的距离可得取值范围，求出解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴是，顶点坐标是． ∵二次函数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， 解得． 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确； ②当时，，即抛物线与y轴交点坐标为，故②错误； ③ 把A点坐标代入抛物线解析式，整理得∶ 再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，则： ，整理得∶，即， ∵开口向上， ∴ ， ∴， 解得：， 而抛物线与轴负半轴相交， ∴， 解得：， ∴，故③正确； ④由抛物线的对称性，B点的坐标为， 当抛物线经过A点时，此时抛物线与线段有两个公共点， 当抛物线经过B点时， ∵其与线段恰有一个公共点， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， 即不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值大于，故⑤错误； 故答案为：①③④． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键． 根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可得，得到，再由得到，代入到得，，再根据直线与交点的横坐标为，列出关于的方程，即可求解m的值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∵直线与抛物线存在两个交点， ∴这两个交点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， 又∵， ∴， 代入到得，，解得， ∵直线与交点的横坐标为， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，可得和的函数值相等，再根据无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，可得函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且图象的点离对称轴的距离越近函数值越小， ∴和的函数值相等， ∵当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值， ∴函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值， ∴， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·二模）数学活动小组在函数学习中发现，研究不同函数的方法是一致的，因此，他们对一个分段函数开展了研究.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，经过点A的函数G的解析式为：. (1)试求出k，a的值； (2)点A关于原点的中心对称点为，判断点是否在函数G的图象上； (3)点，是函数G上的两点. ①若点M，N之间的函数图象有确定的最大值或最小值，求出m的取值范围； ②连接，若直线与线段没有交点，求出m的取值范围. 【答案】(1)，； (2)点在函数G的图象上； (3)①或；②m的取值范围为或或． 【分析】（1）将分别代入和，计算即可求解； （2）先根据中心对称的性质求得，再判断点是否在函数G的图象上即可； （3）①观察函数图象，有确定的最大值为2，得到；有确定的最小值为，得到，据此计算求解即可； ②分三种情况讨论，画出图象，数形结合，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵函数G经过点， ∴将代入，得， 将代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得函数G的解析式为：， ∵点关于原点的中心对称点为， 当时，， ∴在函数G的图象上； （3）解：①对于点，， 观察函数图象，有确定的最大值为2， 此时， 解得； 有确定的最小值为， 此时， 解得； 综上，m的取值范围为或； ②当点和点都在上时，此时，即， 观察图象，直线与线段始终有交点，不符合题意，舍去； 当点和点都在时，此时， 设直线的解析式为， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 当时，则， 解得或， 则或， 当时，则， 解得（舍去）或， 当点在上，点在时， 此时，即， 则点，， 临界点为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得（舍去）或（舍去）或， 结合图象得， 综上，m的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了分段函数的函数值求法及其图象画法，反比例函数图象和性质，二次函数图象和性质，方程思想的运用是解题的关键． 突破二 二次函数图象与性质的新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于直线的“镜面函数”的解析式； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求m的值； (3)已知抛物线关于直线的“镜面函数”图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)4或 (3) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及轴对称变换，理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键. （1）根据定义先得到函数关于直线对称的直线经过点，设直线上任意一点，则关于直线对称的点为，再由待定系数求解即可； （2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于的不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴函数关于直线对称的直线经过点， 设直线上任意一点，则关于直线对称的点为， 设函数关于直线对称的直线解析式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴函数关于直线对称的直线解析式为， ∴函数关于直线的“镜面函数”的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点为， ∴关于直线的对称点为， 所以关于直线对称的函数解析式为， ∴镜面函数为，   对于 ，当时, ， ∴函数 与y轴的交点坐标为, 当直线经过点 时，如图： 则，解得：； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，符合题意，如图： 则有：， 整理得 ， 此时， 解得， 综上，的值为或； （3）解：， ∴顶点为：， ∴关于轴的对称顶点为， ∴该抛物线的“镜面函数”为： 函数图象如图所示：    当 时，如图，点关于直线的对称点为 ，关于 的对称点为 若当 时，均满足， 则需满足 ， 解得： ∴t的取值范围为． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】(1)否 (2)①，；② 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键． （1）假设存在和谐点，则可得到，由于方程无解，则假设不成立，即不存在和谐点； （2）①先把代入二次函数解析式推出，再根据只有一个和谐点得到方程只有一个实数根，由此得到，据此求出a的值进而求出c的值即可； ②根据①可得解析式为，则二次函数的对称轴为直线，由对称性求出当时，，再由当时，函数的最小值为，最大值为3，即可得到． 【详解】（1）解： 若函数的图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解， ∴：函数的图象上不存在和谐点， 故答案为：否； （2）解：①把代入中得， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ②由①函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， ∵当时，函数的最小值为，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， ∴． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②或3 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键． （1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； （2）①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 【变式】2．（2025·辽宁锦州·一模）已知是自变量的函数，当时，记函数的最大值为，最小值为，若存在实数，使得函数满足：，且，则称当时函数具有性质． (1)当时，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)当时，请直接写出一个具有性质的一次函数表达式； (3)当时，若有且只有一个实数，使得函数具有性质，求实数与的值． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)（答案不唯一） (3)或 【分析】本题主要考查了新定义下的函数，反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质等知识，掌握的定义以及性质是解题的关键． （1）根据的定义以及性质判断即可． （2）根据的定义写出合适的一次函数表达式即可． （3）分两种情况：①当时和②当时，分别的定义和性质列出不等式组，求解并判断即可． 【详解】（1）解：由已知得：，，． 此时，． 对于， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值， ∴，且成立， ∴具有性质． （2）解：例如：（答案不唯一） 当时，即，，． 此时，． 对于， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值， ∴，且成立， ∴当时，具有性质． （3）解：当时，，， ∴，， ①当时，函数的图象的对称轴在y轴的左侧， ∴当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴ ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质． ∴， ∴ 该种情况不存在． ②当时，函数的图象的对称轴在y轴的右侧， 分以下三种情况∶ (I)当，即， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴， 有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴，（舍） ∴． (II)当时，即时 当时，y取最大值． 当时，y取最小值． ∴ ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴． ∴． (III)当时，即时， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴， ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴ ∴该种情况不存在． 综上：，，或，． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称，则称该函数为“函数” (1)下列函数：①；②；③．其中是“函数”的是________（填序号）． (2)若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于，两点（点在点的左侧），函数图象的顶点为点，当时，求，的值． (3)若关于的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求的值． 【答案】(1)③ (2)； (3)或 【分析】（1）根据新定义判断即可． （2）根据对称轴，结合抛物线的顶点坐标，等边三角形的性质，确定点，代入解析式解答即可． （3）根据函数是“函数”，且过点，得出对称轴是直线，且，求出函数解析式， 得到对称轴是中线，且，确定函数解析式为，结合，分类讨论最大值和最小值，解答即可． 【详解】（1）解：是一次函数，随的增大而增大，故不存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称； 是反比例函数，分别在第一、三象限内，随的增大而减小，故不存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称； 是二次函数，关于直线对称，故是“函数”， 故答案为：③． （2）解： 函数是“函数”， ∴函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（轴）对称， ∴结合二次函数的对称性可知，其图象关于直线对称， ， 该函数的解析式为， ． 函数的图象与直线相交于，两点，如图，设直线与轴交于点． 设，． 该函数图象关于直线对称， ，， ， 是等边三角形， 点到的距离为， ，即． ， ． ， 解得，（舍去）． ； （3）解：函数是“函数”，且过点， 对称轴是直线，且， 解得，， 函数解析式为， 当时，， 当时，． 抛物线开口向下， 距离对称轴越远的点的函数值越小，且当时，函数取得最大值，最大值为5， ， ①当时，即，在对称轴的右边， ，， 根据题意，得， 解得； ②当时，在对称轴的左侧， ，， 根据题意，得， 解得； 取和关于对称轴的中点，，， ③当时，，， ∴， 解得（舍去）． ④当时，，， ， 解得（舍去）． 综上所述，或函数的最大值与最小值的差为2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角函数、解一元二次方程等，分类求解是解题的关键． 1．二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．联立函数和一次函数，再利用判别式即可判断A 选项；根据二次函数系数与图象得关系，即可判断B选项；将二次函数化为顶点式，即可判断C选项；求出时的函数值，即可判断D选项． 【详解】解：A、联立，整理得：， ， 二次函数的图象与直线有两个交点，选项正确； B、， 二次函数的图象开口方向向下，选项错误； C、， 对称轴是直线，选项错误； D、当时，， 即点不在函数图象上，选项错误； 故选：A 3．（2025·辽宁朝阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解： 故答案为：． 6．（2025·辽宁·模拟预测）抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知抛物线的顶点坐标为，进而可得该抛物线关于x轴对称的顶点坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线可知顶点坐标为， ∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质及轴对称，熟练掌握二次函数的性质及轴对称是解题的关键． 7．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 8．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据图象的性质，结合不等式的条件，写出解集即可． 本题考查了一次函数与抛物线的图象关系，熟练掌握运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得不等式的解集为． 故答案为：． 9．定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 10．直线与抛物线在第四象限内恰有一个交点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解题的关键是联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程，然后根据列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 整理得：， ∵只有一个交点， ∴， 解得，， 交点在第四象限内， 故选：C． 11．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 12．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 且当时，与其对应的函数值．则下列结论中，正确的是（    ） ①；②和3是关于x的方程的两个根；③． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】由表知，当x=0和1时，函数值均为2，从而可得关于a、b、c的方程组，可得a与b的关系及c的值，再当时，与其对应的函数值，可得关系a的不等式，可判断a的符号且可得a的取值范围，从而可判断b的符号，因而可对①作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-2和x=3时，其函数值相等，从而可对②作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-1和x=2时，其函数值相等，即n=m，再根据n的值及a的取值范围，即可对③作出判断． 【详解】由表得： ，即 ∴ 当时，与其对应的函数值 即 ∴ ∴b>0 ∴abc<0 故①正确 ∵ 即抛物线的对称轴为直线 ∵ ∴根据抛物线的对称性，当x=-2和x=3时，其函数值相等且为t 表明方程的两个根分别为x=-2和x=3 故②正确 ∵ ∴根据抛物线的对称性，当x=-1和x=2时，其函数值相等，即n=m 当x=-1时，n=a+a+2=2a+2 ∴n+m=2n=4a+4 ∵ ∴n+m 故③正确 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，难点是②和③的判断，关键是抛物线的对称性及a的取值范围． 13．根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)①见解析；②，；③或 (2)①见解析；②，；③ (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数与不等式（组），数形结合是数学中的重要思想之一． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的开口方向以及抛物线的对称轴作出图象，根据图象写出不等式的解集； （2）参考（1）的解题过程进行计算； （3）参考（1）的解题过程进行计算，但是需要分类讨论：、、三种情况． 【详解】（1）解：①， 则该抛物线与x轴交点的坐标分别是，，且抛物线开口方向向下， 所以其大致图象如图①所示： ②由①知，方程的解为，； ③根据图示知，不等式的解集为或． 故答案为：，；或； （2）解：①构造函数，画出图象，如图②所示； ②当时，方程的解为：，； ③由图（2）知，不等式的解集是：； （3）解：当时，关于x的不等式的解集是或； 当时，关于x的不等式的解集是； 当时，关于x的不等式的解集是全体实数． 14．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)m的值为； (3)． 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点代入求得c的值即可； （2）先求出点平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值； （3）根据二次函数的开口方向，对称轴分、、三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为求n的范围即可． 【详解】（1）解：已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线， ， ， 将点A的坐标代入得： ， ， 该二次函数的表达式为； （2）解：根据题意，点平移后的点的坐标为， 点平移后恰好落在抛物线上， ， 解得：舍去或， 即m的值为； （3）解：抛物线开口向下且对称轴为直线， 当时，分三种情况求最值： ①当时， 当时，， 当时，函数取得最小值， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， 时，函数取得最小值， ， 不合题意，舍去； ③当时， 时，， 时，函数取得最小值， 该二次函数的最大值与最小值的差为， ， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 【答案】0或1/1或0 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 16．如图，一条抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动，点，的坐标分别为，，当点的横坐标的最大值为时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为． 根据题意可知当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】解：当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为时，即， 则此时抛物线的解析式为． 把点的坐标代入得， 解得， ∴此时抛物线的解析式为， 令，则或， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可． 【详解】解：∵， 解得或， ∵点，在抛物线上，且， ∴是方程的两个根， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系，根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由图可知，即可判断①；易得向上平移个到位长度得到，则的对称轴也为直线，根据，得出，则离对称轴的距离大于离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得到，根据对称轴得到，则，进而得出，把代入得出，用待定系数法求出直线的函数解析式为，即可判断③；由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，求出，结合，即可判断④． 【详解】解：由图可知， ∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①不正确，不符合题意； ∵向上平移个到位长度得到， ∴的对称轴也为直线， ∵， ∴， ∵， ∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离， ∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∴，故②不正确，不符合题意； 作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P， 把代入得：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则， ∴，整理得：， ∴，则， 把代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴，故③正确，符合题意；    方程整理为， ∵， 由图可知，当时，抛物线与直线没有交点， 则原方程无实数根， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有③，共1个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键． 19．已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数解不等式，将原函数分左右两端，根据二次函数的性质解答即可，熟练利用二次函数解不等式是解题的关键． 【详解】解：左段函数为， 该函数开口向下，对称轴为直线， 要使该函数的图像显示随着的增大而增大， 则， 右段函数为， 该函数开口向上，对称轴为直线， 要使该函数的图像显示随着的增大而增大， 则，解得， 当时，左段函数值要小于等于右段函数， 即， 整理可得， 令， 解得，， 根据二次函数的图象可得的解集为或（舍去）， 综上，， 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)函数的“最优纵横值”为_____； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)抛物线图象的顶点在直线上． ①当，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． ②抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n且，直接写出的取值范围．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键． （1）计算得 利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论； （2）根据对称轴求得则 所以 ，由最优纵横值为，即可得出 解得 （3）①由题意可知则，由当 时，二次函数的最优纵横值为，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可 ②根据题意得出，，然后建立不等式，利用二次函数的性质确定，再由①中即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 时，的最大值是， 故答案为：； （2）解：∵二次函数 的顶点在直线上， ， ， ， ， ∵最优纵横值为， ， ； （3）①解：当时，二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ∵当 时，二次函数的最优纵横值为， 当 即时，则时，有最大值为， 解得或 (舍去)， 当 即时，则时，有最大值为， ， 解得或 (舍去)， 故的值为或； ②∵抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 5．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 7．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 8．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 10．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 11．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 13．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 14．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 15．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 16．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 47 / 108 学科网（北京）股份有限公司 $