专题07菱形（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题07菱形 【题型01 求平行线间的距离】......................................4 【题型02 利用平行线间距离解决问题】..............................5 【题型03 利用菱形的性质求角度】..................................5 【题型04 利用菱形的性质求线段长】................................6 【题型05 利用菱形的性质求面积】..................................7 【题型06 利用菱形的性质证明】....................................7 【题型07 证明四边形是菱形】......................................8 【题型08 添一条件使四边形是菱形】................................9 【题型09 由菱形的性质与判定求角度】..............................9 【题型10 由菱形的性质与判定求线段长】...........................11 【题型11 由菱形的性质与判定求面积】.............................12 【题型12 解答题6题】...........................................12 ✬知识梳理✮ 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 定义双重性：既是判定（一组邻边相等的平行四边形是菱形），也是性质（菱形必有一组邻边相等）。 本质：特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质，且有专属特殊性质。 知识点02:菱形的性质（含平行四边形共性 + 菱形特性） （一）边的性质 对边平行且相等（平行四边形共性）。 四条边都相等（菱形核心特性）。 几何语言：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA。 周长公式：C菱形=4×边长。 （二）角的性质 对角相等，邻角互补（平行四边形共性）。 无特殊角性质（区别于矩形）。 （三）对角线的性质 互相平分（平行四边形共性）。 互相垂直（菱形核心特性）。 每一条对角线平分一组对角（菱形特性）。 几何语言：在菱形ABCD中，AC⊥BD；AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC。 结论：对角线将菱形分成4 个全等的直角三角形。 . （四）对称性 中心对称图形：对称中心为对角线交点。 轴对称图形：有2 条对称轴，为对角线所在直线。 （五）面积公式 底 × 高（同平行四边形）：S=a×h（a为边长，h为该边上的高）。 对角线乘积的一半（菱形专属）：S=×d1×d2（d1、d2为两条对角线长）。 推广：对角线互相垂直的任意四边形，面积均为对角线乘积的一半。 知识点03:菱形的判定定理 （一）定义判定（基础） 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形。 （二）定理 1（边的判定） 四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形。 （三）定理 2（对角线判定） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形。 推论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形（垂直平分 = 平行 + 垂直）。 知识点04:常见考点与易错点 1.判定误区： 对角线垂直的四边形不一定是菱形（需先是平行四边形）。 四边相等的四边形必是菱形，无需先证平行四边形。 2.计算核心： 利用对角线垂直，结合勾股定理求边长、对角线长或面积。 利用对角线平分角，结合角度关系求角的度数。 3.证明思路： 证菱形：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直；或直接证四边相等。 用菱形性质：优先用四边相等、对角线垂直、平分对角推导线段 / 角度关系。 【题型1.求平行线间的举例】 【典例】点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【跟踪专练1】如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是 ． 【跟踪专练2】如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 【跟踪专练3】如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型2.利用平行线间的距离解决问题】 【典例】如图，，，为直线上的任意两点，若，则 ． 【跟踪专练1】如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型3.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，则 ．    【跟踪专练1】如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且是等边三角形．若，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图的方格纸中有一个四边形（A、B、C、D均为格点），每个小正方形边长为1，则下列说法错误的是（   ） A．四边形是菱形 B． C．四边形的面积是12 D． 【题型4.利用菱形的性质求线段长】 【典例】已知在菱形中，，则菱形的周长为 ． 【跟踪专练1】菱形的两条对角线的长分别为10和24，则菱形的周长为（    ） A．13 B．20 C．52 D．120 【跟踪专练2】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为 ． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 【题型5.利用菱形的性质求面积】 【典例】菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为 ． 【跟踪专练1】在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 ． 【跟踪专练3】如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（   ） A．12 B．6 C．2.4 D． 【题型6.利用菱形的性质证明】 【典例】菱形具有 的一切性质． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线互相垂直 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型7.证明四边形是菱形】 【典例】如图，在四边形中，，当 时，四边形是菱形． 【跟踪专练1】如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【跟踪专练2】在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有 ．（写出符合题意的全部序号） 【跟踪专练3】如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8.添一条件使四边形是菱形】 【典例】如图，要使是菱形，需添加的条件是 ． 【跟踪专练1】在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【题型9.由菱形的性质与判定求角度】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 【跟踪专练3】在下列方案中，能够得到是的平分线的是（  ） 方案Ⅰ： 取，以A，B为顶点作平行四边形，连接． 方案Ⅱ： 取，以A，B为顶点作矩形，连接，交于点C，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【题型10.由菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【跟踪专练1】如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，有一张矩形纸片，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，．观察所得线段，若，则 ． 【题型11.由菱形的性质与判定求面积】 【典例】一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是 ． 【跟踪专练2】如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【跟踪专练3】如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．为衣架的墙体固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是平行四边形，且，点B在上滑动时，衣架外延钢体发生角度改变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．当伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为． 如图3，当点B向点A移动时，外延长度为，则与的之间距离为 ． 解答题 1．如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． 2．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    3．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 4．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)过点作交的延长线于点，连接．若，，求的长． 5．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． 6．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形 【题型01 求平行线间的距离】......................................3 【题型02 利用平行线间距离解决问题】..............................6 【题型03 利用菱形的性质求角度】..................................9 【题型04 利用菱形的性质求线段长】...............................11 【题型05 利用菱形的性质求面积】.................................14 【题型06 利用菱形的性质证明】...................................16 【题型07 证明四边形是菱形】.....................................18 【题型08 添一条件使四边形是菱形】...............................22 【题型09 由菱形的性质与判定求角度】.............................24 【题型10 由菱形的性质与判定求线段长】...........................27 【题型11 由菱形的性质与判定求面积】.............................31 【题型12 解答题6题】...........................................35 ✬知识梳理✮ 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 定义双重性：既是判定（一组邻边相等的平行四边形是菱形），也是性质（菱形必有一组邻边相等）。 本质：特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质，且有专属特殊性质。 知识点02:菱形的性质（含平行四边形共性 + 菱形特性） （一）边的性质 对边平行且相等（平行四边形共性）。 四条边都相等（菱形核心特性）。 几何语言：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA。 周长公式：C菱形=4×边长。 （二）角的性质 对角相等，邻角互补（平行四边形共性）。 无特殊角性质（区别于矩形）。 （三）对角线的性质 互相平分（平行四边形共性）。 互相垂直（菱形核心特性）。 每一条对角线平分一组对角（菱形特性）。 几何语言：在菱形ABCD中，AC⊥BD；AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC。 结论：对角线将菱形分成4 个全等的直角三角形。 . （四）对称性 中心对称图形：对称中心为对角线交点。 轴对称图形：有2 条对称轴，为对角线所在直线。 （五）面积公式 底 × 高（同平行四边形）：S=a×h（a为边长，h为该边上的高）。 对角线乘积的一半（菱形专属）：S=×d1×d2（d1、d2为两条对角线长）。 推广：对角线互相垂直的任意四边形，面积均为对角线乘积的一半。 知识点03:菱形的判定定理 （一）定义判定（基础） 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形。 （二）定理 1（边的判定） 四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形。 （三）定理 2（对角线判定） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：在平行四边形ABCD中，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形。 推论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形（垂直平分 = 平行 + 垂直）。 知识点04:常见考点与易错点 1.判定误区： 对角线垂直的四边形不一定是菱形（需先是平行四边形）。 四边相等的四边形必是菱形，无需先证平行四边形。 2.计算核心： 利用对角线垂直，结合勾股定理求边长、对角线长或面积。 利用对角线平分角，结合角度关系求角的度数。 3.证明思路： 证菱形：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直；或直接证四边相等。 用菱形性质：优先用四边相等、对角线垂直、平分对角推导线段 / 角度关系。 【题型1.求平行线间的举例】 【典例】点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 【跟踪专练1】如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 【跟踪专练2】如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键．根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段和的长， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 【题型2.利用平行线间的距离解决问题】 【典例】如图，，，为直线上的任意两点，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，根据平行线间的距离相等可以得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴与之间的距离相等， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 【答案】 8 4 【分析】本题考查三角形中线的性质以及平行线之间三角形面积的等量关系，掌握相关知识点是解题的关键． 由点E 是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 【跟踪专练3】如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，同理可得，设之间的距离为，然后将面积比化为底之比求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由，设之间的距离为， 则， ∴ ∴， 故选：D． 【题型3.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，则 ．    【答案】/40度 【分析】根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合平行线的性质可求得答案 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 【跟踪专练1】如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质． 根据菱形的性质可得，利用等腰三角形的性质求得，最后通过平行的性质可得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且是等边三角形．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键． 由菱形的性质和等边三角形的性质得到，，，设，则，，根据列方程求解即可得到的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形，是等边三角形， ，． 又， ，， ． ∵四边形是菱形， ，， ． 设，则，． ， ， ，即． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图的方格纸中有一个四边形（A、B、C、D均为格点），每个小正方形边长为1，则下列说法错误的是（   ） A．四边形是菱形 B． C．四边形的面积是12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，由勾股定理和网格的特点可知，据此可判断A、B；再由，根据菱形面积计算公式可判断C；由于，则不是等边三角形，据此可判断D． 【详解】解；由勾股定理和网格的特点可知，故B说法正确，不符合题意； ∴四边形是菱形，故A说法正确，不符合题意； ∵， ∴，故C说法正确，不符合题意； ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 【题型4.利用菱形的性质求线段长】 【典例】已知在菱形中，，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 【跟踪专练1】菱形的两条对角线的长分别为10和24，则菱形的周长为（    ） A．13 B．20 C．52 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．设菱形的两条对角线交于点，不妨设，先根据菱形的性质可得，，再根据勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：设菱形的两条对角线交于点， ∵菱形的两条对角线的长分别为10和24， ∴不妨设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【题型5.利用菱形的性质求面积】 【典例】菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键． 菱形的面积等于对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为． 故答案为：24． 【跟踪专练1】在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，关键是对角线互相垂直且平分，面积等于对角线乘积的一半．利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，在中应用勾股定理求出，进而得到，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（   ） A．12 B．6 C．2.4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，非负数的性质，利用非负数的性质求出和的值，再根据菱形的面积公式计算即可得出结果，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， ∵菱形的两条对角线的长为a和b， ∴菱形的面积等于， 故选：B． 【题型6.利用菱形的性质证明】 【典例】菱形具有 的一切性质． 【答案】平行四边形 【解析】略 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，根据平行四边形、菱形的判定与性质，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故该选项错误； B、菱形的对角线互相垂直平分，并不相等，故该选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故该选项正确； D、普通平行四边形的对角线仅互相平分，不互相垂直，故该选项错误； 故选：C 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键．根据菱形面积的计算公式求得，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积等于底×高，计算出菱形的高即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为12， ∴， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， ∴． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， ∵两张纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 而由四边形是菱形不能得出， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【题型7.证明四边形是菱形】 【典例】如图，在四边形中，，当 时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的判定，根据四边形相等的四边形是菱形即可求解． 【详解】解：当时，四边形是菱形， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 【跟踪专练2】在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有 ．（写出符合题意的全部序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，还涉及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理分析即可． 【详解】解：如图， ①∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； ②∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ③∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ④∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； 故答案为：②③． 【跟踪专练3】如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 【题型8.添一条件使四边形是菱形】 【典例】如图，要使是菱形，需添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 【跟踪专练1】在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 【跟踪专练2】如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 【跟踪专练3】如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 当平分时，四边形是菱形，可先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形是菱形， 故选：C． 【题型9.由菱形的性质与判定求角度】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 【跟踪专练1】如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 【跟踪专练3】在下列方案中，能够得到是的平分线的是（  ） 方案Ⅰ： 取，以A，B为顶点作平行四边形，连接． 方案Ⅱ： 取，以A，B为顶点作矩形，连接，交于点C，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质，解题的关键是正确推理． 根据菱形的性质与判定和矩形的性质证明即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， （菱形的性质）， 是的平分线； 方案Ⅱ： 矩形， （矩形的性质）， ，， ， ， 是的平分线； 综上所述，方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：B． 【题型10.由菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， 过点A作于点E，作于点F， ∴， ∴，, ∴平行四边是菱形， ∴重合部分四边形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解决此题的关键是掌握对菱形的性质和判定． 【跟踪专练1】如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，过点作于，于，由题意得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 【跟踪专练3】如图，有一张矩形纸片，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，．观察所得线段，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，垂直平分线等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．设与交于点，连接，先根据折叠的性质可得，垂直平分，，，再证出四边形是菱形，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解得，再在中，把数值代入，进行计算即可作答．． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵对折矩形，使与重合， ∴垂直平分，，， ∵折叠 ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， 设 在中， 即 解得 ∴ 故答案为：． 【题型11.由菱形的性质与判定求面积】 【典例】一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质求出OA，OB的长，进而利用勾股定理的逆定理得到AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，利用菱形面积公式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形ABCD中，，AB=3， ∴， ∵， ∴△AOB为直角三角形，即∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理，正确得到AC⊥BD，进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 【跟踪专练1】有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理．先证明四边形是菱形，菱形的性质结合勾股定理求得，再利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片和， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张相同大小的矩形纸片和， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半， ∵，， ∴， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为， 故选：C． 【跟踪专练3】如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．为衣架的墙体固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是平行四边形，且，点B在上滑动时，衣架外延钢体发生角度改变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．当伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为． 如图3，当点B向点A移动时，外延长度为，则与的之间距离为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，设，利用的长度不变，结合勾股定理求出，从而得到，当外延长度为时，如图，连接、交于点，过点作于点，证明出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，， 设， ， ， 当时，，此时， ， ， 解得：， ， 当外延长度为时，如图，连接、交于点，过点作于点，则， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ， ， ， ，即与的之间距离为， 故答案为：． 解答题 1．如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可得证； （2）根据菱形的周长为40求出，由平行线与间的距离为6求出，然后根据矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点为中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：∵若菱形的周长为40， ∴， 又∵平行线与间的距离为6，且， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线间距离处处相等，三角形面积等知识．过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．根据平行线间距离处处相等得到．根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．    ∵， ∴． ∵， ∴． 3．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质以及平行线的性质．通过作图条件得到边的关系从而判定菱形，再利用菱形性质和平行线性质求解角度是解题的关键． （1）根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，通过作图条件得出四条边相等来证明； （2）利用菱形的性质，先得出，再根据平行线的性质求出． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， 4．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)过点作交的延长线于点，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理知识点，掌握菱形的判定方法和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键． （1）先利用平行线和角平分线的性质得到角相等，推出，再结合和证明平行四边形，最后由邻边相等证菱形； （2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到 的长度． 【详解】（1）证明：， ． 平分， ， ， ． 又， ． ， 四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ，，． ， ． ， ． 在中，，， ， ． 5．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵， ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24； （3）∵，，， ∴， 设平行线与间的距离为， 则， 解得． 故答案为；． 6．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．（1）根据题意选择条件即可； （2）根据为边上的中线，得到，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（答案不唯一）①． （2）证明：为边上的中线， ． 在中，，， ，， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $