第2章 03-第8节 一元二次方程及其应用（精讲册）-【众相原创·减负中考】2026年中考数学配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系及实际应用五大核心考点，严格对接中考说明，分析根的判别式“10年4考”等考点权重，归纳直接开平方法、因式分解法等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点精讲+即时练+方法总结”模式，如通过2024年实际应用题示范“每每问题”模型构建，结合解法优先顺序培养运算能力和模型意识。特别设计易错点提醒（如约去公因式漏解），帮助学生掌握答题技巧，教师可依此制定高效复习计划，助力中考冲刺。

河北 数 学 基础精讲册 1 第一部分 立足教材过基础 第二章 方程（组）与不等式（组） 第8节 一元二次方程及其应用 2 考点1 一元二次方程的相关概念及一般形式 概念 只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是2 的整式方程 举例： ____一元二次方程； ______一元二次方 程（填“是”或“不是”） 一般 形式 举例：方程 的二次项系数是 ③___，一次项系数是④____，常数项是⑤____ 【特别提醒】若题目中有“一元二次方程”，则必然隐含着 这一条件.若未说明方程类型，则需分时是一元一次方程和 时是一 元二次方程两种情况讨论 是 不是 3 3 考点即时练 1.已知关于的方程 . （1）若该方程是一元二次方程，则 的取值范围是______； （2）若该方程是一元一次方程，则 的值是____； （3）若 ，则该方程的二次项是___，二次项系数是___，一次项是 _____，一次项系数是____，常数项是___. 1 2 4 考点2 一元二次方程的解法（多在实际应用或二次函数中考查） 例1 求下列方程的解： （1）方程 的根为______________； ， （2）用配方法解方程： . 解：二次项系数化为1，得___________. 移项，得_________. 配方，得_____________，即（_____） ___， 解得_____________________. 7 ， 5 （3）用公式法解方程： . 解：将方程化为一般形式，得____________， 原方程中，___，___， _____， ___________________， 由求根公式，得 _ _____________， 即方程的解为____________. 1 4 ， 6 （4）用因式分解法解方程： . 解：移项，得， 分解因式，得 ， 于是得或， 解得， . 7 【方法总结】 基本思想：降次，即将二次方程化为一次方程. （1）直接开平方法：形如的根为 _______； （2）配方法：适用于二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的方程； （3）公式法：适用于所有一元二次方程，应先将方程化为一般形式 ，方程的解为 _ ___________； 8 （4）因式分解法：先将等号右边的式子全部移到左边，再分解因式.方程 的根为___， ___. （5）解法选择（优先顺序） 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法. 【特别提醒】用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边有含相同未知 数的因式，勿直接约去公因式，避免漏解 9 考点即时练 2.请用合适的方法解下列方程： （1） ； 解:利用公式法：这里，， . ， ，即， . （2） ； 解：利用因式分解法： ， ， . 10 （3） ； 解：利用配方法：等号两边都加上1，得 ， ， ， ， . （4） . 解：利用直接开平方法： ， ， . 11 3.习题课上，数学老师展示了一道习题及两位同学错误的解答过程： 解方程： . 甲同学： 解：方程两边同时除以 ， 得 .………………………第一步 去括号，得 .………………第二步 移项、合并同类项，得 .………第三步 乙同学： 解：移项，得 .…第一步 分解因式，得 .……第二步 则或 ，……………第三步 解得， .…………………第四步 12 （1）分别写出甲同学、乙同学的解答过程中是从第几步开始出现错误的； 解：甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的， 乙同学的解答过程是从第二步开始出现错误的. （2）请你写出正确的解答过程. 解：移项，得 . 分解因式，得 . 则或 ， 解得， . 13 考点3 一元二次方程根的判别式（10年4考） 根的判别式与方程 的根的关系： （1） 方程有两个⑩________的实数根； （2） 方程有两个⑪______的实数根； （3） 方程⑫______实数根. 不相等 相等 没有 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母， 那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. 14 考点即时练 4.（冀教九上P42B组T1改编）已知关于的方程 . （1）若该方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_ ___________； （2）若该方程有两个相等的实数根，则 的值是_ __； （3）若该方程没有实数根，则 的取值范围是_ _____； （4）若该方程有两个实数根，则 的取值范围是_ ___________； （5）若该方程有实数根，则 的取值范围是_ ____； （6）若 ，则该方程的根的情况是______________________. 且 且 有两个不相等的实数根 15 考点4 一元二次方程根与系数的关系（2025.6、24） 如果一元二次方程的两根分别是，，那么 ⑬_ ___， ⑭___. 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：（1） ⑮___0； （2） ⑯___0. 16 考点即时练 5.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为， . （1）若 ，则： ___，___；___； ___； ___； ____. 1 3 7 3 5 （2）若，则 的值为_ ___. 17 考点5 一元二次方程的实际应用（2024.9,2020.23） 例2 根据下列实际问题列方程： （1）[变化率问题]某店月销售额从一月份的2.5万元增长到三月份的3.6万 元.设这两个月的月平均增长率为 ，则_____________; 变式——“增长”变“下降”某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价， 每部售价由3200元降到了1568元.设平均每月降价的百分率为 ，则 ________________; （2）[病毒传播问题]有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患 了流感.设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则_______________; 18 （4）［互赠礼物问题］联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有人，则_ _______________⁠； （3）[单循环赛问题]某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队 之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共有 支队伍参加比赛， 则_ _________; x(x－1)＝870　 19 （5）［每每问题］一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗.园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元.若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了棵树苗，则__________________________⁠. x[120－0.5(x－60)]＝8800　 20 【技巧点拨】 常见数量关系： （1）变化率问题：变化率 . 设为原来的量，为变化后的量.若平均增长率为，增长次数为2，则 ⑰________；若平均下降率为，下降次数为2，则 ⑱________. （2）病毒传播问题：若初始数据为，每次传播 个，则第一轮后共有 个，第二轮后共有⑲________个. （3）握手、单循环赛问题：若共有 人，则握手（单循环赛）总次数为 ⑳_ ______. 21 (4)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为㉑__________. (5)每每问题：单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为㉒______件. ∙b　 n(n－1)　 22 考点即时练 6.某校园内有一块长为，宽为 的矩形场地，计划在这个场地上修 建等宽的道路，剩余部分种上草坪. （1）如图1，测得草坪的面积是 ，求道路的宽度； 图1 解：设道路的宽度为 ，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形， 根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：道路的宽度为 . 23 （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重 新规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横、竖道路各与矩形的一条边平 行），如图2所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使种植园 的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 图2 解：设道路的宽度应设计为 ，则剩余部分可合成 长为，宽为 的矩形， 根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：道路的宽度应设计为 . 24 25 $