专题04 菱形的性质与判定（8大题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题04 菱形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用菱形的性质求解 1 题型二、利用菱形的性质求解折叠问题 4 题型三、利用菱形的性质求解动点问题 9 题型四、利用菱形的性质证明与求解综合 13 题型五、利用菱形的判定与性质求解 19 题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题 23 题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题 30 题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 35 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用菱形的性质求解 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/73度 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/24度 【分析】利用菱形性质得出，可知为斜边中线，结合等腰三角形的性质求出，利用外角即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是 故答案为：24． 4．（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，由菱形的性质可得，，，即得，四边形是矩形，连接，可知，可得当时，取最小值，此时的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ∴，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， 连接，则， 当时，取最小值，此时的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型二、利用菱形的性质求解折叠问题 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当 时，P、、D三点共线． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点．当P，，D三点共线时，分两种情况：①当D在线段上时，连接；②当D在延长线上时，连接，，由翻折的性质易证得，则，设，由菱形的性质及易求得菱形内各个角的度数，然后，根据用x表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下的度数． 【详解】解：当P，，D三点共线时，分两种情况： ①当D在线段上时， 如图，连接， ∵沿翻折至， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， 又∵， 而， ∴， ∴； ②当D在延长线上时， 如图，连接，， 同上，设， ∵， ∴， 又∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当或时，P、、D三点共线， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ． 【答案】6或7 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 分落在上和落在上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当落在上时，如图， ∵菱形中，，边长为8， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当落在上时，如图： 作交的延长线于点，作于点， ∵菱形， ∴， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴； 综上：或； 故答案为：6或7． 题型三、利用菱形的性质求解动点问题 9．（2025·青海西宁·一模）如图，在菱形中，，边长，点是边的中点，点是边上一动点，点是对角线上一动点，连接，求最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，作点关于对称点，连接，可得，可知当时，取最小值，过点作于，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于对称点，连接，则， ∴， 当时，取最小值， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴， 即最小值为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，，为边边上的一个动点，为上的一个动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接，根据菱形的性质可得，的最小值为，过点作于点，交于点，当在上时，最小，最小值为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴的最小值为 过点作于点，交于点， ∴当在上时，最小，最小值为， 在中，，， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是 cm．    【答案】5 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，首先证明是等边三角形，构建垂线段最短可知，当时，最短，即最短． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵时，线最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．    【答案】3 【分析】连接，取的中点，连接，得到是等边三角形，进而判断当面积最小时，，根据为上的动点，当重合时，最小，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，   四边形是菱形，， ， 是等边三角形 ， 为等边三角形， 点是上靠近点的四等分点， 的面积最小时，的面积也最小 当最小时，的面积最小   当时，最小 是等边三角形， 点是上的动点， 当点与点重合时，最小 的最小值为 故答案为： 题型四、利用菱形的性质证明与求解综合 13．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处． (1)求证：； (2)若，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． （1）由折叠的性质可得，由菱形的性质可得，推出，易证是等腰三角形，结合，得到，进而求出，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，，根据菱形的性质易证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵在菱形中，， ∴， ∵点恰好落在的延长线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得，， ∵在菱形中，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴菱形的边长为． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 15．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 16．（2025·辽宁抚顺·一模）如图：四边形中，，，垂足为，点在线段的延长线上，且，连接，． (1)如图1，当，时． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当，不垂直时，②中与的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）①证明是线段的垂直平分线，可得，利用角度转换得到，即可证明； ②根据，可得，通过线段转换得到，即可证明是等边三角形，得到，再证明是等边三角形，即可得到四边形为菱形，即可解答； （2）在的延长线上取点使，得到是线段的垂直平分线，再证明，继而得到是等腰三角形，得到，即可解答． 【详解】（1）①证明：，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ； ②解：，理由如下： ， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， ； （2）解：成立，理由如下， 如图，在的延长线上取点使， ， ， ，， 是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， ． 题型五、利用菱形的判定与性质求解 17．（2025·四川乐山·一模）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，和是等边三角形， ∴平分，， ∴， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由作图可得平分，，则，证明四边形为菱形，得出，再由四边形的周长为，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 20．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题 21．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是 ．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判与性质通过分析图形中的各个四边形和三角形，判断各结论的正确性即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， 同理四边形是菱形， ∴图中有3个菱形，菱形、菱形、菱形，故①正确； ∴，，又， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形和菱形等高， ∴要使四边形的面积等于四边形面积的2倍， 则需要，故③错误； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长四边形的周长，故④正确； 故答案为：①②④． 22．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】先证明是等边三角形，利用可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和得到，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即平分，故③正确； ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 23．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，，对角线相交于点，一块三角板（）的直角顶点恰好是的中点，连接．现给出以下结论： ①是等边三角形； ②； ③； ④． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形，为等边三角形，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；如图，记的交点为，证明，可得，结合，，可得，故③不符合题意；取的中点，连接并延长交于，连接，证明，可得，证明，可得，设，而，，证明，可得四边形是矩形，可得三点共线，进一步求解即可得到④符合题意. 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴为等边三角形，为等边三角形，故①符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； 如图，记的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③不符合题意； 取的中点，连接并延长交于，连接， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，而，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，而， ∴三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④. 24．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，，对角线相交于点是对角线上的一动点，作于点，于点，给出下面四个结论：①为等边三角形；②；③；④上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． ①根据菱形性质得，，再根据等边三角形的判定即可对结论①进行判断； ②设，则，利用含有角的直角三角形性质及勾股定理得，，由此可对结论②进行判断； ③根据及四边形的内角和等于得，再根据得，由此可对结论③进行判断； ④连接，设，则，，，，进而得，，，再根据，得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是菱形，， ，，，，，， 是等边三角形，故结论①正确； ②设，则， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， 又， ，故结论②不正确； ③，， ， 根据四边形的内角和等于得：， ， ，故结论③正确， ④连接，如图所示： 设，则，，， ， ，， ，， ， ， 又， ，故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题 25．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，且， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， ∴菱形的面积为：． 26．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质求出，，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：， ． 为的平分线， ， ， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ． ， ． ， ， 菱形的面积为． 故答案为：4． 27．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，． (1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形； (2)求图1中线段的长； (3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等内容，利用勾股定理建立方程是本题的解题的关键． （1）先证可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得证； （2）易得，再在中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）易得，则，据此在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，是中点， ，，， ， 又，， ，，， ， ； 四边形是平行四边形 ， 四边形为菱形； （2）解：四边形为菱形， ， 在中，， 即 解得 （3）解：， ， ， ． 又， ，， ． 设的长为，则的长为，的长为， 在中，由勾股定理得，， 解得，即的长为． 28．（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】(1)①四边形是菱形，理由见解析；②24 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键． （1）①根据矩形性质先得到，再利用垂直和平分的条件得到，最后借助H为中点，通过等量代换得到，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论； ②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可； （2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可． 【详解】（1）①解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 又， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点H是中点，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， 由中点的性质，可知， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， 由菱形的对称性可知，， ∴四边形的面积为； （2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质， ∴（1）中的结论仍成立， 由（1）可知，，， ∴四边形的面积为． 题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 29．（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是矩形（）． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图，作出线段的垂直平分线即可； （2）设交于点O，如图，先证明得到，再证明四边形为菱形即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：如图，设交于点O， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 30．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，分别过点、作、的平行线相交于点． (1)在不添加新的点和线段的前提下，请增加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由； (2)在（）的条件下，尺规作图：求作点，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 【答案】(1)点为中点（或或或），见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段，菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行四边形的判定方法和菱形的判定即可求解； （）先作一条线段等于已知线段，然后通过平行四边形的判定，矩形的判定即可求证． 【详解】（1）解：点为中点， 证明如下：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，点为中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （或或）， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 其他证法相同； （2）解：如图所示：点为所求， 理由：∵点为中点， ∴， 由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 31．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O． (1)下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①或③，理由见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，以及直角三角形斜边中线的性质． （1）若选①，证明得，从而，可得四边形是菱形；若选③，证明得，从而，可得四边形是菱形； （2）作线段的垂直平分线与交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：可选择①或③．若选①：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 若选③：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，点P即为所求． 连接， ∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， ∵是的中线， ∴． 32．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）； (2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，，分别交，于点，，连接，则线段所在的直线即为所求的直线； （2）连接，交于点，分别延长，，相交于点，连接，，相交于点，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，矩形即为所求． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查菱形的面积计算，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 直接代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半， ∴该菱形的面积=， 故选：A． 2．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法，逐一选择三个条件进行证明，判断最终有几种选法即可． 【详解】解：选择①②③： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴不能判断四边形是菱形， ∴选法不正确； 选择①②④： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择①③④： 同理可证：，得到四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择②③④： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在菱形中，连接，点E在上，连接交于点F，作于点G，，，若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先设，，根据菱形的性质及，得到平分，根据角平分线的性质，进而得出，进一步得出，，再证明，得到，利用勾股定理求出，设，，则，再利用勾股定理求出的值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点， 设，，则， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， 由勾股定理得，， 故设，，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱形的性质及直角三角形的性质得，由三角形中位线定理求得，由勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∵为的中点， ∴， ∵，分别为，的中点，且， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 菱形的面积为． 故答案为：24． 8．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，菱形的边长为4，E，F分别是边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③若，则；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】①根据菱形的性质，证明和是等边三角形，得出相等的角和边，证明即可； ②根据得出相等的边和角，然后根据菱形的性质即可证明为等边三角形； ③过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出高相等，求出三角形的面积比即可得出结论； ④根据三角形的外角定理进行证明即可． 【详解】解：①∵四边形为菱形，且， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故①正确； ②由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 故②正确； ③如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形，且边长为4， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④由①得， ∴， 又∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确的选项为①②④， 故答案为：①②④． 9．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点，为菱形边上的一点，且是以为斜边的直角三角形，那么的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形的性质．根据题意分情况讨论，，进而根据菱形、等边三角形及含的直角三角形的性质、勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，，为直角三角形， 四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点， ， ∴是等边三角形， ； 如图，于点，连接 ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴ ， ， 综上，的长为或 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．分两种情况进行讨论：当点在上时，当点在延长线上时，依据折叠的性质、等边三角形的性质以及含角直角三角形的性质，即可得到和的度数，进而得到的长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， 分两种情况： 如图，当点在上时，点与点重合时，此时为等边三角形， 由折叠可得，， ， 在中，； ②如图，当点在延长线上时，当为等边三角形时，， ， 由折叠可得，， ， 在中，． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． （1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴CF的长是． 12．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）利用时间路程速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（）时，，，，，根据四边形是矩形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）根据四边形是菱形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入中，可求出的长，再利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t（）时，，，，， 根据题意得：， 解得：t， ∴当四边形是矩形时，t的值为． 故答案为：； （2）解：当四边形为菱形时，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 答：的长为． 13．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图，点是菱形边上一点，连接．求作，使，且点在边上； (2)如图，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使； (3)如图3，四边形中，，，平分线交边于点，求作线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）连接、交于点，作射线交于点，连接，则； （2）连接、于点，作射线交于点，则； （3）连接交于点，作射线交于点，则点为的中点． 【详解】（1）解：如图，为所求； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴（）， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点为所求； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴； （3）解：如图点为所求； ∵， 连接交于点，作射线交于点 ∵平分， ∴ 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是的中点． 14．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 15．（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)①四边形是菱形，证明见解析；② (2)①见解析；②6 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，图形折叠的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）①根据折叠变换的性质和菱形的判定即可得； ②设，则，在直角三角形中，由勾股定理求，在直角三角形中，由勾股定理求x，利用菱形面积的计算公式建立等式，进行计算即可得； （2）①由矩形和折叠的性质，用证明，从而得，则，由，得； ②由，，得，，，设，则，根据勾股定理得，进行计算即可得的长度． 【详解】（1）①四边形是菱形． 证明如下： 由折叠的性质，得，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． ②四边形是矩形， ， ，， ， 设，则， ， ，解得， ， ， ． （2）①四边形是矩形， ，， 由折叠的性质，得，， ，， 在和中， ， ， ， ， ． ②设， ， ， ， ， 由折叠的性质，得，， ， ， ， ， ，解得， ． 16．（2025·安徽·模拟预测）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①的长为3或；②当点G与点H重合时，的最小值为 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，可证，可得结论； （2）①由“”可证，可得，，分两种情况讨论，由等边三角形的性质和勾股定理可求解； ②由垂线段最短，可得当点G与点H重合时，的最小值为． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将沿翻折使B的对应点落在中点上， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：①如图2，连接，在上截取，连接，连接，并延长，交于点N，过点C作直线于H， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， 当时，， ∴， ∴； 当时，过点M作于Q，过点G作于P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上所述：的长为3或， ②由（2）①可知：点G在上运动，且，与的距离为， ∴当点G与点H重合时，的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04菱形的性质与判定 ■目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用菱形的性质求解…1 题型二、利用菱形的性质求解折叠问题 题型三、利用菱形的性质求解动点问题.… .接9 题型四、利用菱形的性质证明与求解综合… .13 题型五、利用菱形的判定与性质求解… 19 题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题…23 题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题.… .30 题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） .35 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用菱形的性质求解 1.(25-26九年级上陕西榆林·期末)如图，BD是菱形ABCD的对角线，在DB上截取DE,使得DE=DC ,连接CE,若∠ADC=68°，则LDEC的度数为一 A B E 2.(25-26九年级上山东青岛·月考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, DH⊥AB于点H,连接OH,若∠BAD=48°，则∠DHO的度数是 D B 3.(25-26八年级上江苏泰州期末)中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人 们对美好生活的祈盼.小敏家有一个菱形中国结装饰.测得AB=5cm,AC=6cm,则该菱形的面积是 cm2. 1/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上：广西玉林期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=6,AC=8, 点E是CD边上的一个动点，过点E作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值 为 题型二、利用菱形的性质求解折叠问题 5.(25-26九年级上·山东青岛·期末)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将菱形纸 片ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C处，则LDEC的大小为一， D B 6.(25-26九年级上·重庆开州期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E是BC边上 一点，连接OE,把△BOE沿直线OE翻折到菱形ABCD所在平面内得到FOE,点F正好落在DC的延长 线上，若∠BAD=134°，则∠EFC的度数为 D 7.(25-26九年级上·四川泸州·月考)如图，菱形ABCD中，∠D=110°，点P在对角线AC上，将△BCP沿 BP翻折，得到△BC,P,当∠PBC= 时，P、C、D三点共线 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 8.(25-26九年级上·辽宁辽阳期末)在菱形ABCD中，∠ABC=120°，边长AB为8，点M是AB边上一点， 点N是AD边上一点，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点A恰好落在菱形ABCD的一条边上，若DA=2 ,则AM的长为」 D B M 题型三、利用菱形的性质求解动点问题 9.(2025青海西宁.一模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=8,点E是AB边的中点，点 F是BC边上一动点，点P是对角线AC上一动点，连接PE、PF,求PE+PF最小值为 D 10.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠ABC=45°，E为边BC边 上的一个动点，P为BD上的一个动点，则PC+PE的最小值为 D 11.(25-26九年级上·贵州贵阳·期中)如图，在边长为10cm的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上 的动点，F是CD边上的动点，且AE=DF,连接EF,则EF的最小值是cm. C E B 12.(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，CD=4,M,N分别是边 AB,AD的动点，满足AM=DN,连接CM、CN,E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 接AE、BE、NF,当aCFN面积最小时，BE+AE的最小值为 A N D M E C 题型四、利用菱形的性质证明与求解综合 13.(25-26九年级上江西景德镇·期末)如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，将菱形一部分沿BP翻折，点 C恰好落在AD的延长线上C处. D B (I)求证：BC'⊥CD; (2)若CP=√2，求菱形的边长. 14.(25-26九年级上江西景德镇·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CD的中点为E, 连接OE并延长至点F,使得EF=OE,连接CF,DF. A B C (I)求证：四边形0CFD是矩形： (2)若EF=5,BD=16,求菱形ABCD的面积. 15.(25-26九年级上山东济南·月考)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. B (I)求证：△ABE≌AADF; (2)若菱形的边长为5，AE=4,求CF的长. 16.(2025辽宁抚顺一模)如图：四边形ABCD中，LABC=∠ACB=LADB,AE⊥BD,垂足为E,点F 在线段DE的延长线上，且FB=2DE,连接CF,AF. 4/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (I)如图1，当EF=ED,AC⊥BD时. ①求证：△AFB≌△ADC; ②猜想CF与AD的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当EF<ED,AC不垂直BD时，②中CF与AD的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程， 若不成立，请说明理由. 题型五、利用菱形的判定与性质求解 17.(2025四川乐山一模)如图，小明同学按如下步骤作四边形ABCD:①画2个单位长度的线段AC;② 以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B,D;③连接AB,BC,CD,DA,BD,则∠CBD的大小 是 18.(25-26九年级上全国期末)如图，口ABCD中，AD=4,按以下步骤作图：①以点B为圆心，AB长 为半径作弧，交BC于点P,②分别以点A,F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧在∠A8C内相交 于点P;③作射线BP,交AD于点E,连接EF.四边形EFCD的周长为 A E D 19.(25-26八年级上上海浦东新·期末)如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、 CD、DA的中点，若AC=BD,且EGHF=I6,则四边形EFGH的面积为 5/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 20.(24-25八年级下·黑龙江七台河·期末)“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋 的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6©m的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠部分图形 的面积是cm2. 题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题 21.(24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P,作EF∥BC, GH∥AB,下列结论正确的是 ·(填序号) A H D E B G C ①图中共有3个菱形： ②aBEP≌△BGP; ③四边形AEPH的面积一定等于四边形BGPE面积的2倍； ④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长. 22.(25-26九年级上·辽宁丹东期末)如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意 的点（不与端点重合）.且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.有如下几个结 沧：①△4ED≌△DF8:②∠8GE的大小为定值：®GC平分∠8G0;国Sn=5( 3CG2.以上结论中， 正确结论的序号是 6/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C B 23.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点0， 一块三角板AEF(∠EAF=60°)的直角顶点E恰好是OB的中点，连接OF,DF.现给出以下结论： ①ABC是等边三角形； ②LEAC=LDAF; ③∠AEB=∠AOF; ④OF=DF. 其中正确的是·（写出所有正确结论的序号） D B 24.(24-25八年级下·吉林长春.期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD相交于点 O,P是对角线AC上的一动点，作PM⊥CD于点M,PNAD于点N,给出下面四个结论：①△BCD为 等边三角形：②OA=BD,®LMPN=60°，④PM+PN=,AC.上述结论中，正确结论的序号有一 A B 题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题 25.(2026四川成都.一模)如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,E为BC的中点，连接OE并 延长至点F,使EF=EO,连接BF和CF. 7/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ⊙ (1)求证：四边形OBFC是菱形： (2)若AB=4√5，AD=6,求菱形0BFC的面积. 26.(25-26九年级上河北保定·期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交 于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE. D B (I)求证：四边形ABCD是菱形 (②)若OE=BD=2,求四边形ABCD的面积. 27.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6. D F D C 图1 图2 (I)如图1，过对角线AC中点O作EF⊥AC,分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE,求证：四边形 AFCE为菱形； (2)求图1中线段CE的长： (3)如图2，矩形ABCD内有一点P,连接DP,CP,延长BP交AD于点Q,若LCPD=90°，BP=BC,求 DQ的长 28.(25-26九年级上·江西吉安期末)如图1，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长BC至点E, 使CE=BC,连接DE,H是DE的中点，连接CH. D 图1 图2 (1)①试猜想四边形OCHD的形状，并说明理由. ②若AB=6,BC=8,则四边形0CHD的面积为 (2)如图2，将图1中的矩形ABCD改为正方形ABCD,其他条件不变.若正方形ABCD的面积为16，求四 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 边形OCHD的面积. 题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 29.(25-26九年级上广东清远期末)如图，四边形ABCD是矩形(AD>AB). B (I)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交BC、AD于点E、F;(要求：不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接AE、CF,求证：四边形AECF是菱形. 30.(25-26九年级上广东深圳期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边上一点，连接CD, 分别过点A、C作CD、AB的平行线相交于点E. D B (I)在不添加新的点和线段的前提下，请增加一个条件：，使得四边形ADCE是菱形，并说明理由； (2)在(1)的条件下，尺规作图：求作点P,使得四边形ACBP为矩形.（保留作图痕迹，不写作法，标明 字母) 31.(25-26九年级上·广东深圳期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD交 于点O. (I)下列条件：①0A=OC;②0B=OD;③LABD=∠CBD.请选择条件： (填写序号)，使得四边 形ABCD为菱形，并说明理由； (②尺规作图：已知∠4D8<30,请在AD上求作一点户，俊得OP=4D.(保留作图前迹，不写作法) 32.(2025九年级下，全国专题练习)如图，已知四边形ABCD为菱形，延长AB到点E,使得BE=AB,过 点E作EF∥AD,交DB的延长线于点F(保留作图痕迹，不写作法). 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D E (1)如图①，用无刻度的直尺作直线1∥AE(直线1不与CD重合)； (②)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上江苏盐城期末)已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为() A.6 B.11 C.16 D.9 2.(25-26九年级上陕西铜川期末)如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=AD,连 接AE,若∠C=100°，则∠DAE的度数是() A.30° B.40° C.50° D.70° 3.(25-26九年级上山西晋中期末)已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,下列条件：①AB∥CD ;②OA=OC;③0OB=OD;④AC1BD,从以上条件中任选三个，能判定四边形ABCD是菱形的选法有 ()种. A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在菱形纸片ABCD中，LA=60°，P为AB的中点.折叠菱形纸 片ABCD,使点C落在DP所在直线上的点C处，得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为() 10/14