专题01 数列的概念及其函数特性（高效培优专项训练，11大题型）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题01 数列的概念及其函数特性 题型一：数列的概念及其辨析 2 题型二：根据规律写出数列的项 3 题型三：数列的周期性 3 题型四：由数列的递推公式求数列的项 5 题型五：求数列的递推关系式 6 题型六：观察法求数列的通项公式 8 题型七：累加法求数列的通项公式 9 题型八：累乘法求数列的通项公式 10 题型九：由Sn与an的关系求数列的通项公式 11 题型十：由数列的单调性求参数 12 题型十一：求数列的最大/小项 13 题型一：数列的概念及其辨析 1．（25-26高二上·天津·期末）下列有关数列的说法正确的是 （填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】②③ 【分析】根据数列的定义判断①；根据数列的通项公式求第11 项，判断②；根据数列的概念，判断③；将所给数列的项代入通项公式逐项检验可判断④. 【详解】数列，与数列的顺序不同，所以不是同一个数列，所以①错误； 数列的通项公式为，则，所以110是该数列的第11项，所以②正确； 已知数列，则按此规律排列，该数列的通项公式为，所以第8个数是，所以③正确； 对于数列，第三项均不满足，所以④错误. 故答案为：②③. 2．【多选题】（25-26高二上·江苏淮安·期末）下列有关数列的说法正确的有（   ） A．数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列 B．数列的通项公式可以是 C．数列的通项公式为，则数列中只有一项为70 D．数列的通项公式为，则数列的最大项是第6项 【答案】BCD 【分析】对于A，根据数列的定义即可判断，对于B，根据通项公式即可判断，对于C，由，解出即可判断，对于D，先判断单调性，进而求解. 【详解】对于A，数列1，2，3和数列3，2，1不是同一个数列，故A错误； 对于B，数列的一个通项公式可以是，故B正确； 对于C，由，解得或（舍去），故C正确； 对于D，由，又函数在单调递减， 当时，，当时，，又，所以，， 所以数列的最大项是第6项，故D正确； 故选：BCD. 3．（24-25高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的概念判断①②③即可. 【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义； ②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列； ③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的. 故选：B. 4．【多选题】（24-25高二上·山东聊城·月考）下列给出的命题中正确的有（    ） A．数列和数列是相同数列 B．数列的一个通项公式是 C．已知数列的前项和，则 D．已知数列满足，，则 【答案】BCD 【分析】由数列的定义可判断A选项错误；由数列的通项公式可判断B选项正确；由数列的递推式：时，，计算可判断C选项正确；由数列的递推式，计算可判断D选项正确. 【详解】对于A选项，根据数列的定义，数列具有顺序性，所以A选项错误； 对于B选项，将代入通项公式，得到的数列是，所以B选项正确； 对于C选项，根据前项和公式，可以得到，所以C选项正确； 对于D选项，根据递推式，可以得到，所以D选项正确. 故选：BCD. 5．【多选题】（24-25高二上·河北保定·月考）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或（舍去）， 故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是， 故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：BCD. 题型二：根据规律写出数列的项 6．（24-25高二下·重庆·月考）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据数列各项的正负性、分母的特征写出数列的通项公式，再运用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. 7．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 8．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数列的分子为项数的平方、分母为项数的倍减，写出通项公式后代入即可求得第项. 【详解】第一项： 第二项： 第三项： 第四项： 所以通项公式为：，则第六项为：. 故选：A 9．（25-26高二上·湖南永州·月考）数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定数列前5项，利用观察归纳法确定其共同属性即可得解. 【详解】数列，…从第3项起，分子是相邻前两项分子的和，分母也是相邻前两项分母的和， 所以该数列的第6项是，第7项是. 故选：C 10．（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 题型三：数列的周期性 11．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【分析】由递推公式写出数列的一些项，找出数列的周期，即可求解. 【详解】由， 可得，即， 可知数列是最小正周期为3的数列， 所以，故A正确． 故选：A． 12．（25-26高二上·河北邢台·月考）在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先由数列的递推公式求出数列的前几项，观察发现数列的周期性，由周期性转化求解即可. 【详解】因为， 所以，，， ，所以数列具有周期性，周期为，所以， 故选：A 13．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列中，，则数列前2026项的和为（   ） A．0 B．2026 C．2027 D．4054 【答案】C 【分析】利用数列的周期性可得答案. 【详解】因为， 所以，，，，， 所以数列是周期为4的周期数列，且， 所以． 故选：C． 14．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知数列满足，若，则 . 【答案】 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解. 【详解】， ，，， 则是周期为3的周期数列， 又， . 故答案为：. 15．（25-26高二上·福建福州·期末）设数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据首项和递推式求出，观察归纳得出是周期为3的周期数列，再确定除以3的余数，进而求解． 【详解】已知，则，， ，， 可见此数列为周期是3的周期数列， ， ，故D正确． 故选：D． 题型四：由数列的递推公式求数列的项 16．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则 ． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，再由，即可求出. 【详解】已知，则， ，故. 故答案为： 17．（2026高三下·重庆·专题练习）已知数列满足，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【分析】应用已知定义计算求解. 【详解】因为满足，则. 故选：A. 18．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据递推公式，代入即可求出答案. 【详解】因为，， 所以， ， ， . 故答案为：. 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列满足：，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用递推关系式逐项计算可得的值. 【详解】由题意可得，且，则， ，，， ，，， 故选：B. 20．（25-26高二上·河南信阳·期末）已知数列满足：，时，若为偶数，则；若为奇数，则，又知，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据数列的递推公式，结合逐步往前推导的值即可. 【详解】，根据递推公式可知为偶数，且，， 又，结合递推公式可知为奇数，， 又，为偶数，且， 又，为奇数，， 又，为偶数，且， 又，，解得. 故选：C. 题型五：求数列的递推关系式 21．（24-25高二下·全国·课后作业）分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据数列前项，类比推理出递推公式，即可求得第项； （2）根据数列前项，类比推理出递推公式，即可求得第项. 【详解】（1）由，，， 故可得，递推公式为，，． （2）由，，， 所以，，． 22．（24-25高二上·福建泉州·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 【答案】C 【分析】根据前四项推出判断. 【详解】解：由已知得，， ，所以， 所以. 故选：C 23．【多选题】（24-25高二上·河南·月考）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第格有种情况，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得出递推公式，逐个代入依次求解出. 【详解】根据题意，跳到第格有两种可能，一种是从第格跳过来，有种方式， 另一种是从第格跳过来，有种方式，所以． 因为 所以. 所以，， 故选：BCD. 24．（24-25高二上·福建龙岩·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 【答案】A 【分析】设级台阶的走法为，找出数列的递推公式，即可求解. 【详解】设级台阶的走法为， 则，， 当时，， 所以，， ，， . 故选：. 25．【多选题】（2024高三·全国·专题练习）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（　　） A． B．是奇数 C． D． 【答案】AD 【分析】由已知得数列满足递推关系，选项A：直接递推求解；选项B：观察数列每三项都是奇、奇、偶重复循环可得；选项C：假设正确，然后推出矛盾；选项D：利用递推式计算. 【详解】由已知得数列满足递推关系. 选项A： ，A正确； 选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022＝674×3，恰好能被3整除，且为偶数，所以也为偶数，故B错误； 选项C：若选项C正确，又，则， 同理，依次类推，可得，显然错误，故C错误； 选项D：， 所以，故D正确． 故选：AD． 题型六：观察法求数列的通项公式 26．（25-26高二上·宁夏吴忠·月考）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用观察归纳法求出通项公式. 【详解】依题意，， ，…， 所以所求通项公式为. 故选：C 27．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知数列，则该数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察归纳可得. 【详解】将数列整理为：， 考虑数列：， 每一项加1变为：，通项为， 所以所求数列的一个通项公式为． 故选：D 28．（25-26高二上·山东烟台·期末）数列：的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用观察法写出通项公式即可. 【详解】由 观察可得它的一个通项公式为：， 故选：D. 29．（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【详解】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D 30．（25-26高二上·四川达州·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取特例排除BCD，变形前几项确定通项公式求解即可. 【详解】对于B，当时，，故B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，当时，，故D错误， 对于A，，，， ，，归纳可得，故A正确. 故选：A 题型七：累加法求数列的通项公式 31．（25-26高二上·四川广元·期末）已知数列满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据累加法求数列的通项公式即可. 【详解】由， 得， 以上各式相加，得，又， 所以，所以. 故答案为： 32．（25-26高二上·吉林·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据裂项相消法、累加法求出通项公式即可. 【详解】由可得，. ，，，，， 所以（）， ， 又当时，依然成立， 所以. 故选：B. 33．（25-26高三上·吉林延边·期中）在数列中，，，则 . 【答案】5 【分析】根据累加法即可求解. 【详解】由可得， 故， ， ……, , 相加可得， 故答案为：5 34．（24-25高三下·云南丽江·月考）已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由题意，再利用累加法即可求解. 【详解】因为 ， 所以当 时， ，则 ，故B正确. 故选：B. 35．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【详解】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选： 题型八：累乘法求数列的通项公式 36．（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 37．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求解即可； （2）利用累乘法求解即可. 【详解】（1）， ，，，…，． 将以上个等式相加， 得， 即， ，， 而也适合上式，； （2）， ， 则， 又，， 而也适合上式，． 38．（22-23高二下·河南南阳·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 39．（24-25高二上·天津·月考）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由累乘法可求得，代入求值即可. 【详解】，即， 所以 ，, 显然满足上式，所以， 则. 故选：C. 40．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 题型九：由Sn与an的关系求数列的通项公式 41．（25-26高二上·安徽六安·期末）数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】当时，, 当时，不满足上式， 故 故答案为: 42．（25-26高二上·天津南开·期末）若数列满足，则（    ） A．32 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为①，当时，， 当时②， ①减②得，所以，当时也成立， 所以，所以. 故选：C 43．（25-26高二上·天津津南·月考）已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】由可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 不满足，所以. 故答案为：. 44．（25-26高二上·天津河北·月考）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【分析】根据求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 又不满足上式， 所以； （2）因为， 当时，， 当时，， 又满足上式， 所以. 45．（2025高三上·重庆永川·专题练习）设数列的首项是1，前项和，则 . 【答案】 【分析】取得到，时，根据计算，然后检验即可求解. 【详解】当时，； 当时，， 所以， 代入得； 所以 . 故答案为： 题型十：由数列的单调性求参数 46．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据递增数列的定义，需满足对任意的恒成立，故需要同时满足①当时，②，③时，联立三者求出的取值范围. 【详解】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 47．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数列单调性的定义运算求解即可. 【详解】因为， 若数列是递增数列，则， 则，即. 故选：D. 48．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得数列为递增数列，列不等式组可得且，根据为正整数，将依次代入到中验证是否成立，即可求出答案. 【详解】由题意数列为递增数列， 所以，则且， 又为正整数，由知，， 当时，，符合， 同理均符合， 当时，，不符合， 故正整数的取值范围是. 故选：D. 49．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项. 【详解】已知， 时，，是斜率为的一次函数，单调递增， ，函数为开口向下的二次函数， 对正整数，递增，即相邻的项满足：， 代入得：，解得：， 故要使时数列递增，需， 同时分段点处需满足， 即， 综上取值范围是. 故选：C 50．（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递减数列定义可得，代入计算即可得解. 【详解】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 题型十一：求数列的最大/小项 51．（25-26高二上·河北邢台·月考）若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分，两种情况，结合数列单调性求解即可. 【详解】当时，，是递减数列，则的最小项为； 当时，，是递减数列，则的最大项为. 故选：B. 52．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ． 【答案】/0.32 【分析】先分别求出，的通项公式，进而求出的通项公式，结合的性质，讨论的单调性，进而求出的最小项． 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， ，， ，记为， 当时，， 当时，，即， ， ， ， ， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 在时递减，在时递增，最小值出现在处，， 故答案为：． 53．（25-26高二上·云南文山·月考）已知数列的前n项和，若，数列中 ，的最小值是 . 【答案】5 【分析】根据与的关系求出，进而得到，易得数列单调递增，进而求解即可. 【详解】由，当时，； 当时，满足上式，则， 由， 则对任意都成立，即， 则数列单调递增，因此. 故答案为：5. 54．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】分，，，，几种情况，结合双勾函数性质分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 当时，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时，， 此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时， ，，由双勾函数性质可知， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而增大， 而，所以当，即，符合题意； 当时，，此时数列的最小项为或， 由题意可得，解得，所以， 当时，即时，必有，不符合题意舍去； 综上，实数的取值范围为，即最小值为. 故答案为：. 55．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中， (且)． (1)若，求数列中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)最大项为，最小项为 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性，分析数列的单调性，可求数列的最大、最小项. （2）分析函数的单调性，结合，可求的取值范围. 【详解】（1）∵，(，且). 又，∴ ()． 因为函数在和上单调递减， 可知，（）. ∴数列中的最大项为，最小项为. （2）， 已知对任意的，都有成立， 因为函数在和上单调递减， 可知，即. 故的取值范围是． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念及其函数特性 题型一：数列的概念及其辨析 2 题型二：根据规律写出数列的项 3 题型三：数列的周期性 3 题型四：由数列的递推公式求数列的项 5 题型五：求数列的递推关系式 6 题型六：观察法求数列的通项公式 8 题型七：累加法求数列的通项公式 9 题型八：累乘法求数列的通项公式 10 题型九：由Sn与an的关系求数列的通项公式 11 题型十：由数列的单调性求参数 12 题型十一：求数列的最大/小项 13 题型一：数列的概念及其辨析 1．（25-26高二上·天津·期末）下列有关数列的说法正确的是 （填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 2．【多选题】（25-26高二上·江苏淮安·期末）下列有关数列的说法正确的有（   ） A．数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列 B．数列的通项公式可以是 C．数列的通项公式为，则数列中只有一项为70 D．数列的通项公式为，则数列的最大项是第6项 3．（24-25高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 4．【多选题】（24-25高二上·山东聊城·月考）下列给出的命题中正确的有（    ） A．数列和数列是相同数列 B．数列的一个通项公式是 C．已知数列的前项和，则 D．已知数列满足，，则 5．【多选题】（24-25高二上·河北保定·月考）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 题型二：根据规律写出数列的项 6．（24-25高二下·重庆·月考）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·湖南永州·月考）数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 题型三：数列的周期性 11．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．-1 12．（25-26高二上·河北邢台·月考）在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 13．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列中，，则数列前2026项的和为（   ） A．0 B．2026 C．2027 D．4054 14．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知数列满足，若，则 . 15．（25-26高二上·福建福州·期末）设数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 题型四：由数列的递推公式求数列的项 16．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则 ． 17．（2026高三下·重庆·专题练习）已知数列满足，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．18 18．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知数列满足，，则 . 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列满足：，.则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·河南信阳·期末）已知数列满足：，时，若为偶数，则；若为奇数，则，又知，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 题型五：求数列的递推关系式 21．（24-25高二下·全国·课后作业）分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 22．（24-25高二上·福建泉州·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 23．【多选题】（24-25高二上·河南·月考）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第格有种情况，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·福建龙岩·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 25．【多选题】（2024高三·全国·专题练习）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（　　） A． B．是奇数 C． D． 题型六：观察法求数列的通项公式 26．（25-26高二上·宁夏吴忠·月考）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 27．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知数列，则该数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·山东烟台·期末）数列：的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·四川达州·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型七：累加法求数列的通项公式 31．（25-26高二上·四川广元·期末）已知数列满足，，则 ． 32．（25-26高二上·吉林·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高三上·吉林延边·期中）在数列中，，，则 . 34．（24-25高三下·云南丽江·月考）已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 35．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 题型八：累乘法求数列的通项公式 36．（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 38．（22-23高二下·河南南阳·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·天津·月考）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 40．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型九：由Sn与an的关系求数列的通项公式 41．（25-26高二上·安徽六安·期末）数列的前项和记为，若，则 . 42．（25-26高二上·天津南开·期末）若数列满足，则（    ） A．32 B．10 C． D． 43．（25-26高二上·天津津南·月考）已知数列的前项和，则数列的通项公式是 . 44．（25-26高二上·天津河北·月考）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 45．（2025高三上·重庆永川·专题练习）设数列的首项是1，前项和，则 . 题型十：由数列的单调性求参数 46．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 . 47．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十一：求数列的最大/小项 51．（25-26高二上·河北邢台·月考）若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 52．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ． 53．（25-26高二上·云南文山·月考）已知数列的前n项和，若，数列中 ，的最小值是 . 54．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为 . 55．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中， (且)． (1)若，求数列中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $