阶段测评(一)(1.1～1.2)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

阶段测评(一)(§1§2) (时间：50分钟　分值：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列0，－，，－，，…的通项公式为(　　) A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n+1· C．an＝(－1)n-1· D．an＝(－1)n-1· 解析　数列0，－，，－，，…即为，－，，－，，…， ∴数列0，－，，－，，…的通项公式为an＝(－1)n-1·.故选C. 答案　C 2．(2025·广东江门期末)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＋a3＋a5＝45，a2＋a4＋a6＝33，则S10＝(　　) A．250　　　　　　　 B．410 C．50 D．62 解析　∵{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝45，a2＋a4＋a6＝33， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝45，a2＋a4＋a6＝3a4＝33， ∴a3＝15，a4＝11，设等差数列{an}的公差为d，则d＝a4－a3＝－4，∴a1＝a3－2d＝15＋8＝23， ∴S10＝10a1＋45d＝230－45×4＝50.故选C. 答案　C 3．(2025·合肥高二期中)在项数为m的等差数列{an}中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为950，则m＝(　　) A．16 B．17 C．19 D．21 解析　由题意知a1＋a2＋a3＝12，am＋am－1＋am－2＝288，由等差数列的性质可得a1＋am＝a2＋am－1＝a3＋am－2，所以3(a1＋am)＝300，所以a1＋am＝100. 因为Sm＝＝950，所以m＝19.故选C. 答案　C 4．(2025·北京市第二中学高二上期末)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则当Sn有最大值时，n等于(　　) A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 解析　设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝6，S3＝2a1，所以3×6＋3d＝12，解得d＝－2.所以Sn＝6n＋×(－2)＝7n－n2.结合二次函数的性质可得，当n＝3或n＝4时，Sn有最大值12. 答案　C 5．(2025·江西宜春期末)某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人的“不满意度”之和最小，电梯应该停在第 层．(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析　设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12，n∈N＋)，“不满意度”之和为S，则S＝1＋2＋…＋(n－2)＋2×[1＋2＋…＋(12－n)]＝＋2×＝＋157＝－＋157，其图象开口向上，对称轴为直线n＝，又∵n∈N＋，∴S在n＝9时取最小值．故选C. 答案　C 6．(2025·湖北天门高二月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，则“∀n∈N＋，an＋1＞an”是“nSn＋1＞(n＋1)Sn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　设等差数列{an}的公差为d，若∀n∈N＋，an＋1>an，则an＋1－an＝d>0；若nSn＋1>(n＋1)Sn，则>，即为递增数列，又Sn＝na1＋d，所以＝a1＋d＝n＋a1－，所以>0，即d>0.所以“∀n∈N＋，an＋1>an”是“nSn＋1>(n＋1)Sn”的充要条件．故选C. 答案　C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－5，an＋1＝an＋3，则下列说法正确的是(　　) A．{an}是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列{Sn}中的最小项为S3 D．Sm，S2m，S3m(m∈N＋)成等差数列 解析　因为an＋1＝an＋3，所以数列{an}为等差数列，公差为3， 因为a1＝－5，所以an＝－5＋3(n－1)＝3n－8，Sn＝＝； 对于A，因为an＋1－an＝3>0，所以{an}是递增数列，A正确； 对于B，因为－＝－＝>0，所以数列是递增数列，B正确； 对于C，因为a1<0，a2<0，a3＝1>0，所以数列{Sn}中的最小项为S2，C不正确； 对于D，当m＝1时，S1＝－5，S2＝－7，S3＝－6，显然不是等差数列，D不正确． 故选AB. 答案　AB 8．数列{an}是等差数列，S8＝10，则下列说法正确的是(　　) A．a3＋a6为定值 B．若a1＝，则n＝5时Sn最大 C．若d＝，则使Sn为负值的n值有3个 D．若S4＝6，则S12＝12 解析　由数列{an}是等差数列，S8＝10，有＝10，即a1＋a8＝. 由等差数列性质得a3＋a6＝a1＋a8＝为定值，选项A正确． 当a1＝时，a8＝－11，公差d＝－，则数列{an}是递减数列， 则a4＝3，a5＝－，故n＝4时，Sn最大，选项B错误． 当d＝时，由于a1＋a8＝，则a1＝－，Sn＝－n＋×＝， 令Sn<0得0<n<3，又n∈N＋， 故Sn为负值的n值有2个，选项C错误． 当S4＝6时，设{an}公差为d，则4a1＋6d＝6，结合a1＋a8＝，即2a1＋7d＝， 解得a1＝，d＝－， 故S12＝12a1＋×d＝12，选项D正确． 故选AD. 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝ ． 解析　a1a2…a8＝82，　① a1a2…a9＝92，　② 由①②得a9＝＝. 答案　 10．(2025·河北邯郸期末)已知等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d为 ． 解析　由a＋a＝101，得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，所以a1a10＝10.又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1<a10，所以a1＝1，a10＝10，所以d＝＝1. 答案　1 11．已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝ ；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是 ． 解析　由于数列{an}是以3为公差的等差数列，数列{bn}是以4为公差的等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1，又a100＝5＋(100－1)×3＝302，b100＝3＋(100－1)×4＝399，则11≤12n－1≤302.解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25. 答案　12n－1　25 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝13，S7＝13a1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：{}是等差数列． (1)解析　设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝13，S7＝13a1，得a1＋3d＝13，7a1＋d＝13a1，解得a1＝7，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋5. (2)证明　结合(1)可得Sn＝na1＋d＝7n＋n2－n＝n2＋6n， 所以 ＝＝n＋3， 故 ＝1＋3＝4， －＝(n＋4)－(n＋3)＝1， 所以数列{}是以4为首项，以1为公差的等差数列． 13．(15分)(2025·广东实验中学月考)已知数列{an}中，对任意的n∈N＋，都有an＋an＋1＝4n. (1)若{an}为等差数列，求{an}的通项公式； (2)求证an＋2－an为定值，若a1＝3，求{an}的通项公式． 解析　(1)由条件an＋an＋1＝4n，可得a1＋a2＝4，a2＋a3＝8，因为{an}为等差数列，所以设公差为d，由上式可得⇒所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)由条件an＋an＋1＝4n，可得an＋1＋an＋2＝4(n＋1)，两式相减得an＋2－an＝4，为定值．因为a1＝3，所以a2＝1，故数列{an}的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，即a2k－1＝a1＋(k－1)d＝4k－1.偶数项是首项为1，公差为4的等差数列，即a2k＝a2＋(k－1)d＝4k－3. 综上，an＝ 14．(15分)(新课标Ⅰ卷)设等差数列的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列，的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求的通项公式； (2)若为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解析　(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n. (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，即＝＋， ∴6＝＝， 即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0，又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， ∴a50－＝1，即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去). 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝. 综上，d＝. 学科网（北京）股份有限公司 $