专题01 数列的函数特性（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题01 数列的函数特性 目录 典例详解 类型一、数列的周期性及其应用 类型二、数列的增减性及其应用 类型三、求数列的最大（小）项 类型四、数列不等式恒成立与存在性（有解）问题 压轴专练 类型一、数列的周期性及其应用 1.周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2.解决此类题目的一般方法： 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 例1．若数列满足，，则该数列的前2025项的乘积等于（   ） A．2023 B．2024 C． D． 变式1-1．设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 变式1-2．（多选）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 变式1-3．已知数列中，，，，则 ． 类型二、数列的增减性及其应用 1.判断数列的增减性的方法： （1）作差比较法： ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 2.已知数列的增减性求参数 例2．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）在数列中，，则下列结论正确的是（   ） A．对为递减数列 B．当时，对任意常数恒成立 C．当时，对任意常数有解 D．当时， 变式2-3．（多选）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为常数列 B．若，则 C．若，使得时， D．若，则为递增数列 类型三、求数列的最大（小）项 1.求数列最大项或最小项的方法： （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，），则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，），则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为. 例3．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 变式3-1．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 变式3-2．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为 . 变式3-3．数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 类型四、数列不等式恒成立与存在性（有解）问题 1.数列不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围： 此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解. （1）分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. （2）数列恒成立或能成立求参数关键“坑”： 数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围. 2.数列恒成立证明型： 数列不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法等. 例4．已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式4-1．（多选）已知数列中各项都小于2，，记数列的前n项和为，则以下结论正确的是（    ） A．任意与正整数m，使得 B．存在与正整数m，使得 C．任意非零实数与正整数m，都有 D．若，则 变式4-2．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为 . 变式4-3．已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和，求证：； (3)若对，恒有成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．数列的前项和为，，则（    ） A． B．0 C． D． 2．为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知数列的首项为，若的前n项积，则（   ） A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项 4．已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 5．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、多选题 7．在数列中，，，令记，分别为数列，的前项和，则（    ） A． B．当时，取得最大值 C．数列从第6项起为递减数列 D． 8．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．当时，数列是常数列 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为10 三、填空题 9．设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 ． 10．设数列满足，且，则的取值范围为 . 四、解答题 11．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)若，求数列的前项和； (2)对，都有，求实数的取值范围. 12．已知数列的首项，且满足，数列前n项和为. (1)求证：数列为等比数列； (2)求证：； (3)若，求满足条件的最大整数n. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的函数特性 目录 典例详解 类型一、数列的周期性及其应用 类型二、数列的增减性及其应用 类型三、求数列的最大（小）项 类型四、数列不等式恒成立与存在性（有解）问题 压轴专练 类型一、数列的周期性及其应用 1.周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2.解决此类题目的一般方法： 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 例1．若数列满足，，则该数列的前2025项的乘积等于（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】由求出，求出， 从而得到数列是周期数列且这个数列的一个周期，利用和依次求出，，，，…，求出 ，，代入数值得解 【详解】， 数列是周期数列且这个数列的一个周期， ，，，，，…， ， . 故选：D． 变式1-1．设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性. 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 变式1-2．（多选）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 【答案】BD 【分析】根据题设递推关系写出前8项并求判断A、B；列举出相关项判断的奇偶性及数列的周期性，并得到相关递推关系判断C、D. 【详解】由题设，， ，，故A错误； 由上分析，，故B正确； 由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表， 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数， 1个奇数，1个偶数，而，故是奇数，故C错误； 由，，，…，，且，, 所以，又， 故，故D正确． 故选：BD. 变式1-3．已知数列中，，，，则 ． 【答案】 【分析】先求数列的周期，又，即，最后利用周期即可求解. 【详解】由题意有，又， 所以，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 又由有， 所以 ， 故答案为：. 类型二、数列的增减性及其应用 1.判断数列的增减性的方法： （1）作差比较法： ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 2.已知数列的增减性求参数 例2．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可. 【详解】数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增，即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即； 解得， 所以若数列是单调递增数列，则， 故选：A. 变式2-1．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：由单调递增可得恒成立，则，分析和应用排除法确定正确选项； 解法二：借助函数的知识，将数列单调性转化为函数单调性，结合函数图象即可得解. 【详解】解法一：由单调递增，得， 由，得， ∴. 时，得①， 时，得，即②， 若，②式不成立，不合题意； 若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意. 综上，排除B，C，D. 解法二：设，函数对称轴为，则， 联立，可得两函数的交点为， 若要，则，，所以， 又只要求存在实数，所以. 故选：A. 变式2-2．（多选）在数列中，，则下列结论正确的是（   ） A．对为递减数列 B．当时，对任意常数恒成立 C．当时，对任意常数有解 D．当时， 【答案】BCD 【分析】对于A：通过判断数列不是一个单调递增数列，有可能是常数列来判断；对于B：通过A的单调性即可判断；对于C：利用数列极限定义可判断；对于D：通过递推公式变形，再构造放缩可求. 【详解】对A选项：由，， 故， 当时数列单调递减，当时，数列为常数列，故A错误； 对B选项：由A选项可知当时数列单调递减，故数列的最大项为， 所以对任意常数恒成立，故B正确； 对C选项：由A选项可知当时数列单调递减，且， 当时，，故数列为单调递减的正项数列，根据极限定义可知对任意常数故C正确； 对D选项：由，故， 即， 故有，，， ， 累加有，即，故，， 故，即有， 又， 故当时，， ，...，， 又， 累加有，， 即， 即，故， 故，故D正确. 变式2-3．（多选）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为常数列 B．若，则 C．若，使得时， D．若，则为递增数列 【答案】ABD 【分析】对于A，令，可判断选项正误；对于BCD，由题可得，令，可得当时，通项公式，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，令，解得或，故A正确； 由，得，令，则. 若，则，此时；若，则当时，. 所以当时，有，所以， 即当时，. 对于B，若，则，当时，. 因函数在R上单调递减，又，则. 故当时，，故B正确； 对于C，若，则，当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当当时，，故C错误； 对于D，若，则，且， 所以.又当时，. 则当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当时，单调递增， 则也单调递增，所以当时，单调递增，故D正确. 故选：ABD. 类型三、求数列的最大（小）项 1.求数列最大项或最小项的方法： （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，），则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，），则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为. 例3．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B． 变式3-1．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 变式3-2．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先由题可得当时的最大项，再由二次函数对称性可得，最后由是中唯一的最大项可得答案. 【详解】当时，由， 因此当或3时，取得最大值； 当时，， 时，， 则该代数式对应函数对称轴为直线，因为是中唯一的最大项， 所以，且，解得. 故答案为： 变式3-3．数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 【答案】A 【分析】根据数列和数列的前项和，分别求出数列和数列的通项公式，进而可以得到数列的通项公式，通过判断其单调性，可得是否存在最大值和最小值. 【详解】设数列的前项和为，的前项和为，则，， 当时，， 当时，， 经验证，时成立，所以， 同理可求得，适合； 所以， 令， 又，，，， ， 当时，，，所以，且时，， 则， 所以当时，，数列单调递增，得； 当时，，数列单调递减，得； 当时，，数列单调递增，得； 由此可知最大，最小， 综上所述，数列存在最大项，也存在最小项. 故选：A. 类型四、数列不等式恒成立与存在性（有解）问题 1.数列不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围： 此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解. （1）分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. （2）数列恒成立或能成立求参数关键“坑”： 数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围. 2.数列恒成立证明型： 数列不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法等. 例4．已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【详解】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 变式4-1．（多选）已知数列中各项都小于2，，记数列的前n项和为，则以下结论正确的是（    ） A．任意与正整数m，使得 B．存在与正整数m，使得 C．任意非零实数与正整数m，都有 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由递推公式得到即可判断A，记，依题意可得，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数n，，从而判断B，分、、三种情况讨论，即可判断C，结合A、C即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以，则，故A正确； 对于B：记，由， 可得，因为在上单调递减， 所以对于任意正整数n，，故B正确； 对于C：由A可知所有同号， ①当时，易得对于任意正整数n，， ②当时，，即， 因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，， ③当时，，即， 因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，，故C错误； 对于D：由B可知对于任意正整数n，， 当时，所以， 由C中②知当时，，又，解得， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 变式4-2．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】取，推出（），分为奇偶数讨论，求出表达式，继而求得的表达式，整理化简不等式后，结合指数函数的单调性即可求得参数的范围. 【详解】由可得，① 当时，，因，则. 当时，② 由：，设，则有. 当为奇数时，数列为首项是，公差为2的等差数列，故； 当为偶数时，数列为首项是，公差为2的等差数列，故. 即，则. 当为奇数时，， 解得，根据指数函数的单调性可得：； 当为偶数时，， 解得，根据指数函数的单调性可得：. 综上所述，可得实数的取值范围为. 故答案为：. 变式4-3．已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和，求证：； (3)若对，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）由题设可得，进而得到，即可求得等比数列的公比为2，进而求得，结合的关系根据题设可得，，进而利用累乘法求解即可； （2）先求得，利用裂项相消法求得，进而根据其单调性求证即可； （3）由题设可得，记，进而结合数列的单调性求解即可. 【详解】（1）由，，成等差数列，则， 即，则， 设等比数列的公比为，则，又，所以. 又，则时，， 两式相减得，，即，， 又，则，， 显然满足上式，则. （2）由， 则， 由于在上单调递增，则，即. （3）由（1）得，，， 由，则，记， 则， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 故，则. 一、单选题 1．数列的前项和为，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由题可知当为奇数时，.易得.根据的周期性，可求得. 【详解】当为奇数时，. 因为函数的最小正周期为. 所以当为奇数时，. ， . 所以. 所以. 故选：C. 2．为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过构造具体的等差数列反例，分别验证充分性和必要性是否成立，从而判断两个条件之间的关系. 【详解】充分性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，其前项和，显然数列为递减数列， 又，显然数列为递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”，故充分性不成立. 必要性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，是一个常数列，其前项和，显然数列为递增数列， 又，也是一个常数列，显然不是递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”，故必要性不成立. 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．已知数列的首项为，若的前n项积，则（   ） A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项 【答案】B 【分析】由与关系可得，化简可得，从而得即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，则． 又，所以是首项为3，公差为1的等差数列， 所以，故， 所以是递增数列，故有最小项，无最大项． 故选:B 4．已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 5．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 6．已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据数列递推式，先求出，再结合时，，化简推得是以为首项，公差为2的等差数列，求出，进而求出，根据的定义，求得，解不等式即得答案. 【详解】由题意，当时，，因，则由解得：， 当时，因，可得，即，两边取平方整理得， 即是以为首项，公差为2的等差数列，故， 于是，则， 由可得：，解得，所以正整数的最大值为5. 故选：D. 二、多选题 7．在数列中，，，令记，分别为数列，的前项和，则（    ） A． B．当时，取得最大值 C．数列从第6项起为递减数列 D． 【答案】ACD 【分析】由累加法得到数列的通项公式，即可判断A选项；由数列的通项公式令，解得对应的取值范围，即可判断B选项；令解得的范围，即可判断C选项；先求出当时的值并判断不等式是否成立，然后由裂项相消求得当时的值并判断不等式是否成立，判断D选项. 【详解】由题意知， 当时，， 经检验也满足上式，所以，即，故A正确； 对于B，令，解得，所以时，取得最大值，故B错误； 对于C，令，解得，又，所以，所以，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 则，故D正确. 故选：ACD 8．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．当时，数列是常数列 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为10 【答案】ACD 【分析】根据递增的性质列不等式求解判断A，利用指数运算化简求出判断B，利用等比数列求和公式求解判断C，结合B选项及题意求得，，即可判断D. 【详解】A：若数列是递增数列，则当时，， 因为，所以，故A正确； B：， 因为，所以数列不是常数列，故B错误； C：因为当时，， 故存在，使得恒成立，故C正确； D：因为，若， 则，， 所以，所以，，，， 所以，，则使得成立的的最大值为10，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 ． 【答案】25 【分析】根据等比数列的定义写出其通项公式，指对互化得出，即可根据并项求和法得出的式子，再代入不等式求解即可. 【详解】是首项为3且公比为的等比数列， ，则， 即有， 当为偶数时， 则， 当为奇数时，为偶数， 则， 则， 要满足不等式，则为奇数， 此时，解得：， 则满足不等式的最小正整数的值为， 故答案为：25. 10．设数列满足，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知再写出，相减得出数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为6，因此等价于，解之可得结论． 【详解】，则， 两式相减得， 所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为6， 所以等价于， 又，，， 所以，解得， 故答案为：． 四、解答题 11．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)若，求数列的前项和； (2)对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量的运算求得，进而求出，，然后利用错位相减法求和即可； （2）由题意知对任意的都成立，设，利用定义法得为递减数列，即可得解. 【详解】（1）由等差数列的性质得，数列的公差， 所以，所以， 所以①， ②， ①-②得 ，所以. （2）因，等价于，对任意的都成立， 设，则，， 故数列为递减数列， 所以，因此. 12．已知数列的首项，且满足，数列前n项和为. (1)求证：数列为等比数列； (2)求证：； (3)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2025. 【分析】（1）对两边取倒数，并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断； （2）根据等比数列前n项和公式，结合（1）得，进而通过作差法比较大小即可证明； （3）结合（1）得，进而求数列的前n项和，再根据其单调性求解即可. 【详解】（1）记，由题意，数列满足， 可得 所以， 又，所以，则为常数， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即数列为等比数列，首项为，公比为 （2）由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以得 故， 从而，所以. （3）由（1）知，所以， 设数列的前n项和为， 则 若，即， 因为数列为递增数列，且 所以满足的最大整数n的值为2025. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $