4.2.2 等差数列的前n项和公式（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版2019选修第二册 4.2.2等差数列的前n项和（2） 等差数列前n项和的性质 一 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn +n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 问题1 1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差 为___. 3.在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，m≠n，则Sm+n=-(m+n). 4.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. 等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12等于 A.12 B.18 C.24 D.30 根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列， 又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6， 则S9-S6=9，S12-S9=12， 则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30. 解析 跟踪训练1 √ 5 　(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且= (n=1，2，…)，则+等于 A. B. C. D. 例 1 √ 6 因为数列{bn}是等差数列， 所以b3+b18=b6+b15， 所以+=， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且=(n=1，2，…)， 所以+=====. 解析 7 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10=100，S100=10， ∴ 解得 ∴S110=110a1+d=110×+×=-110. 8 方法二　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列， 设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10，解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110. 方法三　由也是等差数列，构造新的等差数列b1==10，b10==，则d=(b10-b1)=×=-， 所以b11==b10+d=+=-1，所以S110=-110. 解 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 9 方法四　直接利用性质Sn=m，Sm=n， Sm+n=-(m+n)，可知S110=-110. 解 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 10 二 等差数列的奇(偶)项和问题 等差数列的奇(偶)项和的性质 (1)设等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则有： ①S2n=n(an+an+1)； ②S偶-S奇=nd，=(an≠0，且S奇，S偶分别是数列{an}的所有奇数项和、 偶数项和). (2)设等差数列{an}的项数为2n-1(n≥2，且n∈N*)，则S2n-1=(2n-1)an(an是 数列的中间项)，S奇-S偶=an，=. 　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 例 2 　解：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*). 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇=(a1+a2k-1)=24，可得a1=. ∴首项为，项数为8. 13 (2)一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 前20项中，奇数项和S奇=×75=25， 偶数项和S偶=×75=50， 又S偶-S奇=10d，∴d==2.5. 解 14 等差数列前n项和的实际应用 三 　(课本例8)某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位. 例 3 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数 列，且S20=800.由S20=20a1+×2=800，可得a1=21. 因此，第1排应安排21个座位. 解 16 作业： 《步步高双练一测》作业6 $