8.1.1向量数量积的概念、8.1.2向量数量积的运算律导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学导学案聚焦向量数量积的概念与运算律，从向量夹角出发，逐步构建数量积定义、几何意义及投影概念，再延伸至性质与运算律的应用，形成由浅入深、层层递进的知识链条，为后续模长计算、垂直判断和夹角求解提供有力支撑。 资料亮点突出，注重核心素养培育，体现“数学眼光”中的几何直观与空间观念，通过投影向量的动态图示理解数量积的几何本质，强化“数学思维”中的逻辑推理与运算能力，在例题与习题设计中融入赵爽弦图等传统文化元素，激发学生“数学语言”表达现实问题的兴趣，提升综合应用意识与创新实践能力。

8．1.1-8．1.2向量数量积的概念 向量数量积的运算律 【课程标准】　1.理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量.3.掌握平面向量数量积的运算律，能用数量积的运算性质解决模、垂直、夹角、证明问题． 教 材 要 点 知识点一　向量的夹角 知识点二　向量的数量积 向量数量积的定义：____________________叫做向量a和b的数量积，记作________________． 知识点三　向量的投影与向量数量积的几何意义 1．投影向量的概念：已知向量a和直线l，如图． 作＝a，过点O，A分别作直线l的垂线，垂足分别为O1，A1，则____________________叫做向量a在直线l上的投影向量(简称投影)． 2．投影的数量：向量a的方向与直线l的正向所成的角为θ，________________称作a在________上的数量或在________上的数量． 3．a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 知识点四　数量积的性质 1．若e是单位向量，则e·a＝a·e＝______________． 【学霸笔记】　向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ [提示]　向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别． 2．若a⊥b，则a·b ＝0；反之，若a·b ＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)． 【学霸笔记】　a·b ＝0与ab ＝0的区别是什么？ [提示]　(1)意义和表达方式不同． a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”． (2)推出的结果不同．由a·b ＝0可推出以下四种可能，①a＝0，b＝0；②a＝0，b ≠0；③a ≠0，b＝0；④a ≠0，b ≠0.而ab＝0可推出a与b中至少有一个为0. (3)|a|＝. (4)cos θ＝(|a|·|b| ≠0)． (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b 时等号成立． 知识点五　向量数量积的运算律 1．运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c； (4)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0，且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a，b不共线． 2．常用公式 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【学霸笔记】　“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？请说明原因． [提示]　不成立．如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等． 基 础 自 测 1.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为(　　) A.　　　B．　　　C．　　　D． 2．等边△ABC中，与的夹角为(　　) A.60° B．－60° C．120° D．150° 3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝(　　) A.－2 B．－1 C．1 D．2 4．在等式①0·a＝0；②0·a＝0；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c，其中正确的命题的个数为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 5．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，cos 〈a，b〉＝，则b在a上的投影向量为________． 题型1与向量数量积有关的概念 例1(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号) 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角； ③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形； ④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2. (2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影的数量为________，b在a方向上的投影的数量为________． 总结 1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写． 2．求平面向量数量积的方法： (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b. 跟踪训练1　(1)给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长． 其中正确的是________．(填序号) (2)等边△ABC的边长为2，点G为△ABC的重心，则·＝________． (3)在等边△ABC中，＝2＋3，则向量在向量上的投影向量为(　　) A． B． C．－ D．－ 题型2数量积的基本运算 例2已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积． 总结　(1)当a →∥ b ⃗时，a →与b ⃗夹角可能为0 °或180 °. (2)当a →⊥b ⃗时，a →与b ⃗夹角为90 °. (3)若a →与b ⃗夹角及模已知时可利用a →·b ⃗＝|a →|·|b ⃗|cos θ(θ为a →，b ⃗夹角)求值． 总结 1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. 2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|. 跟踪训练2我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”．他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则·＝(　　) A．9 B．12 C．15 D．16 题型3与向量模有关的问题 例3设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　) A． B． C． D． 总结 1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系． 2．利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练3　已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1.若a与b的夹角为，则|a|＝________． 题型4平面向量数量积的性质 例4(1)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？ 总结　(1)设与都是非零向量，若⊥，则·等于多少？反之成立吗？ [提示]　⊥⇔·＝0. (2)当与同向时，·等于什么？当与反向时，·等于什么？特别地，·等于什么？ [提示]　当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||；·＝2＝或||＝. (3)|·|与||||的大小关系如何？为什么？对于向量，，如何求它们的夹角θ？ [提示]　|·|≤||||，设与的夹角为θ，则 ·＝||||cos θ. 两边取绝对值得： |·|＝|||||cos θ|≤||||. 当且仅当|cos θ| ＝1， 即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“ ＝”， 所以|·|≤||||，cos θ＝. (2)已知a，b是两个非零向量． ①若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角； ②若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 总结　(1)由条件计算 ||||，当⊥时，· ＝0，列方程求解m. (2)①利用向量数量积的公式求解；②利用向量的几何意义求解． 总结 1．已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立． 2．设a与b夹角为θ，利用公式cos θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围为θ∈[0，π]. 跟踪训练4　已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－　　B．－ C．　　　D． 教材反思 (1)对投影的三点诠释 ①a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的． ②b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成. ③投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． (2)向量的数量积与实数乘积运算性质的比较 实数a，b，c 向量a，b，c a≠0，a·b＝0⇒b＝0 a≠0，a·b＝0⇒/ b＝0 a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c |a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b| 满足乘法结合律 不满足乘法结合律 能 力 提 升 练 1.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围为____________________________________． 2．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； (2)在方向上的投影向量； (3)在方向上的投影的数量． 8．1.1　向量数量积的概念 8．1.2　向量数量积的运算律 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点一 ∠AOB　0°≤θ≤180°　0°　a⊥b　零向量 知识点二 |a||b|cos 〈a，b〉　a·b 知识点三 1．向量 2．|a|cos θ　直线l　直线l的方向 知识点四 1．|a|cos 〈a，e〉 [练习] 1．解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos ＝.故选D. 答案：D 2．解析：延长AB到D，则∠CBD为与的夹角，所以与的夹角为120°.故选C. 答案：C 3．解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9＋8＋0＝－1.故选B. 答案：B 4．解析：零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；0乘以任何向量都为零向量，故②正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；a·b＝a·c不一定有b＝c，如a⊥b，c＝0满足条件，结论不成立，故④错误．故选A. 答案：A 5．解析：向量b在a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉·＝a. 答案：a 课堂探究·素养提升 例1　【解析】　(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角)． ①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错误； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错误； ③由·＝0知，B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确； ④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确． (2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12， 所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝－；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝－＝－4. 【答案】　(1)③④　(2)－　－4 跟踪训练1　解析：(1)由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，故③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b，故④不正确；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，故⑤不正确；a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故⑦不正确；|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影，而不是投影长，故⑧不正确．综上可知①，②，⑥正确． (2)由于等边△ABC的重心G为中线(也是角平分线)的三等分点， 则||＝2，||＝·||·sin 60°＝，且向量与的夹角为30°， 所以·＝2×＝2. (3)由题可知，·＝(2＋3)·＝2·＋3·＝2||·||·cos 120°＋3||·||·cos 60°＝－||2＋||2＝||2， ·＝，所以向量在向量上的投影向量为.故选B. 答案：(1)①②⑥　(2)2　(3)B 例2　【解析】　设向量a与b的夹角为θ， (1)a∥b时，有两种情况： ①若a和b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝20； ②若a与b反向，则θ＝180°， a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝0. (3)当a与b夹角为135°时， a·b＝|a||b|cos 135°＝－10. 跟踪训练2　解析：因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AD＝5，EH＝1，设DE＝AH＝x，则AE＝AH＋EH＝x＋1，在Rt△AED中，AD2＝DE2＋AE2，即25＝x2＋(x＋1)2，解得x＝3或－4(舍去)，所以cos ∠DAE＝＝，易知在正方形ABCD中，＝，∠BCF＝∠DAE，FC＝DE＝3，所以·＝·＝||||·cos ∠BCF＝5×3×＝12.故选B. 答案：B 例3　【解析】　由于|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝3，所以|a＋2b|＝，故选B. 【答案】　B 跟踪训练3　解析：由于a＝2b＋2c，得2c＝a－2b， 两边平方得4c2＝a2－4a·b＋4b2， 由于|b|＝|c|＝1，且a与b的夹角为，其中a·b＝|a|·|b|cos ＝|a|，得|a|2－2|a|＝0，得|a|＝2或0(舍去，非零向量a)． 答案：2 例4　【解析】　(1)由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d，知c·d＝0， 即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， ∴m＝，即m＝时，c与d垂直． (2)①因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉， 所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a，b〉|＝|a||b||cos 〈a，b〉|＝6. 又因为|a|＝3，|b|＝4， 所以|cos 〈a，b〉|＝＝＝，所以cos 〈a，b〉＝±. 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为或. ②如图，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以为邻边作▱OACB， 因为|a|＝|b|，即||＝||， 所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时＝a＋b，＝a－b， 因为|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||， 所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为. 跟踪训练4　 解析：设a＝，b＝，c＝，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，可知A，B，C三点不共线，且O既是△ABC的重心也是△ABC的外心，所以△ABC为等边三角形，则a－c＝＝，b－c＝－＝，所以cos 〈a－c，b－c〉＝cos 〈〉＝cos ∠ACB＝.故选C. 答案：C 能力提升练 1．解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a，b不共线， 当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝(6＋2t)e1·e2＋＝3t＋(6＋2t)＋4>0，得t>－， 当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb， 即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以解得 所以当t≠3时，a，b不共线． 综上，t的取值范围为t>－，且t≠3，即(－，3) 答案：(－，3) 2．解析：(1)因为||＝5，||＝4，||＝3， 所以||2＋||2＝||2，即AC⊥BC，所以cos B＝＝， 所以·＝||·||·(－cos B)＝5×4×(－)＝－16． (2)由(1)知，AC⊥BC，所以cos A＝＝， 所以在方向上的投影为||·cos A·＝3×＝. (3)由(1)知，cos B＝， 所以在方向上的投影的数量为||·(－cos B)＝5·(－)＝－4. 学科网（北京）股份有限公司 $