第七章 三角函数（复习讲义）数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数（复习讲义） 基础目标 能复述任意角、象限角、终边相同角的定义，熟记扇形弧长与面积公式、三角函数定义及同角基本关系； 会用定义求简单三角函数值，借助诱导公式进行基础给角求值，能画出正弦、余弦、正切函数的基本图象，复述其周期、单调性等核心性质，完成基础的图象平移与伸缩变换。 进阶目标 会推导终边相同角的一般表达式、同角三角函数的基本关系，能精准判定角所在象限及分角、倍角的象限； 熟练运用同角关系实现知一求二、三角齐次化求值，能结合换元法求三角函数的单调区间、值域与最值，会根据三角函数图象求解简单三角不等式，规范完成由图象确定三角函数解析式的基本步骤。 拓展目标 理解并应用任意角的概念解决区域角表示、扇形综合计算问题，能灵活运用同角关系和诱导公式解决复杂给角、给值求值问题； 掌握三角函数图象变换的两种途径并能相互转化，能结合角的范围求解三角函数综合问题，会解决三角函数与不等式、二次函数结合的综合最值问题，实现三角函数图象与性质的综合灵活运用。 一、任意角的概念 1．终边相同的角 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 2．象限角与区域角 （1）判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法： ①若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； ②判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． （2）区域角的写法步骤： ①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； ②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； ③用不等式表示区域内的角，组成集合． （3）分角、倍角所在象限的判定思路 ①已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； ②已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 二、扇形的弧长及面积 （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 三、任意角的三角函数 1．求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 2．判断三角函数值正负的2个步骤 ①定象限：确定角所在的象限； ②定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 四、同角三角函数的基本概念 1．知一求二 ①已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； ②已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 2．三角齐次化的处理 ①对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. ②对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 3．和差、乘积的的知一求二 ①，，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. ②求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 五、利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 六、三角函数的图象与性质 1．周期问题 ①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 2．三角不等式问题 用三角函数图象解三角不等式的步骤： ①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解集；③根据诱导公式一写出定义域内的解集． 3．单调性、对称性问题 在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 4．三角值域问题 ①形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. ②形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. ③分式型的三角函数：分离常数法 七、由图象确定三角函数解析式 (1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. ②待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 八、三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. 题型1任意角与弧度制概念 题型1任意角与弧度制概念 例1．下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（多选）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（    ） A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限 题型2根据图形写出角的范围 例2．如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合： . 变式2-1．集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 变式2-2．如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    变式2-3．已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 题型3确定n分角与n倍角的象限 例3．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 变式3-1．若为第四象限角，且，则为第 象限角. 变式3-2．（多选）下列结论正确的有（    ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．终边在直线上的角的集合是 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．若是第三象限角，则可能是第二象限角 变式3-3．若是第二象限角，试确定是第几象限角． 题型4弧长与扇形面积问题 例4．中国扇子文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一部分．某传统折扇可视作如图所示简化的平面扇形，该扇形的面积为，半径为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形弧长为 ，面积为 ． 变式4-2．扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则 ． 变式4-3．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为 题型5三角函数定义 例5．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，已知的终边与单位圆在第二象限交于点，则 . 变式5-1．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则 . 变式5-2．“点在第三象限”是“角为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-3．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 题型6正、余弦齐次式的计算 例6．已知，则 . 变式6-1．若，则（   ） A． B． C．3 D． 变式6-2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．若，则的值为 . 题型7sinacosa与sina±cosa关系 例7．已知，则 . 变式7-1．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，则 . 变式7-3．设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 题型8利用诱导公式化简求值 例8．已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-2．已知，满足，则 . 变式8-3．已知，则 . 题型9三角函数的单调性及应用 例9．函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递增 D．上单调递减 变式9-1．下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 题型10三角函数的奇偶性及应用 例10．已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式10-1．若函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 变式10-2．已知函数，为偶函数，则的值为（   ） A． B．π C． D．或 变式10-3．下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型11三角函数的对称性及应用 例11．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式11-1．（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 变式11-2．若是函数的图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式11-3．设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型12三角函数的周期性及应用 例12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式12-1．设函数，若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．π D．2π 变式12-2．设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为 ． 变式12-3．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型13三角函数的最值与值域 例13．已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 变式13-1．已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 变式13-2．函数在上的最大值是 ． 变式13-3．若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为 ． 题型14根据函数图象求解析式 例14．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式14-1．设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 变式14-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 变式14-3．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求其在上的单调递减区间； (2)若对任意、都有，求实数的取值范围． 题型15三角函数图象变换过程 例15．将的图像向右平移 个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 变式15-1．（多选）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．先向右平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； B．先向左平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； 变式15-2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 变式15-3．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的值． 题型16三角函数模型 例16．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 变式16-1．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 变式16-2．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 变式16-3．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示： 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日 日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 存活时间y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 (1)试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式； (2)用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时． 基础巩固通关测 一、单选题 1．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 二、多选题 7．（多选）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 8．（多选）已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．为函数的一个零点 C．当时，函数取得最大值 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 9．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．与的最小正周期相同 B．与在上单调性相同 C．与的零点相同 D．与图象的对称中心相同 三、填空题 10．“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的“宠物”，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦的长与的长的比为 ． 11．已知为锐角，化简： . 12．函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为 ． 四、解答题 13．在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若是方程的两根，求实数的值． 14．如图，已知函数，曲线交轴正半轴（最靠近原点）于点是曲线上轴右侧横坐标最小的最高点，直线与曲线在轴右侧第一个（从左向右）交点为，已知． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域. 15．已知函数，，函数的最小值为，且为函数的一个零点. (1)求函数的单调递减区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 能力提升进阶练 1．已知函数的部分图象如图所示，是函数的两个零点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，下列说法正确的有（    ） A．函数的解析式为 B．将函数（多选）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的解析式为 C．若，则 D．若函数在区间上有12个零点，则的值为4 3．设，其中为不超过的最大整数，则 . 4．已知函数在上所有零点之和等于260，则满足条件的整数的值是 ． 5．已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为 . 6．摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动后距离地面的高度为，设 (1)求的解析式； (2)当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段； (3)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数（复习讲义） 基础目标 能复述任意角、象限角、终边相同角的定义，熟记扇形弧长与面积公式、三角函数定义及同角基本关系； 会用定义求简单三角函数值，借助诱导公式进行基础给角求值，能画出正弦、余弦、正切函数的基本图象，复述其周期、单调性等核心性质，完成基础的图象平移与伸缩变换。 进阶目标 会推导终边相同角的一般表达式、同角三角函数的基本关系，能精准判定角所在象限及分角、倍角的象限； 熟练运用同角关系实现知一求二、三角齐次化求值，能结合换元法求三角函数的单调区间、值域与最值，会根据三角函数图象求解简单三角不等式，规范完成由图象确定三角函数解析式的基本步骤。 拓展目标 理解并应用任意角的概念解决区域角表示、扇形综合计算问题，能灵活运用同角关系和诱导公式解决复杂给角、给值求值问题； 掌握三角函数图象变换的两种途径并能相互转化，能结合角的范围求解三角函数综合问题，会解决三角函数与不等式、二次函数结合的综合最值问题，实现三角函数图象与性质的综合灵活运用。 一、任意角的概念 1．终边相同的角 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 2．象限角与区域角 （1）判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法： ①若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； ②判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． （2）区域角的写法步骤： ①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； ②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； ③用不等式表示区域内的角，组成集合． （3）分角、倍角所在象限的判定思路 ①已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； ②已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 二、扇形的弧长及面积 （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 三、任意角的三角函数 1．求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 2．判断三角函数值正负的2个步骤 ①定象限：确定角所在的象限； ②定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 四、同角三角函数的基本概念 1．知一求二 ①已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； ②已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 2．三角齐次化的处理 ①对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. ②对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 3．和差、乘积的的知一求二 ①，，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. ②求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 五、利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 六、三角函数的图象与性质 1．周期问题 ①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 2．三角不等式问题 用三角函数图象解三角不等式的步骤： ①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解集；③根据诱导公式一写出定义域内的解集． 3．单调性、对称性问题 在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反. 4．三角值域问题 ①形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. ②形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. ③分式型的三角函数：分离常数法 七、由图象确定三角函数解析式 (1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. ②待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 八、三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. 题型1任意角与弧度制概念 题型1任意角与弧度制概念 例1．下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与终边相同的角， 对于A， 令，得不是整数，故A错误； 对于B， 令，得是整数，故B正确；     对于C， 令，得不是整数，故C错误；     对于D， 令，得不是整数，故D错误. 故选：B. 变式1-1．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确. 故选：D 变式1-2．设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 变式1-3．（多选）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（    ） A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【详解】由题意得，，，则，，故角2的终边可能在第三象限、y轴的负半轴、第四象限上. 故选：BCD. 题型2根据图形写出角的范围 例2．如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合： . 【答案】 【详解】因为，， 结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为 . 故答案为:. 变式2-1．集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 【答案】③ 【详解】当时，集合，当时，集合， 则可得出角所表示的取值范围为③. 故答案为：③. 变式2-2．如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    【答案】． 【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且， 所以阴影部分（包括边界）的角的集合为. 故答案为： 变式2-3．已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 题型3确定n分角与n倍角的象限 例3．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 变式3-1．若为第四象限角，且，则为第 象限角. 【答案】四 【详解】为第四象限角， ，， 则，. 所以为第二、四象限角 又， 则为第四象限角. 故答案为：四 变式3-2．（多选）下列结论正确的有（    ） A．若角为锐角，则角为钝角 B．终边在直线上的角的集合是 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．若是第三象限角，则可能是第二象限角 【答案】BC 【详解】若取为锐角，但也是锐角，A错误； 终边落在直线上的角的集合是， 终边落在直线上的角的集合是， 所以终边在直线上的角的集合是，B正确； 若是第二象限角，则，， 所以，，所以是第一象限角或第三象限角，C正确； 若是第三象限角，则， 所以. 当时，； 当时，； 当时，， 所以可能是第一、三或四象限角，不可能是第二象限角，D错误. 故选：BC. 变式3-3．若是第二象限角，试确定是第几象限角． 【答案】可能是第一象限角、第二象限角或终边在轴非负半轴上的角，第一象限角、第二象限角或第四象限角 【详解】因为是第二象限角，所以， 可得， 则， 所以可能是第一象限角、第二象限角或终边在轴非负半轴上的角． 法一：要判断终边所在的象限，可以把各象限三等分， 从轴非负半轴起，按逆时针方向， 依次将各区域标号一、二、三、四，一、二、…，如图所示，    由于是第二象限角，则由图可知，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 法二：因为， 所以， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 题型4弧长与扇形面积问题 例4．中国扇子文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一部分．某传统折扇可视作如图所示简化的平面扇形，该扇形的面积为，半径为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该扇形的圆心角为，该扇形的面积为，解得， 将化为角度制为． 故选：D． 变式4-1．已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形弧长为 ，面积为 ． 【答案】 2 4 【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为， 由已知，故， 所以扇形弧长为， 面积为. 故答案为：； 变式4-2．扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则 ． 【答案】20 【详解】设，因为扇面的圆心角，所以，， 所以该扇面的周长为，即，整理得：. 扇形的面积，扇形的面积， 所以扇面的面积. 又 ，解得，即. 故答案为：20 变式4-3．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为 【答案】 【详解】由题可得， 在扇形中，，所以扇形的面积为； 在扇形中，，所以扇形的面积为. 所以该扇环的面积为. 故答案为：. 题型5三角函数定义 例5．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，已知的终边与单位圆在第二象限交于点，则 . 【答案】/ 【详解】因为点在单位圆上，代入可得：， 解得，又因为点在第二象限，所以， 则，因此. 故答案为： 变式5-1．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则 . 【答案】 【详解】角的终边过点, 所以. 故答案为： 变式5-2．“点在第三象限”是“角为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由点在第三象限，可知，所以角为第四象限角， 即“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充分条件， 再由角为第四象限角，可知，即点在第三象限， 所以“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充要条件， 故选：C 变式5-3．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】因为点的坐标为，可得， 所以， 可得，， 所以点的坐标为， 故答案为：. 题型6正、余弦齐次式的计算 例6．已知，则 . 【答案】2 【详解】若，则， 则. 故答案为：. 变式6-1．若，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 变式6-2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得. 利用三角恒等式，将代入： 得，，. 则. 所以，的值是. 故选：D. 变式6-3．若，则的值为 . 【答案】2 【详解】， 则的值为2. 故答案为：2. 题型7sinacosa与sina±cosa关系 例7．已知，则 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 变式7-1．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】易知， 可得，A正确； 由，得，所以， 所以，C正确； 联立，解得，则，B正确； ，D错误. 故选：ABC. 变式7-2．已知，则 . 【答案】 【详解】由，得， 得， 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， ， 故 . 故答案为：. 变式7-3．设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为为一元二次方程的两个实根， 所以. . （2）由（1）知，， 则， 即，解得； 所以，由，知， 所以， 由，所以， 所以. 题型8利用诱导公式化简求值 例8．已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角函数定义知， 根据诱导公式可得. 故选： 变式8-1．“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得或， 所以“”是“，”的必要不充分条件 故选：B. 变式8-2．已知，满足，则 . 【答案】 【详解】. 因为，所以， 所以. 故答案为：. 变式8-3．已知，则 . 【答案】 【详解】由. 故答案为： 题型9三角函数的单调性及应用 例9．函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递增 D．上单调递减 【答案】B 【详解】因为， 所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B 变式9-1．下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以函数的单调递减区间为， 当时，，则. 经检验ACD均不满足题意. 故选：B. 变式9-2．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，因为，所以， 由于函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. 故选：A. 变式9-3．若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得， 又因为函数在上单调递增， 由余弦函数的性质可知，在上单调递增， 则，解得. 因为， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型10三角函数的奇偶性及应用 例10．已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是奇函数等价于， 当时，得，所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件． 故选：A． 变式10-1．若函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为函数的图象关于轴对称， 所以函数为偶函数， 所以， 所以， 所以恒成立， 所以， 故选：D. 变式10-2．已知函数，为偶函数，则的值为（   ） A． B．π C． D．或 【答案】A 【详解】∵函数，为偶函数， ∴，，即， 故选:A. 变式10-3．下列函数中满足定义域为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：设，定义域为全体实数， ，所以该函数是奇函数，不符合题意； B：设，定义域为，显然不是实数集，不符合题意； C：设，定义域为全体实数， ，所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：令，定义域为全体实数， ，所以该函数是偶函数，符合题意， 故选：D 题型11三角函数的对称性及应用 例11．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，令，解得， 所以该函数的对称中心为， 因为点是函数的对称中心，且，所以， 当时，取得最小值，其最小值为， 所以实数的最小值为. 故选：A. 变式11-1．（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】对A：因为是函数的最大值，所以点不是图象的一个对称中心，故A错误； 对B：因为是函数的最大值，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确； 对C：当，，正弦函数在单调递增，故C正确； 对D：因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD 变式11-2．若是函数的图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是函数的图象的一条对称轴， 所以，则， 因为，所以当时，的最小值为. 故选：A. 变式11-3．设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 的部分图象如图所示，    要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则，解得，即. 故选：C. 题型12三角函数的周期性及应用 例12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】周期是，且在区间上为先减后增，A错误； 周期为，B错误； 周期是，且在区间上为减函数，C错误； 周期是，在区间上为增函数，D正确. 故选：D 变式12-1．设函数，若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．π D．2π 【答案】B 【详解】根据题意，函数的最大值为5，最小值为， 若实数、满足，则、分别是的最大值与最小值， 所以，，取得. 故选：B. 变式12-2．设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为 ． 【答案】3 【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点的距离为， 所以，解得. 故答案为：3. 变式12-3．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 题型13三角函数的最值与值域 例13．已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为. 【分析】 【详解】（1）由，， 可得，， 所以函数的单调递减区间为； （2）由已知， 所以， ， 所以， 所以， 所以当，即时，函数取最大值，最大值为， 当，即时，函数取最小值，最小值为. 变式13-1．已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由， 令，，则， 则， 当，即或时，取得最大值. 故选：C. 变式13-2．函数在上的最大值是 ． 【答案】 【详解】画出函数在上的大致图象如图． 当时，， 所以， 则， 所以函数在上的最大值是． 故答案为：    变式13-3．若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，当时，， 由函数在上有且仅有一个最大值，可转化为在上有且仅有一个最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为： . 题型14根据函数图象求解析式 例14．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，函数经过点，则得， 因，则有，解得，故， 依题意. 故选：C. 变式14-1．设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察图象，得函数的最小正周期， 而，则，解得，当时，， 可得，不符合题意； 当时，，，符合题意， 因此，，， ，， 因此函数图象的一个对称中心为，则A，B，D不是，C是. 故选：C 变式14-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】对于A：依题意，，解得， 又函数的最小正周期，解得， 则，由，得， 而，则，所以，解得，故A正确； 对于B：由A可知，所以，故B错误； 对于C：如下图：的最小正周期为，故C正确； 对于D：将的图象向右平移个单位长度得到 ， 则， 由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，故D正确； 故选：ACD 变式14-3．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求其在上的单调递减区间； (2)若对任意、都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由图可知，函数的最小正周期满足，所以，故， 所以， 由得，所以， 可得，因为，故， 因此. （2）对任意、都有，则当时，， 当时，，所以，， 故，即实数的取值范围是. 题型15三角函数图象变换过程 例15．将的图像向右平移 个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 【答案】（答案不唯一，符合表达式即可） 【详解】设的图像向右平移个单位得到的图像， 则， 由于正切函数的周期是，所以， 可得， 取，可得. 故答案为：（答案不唯一，符合表达式即可） 变式15-1．（多选）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．先向右平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； B．先向左平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平行移动个单位； 【答案】AD 【详解】对于A，将函数图象先向右平行移动个单位得到， 再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，说法正确； 对于B，将函数图象先向左平行移动个单位得到， 再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，说法错误； 对于C，将函数图象先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到， 再向右平行移动个单位得到，说法错误； 对于D，将函数图象先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到， 再向右平行移动个单位得到，说法正确； 故选：AD 变式15-2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【详解】因为函数，又函数， 所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象. 故选：D 变式15-3．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的最小正周期为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）将函数的图象向左平移个单位后， 得到函数的图象， 再保持纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，得到，故． 题型16三角函数模型 例16．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1).理由见解析 (2) (3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时； 【分析】 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， （2）由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （3）由题意可得，则，， 所以，解得， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 变式16-1．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 变式16-2．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点， 以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 当时，，此时，取以为终边的角为， 因为该摩天轮转一周约需要30min，该摩天轮的角速度， 所以. （2）， 所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度. 变式16-3．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示： 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日 日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 存活时间y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 (1)试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式； (2)用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时． 【答案】(1) (2)121天 【分析】 【详解】（1）设细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足 ， 由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， ∴，故， 又，故， 又，∴． 当时，， ∴， ∴． （2）由得， 又， ∴， 可得， 易知， ∴这种细菌一年中大约有121天的存活时间大于15.9小时． 基础巩固通关测 一、单选题 1．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈， 得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：B. 2．已知，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以函数是定义在上的偶函数，函数图象关于轴对称，排除AC选项； 当时，，则， 当时，，则，排除B选项，故D正确. 故选：D 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 又，则， 所以， 所以. 故选：A 6．已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 【答案】D 【详解】对于，由图像可知，设函数的最小正周期为， 由图像可知，所以，则，则，故正确，不满足题意； 对于，因为， 所以可得, 又因，，所以函数， 令，即，则时，， 所以的图像关于点对称，故正确，不满足题意； 对于，的单调递减区间为， 则令，解之可得， 令，则为递减区间， 而，故正确，不满足题意； 对于，的图像向左平移个单位，根据平移法则， 平移后函数为， 可得，所以是奇函数，故错误，满足题意. 故选： 二、多选题 7．（多选）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 【答案】BD 【详解】由条件可知，，则θ为第三象限角， 即， 则，故选项A错误； 因为θ为第三象限角，则， ，所以，故选项B正确； 因为，所以，故选项C错误； ，联立方程， 解得或 则或，故选项D正确． 故选：BD． 8．（多选）已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．为函数的一个零点 C．当时，函数取得最大值 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【详解】对于A，令，.当时，. 因为是增函数，在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减.所以A正确. 对于B，. 所以不是函数的零点，所以B错误. 对于C，. 即当时，函数取得最大值.所以C正确. 对于D，因为， 所以函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到.所以D错误. 故选：AC. 9．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．与的最小正周期相同 B．与在上单调性相同 C．与的零点相同 D．与图象的对称中心相同 【答案】AD 【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，故A正确； 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 令，得到， 令，得到，两个函数零点不同，故C错误； 函数图象的对称中心满足， 即图象对称中心为， 函数图象的对称中心满足， 即图象对称中心为， 令，即图象对称中心为，与图象对称中心相同，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的“宠物”，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦的长与的长的比为 ． 【答案】 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r， 如图，取的中点D，因为圆心角为， 所以，所以弦． 又，所以弦的长与的长的比为． 故答案为 11．已知为锐角，化简： . 【答案】 【详解】因为为锐角，所以， 所以. 故答案为：. 12．函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为 ． 【答案】 【详解】由函数的图象关于直线对称， 可得， 又因为，所以，则， 当时，， 在上有且只有两个零点， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 13．在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若是方程的两根，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由三角函数的定义可知， 因为，所以， 又，. （2）由三角函数的定义可知， ． 故原式. （3）由三角函数的定义可知. 因为是方程的两根， ，得或. ，即. 又. 可得，即，解得：或（舍）. 14．如图，已知函数，曲线交轴正半轴（最靠近原点）于点是曲线上轴右侧横坐标最小的最高点，直线与曲线在轴右侧第一个（从左向右）交点为，已知． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由，得，即， 由，得，即， 由得，， 根据题意得，解得， 即， ， ，解得， 所以； （2）当时，， ，等号在时成立， ， ，等号在，即时成立， 所以的值域为． 15．已知函数，，函数的最小值为，且为函数的一个零点. (1)求函数的单调递减区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1); (2). 【分析】 【详解】（1）由题意知,即， 所以；又， 即当时，，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）由可得， 此时，故 不等式恒成立,即,即 解得, 所以实数的取值范围为. 能力提升进阶练 1．已知函数的部分图象如图所示，是函数的两个零点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是函数的两个相邻的零点，且，所以. 若，则，所以，. 所以. 因为，所以. 所以. 故选：A. 2．函数的图象如图所示，下列说法正确的有（    ） A．函数的解析式为 B．将函数（多选）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的解析式为 C．若，则 D．若函数在区间上有12个零点，则的值为4 【答案】ACD 【详解】由题意得，，得， 因为，所以，即， 又，所以， 故函数的解析式为，故A正确； 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的解析式为，故B错误； ，得， 因为， ， 则 ，故C正确； ，，则， 若函数在区间上有12个零点，则， 则，则，故D正确. 故选：ACD 3．设，其中为不超过的最大整数，则 . 【答案】 【详解】设，则， 所以的周期为1， 而函数的周期为， 因为的整数倍都不是的倍数， 则不可能存在，满足为的周期. 所以. 故答案为： 4．已知函数在上所有零点之和等于260，则满足条件的整数的值是 ． 【答案】或 【详解】令，得，再设， 因为，所以函数关于点成中心对称. 同理，所以函数关于点成中心对称.如图： 所以函数的零点就是函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 显然这些交点关于对称，每一对零点的和等于，而所有零点之和等于260，所以一共有对零点. 而区间的中点为，所以区间也关于对称， 所以函数的图象与函数的图象在有个交点，再由函数的周期为. 函数的图象与函数的图象在有2个交点，以后每个周期内均有2个交点，一共有个周期. 所以区间的右端点必满足， 即，得，因为，所以整数的值为或. 故答案为：或. 5．已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】共有6个不同的实根， 由，则有4个不同实根，且有2个不同实根， 根据正弦函数的图象知，可得. 故答案为： 6．摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动后距离地面的高度为，设 (1)求的解析式； (2)当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段； (3)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间. 【答案】(1) (2)第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，，则， 又易知，所以，得， 又当时，，则， 因，则， 所以，化简得. （2）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求， 化简得， 因，则，故，则， 故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. （3）设乙的座舱高度与时间函数为， ， 因为甲乙离地面高度相等，即， 可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值， 即当时，甲乙首次高度相等. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $