1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理 第一章 三角形的证明及其应用 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 请你尝试证明这一结论. 进行新课 知识点1 角平分线的性质 O E C B A D 通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD = PE。 O A B C 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°。 ∵ ∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）。 ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 1. 已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线 的距离为3，则点到直线 的距离为( ) C A. B. 2 C. 3 D. 中考考法 5 （第2题） 2. [2025江门月考] 如图，在 中， ，垂直平分， ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 6 （第2题） 【点拨】连接 ， .垂直平分 ， ， ， ， ，是 的平 分线，， ， ， . 中考考法 7 知识点1 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言： ∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE. O B A C P E D 注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度. 例1 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　) A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 知识点1 角平分线的性质定理 D （第3题） 3.如图，在锐角三角形中， 是边 上的高，在， 上分别截取线段 ，，使；分别以点， 为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于点，作射线 ，交 6 于点，过点作于点.若 ， ，则 ___. 中考考法 10 你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?请你证明自己结论的正确性. 知识点2 角平分线的判定定理 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 知识点2 角平分线的判定定理 O B A P E D 1 2 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴ ∠ODP=∠OEP=90°. ∵ PD=PE， OP=OP， ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). ∴ ∠1=∠2(全等三角形的对应角相等). ∴ OP平分∠AOB. 简记为“两垂直 + 一相等，得点在角平分线上”. 知识点2 角平分线的判定定理 角平分线性质定理的逆定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的 平分线上. 符号语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴ 点P在∠AOB的平分线上 . O B A P E D 知识点2 角平分线的判定定理 O A B C P D E F 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA 上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF. CD与EF相交于点P，连接OP. OP是∠AOB的平分线吗? 为什么? OP是∠AOB的平分线 角的内部到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上. （第4题） 4. 小明将两把完全 相同的直尺如图放置在 上，两 把直尺的接触点为，边 与其中一 把直尺边缘的交点为，点， 在这 把直尺上的刻度读数分别是 ， ，则 的长度是______. 中考考法 15 角平分线和线段垂直平分线的比较： 相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等. 不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等； 线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等. 知识点2 角平分线的判定定理 （第5题） 5.如图，在四边形中， ，过 点作于点，连接 .若 ，，且 恰好平分 ，则 的面积为_ ___. 中考考法 17 6.如图，， ，于点 . （1）求证：平分 ； 中考考法 18 【证明】如图，过点作，交的延长线于点 . ， . 中考考法 19 ， ， . 又 , . ，平分 . 中考考法 （2）若，，求 的长. 【解】在和 中， . 由（1）可得 ， . . 中考考法 21 例2 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 知识点2 角平分线的判定定理 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF， ∴ AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD= 30°. 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10， ∴ DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 知识点2 角平分线的判定定理 7. [2025合肥蜀山区期末] 如图，分别以 的边， 为直角边，向外作等腰 直角三角形,，连接,， , 交于点，连接 .下列结论中不一定成 立的是( ) D A. B. C. 平分 D. 中考考法 24 8.如图， ，的平分线上有一点 ， ，，，则 _________. （第8题） 中考考法 25 9.如图，，，分别平分，， 过 点，且与垂直，若， ，则四边形 的面积是____ . 40 （第9题） 中考考法 26 10.如图，是的平分线，点在射线上， 是线 段的垂直平分线，交于点,交于点, 于点 .若 , ，则 ____. 中考考法 27 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 $