四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期期末综合二数学试题

高二上学期期末数学综合练习(二) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（    ） A．14.5 B．15 C．16 D．17 4.在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5.已知直线和曲线，则“直线与曲线有且仅有一个公共点”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7.已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 8.已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若是对立事件，则 B．若A，B是互斥事件，，则 C．若是独立事件，，则 D．若，且，则是独立事件 10.如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若点与重合，则， B. 若平面，则 C. 存在唯一的点使得平面 D. 若，，则点到平面的距离为 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（   ） A．当为线段的中点时，直线的斜率为 B．若，则 C． D．若直线的斜率为，且，则 三、填空题：本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 ． 13.在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的取值范围为________． 14．已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的 . ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了100名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“消防达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数（结果保留小数点后一位）； (2)若在抽取的100名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为消防达人的概率； (3)已知组的方差为9，组的方差为6，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位）. 16．（15分）如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 17. （15分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． (1)当直线过焦点时，证明：互相垂直． (2)当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 18. (17分)在等差数列中，. (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若数列满足是公比为2的等比数列，且. （i）若集合中恰有2个元素，求实数的取值范围； （ii）若对，都有，求实数的取值范围. 19. (17分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 高二上学期期末数学综合练习(二)答案 1．【答案】A. 【详解】因为向量， ，，由，则，解得，由，则，解得，则．故选：A． 2．【答案】D 【详解】已知抛物线的准线为， 所以双曲线的一个焦点为， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 3．【答案】D 【详解】将这10个数据从小到大排列得：， 因为，所以这10个数的分位数是. 故选：D. 4.【解析】C 因为是方程的两个根，所以， 所以，设等比数列的公比为，由， 所以. 5.【答案】B 【详解】由得， ∴曲线表示以为圆心，以为半径的圆的右半部分，包括轴上的点. 当直线过点时，由得，此时直线与曲线有一个公共点， 当直线过点时，由得，此时直线与曲线有两个公共点， 当直线与曲线相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径得， ，解得或（舍）， ∴当直线与曲线有且仅有一个公共点时，或. 记集合或，， 由⫋得“直线与曲线有且仅有一个公共点”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 6.【解析】D 由题意，以为原点建立如图空间直角坐标系， ，，，，. ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到， 设点到平面的距离为，. 7.【答案】B 【详解】因为， 当为偶数时，， 且时，； 当为奇数时，， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 8.【答案】B 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 9.【答案】D 【详解】对于A，若A，B是对立事件，则，A错误； 对于B，若A，B是互斥事件，，则，B错误； 对于C，若A，B是独立事件，而， 则，C错误； 对于D，，则， 又，则是独立事件，所以A，B是独立事件，D正确. 故选：D 10.【解析】BCD 对于A，因为，所以，，故A错误. 对于B，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又面，面，所以面， 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又面，面，所以面， 又因为，所以平面平面，所以在直线上， 而，则，故B正确. 对于C，如图以为原点建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 则， 故，，，设平面的法向量为， 则，故可设，，若平面，则，所以，从而，，点位置唯一确定，故C正确； 对于D，当，时，此时，由C知，此时平面， 所以点到平面的距离为，故D正确. 11．【答案】BD 【详解】如图， 若直线的斜率为时，直线的方程为， 联立双曲线，可得，， 即直线与双曲线不相交，故A错误； 设，，， ，， 又 ，，故B正确； 设，其中，则，即， ， ， ，， ，，故C错误； ，，，， ，∵直线的斜率为即， 且过点，∴直线的方程为， 又∵，， ， ，即， 又∵点到直线的距离，点到直线的距离，即， ∴点与点关于直线对称，，，故D正确,故选：BD． 12．【答案】/ 【详解】从这5个数中任取2个数的所有情况有： ，10种情况， 其中两个数的之积大于5 的有，6种情况， 所以所求概率为， 故答案为： 13.答案　解析　由题意得A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得＝2，即2＋y2＝，因此圆2＋y2＝与直线x＋y＋m＝0有交点，即≤，解得－≤m≤1.故m的取值范围为. 14．【答案】②③ 【详解】 对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为， 对于A，，，，则 ，则，即 此时仅有，所以的轨迹是一个点，故①错误； 对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为， 过向作垂线，垂足为，由于， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 若到直线，距离相等，即， 因为，所以， 则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确， 对于③，若到直线，距离相等，面， 面， 所以，所以到直线的距离为到点的距离， 则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确； 故答案为：②③. 15．【答案】(1)平均数为，中位数为 (2) (3) 【详解】（1）平均数为， 由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 在内的频率为，所以中位数在内， ，所以估计参加这次竞赛的学生成绩的中位数为. （2）因为，，， 所以从成绩在内的学生中分别抽取了人，2人，1人， 其中有3人为消防达人，设为，有3人不是消防达人，设为， 则从6人中选择2人作为学生代表， 有， ，共15种，其中2人均为消防达人为，共3种， 所以被选中的2人均为消防达人的概率为. （3）内的频率为，内的频率为， 内的平均数为85，内的平均数为95， 所以内的平均数为， 所以此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为 . 16．【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）∵，， ∴，即，， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）∵二面角是直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面， 如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ∴，. 设平面法向量为， ，令，则，，故， 由题意得，平面法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. （3） 分别以、所在直线分别为轴、轴，过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 由（1）得，二面角的平面角为，即，故， ∴，. 由题意得，平面的法向量为， ，解得， ∴存在点，. 17. 【答案】(1)证明见解析 (2)①是，；② 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得。 则，解得，同理， ，所以互相垂直． （2）①当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点A处的切线方程为，即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. ②线段AB的中点为， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的取值范围为. 18. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii）． 【详解】（1）因为是等差数列， 所以，公差， 所以，从而， ， （2）由.知，， 又是公比为2的等比数列， 所以，解得，， 所以， 从而时，，也适合此式， 所以 （i）集合中恰有2个元素， 不等式，为，所以，因此不等式恰有两个正整数解． 设， ，， 时，，即，时，，因此，， 所以数列从第2项开始是递减， 又，，， 所以不等式恰有两个正整数解，则．不等式的解为或． 实数的取值范围是． （ii）若对，都有， ， 所以， 不等式为，从而，， 为偶数时，，数列的偶数项中最小值是，所以， 为奇数时，，数列的奇数项中最小值是，所以，， 综上，即的范围是． 19.【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $