精品解析：四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题

2024~2025学年度上期高中2023级期末考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性可得结果. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 故选：C. 2. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，则直线的斜率 于是直线的方程为，即. 故选:A. 3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 56 B. 59 C. 62 D. 64.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式求解即可. 【详解】数据个数共有10个，且为从小到大排列， 这组数据的第70百分位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59， 故选:B. 4. 设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 5. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率. 【详解】记4个白球为，2个红球为， 从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有: ，共种不同的取法， 其中抽出2球均为白球有共种不同的取法， 所以抽出2个球均为白球的概率. 故选：C. 6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由圆上至少有3个点到直线的距离为1， 所以. 故选：A. 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 8. 设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解A，根据点到直线的距离公式即可求解B，根据模长公式即可求解C，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解D. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：取， 点到直线的距离，故B正确； C选项：，故C正确； D选项：，设平面的法向量为， 故，取，则，故D错误； 故选:BC. 10. 已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则 B. 若事件与事件相互独立，则 C. 若事件发生时事件一定发生，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的定义，独立事件的概率乘法公式进行分析判断即得. 【详解】对于A，事件与事件互斥，，故A正确； 对于B，事件与事件相互独立，， ，故B正确； 对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误； 对于D，因则事件与事件相互独立， 故事件与事件相互独立，故D正确. 故选:ABD. 11. 已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点三角形的面积公式即可求解A,根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理即可求解B，根据基本不等式即可求解C，利用三角换元，结合三角函数的性质即可求解D. 【详解】A选项：为焦点三角形，，故A正确； B选项：根据椭圆和双曲线的定义，可得，， 在中，由余弦定理，可得：， ，整理得， ，当时，，故B错误； C选项：，当且仅当，即时等号成立，故C正确； D选项：，故取， ，当且仅当,即，此时时取到等号，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设一组数据的平均数为11，则的平均数为______. 【答案】90 【解析】 【分析】利用平均数的性质由原数据的平均数计算新数据的平均数即得. 【详解】因的平均数 则的平均数为：. 故答案为：90. 13. 过三点的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得 故圆的方程为, 故圆的标准方程为. 故答案为： 14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______. 【答案】26 【解析】 【分析】由离心率可得，可得为等边三角形，从而可得的倾斜角为，求得直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理与弦长公式可得，求解即可. 【详解】离心率，， ，又因为为等边三角形， 设， 过点作线段的垂线，的倾斜角为， 直线的方程为，代入中， 得， ， 周长. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. “世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）； （2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差. 【答案】（1）众数为75， （2）， 【解析】 【分析】（1）根频率分布直方图中众数和平均数的计算公式即可求解， （2）根据总体平均数以及方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 众数：75， 第1至第6组的频率分别为， 平均数：； 【小问2详解】 根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人， 总体平均数：， 总体方差：. 16. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； （2）由题意可得，又，故求得的最小值即可. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； 【小问2详解】 为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积的最小值为. 17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. （1）求第3次投篮者为乙的概率； （2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式即可求解， 【小问1详解】 设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"， 根据题意可知，与互斥， ； 【小问2详解】 设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知： ， 事件互斥，且每次投篮的结果相互独立， . 18. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及勾股定理可得，，即可根据线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解， （3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，即可求解法向量，利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 连接， 在中，， ， 在中，， 同理可得：， 平面 【小问2详解】 设为的中点，， 平面平面， 平面平面， 又平面平面平面， 平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，， 取， 设直线与平面所成角为， 【小问3详解】 设， ，， 设点到平面的距离为， ， ， 是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， . 取， 设平面与平面所成的角为， . 19. 一动圆与圆外切，与圆内切. （1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程； （2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点； ②设和的面积分别为和，求的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②3 【解析】 【分析】（1）设动圆的半径为，根据动圆和圆，圆的关系得出和，再结合椭圆的定义即得轨迹方程； （2）①设点，分别求出直线和的方程，与椭圆方程联立求得点的坐标，计算化简直线的斜率，求得直线方程，即得定点坐标； ②由①的结论，可推得，即得，设直线，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简，再利用换元法，结合对勾函数的单调性，即可求得其最大值. 【小问1详解】 设动圆的半径为，动圆与圆外切，， 又动圆与圆内切，且圆在圆内部，， ，又，即， 故动圆圆心的轨迹是一个椭圆，且故得， 动圆圆心的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ① 如图，设点，因 则直线的方程为， 代入椭圆中，得：， 依题意，，解得：， 同理可得：， ， 直线的方程为， 整理得：， 直线恒过定点； ② 如图，根据①已得：直线恒过定点，且， 即点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，故， ， ， 设直线，代入椭圆中， 得：， ， ， 设则， 在上单调递增，， ， 的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：本题重点考查了直线与圆锥曲线相交有关的直线过定点和面积最值问题，属于难题. 解题的关键有二：其一，需要较强的计算能力，化简计算直线斜率，掌握常见的直线过定点的求解方法；其二，需要结合图形，具备一定的转化能力，如推得，将转化成，利用韦达定理，将其用一个参数表示，为下一步求其最值奠定基础. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度上期高中2023级期末考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 56 B. 59 C. 62 D. 64.5 4. 设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设为双曲线上两点，线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知事件，事件发生概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则 B. 若事件与事件相互独立，则 C. 若事件发生时事件一定发生，则 D. 若，则事件与事件相互独立 11. 已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设一组数据的平均数为11，则的平均数为______. 13. 过三点的圆的标准方程为______. 14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. “世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）； （2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差. 16. 已知圆是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. （1）求第3次投篮者为乙的概率； （2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 18. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 一动圆与圆外切，与圆内切. （1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程； （2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点； ②设和的面积分别为和，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$