1.4.2 垂直平分线的有关作图 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.4.2 垂直平分线的有关作图 第一章 三角形的证明及其应用 情境导入 C N M B A 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形。 a c 那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗？ 思考 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗? 能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等. 知识点1 尺规作图 (2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个? 因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个. 知识点1 尺规作图 作法 图形 已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. 知识点1 尺规作图 △ABC就是所要作的等腰三角形． a h a l A B C h D 1．作线段BC，使BC ＝a． 2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D． 3．在l上作线段DA，使DA＝h． 4．连接AB，AC． 1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处各 种一棵树，现要建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距 离相等，则灌溉出水口的位置应选在( ) A A. 三边的垂直平分线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三条中线的交点处 中考考法 6 2. 若三角形三边垂直平分线的交点在三角形的某一边上，则 该三角形是( ) A A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 中考考法 7 思考 还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗? 这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题. 知识点1 尺规作图 A B M l P 如果点P在直线l外呢?此时，还能运用这种转化的方法吗? • 作法 图形 已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. 知识点1 尺规作图 A B m l P Q • • 1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧， 交直线l于点A和点B. 3. 作线段 AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 为什么直线m经过点P? 因为点P到直线上点A，B的距离相等， 所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上. 知识点1 尺规作图 3. 如图，已知 ，用尺规在 上确定一点，使 ，则下 列四种不同的作图方法中正确的是 ( ) A. B. C. D. B 中考考法 11 4.如图，在中，边，的垂直平分线交于点 ，若 ，则 的大小是______. 中考考法 12 5.如图，已知直线和外一点 ，请用尺规作图法，作一个等 腰直角三角形，使得顶点和顶点都在直线 上. （作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹， 不写作法） 【解】等腰直角三角形 如 图所示.（答案不唯一） 中考考法 13 例1 已知线段a，求作以a为底，以a为底边上的高的等腰三角形. 解：已知线段a，如图(1)所示. 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=a. 知识点1 尺规作图 (1) 作法：如图(2)所示. ① 作线段BC=a. ② 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D. ③ 在DM上依次截取DE，EA，使DE=a，EA= a (即等于线段BD或CD的长). ④ 连接AB，AC. △ABC为所要作的等腰三角形. 知识点1 尺规作图 (2) (1) M B C D A N E 例2 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论? B A C P E D 证明：如图，连接PA，PB，PC. ∵ 点P在边AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC. ∴ PA=PB=PC. ∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， 即边AC的垂直平分线经过点P. 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 B A C P E D （第6题） 6. [2025辽宁] 如图，在 中， ，，， 的 平分线与相交于点.在线段 上取 一点，以点为圆心， 长为半径作弧， 与射线相交于点和点 ，再分别以点 B A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线，与相交于点，连接,则 的周长 为 ( ) 中考考法 18 （第6题） 【点拨】由作图可知，，设 , 交于点，则 . 平分， ，又 ， ， 垂直平分 ， 的周长为 . 中考考法 19 符号语言： ∵ 直线MN，EF，PQ分别垂直平 分线段BC，AB，AC， ∴ 直线MN，EF，PQ相交于点O， 且OA=OB=OC. 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这个点叫作三角形的外心. 三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下： 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点 钝角三角形 三角形外部 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 （第7题） 7.[2025广安] 如图，在 中，按以下 步骤作图：（1）以点为圆心， 的长 为半径画弧，交于点 ；（2）分别以 点和点为圆心，大于 的长为半径 画弧，两弧相交于点；（3）画射线 12 交于点.若，，，则 的长 为____. 中考考法 22 【点拨】， ， .连接 ，如图.根据 题意可得，垂直平分 ， ， , . ， ， ， . 中考考法 23 8.如图，是的边 的中点，过 延长线上一点作的垂线， 与的延长线交于点，，点 在上，且.求证：是 三边垂直平分线的交点. 中考考法 24 【证明】如图，连接 . 是的边 的中点， . ， ， . ， . 是 三边垂直平分线的交点. 中考考法 25 课堂小结 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 P 三角形三边的垂直平分线： B C l D A P l Q A B m 尺规作图： 作等腰三角形 过直线外一点作已知直线的垂线 $