专题06矩形（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题06矩形 【题型01 矩形性质理解】..........................................4 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................4 【题型03 由矩形的性质求线段长】..................................5 【题型04 由矩形的性质求面积】....................................6 【题型05 由矩形的性质证明】......................................7 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】................................8 【题型07 矩形与折叠问题】........................................9 【题型08 矩形的判定定理理解】....................................9 【题型09 证明四边形是矩形】.....................................10 【题型10 添一条件使四边形是矩形】...............................11 【题型11 由矩形的性质与判定求角度】.............................12 【题型12 由矩形的性质与判定求线段长】...........................13 【题型13 由矩形的性质与判定求面积】.............................14 【题型14 解答题6题】...........................................14 ★知识梳理 知识点01:矩形的定义 文字表述：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 符号语言：在▱ABCD 中，若∠ABC=90°，则▱ABCD 是矩形。 核心要点：矩形必须满足两个条件 ——①是平行四边形；②有一个内角为 90°。 知识点02:矩形的性质 （一）一般性质（平行四边形的所有性质） 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD）。 对称性：中心对称图形，对角线交点为对称中心。 （二）特殊性质（矩形独有） 角的性质：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 对角线性质：对角线相等（AC=BD）。 对称性：轴对称图形，有2 条对称轴（过对边中点的直线）。 符号语言：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD。 （三）重要推论 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 推导：矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线分割，可得直角三角形，其斜边中线为矩形对角线的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点03:矩形的判定 （一）定义判定（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵∠A=90°，∴▱ABCD 是矩形。 （二）判定定理 1（角的角度） 三个角是直角的四边形是矩形。 符号语言：在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形 ABCD 是矩形。 （三）判定定理 2（对角线角度） 对角线相等的平行四边形是矩形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵AC=BD，∴▱ABCD 是矩形。 知识点04:矩形的周长与面积 周长：C=2 (a+b)（a、b 为矩形的长和宽）。 面积：S=ab（长 × 宽）；也可由对角线分割为两个全等三角形，S=2×× 对角线 × 高。 知识点05:易错点提醒 1.判定矩形时，先确定是平行四边形，再用 “一个直角” 或 “对角线相等” 判定；仅 “一个角是直角的四边形” 不能判定为矩形。 2.矩形对角线相等但不一定垂直（垂直时为正方形）。 3.直角三角形斜边中线定理仅适用于直角三角形，不可滥用。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是 ． 【跟踪专练1】下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 【跟踪专练3】下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，是对角线，，延长到E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3.由矩形的性质求线段长】 【典例】如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，，轴，点C的坐标为，则点B的坐标为 ． 【跟踪专练3】如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【题型4.由矩形的性质求面积】 【典例】一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形一角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 【题型5.由矩形的性质证明】 【典例】三角形具有稳定性，但是四边形不具有．水平向左推动如图所示的矩形，得到新的四边形（点E在矩形的内部），直线交于点G，连接，在向左推动的过程中的面积变化情况是（    ）    A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．不一定如何变化 【跟踪专练1】如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C．平分 D． 【跟踪专练2】如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是 °． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点、，连接，则的长（    ） A． B． C． D． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4），经过边BC上一点P（4，m）的直线将矩形面积平分，则这条直线的解析式为 ． 【跟踪专练3】如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °．    【跟踪专练1】如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，．将沿折叠，使点B落在处，与交于点E，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【题型8.矩形的判定定理理解】 【典例】有三个角是 的四边形是矩形． 【跟踪专练1】下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【跟踪专练2】下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【跟踪专练3】兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【题型9.证明四边形是矩形】 【典例】矩形的判定定理包括：（1） 的平行四边形是矩形；（2） 的平行四边形是矩形；（3） 的四边形是矩形． 【跟踪专练1】如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是 ．（填写一种特殊的平行四边形） 【跟踪专练3】四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 【题型10.添一条件使四边形是矩形】 【典例】如图，在中，当 时，是矩形（填一个条件即可）． 【跟踪专练1】在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是 （写出一个即可）． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【题型11.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【跟踪专练2】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【题型12.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 【跟踪专练1】如图，中，，，，是上的动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）      A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【跟踪专练3】如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 【跟踪专练2】如图，在 的方格中，每个小正方形的边长都是1．若四边形的面积记作，四边形ECDF的面积记作，则与的大小关系是 ． 【跟踪专练3】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 解答题 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 2．如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 3．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 4．如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 5．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 6．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形 【题型01 矩形性质理解】..........................................4 【题型02 利用矩形的性质求角度】..................................5 【题型03 由矩形的性质求线段长】..................................8 【题型04 由矩形的性质求面积】...................................11 【题型05 由矩形的性质证明】.....................................14 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】...............................17 【题型07 矩形与折叠问题】.......................................21 【题型08 矩形的判定定理理解】...................................24 【题型09 证明四边形是矩形】.....................................26 【题型10 添一条件使四边形是矩形】...............................29 【题型11 由矩形的性质与判定求角度】.............................31 【题型12 由矩形的性质与判定求线段长】...........................35 【题型13 由矩形的性质与判定求面积】.............................38 【题型14 解答题6题】...........................................41 ★知识梳理 知识点01:矩形的定义 文字表述：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 符号语言：在▱ABCD 中，若∠ABC=90°，则▱ABCD 是矩形。 核心要点：矩形必须满足两个条件 ——①是平行四边形；②有一个内角为 90°。 知识点02:矩形的性质 （一）一般性质（平行四边形的所有性质） 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD）。 对称性：中心对称图形，对角线交点为对称中心。 （二）特殊性质（矩形独有） 角的性质：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 对角线性质：对角线相等（AC=BD）。 对称性：轴对称图形，有2 条对称轴（过对边中点的直线）。 符号语言：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD。 （三）重要推论 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 推导：矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线分割，可得直角三角形，其斜边中线为矩形对角线的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 知识点03:矩形的判定 （一）定义判定（基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵∠A=90°，∴▱ABCD 是矩形。 （二）判定定理 1（角的角度） 三个角是直角的四边形是矩形。 符号语言：在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形 ABCD 是矩形。 （三）判定定理 2（对角线角度） 对角线相等的平行四边形是矩形。 符号语言：在▱ABCD 中，∵AC=BD，∴▱ABCD 是矩形。 知识点04:矩形的周长与面积 周长：C=2 (a+b)（a、b 为矩形的长和宽）。 面积：S=ab（长 × 宽）；也可由对角线分割为两个全等三角形，S=2×× 对角线 × 高。 知识点05:易错点提醒 1.判定矩形时，先确定是平行四边形，再用 “一个直角” 或 “对角线相等” 判定；仅 “一个角是直角的四边形” 不能判定为矩形。 2.矩形对角线相等但不一定垂直（垂直时为正方形）。 3.直角三角形斜边中线定理仅适用于直角三角形，不可滥用。 【题型1.矩形性质理解】 【典例】矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是 ． 【答案】 【分析】矩形的短边长为，长边是短边的倍，可得长边为，即可计算周长． 【详解】解：∵矩形的短边长为，长边是短边的倍， ∴矩形的较长边长为， ∴矩形的周长 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和周长，掌握矩形的性质是解题关键． 【跟踪专练1】下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 【跟踪专练2】广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等即可得到答案． 【详解】解：第一条对角线用了21盆花，还需要运来盆花， 第一条对角线用了21盆花，中间一盆为对角线交点， 故还需要盆； 如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来24盆花； 第一条对角线用了24盆花，矩形的对角线互相平分且相等， 故还需要运来24盆花． 故答案为：，． 【跟踪专练3】下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的定义、矩形与平行四边形的关联及性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 结合相关概念逐一分析选项判断即可． 【详解】解：A、矩形是特殊的平行四边形，故选项不符合题意； B、矩形是特殊的平行四边形，则平行四边形具有的性质矩形都具有，故选项不符合题意； C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，比如直角梯形，故选项符合题意； D、矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故选项不符合题意． 故选：C． 【题型2.利用矩形的性质求角度】 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出，确定为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到，根据三角形内角和，结合已知，通过计算出的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴． 在中，， 则是等腰三角形， ∴ ． ∵， ∴． ∴． 故答案为：70． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形对角线互相平分且相等，可得，进而证明是等边三角形，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 【答案】102.5° 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键． 由四边形是矩形，得出，由，进而得到，根据得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，是对角线，，延长到E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，由矩形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【题型3.由矩形的性质求线段长】 【典例】如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的对角线相等且互相平分，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，，轴，点C的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质结合，轴，点的坐标为，可得到，，，进而得到点的横坐标和纵坐标，由此即可得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，，轴， ，，， 又∵点的坐标为， ∴点与点的纵坐标相等，为，点的横坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质应用、三角形全等、勾股定理，结合三角形全等、勾股定理进行计算是解题的关键． 根据四边形是矩形，，，证明，即可得到，进而得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，设为， 由勾股定理可得：，即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【题型4.由矩形的性质求面积】 【典例】一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形一角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的面积是 ． 【答案】7或或 【分析】本题考查了根据矩形的性质求面积，解题关键是掌握根据矩形的性质求面积方法． 分别计算将A、B、C顶点处的钉子去掉时长方形的另一条边长，再分将A顶点处的钉子去掉、将B顶点处的钉子去掉、将C顶点处的钉子去掉，3种情况，分别求长方形的面积． 【详解】解：若将A顶点处的钉子去掉，所钉成的长方形的面积是； 若将B顶点处的钉子去掉，所钉成的长方形的面积是； 若将C顶点处的钉子去掉，所钉成的长方形的面积是； ∴所钉成的长方形的面积是7或或． 故答案为：7或或． 【跟踪专练1】如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先根据矩形对角线的性质得到，由，根据即可求解． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．设 ，，则，证明四边形是平行四边形，可得 ，再根据三角形的面积公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴可设 ，，则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴  ， ∴ 与 的面积之和为 ； 与 的面积之和为 ； 四边形 与 的面积之和为 ； 的面积为 ； 故选：A． 【题型5.由矩形的性质证明】 【典例】三角形具有稳定性，但是四边形不具有．水平向左推动如图所示的矩形，得到新的四边形（点E在矩形的内部），直线交于点G，连接，在向左推动的过程中的面积变化情况是（    ）    A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．不一定如何变化 【答案】A 【分析】在向左推动的过程中，始终有，推出，，从而确定向左推动的过程中，、均变大，即可得出结论． 【详解】解：在向左推动的过程中，始终有， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵在向左推动的过程中，、均变大， ∴越来越大， 故选：A． 【点睛】本题考查四边形的不稳定性，以及矩形的性质，掌握矩形的基本性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴，，则， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∴，故D选项正确，符合题意； ∴是等腰三角形， ∵， ∴是直角三角形，错误，故B选项不符合题意； 如图所示，连接， ∴四边形是矩形， ∵的数量关系不确定， ∴平分错误，故C选项不符合题意； ∵，但的位置关系不确定， ∴， ∴，故A选项不符合题意； 综上所述，只有D选项正确， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是 °． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点、，连接，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理．由矩形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，然后由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：，即． 故选：D． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE，. ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4），经过边BC上一点P（4，m）的直线将矩形面积平分，则这条直线的解析式为 ． 【答案】y＝2x﹣4 【分析】根据矩形的性质以及B的坐标，求得P为（4，4），由平分矩形的直线经过矩形的中心点，求得中心点的坐标，则所求的直线就是经过对角线交点和点P的直线，再根据待定系数法求得即可． 【详解】解：∵矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4）， ∴矩形对角线的交点为（3，2）， ∵点P（4，m）是BC边上一点， ∴P（4，4）， ∵经过矩形对角线交点的直线平分矩形， ∴设过P（4，m）且平分矩形的直线为y＝kx＋b， 把点（4，4），（3，2）代入得 ， 解得 ， ∴这条直线的解析式为y＝2x﹣4． 故答案为y＝2x﹣4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平分矩形的直线经过矩形的对角线交点是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 【题型7.矩形与折叠问题】 【典例】如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °．    【答案】70 【分析】根据即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵ 故答案为：70 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质．熟记相关结论即可． 【跟踪专练1】如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，由可得，推出即可求解． 【详解】解：由翻折可得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D不符合题意； 矩形， ， ， ， ， 故选项A不符合题意； 根据现有条件无法证明选项BC； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，．将沿折叠，使点B落在处，与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据四边形是长方形，得出，由折叠可知，，，证明，设，则．由勾股定理列方程求出． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， 又， ∴， ∴， 设，则． 由勾股定理得，即， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质等知识点，解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 【题型8.矩形的判定定理理解】 【典例】有三个角是 的四边形是矩形． 【答案】直角 【分析】根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 【详解】解：根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查矩形的判定定理，熟记有三个角是直角的四边形是矩形是解决问题的关键． 【跟踪专练1】下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 【跟踪专练2】下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 【跟踪专练3】兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型9.证明四边形是矩形】 【典例】矩形的判定定理包括：（1） 的平行四边形是矩形；（2） 的平行四边形是矩形；（3） 的四边形是矩形． 【答案】 有一个角是直角 对角线相等 有三个角是直角 【分析】矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；根据定义与判定可得答案. 【详解】解：矩形的判定定理包括： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案为：有一个角是直角，对角线相等，有三个角是直角 【点睛】本题考查的是矩形的定义与判定，熟知矩形的定义与判定是解题的关键. 【跟踪专练1】如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ，，，， 即， ， 四边形是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， 四边形是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，， 四边形是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是 ．（填写一种特殊的平行四边形） 【答案】矩形 【分析】本题考查了平行四边形的定义，矩形的判定，分别根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 【跟踪专练3】四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定需满足对角线互相平分且相等，或有一个直角的平行四边形. 选项D中，说明对角线互相平分且相等，可判定矩形． 【详解】解：A选项：，，四边形是平行四边形，但是不能判定四边形是矩形，故A选项不符合题意； B选项：，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故B选项不符合题意； C选项：，，无法判定四边形是平行四边形或矩形，故C选项不符合题意； D选项：，四边形的对角线相等且互相平分，可以判定四边形是矩形，故D选项符合题意． 故选：D． 【题型10.添一条件使四边形是矩形】 【典例】如图，在中，当 时，是矩形（填一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形为矩形得出答案即可，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是 （写出一个即可）． 【答案】是的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ． 同理可证， ． 是的中点， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 是矩形． 故答案为：是的中点 ． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 【题型11.由矩形的性质与判定求角度】 【典例】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【跟踪专练3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型12.由矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，中，，，，是上的动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，可证四边形是矩形，可得，当时，的值最小，即线段有最小值，在中，可求出的值，根据等面积法即可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即线段有最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴是斜边的高， ∴， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：． 【点睛】本题主要考查线段最小值的计算，等面积法求三角形的高，掌握矩形的判定和性质，线段最小值的转换方法，等面积法求高是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图所示，在四边形中，，点在边上，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理； 过A作于F，可得四边形是矩形，设，，在中，利用勾股定理列式，整体求出即可． 【详解】解：过A作于F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∴， 故选：C． 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 【典例】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在 的方格中，每个小正方形的边长都是1．若四边形的面积记作，四边形ECDF的面积记作，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形是判定及性质，平行四边形的判定及性质，由矩形及平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由方格得， ， ， 四边形是矩形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：作于M，交于N．    则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 解答题 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，掌握矩形的性质是关键． 根据矩形的性质得到，进而，根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 【答案】的最小值为． 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 3．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 4．如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①AF；②周长的最小值为12 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． （1）通过矩形的性质得到，，再根据已知条件求出，即可得证； （2）根据矩形的性质和折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，计算即可得解；连接，，当点恰好位于对角线上时，最小，根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 5．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 6．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由矩形性质可知，，因为，可证，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）过点作，垂足为，则，可证四边形是矩形，则，，再利用勾股定理即可求出长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为， ，， ， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $