1.3.1 直角三角形的性质与判定 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.3.1 直角三角形的性质与判定 第一章 三角形的证明及其应用 1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。 学习目标 2 进行新课 探究1：直角三角形的两个锐角互余，为什么？ 根据三角形内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”。 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ A B C 如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°， 又∠A+∠C=90°， ∴∠B=90°。 于是△ABC是直角三角形。 1. 下列说法错误的是( ) B A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 命题的逆命题不一定是真命题 D. 定理的逆定理一定是真命题 中考考法 5 （第2题） 2. 如图，在中， , ，以点 为圆心，适当长为半 径画弧，交于点，交于点 ；再分 别以点,为圆心，大于 的长为半径 B A. B. C. D. 画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点 ； 画射线，与相交于点，则 的大小为( ) 中考考法 6 知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理 思考 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠A+∠B=90°， ∴ ∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°， ∴ △ABC是直角三角形. C B A 知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. C B A 符号语言： 在△ABC中， ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°. （第3题） 3. 如图是由两个直角三角形和 三个正方形组成的图形，其中 阴影部分的面积是( ) C A. 169 B. 144 C. 25 D. 16 中考考法 9 4. 在中，，，分别是，， 的对边，在下 列条件中，不能确定 的形状是直角三角形的是( ) A. B. C. D. A 中考考法 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理.（证明可参考本节“阅读·赏析”） 知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理 勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言：在Rt△ABC中， ∵ ∠C=90°， ∴ AC2+BC2=AB2. C B A 已知：如图，在△ABC中，AB2+AC2=BC2. 求证：△ABC是直角三角形. 知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理 C A B 证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC， 则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理). ∵ AB2+AC2=BC2， ∴ BC2=B′C′2. ∴ BC=B′C′. ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴ ∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC是直角三角形. 知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理 C A B C ′ A′ B′ 知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理 定理 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言： 在△ABC中， ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°. C B A 例1 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗? 请说明理由. 知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理 C A B D ∟ 1 2 4 解：∵ AD⊥BC， ∴ ∠ADC=∠ADB=90°. ∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5. 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20. ∵ AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25. ∴ AC2+AB2=BC2. ∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC=90°. 5.如图，在中，，，，是 边上的中线，则 的长度为____. （第5题） 中考考法 16 （第6题） 6.如图，在一条东西走向河流的一侧有 一村庄，河边原有两个取水点， ， 道路 因为施工需要封闭，该村为方便 村民取水，决定在河边新建一个取水点 （，， 在同一条直线上），并新 0.5 修一条道路，已知，， ， 新的取水点与原取水点相距，则新建后 比原 来（）少走____ . 中考考法 17 (1) 观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢? 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 第一个定理的条件和结论分别是第二个定理的结论和条件. 第三个定理(勾股定理)的条件和结论，分别是第四个定理(勾股定理的逆定理)的结论和条件. 知识点2 互逆命题与互逆定理 (2)观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果a=b，那么a2=b2； 如果a2=b2，那么a=b. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 有. 知识点2 互逆命题与互逆定理 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗? 逆命题为“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”. 原命题是真命题，逆命题是假命题. 知识点2 互逆命题与互逆定理 （第7题） 7. 将一副直角三角尺和一把宽度为2的 直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺 的 和 角的顶点及它们的一条直 角边重合，再将此直角边垂直于直尺的 B A. B. C. 2 D. 上沿，重合的顶点落在直尺的下沿上，这两个三角尺的斜边 分别交直尺上沿于，两点，则 的长是( ) 中考考法 21 例如：定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点2 互逆命题与互逆定理 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 注意：命题都有逆命题，但定理不一定都有逆定理. （第8题） 8. 如图，在 中， ， ， ，是上一动点，过点 作 于点，于点 ， ，则 的长是( ) C A. B. C. D. 不确定 中考考法 23 （第8题） 【点拨】设 ，则 ， ， ， ，解得 （舍去）或 .连接 ， . 中考考法 24 9. 在如图所示的正方形网格中（每个正方形的 边长均为1），点，，，， 分别是网格线的交点，则 的度数为______. 中考考法 25 【点拨】如图，取格点，连接 ， ， 由勾股定理得 , ， . . 是等腰直角三 角形. .， ， ， . 中考考法 26 10. 如图①是第七届国 际数学教育大会 的会徽图 案，它是由图②的一串直角三角形 4或9或16 演化而成的，其中 . 现 把图②中的直角三角形继续作下去.若 的长是整数，且 ，则符合条件的 的值是__________. 中考考法 27 11. 定义：若,,是 的三边，且 ,则称 为“方倍三角形”. （1）对于①等边三角形；②直角三角形.下列说法一定正确 的是( ) A A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形” C. ①②一定都是“方倍三角形” D. ①②一定都不是“方倍三角形” 中考考法 28 课堂小结 定理 直角三角形的两个锐角互余。 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 原命题 逆命题 原命题 逆命题 互逆命题 互逆命题 $