精品解析：福建莆田第四中学2025-2026学年上学期高二年级数学期末考试卷

莆田四中2025-2026学年上学期高二年段数学期末考试卷 满分150 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知等差数列的公差为，已知，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定的 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，若，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 在数列中，，，下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 数列是递增数列 10. 已知是双曲线C：（， ）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 离心率 D. 若，则 11. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. ， C. 若P，Q分别是曲线和上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若对任意的恒成立，则a的最小值为 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则______． 13. 已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 16. 如图，四棱锥 中， 平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面 ； （2）求平面和平面 夹角的余弦值． 17. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 18. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 19. 已知函数 ( ) （1）讨论函数的单调性 （2）若函数存在两个零点，求证: ； （3）已知数列的前项和为 ，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数 ，均有，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田四中2025-2026学年上学期高二年段数学期末考试卷 满分150 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知等差数列的公差为，已知，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，且， 若，则，可得. 故选：A. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数 的导数，再利用导数的定义求得答案. 【详解】函数，求导得， 所以. 3. 在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【详解】， 故选：B. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定的 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【详解】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线 与圆相交. 故选：C. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上， 恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 6. 在数列中，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简求出数列的通项公式，再把代入通项公式求出． 【详解】 ， 又， ，故C正确． 故选：C． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B． . 8. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于 的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 在数列中，，，下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 数列是递增数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知化简得出等差数列可以判断AB选项，根据等差数列通项公式计算得出通项公式判断C选项，最后结合单调性判断D选项. 【详解】由，整理得， 故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B选项正确，A选项错误， 由等差数列可得，所以，，则C选项正确， 由通项公式可知数列是递减数列，D选项错误. 故选：BC. 10. 已知是双曲线C：（， ）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 离心率 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点F到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确； 由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. ， C. 若P，Q分别是曲线和上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若对任意的恒成立，则a的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线与曲线互为反函数，可先求点到的最小距离，然后再求的最小值；对于D，利用同构把恒成立问题转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】对于A，．所以， 当 时， ，当 时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极值点为1，故A正确； 对于B，设，则， 因函数与在上均单调递增，故在上单调递增． 又，则存在．使得， 即，，所以当时．，当时．． 所以在上单调递减．在上单调递增. 所以，又，则， 所以，故B错误； 对于C，因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称， 设点到的最小距离为，设函数上斜率为 的切线为， ，由得，所以切点坐标为，即，所以， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，若对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，，因．所以在上单调递增，故， 即，令，所以， 当时，，则函数在 上单调递增，当时，，则函数在 上单调递减， 所以，所以，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】求导得，令，解得，从而得，再代入，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 令， 则有， 解得， 所以， 所以. 故答案为： 13. 已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______． 【答案】4725或4746 【解析】 【分析】根据给定的运算法则，逆推进出前4项，再结合数列周期性求出. 【详解】由，得，或， 若，则数列是周期数列，其周期为3， 因此； 若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3， 因此. 故答案为：4725或4746 【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前4项，再利用周期性求和. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 16. 如图，四棱锥 中， 平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面 ； （2）求平面和平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合余弦定理，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 在四棱锥 中，， 由余弦定理，得， 则，而，则，， 由 平面平面，得，又平面 ， 因此平面 ，又平面，所以平面平面 . 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 显然平面 的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面 和平面夹角为，， 所以平面和平面 夹角的余弦值. 17. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 【答案】（1） （2）由题可得，所以， 又，所以， 又也满足上式， 所以， 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 当 时，可得， 当 时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和联立可得答案； （2）设的方程为 ，，，与椭圆方程联立，由韦达定理得直线的方程、直线的方程，再由求出、，可证得可得答案． 【小问1详解】 由题可知． 当与x轴垂直时，不妨设M的坐标为， 所以， 解得，． 所以椭圆C的标准方程为 ． 【小问2详解】 设的方程为 ，，， 联立得消去x，得， 易知 恒成立，由韦达定理得，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证， 因为， 代入韦达定理得 ， 所以，即PQ与相互垂直平分，所以四边形为菱形． 19. 已知函数 ( ) （1）讨论函数的单调性 （2）若函数存在两个零点，求证: ； （3）已知数列的前项和为 ，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数 ，均有，求的最大值. 【答案】（1） 当 时，故 在 单调递减； 当时， 在单调递减，在单调递增. （2） ，令，则有， 由 ；由 . 所以在上单调递增，在单调递减． 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证 ，即证，即证 ，即证 ， 即证，等价于 ， 令 （ ）， 则有 ， 令 ，则有 ，则 ， 所以 在上单调递增，所以 ，得证. （3）5 【解析】 【分析】（1）求导，分 ，讨论函数的单调性. （2）极值点偏移问题，先把问题转化成 ， ，设函数 （ ），分析函数的单调性，即可证明. （3）先根据求数列的通项公式，再借助等比数列的通项公式，可把问题转化成，再设，，利用导数分析它们的单调性，再求的最大值. 【小问1详解】 对 求导有（）， ①当 时， ，故 在 单调递减； ②当时，由 ；由 . 所以 在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，当 时， 符合，所以. 设 公比为 ，则有，即恒成立，则 ， 对任意，均有，即（ 时）恒成立． 分别令，， 则，所以 在 上单调递增，在 单调递减， ， 令 ，则 ， 当 时， ，所以在上单调递减. 所以 ，故 ，所以 在 上单调递减. ①当 时：，解得， ②当 时：，解得（不成立）， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $