福建莆田第四中学2025-2026学年上学期高二年级数学期末考试卷

莆田四中2025-2026学年上学期高二年段数学期末考试卷 满分150 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知等差数列的公差为，已知，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定的 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，若，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 在数列中，，，下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 数列是递增数列 10. 已知是双曲线C：（， ）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 离心率 D. 若，则 11. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. ， C. 若P，Q分别是曲线和上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若对任意的恒成立，则a的最小值为 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则______． 13. 已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 16. 如图，四棱锥 中， 平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面 ； （2）求平面和平面 夹角的余弦值． 17. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 18. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 19. 已知函数 ( ) （1）讨论函数的单调性 （2）若函数存在两个零点，求证: ； （3）已知数列的前项和为 ，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数 ，均有，求的最大值. 莆田四中2025-2026学年上学期高二年段数学期末考试卷 满分150 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】4725或4746 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2），． 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）由题可得，所以， 又，所以， 又也满足上式， 所以， 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） 当 时，故 在 单调递减； 当时， 在单调递减，在单调递增. （2） ，令，则有， 由 ；由 . 所以在上单调递增，在单调递减． 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证 ，即证，即证 ，即证 ， 即证，等价于 ， 令 （ ）， 则有 ， 令 ，则有 ，则 ， 所以 在上单调递增，所以 ，得证. （3）5 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $