1.2等腰三角形 同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.2等腰三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设（    ） A． B． C． D．且 2．已知等腰顶角，，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，在中，，D是边上的中点，，则等于（　　） A．36° B．45° C．54° D．72° 4．如图，在中，，，则（） A． B． C． D． 5．如图，在中，为边上两点，且满足．连结．若，则与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 6．如图，等腰中，，在右侧有一点D，过点D作分别交于点P、E，若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 二、填空题 8．等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 9．在中，，平分交边于点，，则 °． 10．如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为 ． 11．如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为 ． 12．如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ． 13．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，为的三等分角．若，则的度数是 ．      14．如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是 ． 三、解答题 15．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 16．如图，在中 ，，点D、E分别在上，且，连接 ，交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，在中，，，过作交延长线于点，在上截取，连接． (1)①求证：； ②求的度数． (2)如图2，过作，垂足为，延长交于，求证：； 18．如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 19．在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若为线段上一点，，求证：； (3)如图3，若，垂足为，求证：． 20．如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 21．如图1，已知在中，，，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，点在内部，满足，， ①求证：； ②如图3，连接，在上截取，若，，求的长． 参考答案 1．A 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设． 故选：A 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．B 【分析】过点C作于D，根据直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点C作于D， 在中，，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 3．A 【分析】根据，D是边上的中点，推出，即可求出． 【详解】∵在中，已知，D是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形底边的 “三线和一”是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形外角、内角和定理，涉及知识点：等边对等角、三角形外角等于不相邻两内角和、三角形内角和为．解题方法是从已知角出发，利用等腰三角形性质逐步推导相关角的度数，最终求出；解题关键是依次推导等腰三角形的底角和外角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是问题求解的关键． 先根据，得到，然后用等量代换得到，代入，完成求解 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，判断是解题的关键．先证明是等边三角形，得出，根据即可求解． 【详解】解：等腰中，， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上正确的结论有：①③④， 故选：A． 8．或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为和底角为，讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为， 综上所述，它的底角是或， 故答案为：或． 9． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 10．/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的定义；根据题意得出三角形的外角性质得出，即可得出，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 三角形的内角的角平分线为， ， 平分外角， ， 在中，由三角形的外角性质，得， ， ， ； 故答案为：． 11．3 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵、的平分线交于O点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．连接，与交于点，过点作，推出，则就是的最小值，再通过勾股定理运算求解即可． 【详解】解：连接，与交于点，过点作，如图所示， ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴为的中垂线，， ∴，则就是的最小值， ∵等边的边长为，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中， ∴的最小值为． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，即；然后再运用三角形外角的性质可得，即，进而得到，最后根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形的性质和已知条件求出的度数． 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为求解角度即可． 【详解】解：， ，， ①当时，， ，此时不符合； ②当时，即， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数是或． 故答案为：或． 15． （1）它的另外两个角是和； （2）它的另外两边长是和，或和． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是分类讨论． （1）由已知角的范围确定顶角，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，计算即可． （2）分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的周长，计算另外两条边，用三角形三边之间的关系检验即可． 【详解】解：（1）∵， ∴该等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为， ∴两个底角的度数为， 答：它的另外两个角是和． （2）等腰三角形的一边长是，周长是， 若等腰三角形的腰长为，则另一条腰长为，底边长为， 若等腰三角形的底边长为，则腰长为， 检验：，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意；，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意． 答：它的另外两边长是和，或和． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，正确寻找全等三角形是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）利用，得，再根据等边对等角证明，再结合可证，进而可证明． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ （2）证明：由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴． 17．(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）①利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，表示出相关角的度数即可； ②利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，表示出相关角的度数，然后进行角的和差进行计算即可； （2）结合（1）中的结论，得出相等的角，证明，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：， ． ， ， ； ②解：在中，， ， ． ； （2）证明：， ， ， 在中，， ． ，， ． ． 18．(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 19．(1)的度数为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，则可证，利用三角形内角和定理，构建方程求出即可解决问题； （2）先等角对等边得到，然后由可证明，即可得结论； （3）过点A作，交的延长线于点E，由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等腰三角形的判定和性质进而即可求证． 【详解】（1）解：设， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由题意得，且为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点A作，交的延长线于点E， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用所学知识并构建合适的辅助线是解题的关键． 20．(1)9， (2)点和点在点处重合 (3)存在， (4)或 【分析】（1）求出第一次回到点的时间，然后算出的运动距离，即可判断； （2）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （3）首先证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值； （4）分别就和列方程求解可得； 【详解】（1）解：∵等边的边长为， ∴， ∵点的速度为．当点第一次回到出发点点时， ∴第一次回到点的时间为：， 此时运动的距离为，运动到边上， 故答案为，； （2）解：设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：， ∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合，此时运动的距离为，运动到点， 故点和重合时的位置为点； （3）解：存在，时，点、均在边上时，； 当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（2）知6秒时、两点重合，恰好在处， 如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 解得，符合题意． （4）解：当点在上运动时，如图， 若， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图，若， 由得， 解得． 当时，两点都在上，此时不存在与的某一边垂直； 综上所述，当为或时， 与的某一边垂直； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键． 21．(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）①证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； ②连接，根据题意得出是等腰直角三角形，进而证明，根据①的结论得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 由①可得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $