1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质课件--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的 直角三角形的性质 第一章 三角形的证明及其应用 1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。 2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。 学习目标 2 进行新课 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 请证明自己的结论，并与同伴进行交流。 如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗?为什么? 是.理由如下： 已知△ABC，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵ ∠B=∠C， ∴ AB=AC . (等角对等边) 同理 BC=AC . ∴ AB=AC=BC. ∴ △ABC是等边三角形. 知识点1 等边三角形的判定定理 A B C 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗?为什么? 是.理由如下： 已知△ABC，AB=AC，其中一个内角等于60°. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：当∠A=60°时，∵AB=AC， ∴∠B=∠C=60°，即∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. 当∠B=60°时，∵AB=AC， ∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形. 知识点1 等边三角形的判定定理 A B C 知识点1 等边三角形的判定定理 等边三角形的判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为 ，则这 个三角形一定是( ) C A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 中考考法 7 （第2题） 2. 如图，嘉琪想测量一座古塔 的高度，在 处测得 ，再往前行进 到达 处，测得 ，点，， 在 B A. B. C. D. 同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔 的高度为 ( ) 中考考法 8 等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳： 知识点1 等边三角形的判定定理 等腰三角形 等边三角形 边 角 三条边都相等的三角形是等边三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 两条边相等的三角形是等腰三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 例1 如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A =60°，且AB// CD，求证：△OCD是等边三角形. 证明： ∵∠A=60°,OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠B=60°. ∵ AB//CD， ∴ ∠C= ∠A =60°，∠D = ∠B =60°， ∴∠COD=60°， ∴∠D=∠C=∠COD， ∴△OCD是等边三角形. 知识点1 等边三角形的判定定理 （第3题） 3. 如图，已知 ， 点在边上，，点，在边 上，.若，则 的长是 ( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 中考考法 11 【点拨】如图，过点作于点 ， 则 . ， . ， ， . 中考考法 12 知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理 思考 (1) 用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形. (2) 在上述拼接过程中，你发现了什么结论?请证明你的结论. 由此可以发现： 30°角的对边等于三角尺斜边的一半. 知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理 已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB. 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接 AD. ∵ ∠ACB=90°， ∴ ∠ ACD=90°. ∵ AC=AC， ∴ △ABC≌△ADC(SAS). ∴ AB=AD(全等三角形的对应边相等). 知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理 A B C D A B C 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理). ∵ ∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴ ∠B=180°-30°- 90°=60°. ∴ △ABD是等边三角形(有一个角等于60° 的等腰三角形是等边三角形). ∴ BC=BD=AB. 知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理 A B C D 知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理 直角三角形性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 30° A B C 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=30°，∠A=30°， ∴BC=. 4.如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边 上的 三等分点.分别过点，沿着平行于， 方向各剪一刀， 则剪下的 的周长是___. 6 （第4题） 中考考法 18 5.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置， 已知 ，点，表示的刻度分别为， ，则 线段的长为___ . 2 （第5题） 中考考法 19 （第5题） 【点拨】 直尺的两对边相互平行， .易知 ， . 是等边三角 形. . 中考考法 20 例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高. 求证：CD=AB. A B C D 知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理 证明：在△ABC中，∵ AB=AC，∠B=15°， ∴ ∠ACB=∠B=15°(等边对等角). ∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30° (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和). ∵ CD是腰 AB上的高， ∴ CD=AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半). ∴ CD=AB. A B C D ∴ ∠ADC=90°. 知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理 6.[2025绵阳期末] 如图，在四边形 中，， 平分 ，于点， 于点，连接 . （1）求证： ； 【证明】， . 平分， . . 中考考法 23 （2）若 ，求证： 是等边三角形. ， . 于点， , . ，， . 是等边三角形. 中考考法 24 7. 如图， ，平分，且 .若点 ，分别在，上，且 为等边三角形，则满足 上述条件的 有( ) D （第7题） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 中考考法 25 （第8题） 8. 如图，是等边三角形的中线， 是直线上一点，连接，以 为边， 向下方作等边三角形，连接 .若 ，则 的最小值为( ) C A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 中考考法 26 （第9题） 9.如图，在四边形中， ， ， ，点在 上，连接 ，相交于点，.若 ，则 的长为___. 6 中考考法 27 （第10题） 10.如图，在中， , ,点在边上， , 连接,且平分,过点 作 于点,若,则 的值为 __. 中考考法 28 【点拨】如图，过点作 于点 平分, .又 ,,,, , ,即 中考考法 29 , , 是等边三角形. , .. , . 中考考法 课堂小结 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形的判定： 含30°角的直角三角形的性质： 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 A B C 30° A B C $