1.2.2等腰三角形的判定及反证法 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.2.2等腰三角形的判定及反证法 第一章 三角形的证明及其应用 边：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （定义） 问题：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 角：等腰三角形 两底角相等 性质 进行新课 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。 分析： 知识点1 等腰三角形的判定 可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 如何证明这一结论呢? 如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC， 只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为 对应边就可以了. A B C 如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(AAS)， ∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等). 知识点1 等腰三角形的判定 A B C D 知识点1 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). B C A 符号语言：在△ABC中，∵ ∠B =∠C ，∴ AB =AC . 注意：（1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中. （2）在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 等腰三角形判定方法归纳： 知识点1 等腰三角形的判定 判定方法 边 两条边相等的三角形是等腰三角形 角 两个角相等的三角形是等腰三角形 1. 下列条件中，不能判定 是等腰三角形的是( ) D A. B. C. , D. 2. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一 步应假设( ) A A. 两直线不平行 B. 同旁内角不互补 C. 同旁内角相等 D. 同旁内角不相等 中考考法 8 （第3题） 3. 如图，等腰三角形共有( ) B A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个 中考考法 9 例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴ △ABD≌△DCA(SSS). ∴ ∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等). ∴ AE=DE(等角对等边). ∴ △AED是等腰三角形. 知识点1 等腰三角形的判定 知识点1 等腰三角形的判定 解题通法 “等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法 在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等. （第4题） 4. 教材P21习题 如图，在 中，，点在 的延长线上， 于点，交于点，若 ， ，则 的长度为____. 10 中考考法 12 （第4题） 【点拨】 ， ， . ， . ， ， . 中考考法 13 5. 如图，一条船上午8时从 处以的速度向北偏西 方向 航行，上午11时到达处，处在灯塔 的 正南方向，从处测得灯塔在北偏西 方向上，则处离灯塔 的距离为____ 60 15 .若船接着从处以的速度向灯塔 航行，当 船到达灯塔 时是____时. 中考考法 14 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗? 知识点2 反证法 小明的思考过程如下.你能理解他的推理过程吗? 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 知识点2 反证法 B C A 知识点2 反证法 像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法. 注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的; 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°. 于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 知识点2 反证法 注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件. 知识点2 反证法 解题通法 用反证法证明的一般步骤 (1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 6.如图，在中，，点，，分别在 ， ，上，且， . 中考考法 20 （1）求证： 是等腰三角形； 【证明】 ， . ， . 又， . 是等腰三角形. 中考考法 21 （2）用反证法证明 不可能是直角三角形. 中考考法 22 假设是直角三角形，则 ， .由（1）知 ， . . . . ，与三角形内角和 定理相矛盾. 不可能是直角三角形． 中考考法 23 7. 下列三角形中，若 ，则不能被一条直 线分成两个小等腰三角形的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 24 （第8题） 8. 如图，在中，与 的平分线交于点，过点作 交于点，交于点 ，那么下列 结论：和 都是等腰三 角形；； D A. ①②⑤ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③⑤ 的周长等于边与的和； ； . 其中一定正确的是( ) 中考考法 25 （第9题） 9. 如图，直线， 交于 点， ，点是直线 上的一个 定点，点在直线上运动，当 _______________________时，以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形. 或 或 或 中考考法 26 10.如图，在四边形中，,平分 ， 于点,为的中点，连接交于点 ，则图中 两个阴影三角形与 的面积之差的最大值为__. 中考考法 27 【点拨】如图，延长, 交于点 , . , 又,, .又 , , .平分, . 中考考法 28 为 的中点， , 易知, . , 当时， 的面积最大，最大 面积为 . 中考考法 课堂小结 等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） 反证法： 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 A B C $