1.1.4多边形的外角和 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦多边形外角和定理，通过五边形步道慢跑情境导入，引导学生观察方向改变角，结合内角和与平角关系推导外角和，再扩展至n边形，构建从具体到抽象的学习支架，衔接内角和知识。 其亮点在于以情境探究培养数学眼光，通过推理过程发展数学思维，结合中考题强化数学语言应用。采用问题驱动和转化方法，小结明确定理及正多边形外角公式，助力学生提升几何直观与推理意识，教师可直接用于教学提升效率。

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.1.4多边形的外角和 第一章 三角形的证明及其应用 1. 掌握多边形外角和定理。 2. 能灵活运用多边形的内角和与外角和解决相关问题。 学习目标 2 进行新课 如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑。 （1）小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。 （2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流。 1.1.4 多边形的外角和 教学课件分页内容 第1页：情境导入，复习旧知 1. 回顾：什么是多边形的内角？三角形内角和是多少？n边形内角和公式是什么？（引导学生回答：180°；(n-2)×180°） 2. 情境提问：清晨散步时，从多边形广场的一个顶点出发，沿边走到另一个顶点，再转向下一条边，这个转向的角是什么角？这些角的和有什么规律？引出课题——多边形的外角和。 第2页：探究新知，定义辨析 1. 多边形外角的定义：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做多边形的外角。强调：每个顶点处有2个外角，且互为对顶角，通常取1个研究。 2. 多边形外角和的定义：在每个顶点处取1个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。 第3页：实验探究，推导公式 1. 特殊多边形探究：分别计算三角形、四边形、五边形的外角和。 - 三角形：通过测量或内角与外角互补推导，每个顶点内角+外角=180°，3个顶点总和540°，减去内角和180°，得外角和360°。 - 四边形：同理，4×180° - (4-2)×180° = 360°。 2. 一般推导：n边形每个顶点内角+外角=180°，n个顶点总和n×180°，减去内角和(n-2)×180°，化简得外角和=360°。结论：任意多边形的外角和都是360°。 第4页：巩固应用，深化理解 例题1：一个多边形的每个外角都等于36°，求这个多边形的边数。（引导学生用360°÷36°=10，得出边数为10） 例题2：正五边形的每个外角是多少度？每个内角呢？（外角：360°÷5=72°；内角：180°-72°=108°） 思考：为什么多边形外角和恒为360°，与边数无关？ 第5页：课堂小结，梳理脉络 1. 核心知识点：多边形外角定义、外角和定义；任意多边形外角和为360°。 2. 解题方法：已知外角求边数：边数=360°÷单个外角度数；已知边数求单个外角（正多边形）：单个外角度数=360°÷边数。 3. 思想方法：转化思想（将外角和转化为内角和与总互补角的差）、从特殊到一般的探究思想。 A B C D E 2 3 4 5 1 ∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°， ∠5+∠DEA=180°， ∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+ ∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°。 ∵五边形的内角和为(5－2)×180°=540°， 即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+ ∠DEA=540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =900°－540°=360°。 （第1题） 1. 如图，已知 ， 则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 5 （第2题） 2. 如图，小明沿一个五边 形的广场小道按 的方向 跑步健身，他每跑完一圈，身体转过的角度 之和是( ) B A. B. C. D. 中考考法 6 （第3题） 3. 如图，，， 是某正多边形相邻的 三条边，延长，交于点 ，若 ，则该正多边形的边数为( ) C A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 中考考法 7 思考 如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样? 所以公园步道的形状是六边形、八边形时， 改变的角的总和仍为360°. 知识点 多边形的外角及外角和定理 跑完一圈后方向和出发时方向一样， 所以跑步方向改变的角的总和是360°. 知识点 多边形的外角及外角和定理 多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是五边形ABCDE的外角. 你知道n边形有几个外角吗? 如图，∠6也是五边形ABCDE的外角, 所以n边形有2n个外角. 6 知识点 多边形的外角及外角和定理 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. 通过前面的探究可以发现： 五边形、六边形、八边形的外角和为 360°. 如图，五边形ABCDE的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5. 如果是n边形，它的外角和是多少呢? 猜想：n边形的外角和都是360°. 理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是互补的角， 它们的和是180°， ∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°， 又∵n边形的内角和为(n-2)×180°， ∴n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°． 知识点 多边形的外角及外角和定理 知识点 多边形的外角及外角和定理 定理 多边形的外角和等于360°. 注意：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. （第4题） 4. 如图，将五边形 沿虚线裁去一个角， 得到六边形 ，则下列说法正确的是 ( ) D A. 外角和减少 B. 外角和增加 C. 内角和减少 D. 内角和增加 中考考法 13 （第5题） 5.如图所示，分别以 边形的顶点为圆心， 以为半径画圆，当 时，图中 阴影部分的面积之和为____ ． （注：结果用含 的式子表示） 中考考法 14 例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形? 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得 (n-2)·180°=3×360°. 解得 n=8. 所以，这个多边形是八边形. 知识点 多边形的外角及外角和定理 思考 研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法? 转化方法，即将一个多边形转化为多个三角形，由三角形的内角和求多边形的内角和. 多边形的外角与和它相邻的内角构成平角，由平角和与内角和求出外角和. 知识点 多边形的外角及外角和定理 （第6题） 6. 冰裂纹是苏州园林花窗的 一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着 冰消雪融，春回大地.如图是拙政园宜两亭中的 冰裂纹梅花窗中的部分图案.已知 ， ， ，则 _____ . 120 中考考法 17 7.如图，求 的度数. 中考考法 18 【解】 , , , ， 又 ， . . 中考考法 19 （第8题） 8. 如图，一束太阳光线平行照射在放置 于地面的正六边形上，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 20 【点拨】如图， 正六边形的一个外角的 度数为 ，即 , 正六 边形的一个内角的度数为 ，即 . 由题意得 . . . 中考考法 21 （第9题） 9. 如图①，在中， ，若 将与 全等的三角形按图①所示的方式 放置，则可以拼成一个五边形，若将与 全等的三角形按图②所示的方式放置 下去，则拼出来的多边形的边数是( ) C A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 中考考法 22 10.[2025唐山期末] 如图，在平面直角坐标 系中，一只小蚂蚁从原点出发，沿 轴负 半轴向前爬行2个单位长度到达点 ，然后向 右转 再向前爬行2个单位长度到达点 ， 然后再向右转 继续向前爬行2个单位长度到达点 ，这样 爬行12次后恰好回到原点 处. 中考考法 23 （1） ____； 30 小蚂蚁爬行后形成的图形是正十二边形，于是得到 ； 中考考法 24 （2）连接，则 ______. 【点拨】 由题易知， ， . 中考考法 25 11.如图①，作 的平分线的反向延长 线，分别以，， 为内 角作正多边形，且边长均为1.例如，若以 为内角，可作出一个边长为1的正方 形，此时 ，而 是 （多边形外角和）的 ，这样就恰好可作出两个边长均 为1的正八边形，如图②. 中考考法 26 （1）图②的外轮廓周长是____； 14 中考考法 27 （2）若某协会在所有符合要求的图案中 选一个外轮廓周长最大的定为会标，求 会标的外轮廓周长. 【解】设， 以 为内角的正多边形的边数 为 ， 以,为内角的正多边形的边数均为 ， 会标的外轮廓周长是 ， 中考考法 28 ， ， ， 易知当 时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是 . 根据题意可知的值只能为 ， 中考考法 课堂小结 定理 多边形的外角和等于360°。 正多边形每个外角的度数： 1.多边形的外角和 2.正多边形 $