第08讲 椭圆的解答题讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

第10讲 椭圆解答题经典题型 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 解题策略 3 题型归纳 10 题型01：椭圆的方程 10 （一）椭圆标准方程 10 （二）椭圆的轨迹方程 15 题型02：直线与椭圆的位置关系 19 题型03：弦长问题 20 题型04：椭圆中点弦问题 23 题型05：面积问题 28 题型06：面积比 35 题型07：三点共线问题 37 题型08：四点共圆 40 题型09：直线过定点问题 40 （一）椭圆“手电筒”模型过定点 40 （二）椭圆“相交弦”模型过定点 47 （三）椭圆“相交弦”模型过定点斜率成倍数 51 （四）椭圆“对称点”模型过定点 54 （五）椭圆“垂足点”模型过定点 59 （六）椭圆“垂直弦中点”模型过定点 62 （七）椭圆“夹汤圆”模型过定点 66 题型10：存在定点满足某条件问题 71 题型11：定值问题 74 （一）面积定值问题 74 （二）斜率的和差商积定值问题 76 （三）线段关系定值问题 82 （四）数量积定值 88 （五）点的坐标定值 90 （六）圆锥曲线中其他定值问题 92 题型12：圆锥曲线中的定直线问题 95 题型13：最值问题 101 （一）长度最值 101 （二）面积最值 104 （三）其它最值 110 题型14：取值范围问题 113 题型15：定比点差法 119 题型16：求根 121 题型17：多斜率计算型 124 题型18：韦达定理复杂转化型 128 题型19：椭圆与向量问题 131 题型20：证明综合 137 题型21：椭圆的探索性问题 140 巩固提升 143 1. 难度定位 ①第1问：送分题，必须拿满 ②第2问：中偏难，拉开差距，不算最难，但计算量大、步骤多。 2. 常考题型（90% 就这5类） ①弦长、面积最值/范围 ②定点问题（直线过定点、点在定直线） ③定值问题（斜率积、长度比、乘积为常数） ④向量条件（垂直、共线、数量积为0） ⑤ 角度、对称、中点相关 3. 命题趋势 ①不再死算，重几何转化、轻暴力计算 ②常和：向量、斜率、中点、垂直、平行、相似结合 ③答案一般很“整”：整数、简单分数 1. 保底目标：拿 6～8 分 • 第1问满分：会求椭圆标准方程、离心率 • 第2问步骤分： ◦ 会设直线 ◦ 会联立椭圆 ◦ 会写韦达定理 ◦ 会把条件翻译成式子 2. 冲分目标：稳定 10～12 分 • 联立不出错 • 韦达定理熟练 • 会把几何条件 ⇒ 代数式子 • 会化简、会判别式、会求范围 • 计算稳、不跳步、不粗心 知识点一：求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 知识点二：韦达定理解直线和圆锥曲线相交基本步骤 S1.设直线方程，设交点坐标为、； S2.联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； S3.列出韦达定理； S4.将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； S5.代入韦达定理求解 例：直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 知识点三：弦长面积问题 一：求弦长、面积最值这类问题的核心是：将几何量（弦长、面积）表示为某个变量的函数，然后通过代数方法求该函数的最值。  S1.设参建模 设直线：根据题意设出直线方程。如果直线过定点，使用点斜式 最为常见。如果直线与y轴平行，需单独考虑。 设交点：设出直线与圆锥曲线两个交点的坐标 。 S2联立方程 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 或 ，得到一个关于 (或 y) 的一元二次方程。 二：表达目标量 1、弦长公式 设，根据两点距离公式． ①设直线为上，代入化简，得; ②设直线方程为，代入化简，得 2、三角形的面积 ①底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） ②水平宽·铅锤高 ③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 三：求最值 目标量（弦长或面积）通常表示为一个关于参数（如斜率）的函数。 定义域优先：在求最值前，必须确定参数的取值范围。 常用求最值方法： 1.配方法：适用于二次函数。 2.基本不等式法：适用于能化为 或 形式的结构，特别注意“一正二定三相等”。 3.导数法：当函数形式复杂（如分式、高次）时，这是最通用的方法。求导，找驻点，判断单调性。 四：面积比 求面积比的核心在于将面积的比值转化为线段比、坐标比或直接面积表达式之比，然后利用韦达定理和“设而不求”的思想进行整体代换，最终化为一个变量的函数来求解或证明定值、或求范围。 利用几何关系转化比值 1.共线或共点三角形：如果两个三角形有公共顶点或底边在同一直线上，它们的面积比往往等于对应底边或高线的比值。这是最有效的简化方法。 2.平行线：题目中若存在平行线，必然产生相似三角形，要充分利用其带来的比例关系。 3.分解复杂图形：对于复杂的多边形面积比，可以将其分割成若干个三角形面积之和或差，然后分别计算这些三角形的面积，再求比值。 注意 ①“设而不求”：不仅对交点坐标“设而不求”，对于比值中出现的复杂项，有时可以将其视为一个整体，在化简过程中可能会被约去，从而避免繁琐的计算。 ②“变量归一化”：当问题中有多个变量时，要努力利用已知条件（如点共线、线垂直等）找到变量之间的关系，减少自由变量的个数，最终将比值化为单变量函数或常数。 知识点四：三点共线问题 在圆锥曲线大题中证明三点共线是一个经典问题。其核心思想是：将几何共线关系转化为代数关系式。利用三点 共线的充要条件：任意两点的斜率相等，或 向量共线，或 点 C 满足直线  的方程。 1.斜率相等：从三点中任意选择两点构成两条直线，证明两直线斜率相等，注意斜率不存在的情况。 2.向量共线：如果向量  与向量（或 ）共线（即平行），则  三点共线。 3.点在直线上：求出直线 AB 的方程，然后证明点 C 的坐标满足该方程。 知识点五：四点共圆 以四点共圆为背景的圆锥曲线大题是压轴题中的经典类型，最经典例题为2021年新高考I卷中的21题。其核心在于 “如何将几何的圆问题转化为可操作的代数条件” 。 四点共圆中常用的几何性质有以下几点 1.对角互补： 当四点在某种对称结构下，常可简化为两组对边的斜率互为相反数。则直接转化为直线的斜率关系，非常适合与韦达定理结合。 2.相交弦定理（幂定理）： 若四点共圆，两条弦相交于点，满足 。 对于四点共圆问题，要建立起强大的信心：它看似是“圆”的问题，但本质上是通过一些优美的几何定理（如对角互补），被转化成了一个纯粹的直线斜率关系问题，从而能够完美地融入我们熟悉的韦达定理和“设而不求”的框架中予以解决。 知识点六：中点弦问题 设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”. 知识点七：取值范围问题 圆锥曲线常见求取值范围问题的方法： ①依托圆锥曲线的几何性质或判别式，构造不等关系以确定参数取值范围； ②已知某参数范围时，通过建立该参数与新参数的等量关系，推导新参数的取值范围； ③挖掘题目中隐含的不等条件，据此构建不等式求解参数取值范围； ④直接利用题目给出的不等关系建立不等式，进而求出参数的取值范围； ⑤将待求量转化为其他变量的函数，通过求该函数的值域确定参数取值范围。 知识点八：圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等热点问题，主要在解答题中考查，选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解. 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 求解直线过定点问题的常用方法如下： ①“特殊探路，一般证明”：先通过参数取特殊值等特殊情况推测定点坐标，再以猜想为方向，进行严谨的一般性证明，验证定点的唯一性。 ②“一般推理，特殊求解”：先设出定点坐标，结合题设选取参数并构建直线系（或曲线）方程，利用参数的任意性列出关于定点坐标的方程组，解方程组即可得到所求定点。 ③“方程形式推导法”:若需证明直线过定点，常借助直线的点斜式或斜截式等方程形式，通过推导论证直线必过该定点。 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 3．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 4．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 直线与椭圆综合应用中定值问题的求解，基本思路如下： ①先设出直线方程，将其与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程； ②利用判别式确定变量的取值范围，同时写出韦达定理的表达式； ③结合韦达定理表示出待求量，并将其转化为关于变量的函数； ④对所得函数式进行化简、消元，最终推导出定值。 5．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 知识点九： 圆锥曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. ③处理定值问题的思路：联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 知识点十：定比点差法 定比点差法是解决圆锥曲线中涉及线段定比分点或中点问题的一柄利器。它绕开了传统的联立和韦达定理，直接从点的坐标关系入手，具有思路清晰、计算简捷的特点。 1.核心思想：“设分点，代曲线，作差化简” 直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若P点满足线性关系（,，通过将 A，B坐标代入曲线方程，然后利用定比分点坐标公式作差，直接建立起点  坐标与斜率  的关系，从而解决问题。 2.定比点差法通过巧妙地构造方程间的加权差，利用平方差公式和定比分点公式，直接沟通了分点坐标、曲线参数和弦的斜率，实现了“化曲为直”，是解决此类结构化问题的典范方法 知识点十一： 双切线 高考题当中，通常以圆锥曲线内接三角形当中两条边与一个圆相切时，证明第三条边也与圆相切，这里我们就需要用到同构方程，再利用点到直线距离证明其等于半径.其背景为彭赛列闭合定理。 知识点十二：最值问题 解决圆锥曲线中的最值问题时，第一步可根据题意构建关于参数的目标函数；第二步借助题目给出的范围或由判别式确定的限制条件，搭配函数单调性、基本不等式等工具完成求解。 题型01：椭圆的方程 （一）椭圆标准方程 【典型例题1】已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②3. 【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 【典型例题2】对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆且，则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点. (1)求椭圆的标准方程. (2)不过点的直线与椭圆交于、，且直线与直线的斜率之积为. ①证明：直线过定点. ②试问在轴上是否存在点，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②答案见解析. 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的标准 方程； （2）①设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标； ②设点，利用韦达定理结合斜率公式化简，结合为定值求出的值，即可结论. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故椭圆的标准方程为. （2）①设、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 因为，， 所以， ， 整理可得，即，解得或， 若，则直线的方程为，此时，直线过点，不合乎题意， 所以，，所以，直线的方程为，则直线过定点； ②由①可知，，， 设点，则，， 所以， ， 要使得直线、的斜率之积为定值，只需，解得， 当时，； 当时，. 故在轴上存在点，使得直线、的斜率之积为定值， 当点的坐标为时，直线、的斜率之积为定值； 当点的坐标为时，直线线、的斜率之积为定值. 【变式训练1-1-1】已知椭圆，直线经过的两个顶点． (1)求的方程； (2)若为上一动点，过点作圆的两条切线分别交于两点，证明：直线过原点． 【变式训练1-1-2】已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【变式训练1-1-3】已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方． （ⅰ）证明：； （ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式训练1-1-4】设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F. （I）证明： （II）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程. 【变式训练1-1-5】如图已知△OPQ的面积为S，且. （Ⅰ）若的取值范围； （Ⅱ）设为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，当m≥2时，求 的最小值，并求出此时的椭圆方程. 【变式训练1-1-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为点，点的坐标为，延长线段交椭圆于点，轴． （1）求椭圆的离心率； （2）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的标准方程． （二）椭圆的轨迹方程 【典型例题1】平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线分别交轨迹于点和，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由题意有且， 化简得，即． （2）当其中一条直线的斜率不存在时，则、一条为长轴长、另一条为过的通径长， 令，则，可得，故通径长为，而长轴长为，易得． 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线为， ，化简整理得， 设，则， ， ，则直线的斜率为，同理， ， 令，则，当，即时等号成立， 而，则四边形面积的最小值为. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为． (1)求的方程，并在图中画出该曲线； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得的方程； （2）（i）不妨设直线交圆于点，可判断点一定在椭圆上， 设可求出点坐标，进而求出直线方程； （ii）易知，则点也在圆上，所以， 联立和椭圆方程得到关于的一元二次不等式，即可解出的最小值. 【详解】（1）设，则有， 当时，化简得； 当时，化简得， 所以，曲线如图所示： （2）（i）如图所示，不妨设点在圆上，则，，所以点在椭圆上． 设， 解得，所以，所以， 所以直线方程为． （ii）由题意知，故点也在圆上，又为直径，所以． 设，，联立椭圆方程，得 ， 则， 因为，，， 则 所以， 即， 所以，所以， 解得，即的最小值为. 【变式训练1-2-1】已知圆O的方程为，P为圆上动点，点F坐标为，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A． (1)求点A的轨迹方程； (2)记点A的轨迹为曲线C，过点作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线与直线n交于点H，记．，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练1-2-2】已知点是圆：上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（不与轴重合），直线与直线交于点.求证：. 【变式训练1-2-3】已知椭圆，，为C的左右焦点.点为椭圆上一点，且.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交. (1)求椭圆C的方程； (2)点M满足，求M的轨迹方程. 【变式训练1-2-4】已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）. （1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 【变式训练1-2-5】已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），，，． （Ⅰ）求点M的轨迹W的方程； （Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围． 【变式训练1-2-6】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 题型02：直线与椭圆的位置关系 【典型例题】已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 【变式训练2-1】已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【变式训练2-2】已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【变式训练2-3】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 题型03：弦长问题 【典型例题1】已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：， 椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为， 顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； （2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得， 设的横坐标分别为， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 【典型例题2】已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，解得，， ∴椭圆的标准方程为． （2）分直线斜率是否存在讨论： 当斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， 设直线与椭圆的交点为，， 则，，， 则， 化简得, 解得, ∴直线的方程为． 综上，或. 【典型例题3】已知椭圆： ，曲线上的动点满足： . （1）求曲线的方程； （2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上， ，求线段的长. 【解析】（1）由已知，动点到点， 的距离之和为， 且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以， 故椭圆的方程为. （2）两点的坐标分别为，由及（1）知， 三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为. 将代入中，得，所以， 将代入中，得，所以， 又由，得，即， 解得， 故 【变式训练3-1】已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点． (1)求线段AB的长； (2)求的面积． 【变式训练3-2】已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点. (1)求的值； (2)求（为坐标原点）面积的最大值. 【变式训练3-3】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，，椭圆的离心率为，直线过点交椭圆于不同的两点，. (1)求椭圆的方程： (2)若三角形的面积为，求直线的方程. 【变式训练3-4】已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切.记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）过的直线交轨迹于，两点，点在直线上.若为以为斜边的等腰直角三角形，求的长度. 【变式训练3-5】已知抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，且的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过抛物线上的一点能作椭圆的两条互相垂直的切线，求此时的值. 【变式训练3-6】已知直线与椭圆交于两点. (1)若直线过椭圆的左焦点，求； (2)设线段的垂直平分线与轴交于点，求. 【变式训练3-7】已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 题型04：椭圆中点弦问题 【典型例题1】已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为弦被点平分，所以 设交点坐标，，，， 又将，代入椭圆得，两式相减可得：， 所以直线的斜率，故直线的方程为， 即为. （2）解：，联立椭圆与直线方程，得， 所以，，所以， 又因为直线过点， 所以. 【点睛】本题主要考查直线与曲线相交问题，其中中点问题常用点差法解决，属于中档题. 【典型例题2】已知点A，B的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为. (1)求动点M的轨迹方程； (2)若过点的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设． 因为，即，化简得， 所以动点M的轨迹方程为． （2）设． 显然直线l斜率存在，则，且， 将代入，得， 两式相减可得， 即，可得． 所以直线l的方程为，即． 【典型例题3】已知椭圆：经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程； (3)过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可. （2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可. （3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为，可利用切点坐标表示，再把点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线的方程，再求出直线所过定点即可. 【详解】（1）由椭圆经过点，且离心率为， 得到，解得，，故的方程为. （2）设，，由题意得， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，两式相减得， 所以，即，解得， 即直线的斜率为，故的方程为，即. （3）如图，设，当时， 可设切线的方程为，， 将与联立，得， 则，即， 且，， 所以，，代入，得， 将的坐标代入，得. 当时，，；当时，，， 而满足. 设，同理可得， 则点，都在直线上， 故直线的方程为，即， 由得，故直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：求直线的方法是解题的关键，首先设切点，利用判别式结合切点坐标替换，是求直线方程关键技巧，再代入点坐标，可得出直线方程，进而求解定点即可. 【变式训练4-1】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率． 【变式训练4-2】已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【变式训练4-3】已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式训练4-4】已知椭圆 的焦距为，直线 与交于、两点，为坐标原点，为中点．若. (1)求椭圆的方程； (2)若、的斜率分别为、且始终满足，求直线的斜率的值； (3)、为椭圆上关于原上对称的两点且满足，直线、交于点，问：的面积是否为定值？若是求出此定值，若不是请说明理由． 【变式训练4-5】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【变式训练4-6】已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点，离心率，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P､Q两个不同的点. （1）求椭圆C的方程； （2）当时，求直线PQ的方程； （3）设线段PQ的中点在直线上，求直线PQ的方程. 【变式训练4-7】已知：椭圆，求： （1）以为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程． 【变式训练4-8】已知点在椭圆：（）上，且点到的左、右焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）设为坐标原点，若的弦的中点在线段（不含端点，）上，求的取值范围. 题型05：面积问题 【典型例题1】已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为8，面积为 【详解】（1）由题意可知：，则， ， ， 椭圆 （2）根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 【典型例题2】已知椭圆，，且的离心率为. (1)求的标准方程； (2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意得：，即则， 所以的标准方程为：. （2）由题意设， 联立，消去得：，                  则，                                 则，                                 可得，       设直线与轴的交点为，且，则，   故，解得. 【典型例题3】已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，直线与椭圆相交于不同的两点； (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由焦点在直线上，令，解得， 已知椭圆过点， 所以， 所以 所以椭圆的方程为 （2）    当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. 【典型例题4】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，P是C上一点，且的最大值为． (1)求C的方程； (2)已知Q为C的上顶点，过点Q的直线l交C于另一点M，若与的面积相等，求l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由得，① 又当最大时，点P位于C的上顶点或下顶点， 此时②， 联立①②解得：，， 所以C的方程为． （2）因为，为公共边， 所以点到的距离等于点M到的距离， 由（1）得，，， 则直线的方程为． 又点到的距离， 故点M到的距离为，所以点M在与平行且到的距离为的直线上， 可设直线方程为， 则，解得或， 故点M在直线或上． ①若点M在直线上， 又点M在椭圆C上，联立，消去得， 由，得直线与C无公共点， 故此时不存在满足题意的点M． ②若点M在直线上， 又点M在椭圆C上，联立，消去得， 解得或，则或． 又直线l过点，故直线l的方程为或． 综上，l的方程为或． 【变式训练5-1】已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【变式训练5-2】已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 【变式训练5-3】已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.    (1)求椭圆的离心率e； (2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； (3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 【变式训练5-4】已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积是3，求的方程. 【变式训练5-5】已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； (3)分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 【变式训练5-6】已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值. 【变式训练5-7】已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，. （1）求双曲线的方程. （2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由. 【变式训练5-8】已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值. 题型06： 面积比 【典型例题1】已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为. ①求的最大值； ②当取得最大值时，求的值. 【答案】（1），（2）①1，② 【解析】解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，将代入椭圆方程，可得，解得， 所以椭圆方程为 （2）①由直线与圆相切得，则，设， 将直线代入椭圆方程得，， ， 因为，所以， 且， 所以 设点到直线的距离为， 所以的面积为 ， 当，得时等号成立，所以的最大值为1 ②设，由直线与圆相切于点，可得，则，可得， 所以， 因为，所以， 所以 【变式训练6-1】已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【变式训练6-2】已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 【变式训练6-3】已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 【变式训练6-4】直线过点，交抛物线于两点，连接分别交椭圆于两点，若与的面积比是，求直线的方程． 题型07：三点共线问题 【典型例题】设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据切线，写出切点坐标，带入椭圆标准方程，根据椭圆的性质，求出标准方程. （2）方法一：根据相切只有一个交点，联立方程组，求出切点坐标表达式，根据三点斜率证明三点共线. 方法二：先连接，求出此时直线与椭圆的交点坐标，证明直线与椭圆相切即可. 方法三：通过椭圆的标准方程求出椭圆参数方程，写出椭圆的切线参数方程，求出交点的参数方程，带入求出交点的坐标，求得个直线斜率之间的关系，证明三点共线. 【详解】（1）把代入，解得切点坐标为， 代入椭圆方程得，解得， 则椭圆标准方程为. （2） 方法一：如图所示， ，设直线为， 联立方程得消去得. 相切时，可得. 化简得，解得，故, 故得切点坐标，则，，可知，则三点共线． 方法二：已知，可知直线解析式为， 联立直线方程和椭圆方程得，解得， 则交点坐标为， 因为，则直线解析式为， 化简得， 联立方程组得，消去得， 此时, 可知此时直线与椭圆只有一个交点，直线与椭圆相切，可得三点共线． 方法三：因为，可得，设， 可知椭圆参数方程为， 则椭圆切线方程为，代入得， 联立方程组，可知，因为， 所以，解得（舍）， 代入得，求得交点坐标， 则，， 可知，则三点共线． 【变式训练7-1】设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点． 【变式训练7-2】已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 题型08： 四点共圆 【变式训练8-1】已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆. 题型09：直线过定点问题 （一）椭圆“手电筒”模型过定点 椭圆 “手电筒” 模型过定点问题，是椭圆中一类典型且重要的题型。在该模型里，从椭圆上某一定点出发的两条直线，满足特定条件（比如斜率之积、斜率之和为定值等），那么这两条直线与椭圆的另一个交点的连线所在直线，不论相关参数如何变化，恒过某一定点。椭圆 “手电筒” 模型过定点问题，融合了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等核心知识，是各类考试尤其是新高考考查学生对椭圆性质综合运用能力的常考内容，需要同学们深入理解模型本质，加强练习巩固。 图1. 斜率之和/积为定值 图2. 斜率之积为定值 （特殊垂直情况） 图3. 斜率之积为定值 （圆过定点情况） 椭圆 “手电筒” 模型过定点题型判断要点： 核心要素：存在 “椭圆 + 定点 + 两条动直线” 的基础结构 明确的椭圆背景+椭圆上的定点+过定点的两条动直线。 关键条件：两条动直线满足 “斜率关联定值”（重要条件） 这是该题型的核心判断标志，题目会明确给出两条动直线的斜率满足某种固定关系，常见的关联形式有两类：斜率之积为定值；斜率之和 / 差为定值。 问题指向：求证 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 题目最终的问题目标具有明确指向性，通常分为两种表述形式，是判断该题型的直接依据。 注：上述斜率积为定值还有向量数量积为0的情况。 椭圆 “手电筒” 模型过定点问题的解题核心是 “设线→联立→找关系→定定点”，需结合椭圆方程、直线与椭圆位置关系及定点的 “恒定性” 特征，按以下四步规范解题，适用于斜率之积、斜率之和为定值等常见场景。 步骤 1-设：设所求过定点直线的方程+设点（斜截式），并联立椭圆求交点关系（韦达定理）； 步骤 2-写：写出另外两动直线的斜率不等式（坐标表示）并代入斜率关系式； 步骤 3-化：将步骤2最终得到关系中的横纵坐标用步骤1的直线方程化简为仅含横或纵坐标并进行这里（通常2,3步骤可先后同时进行）； 步骤 4-代：将根与系数关系代入步骤3整理； 步骤 5-解：解步骤 4所得方程，求出截距值或截距与斜率关系即可求出/证明直线过定点。 注：利用 “恒定性” 求定点，需要验证特殊情况（斜率不存在情况等） 【典型例题1】已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标. 【答案】(1)(2)直线经过定点 【详解】（1）略； （2）解：设所求过定点直线的方程+设点（斜截式），并联立椭圆求交点关系（韦达定理）。 假设，直线与椭圆联立得 消去整理得 则，又因为， 所以， 则，即， 代入韦达定理得， 即，化简得，因为，则 即代入直线得， 即 所以直线经过定点. 【典型例题2】已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知：， 故椭圆的标准方程为：． （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．联立： 所以 由 即（舍去）或 所以直线的恒过一定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 【典型例题3】已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N. (1)求曲线的方程； (2)若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 【答案】(1)，且 (2)①证明见解析，；② 【分析】（1）设，则有即可求解； （2）①设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理有，，由即可求解； ②点到直线的方程为，，代入，利用二次函数即可求解. 【详解】（1）设，动点满足直线和直线的斜率乘积为， ，即 即，. 曲线的方程为，且. （2）①设点、， 若轴，则且，，， 此时，，不合题意. 设直线的方程为，    联立可得， ， 由韦达定理可得，， ， ， 因为直线不过点，则，整理可得，解得. 直线的方程为，∴直线过定点. ②直线的方程为. 点到直线的方程为， ， 令， 则， 因为时，故当时，取最大值. 【变式训练9-1-1】已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【变式训练9-1-2】已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【变式训练9-1-3】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的标准方程. (2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且.证明：直线过定点. 【变式训练9-1-4】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【变式训练9-1-5】已知是椭圆 的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【变式训练9-1-6】已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【变式训练9-1-7】已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为， 且，探究：直线是否过定点，并说明理由． 【变式训练9-1-8】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。 （1）设动点P满足,求点P的轨迹； （2）设，求点T的坐标； （3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 【变式训练9-1-9】已知椭圆上一点为椭圆上不同于点的两点，且，求证：直线过定点． 【变式训练9-1-10】已知椭圆，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点?；若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （二）椭圆“相交弦”模型过定点 椭圆 “相交弦” 模型过定点之动点在定直线上问题，是椭圆综合题型中一类具有鲜明特征且高频考查的重要题型。在该模型里，从定直线上某一动点出发的直线（或两条直线）与椭圆相交形成相交弦（或两组相交弦），当动点在定直线上运动时，这些相交弦所在直线（或相交弦的交点、中点连线等），不论动点位置如何变化，恒过某一定点。椭圆 “相交弦” 模型过定点之动点在定直线上问题，深度融合了椭圆的标准方程、直线的方程形式（点斜式、斜截式等）、直线与椭圆的位置关系（联立方程、判别式、韦达定理应用）等核心知识，同时还需运用参数消元、恒成立问题求解等数学思想方法。 图1. 动点在椭圆外的定直线上 （所求定点在椭圆内） 图2. 动点在与椭圆相交的定直线上 （所求定点在椭圆外） 椭圆“相交弦”模型过定点之动点在定直线上： 核心要素：存在 “椭圆 + 动点 + 一定直线 + 两动直线（形成相交弦） + 两定点” 的基础结构 明确的椭圆背景+椭圆上的两定点（一般为左右顶点或上下顶点）+动点在定直线上+过动点的两直线与椭圆都相交。 关键条件：两条动直线（相交弦所在直线）满足 “交点在定直线上”（重要条件） 这是该题型的核心判断标志，题目会明确给出两条动直线的在定直线上，常见的关联形式有两类：定直线在椭圆外；定直线与椭圆相交。 问题指向：求证两动直线与椭圆交点的连线所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 题目最终的问题目标具有明确指向性，通常分为两种表述形式（定直线在外或相交），是判断该题型的直接依据。 椭圆“相交弦”模型过定点之动点在定直线上问题的解题核心是“设动点→定弦方程→联立消参→抓恒成立”，通过精准设定参数、利用直线与椭圆位置关系建立方程，最终依托“定点与参数无关”的本质求解。 思路一 步骤 1-设：设过定直线的动点坐标，求出两动直线间的斜率关系（倍数关系）； 步骤 2-求：设两动直线的方程（点斜式）+求两动点坐标，联立直线与椭圆求出动点坐标； 步骤 3-化：利用两点坐标写出所求直线的方程并进行化简，最后化简成点斜式即可求出定点坐标或证明直线过定点。 思路二 前两步与思路一相同 步骤 3-化：设定点坐标（这类模型定点一般在坐标轴上，判断方法为：定直线垂直哪个坐标轴，定点就在哪个坐标轴上），利用向量共线解决三点共线问题求出定点坐标。 思路三 步骤 1-设：设过定直线的动点坐标，求出两动直线间的斜率关系（倍数关系）； 步骤 2-设：设过定点的直线方程（斜截式）+设两动点坐标，与椭圆联立求出根与系数关系； 步骤 3-写：利用动点坐标求出两动直线斜率，再利用步骤1的斜率关系即可求解； 【典型例题1】已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意列出含的方程组解出即可. （2）设，由三点共线得出，设出直线方程，得到，直线方程和椭圆方程联立得出代入即可. 【详解】（1）由题意得，将代入椭圆方程得， 联立方程组，解得，所以椭圆的方程为. （2）设，由，得，解得， 此时，如图：设，由三点共线， 得，    由三点共线，得，得， 又，得， 得， 即． 设直线的方程为， 即，① 联立直线与椭圆：，消得， 则有，② 将②式代入①式，得，解得（舍）或. 直线经过定点． 【典型例题2】已知椭圆过点，两点. (1)求椭圆的的方程； (2)椭圆的左右顶点分别为A，B，当动点M在定值线上运动时，直线，分别交椭圆于两点和（不同于A，B）证明：直线过定点。 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）略； （2）解：设过定直线的动点坐标，求出两动直线间的斜率关系（倍数关系）； 由（1）知，，显然点不在轴上， 设，，，， 直线，斜率分别为，， 直线的方程为，的方程为， 由 消去得，显然， 于是，解得，则， 由， 消去得，显然， 于是，解得，则， 则， 直线的斜率为：，直线的方程为：， 整理得：，故直线恒过定点； 【变式训练9-2-1】设点M在x轴上，若对过椭圆左焦点F的任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，都有MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”． (1) 有人说：“点是椭圆的‘左特征点’'”．请指出这个观点是否正确，并给出证明过程； (2) (2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线的“左特征点”定义，并指出该点坐标． 【变式训练9-2-2】如图，椭圆的 右焦点为，右顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上的动点(异于左右顶点)，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点，求证：直线过定点. 【变式训练9-2-3】在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点．求证：直线过定点，并求出定点坐标； 【变式训练9-2-4】已知椭圆：过点且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标. （三）椭圆“相交弦”模型过定点斜率成倍数 椭圆“相交弦”模型过定点之动直线斜率成倍数问题，深度融合了椭圆的标准方程、直线的点斜式与斜截式方程、直线与椭圆的位置关系（联立方程、判别式判定、韦达定理应用）等核心知识，同时还需灵活运用参数消元、恒成立问题求解、斜率关系转化等数学思想方法。它不仅能考查学生对椭圆基础性质和直线方程的掌握程度，更能检验学生在复杂条件下梳理变量关系、转化问题矛盾、综合运用代数工具解决几何问题的能力，是各类考试尤其是新高考中，区分学生数学思维层次、考查数学运算与逻辑推理核心素养的常考内容。 图1. PQ过定点，PA，QB斜率成倍数 （定点在x轴负半轴） 图2. PQ过定点,PA1，QA2斜率成倍数关系 （定点在x轴正半轴） 注意：定点也可能在y轴上 椭圆“相交弦”模型过定点之动点在定直线上： 核心要素：存在 “椭圆 + 两动直线 + 两定点 + 斜率成倍数关系” 的基础结构 明确的椭圆背景+椭圆上的两定点（一般为左右顶点或上下顶点）+分布过两定点的动直线+过定点的两动直线斜率成倍数。 关键条件：过定点的两条动直线满足 “斜率成倍数”（重要条件） 这是该题型的核心判断标志，题目会明确给出分别过两定点的两条动直线的斜率成倍数关系。 问题指向：求证两动直线与椭圆交点的连线所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 题目最终的问题目标具有明确指向性。 该题型解题核心为“设斜率→定直线方程→联立求交点→消参定定点”，通过斜率倍数关系减少变量，依托韦达定理与恒成立条件突破。 思路一 步骤 1-设：设过定点的直线方程（斜截式）+设两动点坐标，与椭圆联立求出根与系数关系； 步骤 2-求：写出分别过两定点的两动直线斜率，代入斜率关系并整理，再代入根与系数关系； 步骤 3-化：化简求解即可求出定点坐标或证明过定点。 思路二 步骤 1-设：设过两动直线方程（需要用到倍数关系），与椭圆联立求出两动点坐标； 步骤 2-化：利用两点坐标写出所求直线的方程并进行化简； 步骤 3-求：设上一步中的直线方程的y或x为0，求解x或y即可求出定点或证明过定点（一般情况下两定点在是左右顶点，则定点在x轴，需要令y=0，反之）。 【典型例题1】双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据双曲线过点和焦点到渐近线的距离为列出方程组，解之即可； (2)设直线的斜率为，由题意直线的斜率为，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出，两点的坐标，再求出，两点所在的直线方程即可求解. 【详解】（1）由双曲线可得渐近线为， 不妨取渐近线即 由焦点到渐近线的距离为可得，即 由题意得，得， 从而双曲线的方程为. （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为， 由题意可知：直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 于是， 从而， 化简得，从而过定点. 【典型例题2】设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析； 【详解】（1）略； （2）证明：由（1）可知， 显然直线的斜率存在，且不为零，设直线的斜率为， 则直线的方程为，如下图所示： 联立， 整理可得， 点，所以，可得； 代入可得，即； 由，所以直线的方程为； 联立， 消去整理可得. 点，所以，可得； 代入可得，即； 若，即，可得， 直线的斜率为； 直线的方程为， 令，解得所以直线过定点， 【变式训练9-3-1】如图1所示，椭圆的离心率为是其左右顶点，是椭圆上位于轴两侧的点（点在轴上方），且四边形面积的最大值为4．    (1)求椭圆方程； (2)设直线的斜率分别为，若，求证直线过定点． 【变式训练9-3-2】已知椭圆的离心率为，经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，若，试判断直线PQ是否恒过定点?若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【变式训练9-3-3】如图，，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，直线的斜率是直线的斜率3倍． （1）若为椭圆上异于，的一点，证明：直线和的斜率之积为常数； （2）证明：直线过定点． （四）椭圆“对称点”模型过定点 椭圆“对称点”模型过定点问题，深度融合了椭圆的标准方程、直线的方程（点斜式、垂直平分线方程）、直线与椭圆的位置关系（联立方程、判别式判定、韦达定理应用）、中点坐标公式、两直线垂直的斜率关系等核心知识，同时还需灵活运用参数消元、恒成立问题求解、对称关系转化等数学思想方法。它不仅能考查学生对椭圆基础性质和直线位置关系的掌握程度，更能检验学生在复杂对称关系中梳理变量关联、转化几何条件为代数表达式、综合运用多知识点解决问题的能力，是各类考试尤其是新高考中，区分学生数学思维层次、考查数学运算、逻辑推理与直观想象核心素养的常考内容。 图1. AB过定点（直线BR需过定点Q） （A，R关于x轴对称） 图2. BC过定点（直线AB需过定点M） （A，C关于x轴对称） 注意：定点也可能在y轴上 椭圆“对称点”模型过定点： 核心要素：存在 “椭圆 + 一动直线（过定点） + 两对称点” 的基础结构 明确的椭圆背景+椭圆上的两对称点（关于坐标轴的对称点）+一动直线需过定点。 关键条件：过定点的动直线与椭圆的其中一个交点满足 “与另一点关于坐标轴对称”（重要条件） 这是该题型的核心判断标志，题目会明确给出过定点的动直线与椭圆的交点中其中一个交点满足于椭圆上另一点关于坐标轴对称。 问题指向：求证对称点与另一交点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 题目最终的问题目标具有明确指向性。 该题型解题核心为“设直线方程→联立求交点→求动直线方程→消参定定点”，通过对称关系减少变量，依托韦达定理与恒成立条件突破。 步骤 1-设：设过定点的直线方程（点斜式）+设两动点坐标，与椭圆联立求出根与系数关系； 步骤 2-求：写出所求动直线斜率，代入得出动直线方程； 步骤 3-化：化简代入根与系数关系即可求出定点坐标或证明过定点。（设上一步中的直线方程的y或x为0，求解x或y即可求出定点或证明过定点） 【典型例题1】已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）略． （2）证明：设直线的方程为， ，则， 联立整理得， 则，，，所以， 直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上． 当时， ， 即直线恒过定点． 【典型例题2】已知椭圆：.左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，若直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，定点为和. 【解析】（1）设右焦点为，则 即点为与椭圆的交点时，周长最大 所以 所以椭圆的标准方程为 （2）由（1）知，设，则 当直线斜率存在时，设其方程为 联立得 令，得 同理得 设中点为，则 所以以为直径的圆得方程为 即，即 令，得，所以过点和，且为定点. 当直线斜率不存在时，容易知道 此时 所以以为直径的圆是以原点为圆心，为半径的圆，显然也过定点 和，综上，此圆过定点和 【点睛】 方法点睛：对于过定点的问题，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况. 【变式训练9-4-1】已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过定点. 【变式训练9-4-2】已知椭圆的离心率为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上． （1）求椭圆的方程； （2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率范围并证明直线与轴相交定点． 【变式训练9-4-3】已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.    （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【变式训练9-4-4】如图所示，在平面上，过椭圆内一定点（不妨设），任意作直线交椭圆于，过作与轴垂直的直线交椭圆于另一点，则直线必过定点． （五）椭圆“垂足点”模型过定点 该题型深度融合了椭圆的标准方程、直线的方程（点斜式、斜截式、垂直直线方程）、直线与椭圆的位置关系（联立方程、判别式、韦达定理）、垂足坐标的求解方法（两直线交点）、两直线垂直的斜率关系等核心知识，同时需灵活运用参数消元、恒成立问题求解、几何条件代数化等数学思想方法。它不仅能考查学生对椭圆和直线基础性质的掌握程度，更能检验学生将几何中的“垂足”关系转化为代数表达式、在复杂变量中锁定恒定关系的能力，是各类考试尤其是新高考中，区分学生数学思维层次、考查数学运算与逻辑推理核心素养的常考内容。 图1. NH过定点（直线MN需过定点F2） （H为垂足） 图2. QN过定点（直线MN需过定点P） （Q为垂足） 图3. AN,BN交点为定点（直线AB需过定点R） （特殊情况） 注意：定点也可能在y轴上 椭圆“垂足点”模型过定点： 核心要素：存在 “椭圆 + 一动直线（过定点） + 一定直线 + 一垂直（含垂足点）” 的基础结构 明确的椭圆背景+一定直线+一动直线需过定点+一垂线段（需要有垂足）。 关键条件：过定点的动直线与椭圆的其中一个交点 “作定直线垂线”（重要条件） 这是该题型的核心判断标志，题目会明确给出过定点的动直线与椭圆的交点，过其中一个交点作定直线垂线。 问题指向：求证垂足点与另一交点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 题目最终的问题目标具有明确指向性。 该题型解题核心为“设直线方程→联立求交点→求动直线方程→消参定定点”，依托韦达定理与恒成立条件突破。 步骤 1-设：设过定点的直线方程（点斜式）+设两动点坐标，与椭圆联立求出根与系数关系； 步骤 2-求：写出垂足点坐标，求动直线斜率，代入得出动直线方程； 步骤 3-化：化简代入根与系数关系即可求出定点坐标或证明过定点。（设上一步中的直线方程的y或x为0，求解x或y即可求出定点或证明过定点） 【典型例题1】已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）略. （2）证明： 由题意得，直线的斜率存在. 设直线的方程为，点，，则， 由得. 由得 ， ∴，. ∵，∴直线的方程为：， 令，得，即， 当时， ，∴，故直线过定点. 【典型例题2】已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8. (1)若的面积为，求直线的方程； (2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点. 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的方程，设出直线的方程，与椭圆的方程联立求解作答. （2）利用特殊位置探究直线与交点坐标，再就一般情况结合向量共线推理作答. 【详解】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为， 依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得， 设，，则，， ， 因此，解得， 所以直线的方程为或. （2）由（1）知，，则，，设直线与交点为， 则，， 而，，则，， 两式相加得：，而， 则，因此，两式相减得： ，而，则，即， 所以直线与交于定点. 【变式训练9-5-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【变式训练9-5-2】已知点是椭圆C：（）的左焦点，且椭圆C经过点．过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为E． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 【变式训练9-5-3】已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． (1)求椭圆的离心率和的面积； (2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． （六）椭圆“垂直弦中点”模型过定点 椭圆“垂直弦中点”模型过定点问题，是椭圆综合题型中一类聚焦“垂直关系+中点性质”的典型且高频考查题型。在该模型里，椭圆内存在两条互相垂直的动弦（或一条动弦与椭圆的某条定直线垂直），取这两条垂直弦的中点（或单条垂直动弦的中点），当动弦按题设条件变化时，与中点相关的直线（如中点与定点的连线、两条中点的连线等）不论参数如何变动，恒过某一定点；或动弦本身恒过定点，其核心关联为“垂直弦的中点轨迹与定点存在恒定联系”。 图1. MN过定点（直线AB,CD相互垂直且交点需为定点，M，N为中点） 图2. MN过定点（直线AB,ED相互垂直且交点需为定点，M，N为中点） 注意：定点也可能在y轴上 椭圆“垂直弦中点”模型过定点： 核心要素：存在 “椭圆 + 两相互垂直动直线（交点为定点） + 两中点）” 的基础结构 明确的椭圆背景+两相互垂直的弦（两弦交点为定点）+两弦中点。 关键条件：过定点的两相互垂直的弦 “中点连线过定直线”（重要条件） 这是该题型的核心判断标志，题目会明确给出过定点的的两相互垂直的弦，取两弦中点的连线。 问题指向：求证两弦中点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 题目最终的问题目标具有明确指向性。 该题型解题核心为“设弦方程→用垂直关系→求中点坐标→推定点”，依托韦达定理与恒成立条件突破。 步骤 1-设：设过定点的垂直弦方程（点斜式）+设四动点坐标，与椭圆联立求出根与系数关系（需要用到垂直弦斜率关系）； 步骤 2-求：中点坐标公式求中点坐标，并且求出中点连线所在直线方程； 步骤 3-化：设上一步中的直线方程的y或x为0，求解x或y即可求出定点或证明过定点。 【典型例题1】已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【解题思路】（1）由焦点坐标以及短轴长的概念，结合椭圆的标准方程，可得答案； （2）利用分类讨论，分直线斜率存在与否，设出直线方程以及交点坐标，写出中点坐标，联立方程，写出韦达定理，可得答案. 【解答过程】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 【典型例题2】已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N.证明：直线过定点。 【答案】(1)(2)直线过定点； 【详解】（1）略 （2）证明： （i）当两条直线的斜率都存在时，不妨设：，， 设，，，， 联立直线与椭圆的方程，得，消去整理得， 易知，根据韦达定理可知，， ，， 即.同理， 所以， 所以， 令，得，此时直线恒过. 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时， 易知，仍经过， 所以直线过定点. 【变式训练9-6-1】已知椭圆的离心率为，短轴长为4． (1)求C的标准方程； (2)过C的左焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交C于A，B两点，交C于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ恒过x轴上一定点． 【变式训练9-6-2】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点与曲线相交的两条线段和相互垂直（斜率存在，且在曲线上），、分别是和的中点．求证：直线过定点． 【变式训练9-6-3】已知椭圆的离心率为．点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点任作椭圆的两条相互垂直的弦、，设、分别是、的中点，则直线是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由． 【变式训练9-6-4】已知椭圆过点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． （七）椭圆“夹汤圆”模型过定点 圆“夹汤圆”模型过定点问题，是椭圆综合题型中一类以“对称包裹”为核心几何特征的典型高频题型。该模型因两条动直线像筷子“夹”着汤圆而得名，核心特征为：椭圆的两条动直线满足特定约束关系，且两条动直线分别与椭圆相交于两点，连接两组交点形成的直线，不论动直线如何变化，恒过某一定点。 图1. BD过定点 图2. AB过定点 椭圆“对称点”模型过定点： 核心要素：存在 “椭圆 + 与动圆相切的两直线 + 两切线交点过定点 + 动圆圆心为定点）” 的基础结构 明确的椭圆背景+与圆相切的两直线+两切线交点为定点+动圆圆心为定点。 关键条件：过定点的两直线与 “动圆相切”（重要条件） 这是该题型的核心判断标志，题目会明确给出过定点的两直线与动圆相切，取切线与椭圆交点的连线。 问题指向：求证两切线与椭圆相交的两点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 题目最终的问题目标具有明确指向性。 该题型解题核心为“设切线方程→出切线关系→求坐标→求直线→推定点”，依托韦达定理与恒成立条件突破。 步骤 1-设：设过定点的切线方程（点斜式）+设两动点坐标，利用相切得出切线斜率关系； 步骤 2-求：联立直线与椭圆方程，韦达定理求交点坐标； 步骤 3-求：利用两直线的交点坐标求所求直线方程； 步骤 4-化：设上一步中的直线方程的y或x为0，求解x或y即可求出定点或证明过定点。 【典型例题1】已知点为椭圆的右顶点，圆，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）. 证明：给定一个，直线过定点。 【答案】 【详解】 椭圆的右顶点，设直线的斜率分别为， 则直线的方程为，直线的方程为， 由直线与圆相切知，圆心到直线的距离， 整理得， 同理可得， 则为方程的两个根，所以， 即直线的斜率乘积为定值1. 设， 联立，得， 则， 进一步可求得，同理得， 直线的斜率 ， 则直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点 【典型例题2】已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 【变式训练9-7-1】已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论. 【变式训练9-7-2】已知椭圆 过点 和 . (1)求椭圆的方程； (2)过点 作圆的两条切线 ，两切线与椭圆的另外一个交点分别为 ，在半径 变化的过程中，直线 是否过定点? 若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由; 【变式训练9-7-3】已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 【变式训练9-7-4】已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． (1)若点的坐标为，求的面积； (2)求的取值范围； (3)如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 题型10：存在定点满足某条件问题 【典型例题】已知椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解； （2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理化简求解即可； ②计算可得，设，可得，结合化简得到，设直线，进而得到直线过定点，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①设直线的方程为， 且，，即， 联立，得， 则，即， 且， 则 ， 即点横坐标为. 由①知，，， 则，即， 设，与①同理可得， 则 ， 则， 设直线， 则， 则， 又，则， 则直线， 所以直线过定点， 则为中点时，则， ，则， 因此，存在定点，使得为定值. 【变式训练10-1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，证明：在轴上存在定点，使得直线，关于轴对称. 【变式训练10-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【变式训练10-3】如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点.    (1)若直线经过焦点，求此时线段的长度； (2)若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型11：定值问题 （一）面积定值问题 【典型例题1】已知椭圆 的焦距为，直线 与交于、两点，为坐标原点，为中点．若. (1)求椭圆的方程； (2)若、的斜率分别为、且始终满足，求直线的斜率的值； (3)、为椭圆上关于原上对称的两点且满足，直线、交于点，问：的面积是否为定值？若是求出此定值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且定值为 【解题思路】（1）利用点差法以及椭圆的焦距可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，利用斜率公式结合化简可得出关于的等式，结合可得出的值； （3）分析可知故点到直线的距离等于两平行线、间的距离的，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据可得出，然后利用三角形的面积可求得结果. 【解答过程】（1）设点、，则， 上述两个等式作差可得，则， 即， 由题意可得，则， 因此，椭圆的方程为. （2）联立直线与椭圆的方程，可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 所以， ， 因为， 则， 即， 整理可得，解得或（舍），故. （3）因为，且，则， 故点到直线的距离等于两平行线、间的距离的， 设直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程得， ，点到直线的距离为， ， 因为，可得， 解得， 所以，. 因为的面积为定值. 【变式训练11-1-1】“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆与椭圆相似，的短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程. (2)设为坐标原点，为上的动点，过点且斜率为的直线与相切，与交于，两点，射线交于点，试问：的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由. 【变式训练11-1-2】已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ (1)求Γ的方程； (2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明. ①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值. 【变式训练11-1-3】在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足． (1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合) (2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由． （二）斜率的和差商积定值问题 【典型例题1】已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由. 【答案】(1) (2)直线的斜率为定值，理由见解析 【详解】（1）设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，， 故， 即，则， 又，即，解得，所以， 即椭圆的方程为. （2）联立，解得或，又在第一象限，所以， 由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 设，，直线的方程为，即， 由消去得， 因为、为直线与椭圆的交点，所以，即， 把换为得， 所以， 所以， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值. 【典型例题2】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右焦点，直线与交于，两点，其中点位于第一象限，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与交于，两点，四边形的面积为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【解题思路】小问1，根据题意求出与点坐标的关系，求出和，得到椭圆的方程； 小问2，根据题意四边形为平行四边形，可取点和点，设过点和点的直线方程，用点和点的坐标表示和，根据已知条件求出定值即可. 【解答过程】（1）设的半焦距为，点的坐标为，由题意知， 故， 由当轴时，， 所以， 可解得：，， 故椭圆的方程为. （2）由对称性可得 所以四边形为平行四边形，又四边形的面积为， 故的面积为，其中为坐标原点， 设，，，，，， 若，则可设直线， 联立消去得， ， ，， ， 坐标原点到直线的距离， 故的面积 ， 整理得，即. 由知. 由题意知 . 若，则，， 所以，，此时，由对称性可得， 所以， 所以恒为定值. 【典型例题3】已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点坐标和离心率公式求出的值，从而得到双曲线方程和渐近线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【解答过程】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点， 右焦点为，离心率为， 可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为． （2）由（1）知，，． 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，，由，消去，得， 显然，，则，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【变式训练11-2-1】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明： 为定值，并求出该定值. 【变式训练11-2-2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点.证明：直线与直线的斜率之积为定值； 【变式训练11-2-3】已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式训练11-2-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，是线段的中点，是坐标原点，记直线的斜率为． (1)证明为定值，并求出该定值 (2)若，求的面积． 【变式训练11-2-5】已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，是椭圆上异于短轴端点的两点，点满足，且，试确定直线，斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【变式训练11-2-6】已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【变式训练11-2-7】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 【变式训练11-2-8】已知椭圆：的短轴长为2，，分别是的左、右顶点，为坐标原点，的中点为，过点的直线与交于，两点. (1)当轴时，求. (2)若，且直线的斜率大于0， （i）求的方程； （ii）证明：直线与的斜率之比为定值. 【变式训练11-2-9】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． ①证明：直线过定点； ②设直线与直线交于点，记直线的斜率为，求的值． 【变式训练11-2-10】已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且． (1)求椭圆的方程． (2)设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．证明：直线的斜率成等差数列． （三） 线段关系定值问题 【典型例题1】在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程. (2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值. 【答案】(1)+=1 (2)证明见解析 【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意写出等式，进而化简可得结果； （2）设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，由题意，可求，进而结合，把用的来表示，从而化简可得证明. 【详解】（1）设动点P的坐标为， 因为动点P到点的距离与到定直线的距离之比为， 所以， 两边同时平方可得， ， ，即. 所以轨迹C的方程为. （2）证明：设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，如下图：    由题知，， 因为， 所以，即， 利用对称性，同理可得， 于是. 因为，所以， 所以===， 所以， 同理可得， 所以 （定值） 【典型例题2】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点． （1）求椭圆C的方程及A点坐标； （2）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由． 【答案】（1），；（2）为定值． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则， 则，， 所以椭圆的方程为， 将椭圆的方程与直线的方程联立得， 所以，解得， 所以，， 故椭圆的方程为， 此时将代入，得， 所以，此时， 所以点坐标为． （2）将直线联立，得到，所以， 因为，，所以． ①当斜率时，，或，， ，或，， 此时有； ②当斜率时，设， 代入，得， 设，，所以，， 所以，则， ， 同理， 所以， 对分子： ， 对分母：， 所以， 综上，为定值 【典型例题3】如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：是定值； (3)求三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据焦点坐标可求，故可求椭圆方程； （2）如图，延长交椭圆于，利用对称性结合弦长公式、韦达定理可求的值; （3）利用椭圆定义结合三角形相似可求，故可求三角形的周长． 【详解】（1）由题设，椭圆的半焦距为且焦点在轴上，故且， 故，故椭圆方程为. （2）    如图，延长交椭圆于，由对称性可得. 因为直线与直线平行，故直线的斜率不为零， 设，直线，则， 则. 由可得， 故，，， 故， 故. （3）因为，所以， 即，即． 所以． 由点在椭圆上知，，所以． 同理可得，． 所以 ． 而，故三角形的周长为. 【变式训练11-3-1】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【变式训练11-3-2】已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【变式训练11-3-3】已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式训练11-3-4】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E. (1)当时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求的周长； (2)当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； (3)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值. 【变式训练11-3-5】如图，已知直线与椭圆相交于两点，是椭圆上一点．设直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：为定值． 【变式训练11-3-6】已知椭圆的左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上异于、的动点. (1)求直线、的斜率的积； (2)过作直线，过作直线，设，证明：存在两定点与，使得为常数. （四）数量积定值 【典型例题】已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且． （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆交于，两点，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在点，满足为定值． 【解析】（1）由，及，得， 设椭圆方程为，联立方程组，得， 则， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）①当直线不与轴重合时，设， 联立方程组，得． 设，，，则有，， 于是 ， 若为定值，则有，得，， 此时； ②当直线与轴重合时，，， 也有， 综上，存在点，满足为定值． 【变式训练11-4-1】已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为． （1）求椭圆的方程； （2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值． 【变式训练11-4-2】已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？ 若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【变式训练11-4-3】椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程；（2）若分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，且交椭圆于不同于的点，求证：为定值． （五）点的坐标定值 【典型例题】已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）如图，椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，． 求面积的最大值； ②当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②是，1． 【解析】（1）因为点关于直线的对称点为， 且在椭圆上，所以， 又，∴，则， 所以椭圆的方程为． （2）①设直线的方程为，，， 点到直线的距离为， ，消去整理得， 由，可得， 且，， ∴， 设，则， 当且仅当，即时等号成立， ∴的面积的最大值为． ②由题意得，， 联立方程组，消去得， 又∵，，解得， 故点的纵坐标为定值1． 【变式训练11-5-1】已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值. 【变式训练11-5-2】在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)设点为圆上异于和的任意一点，若直线与直线分别交于点，求证：两点的纵坐标之积为定值. （六） 圆锥曲线中其他定值问题 【典型例题】已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②定值为8. 【详解】（1）由已知得：，，， 设，因为M在椭圆上，所以① 因为， 将①式代入，得，得， 所以椭圆． （2）①证明：设，则，， 同理可得，， 联立方程，得，， 则． 同理联立方程，可得，， 则. 又椭圆的右焦点为， 所以，， 因为， 说明C，D，三点共线， 即直线CD恒过点． ②周长为定值．因为直线CD恒过点， 根据椭圆的定义，所以的周长为． 【变式训练11-6-1】已知圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2），是曲线上的两个动点，且，记中点为，，证明：为定值. 【变式训练11-6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 的周长为6，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 【变式训练11-6-3】已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围. 【变式训练11-6-4】已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【变式训练11-6-5】已知椭圆C：过点，且右焦点为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P．若，，求证：为定值． 题型12 ：圆锥曲线中的定直线问题 【典型例题1】已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【解析】（1）椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； （2） ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 【典型例题2】如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，，过点作不与轴重合的直线，与椭圆交于点，，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．    【答案】点在定直线上． 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，点，， 联立，得， 故， ，． 设直线，方程分别为，， 可得， 其中， 所以， 解得．因此，点在定直线上． 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D在直线上． 【详解】（1）设，，， 则， 则，解得（舍去）， 则，① 代入点得，② 联立①②，解得，， 故椭圆C的标准方程为； （2） 依题意，，， 设直线，联立， 整理得， ； 设，， 则，， 所以. 可设直线，直线， 法一：联立 得 ， 故点D在直线上． 法二：故， 解得， 故点D在直线上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式训练12-1】已知椭圆的离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足轴，轴，求证：点N在直线上． 【变式训练12-2】已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【变式训练12-3】已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【变式训练12-4】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【变式训练12-5】已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【变式训练12-6】如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由. 【变式训练12-7】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 题型13：最值问题 （1） 长度最值 【典型例题1】已知椭圆长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形． (1)求C的标准方程； (2)F是椭圆的右焦点，点Q是椭圆上一动点，，求周长的最大值． (3)直线l与椭圆相交于A、B两点，且，点P满足，O为坐标原点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）   ，， ， 的标准方程是． （2）设左焦点为，， .   的周长为， ， 当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号， . （3）①当直线的斜率不存在时，设，， 直线恰好是短轴， 又，在圆上，；    ②当直线的斜率存在时，设,， 联立，得， ， ，， 所以， 解得：， 设点为的中点， ，，则， 令， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心为，， 经检验，，所以的最大值为． 【变式训练13-1-1】已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【变式训练13-1-2】设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【变式训练13-1-3】已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 【变式训练13-1-4】已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 【变式训练13-1-5】已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． （2） 面积最值 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． (3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)时，为定值 (3) 【分析】（1）由题意，得，进而解出即可求解； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求解即可； （3）结合（2）求得，，，表示出的周长，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. （3）由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【典型例题2】椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. (1)求的方程； (2)已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）由椭圆，的方程求椭圆，的长轴长和短轴长，结合椭圆相似的定义列方程求，由此可得结论； （2）（i）设直线的方程为，联立与椭圆求线段的中点坐标，联立与椭圆求线段的中点坐标，由此证明结论； （ii）连接，取的中点，证明，联立方程组结合弦长公式求，，由此可得的面积解析式，再结合基本不等式求其最值. 【详解】（1）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 又与的相似比为，所以，解得， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得， 方程的判别式 设， 所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标， 即中点的坐标为. 由，得， 方程的判别式 设，所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标，即中点的坐标为. 所以的中点与的中点重合，所以. （ii）如图，连接，取的中点，连接，又分别为的中点，所以，所以，， 所以的面积. 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由 得，设，所 以， 所以 同理可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为. 【变式训练13-2-1】已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1. (1)求椭圆的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点， （i）求点M到直线距离的最大值； （ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值. 【变式训练13-2-2】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． 【变式训练13-2-3】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【变式训练13-2-4】已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 【变式训练13-2-5】已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4． (1)求椭圆E的方程； (2)若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C，D两点，求△OAD与△OAC的面积之差的绝对值的最大值．(O为坐标原点) 【变式训练13-2-6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|＝2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：x＝my＋4(m∈R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点D，求当△ADB的面积最大时，直线l的方程． 【变式训练13-2-7】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． ①求的值； ②求△ABQ面积的最大值． 【变式训练13-2-8】已知椭圆C的方程为＋＝1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D. (1)证明：直线BD的斜率为定值； (2)求△ABD面积的最大值． （3） 其它最值 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求C的方程； (2)若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程； (3)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入方程可得，结合离心率算出a、b即可求解； （2）设l的方程为，联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （3）设直线PA的方程为，直线PB的方程为，进而求出，再由正弦定理知，，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得，将代入椭圆方程得， 又，解得， 故椭圆的方程为 （2）设l的方程为，则. 联立方程组，整理得， 则，即， 所以， 则， 解得，满足题设， 所以l的方程为. （3）设直线PA的方程为，则直线PB的方程为. 令，得，同理得，则. 在中，由正弦定理知，    同理可得. 因为，所以， 从而， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 【典型例题2】已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆交于两点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意得，又点在椭圆上，所以， 所以，则椭圆的方程为； （2）设，直线为，则， 由，得，且， 所以 则直线为， 令，得 ，即， 则， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立，则周长的最小值为． 【变式训练13-3-1】已知椭圆的离心率，且过点，直线与圆相切且与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)过原点作的平行线交椭圆于两点，若，求的最小值． 【变式训练13-3-2】已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. (1)若直线的倾斜角为，求； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 题型14： 取值范围问题 【典型例题1】已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【解析】（1）由题意得，且，即， 解得， 所以椭圆的离心率. （2）由题意，得. 设，则. 所以，. 因为， 所以当时，；当时，. 所以的取值范围为. 【典型例题2】已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点． (1)求a，b的值及C的离心率； (2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围． 【解析】（1）因为，在椭圆C：上， 所以,解得，， 所以，C的离心率为； （2）由（1）得，， 故， 因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧， 所以四边形的面积， 当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立. 【典型例题3】已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程； (2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：由线段的垂直平分线，可得， 所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆， 所以，，则， 所以椭圆C的标准方程为． （2）解：由（1）可知，椭圆的右焦点为， ①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为， 则，，，， 所以，，． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得， 则，， 所以， 因为圆心到直线l的距离， 所以， 所以， 因为，所以， 综上可得，． 【变式训练14-1】已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 【变式训练14-2】与双曲线有共同的焦点的椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于、两点，交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点．求的取值范围． 【变式训练14-3】椭圆：的左、右焦点分别是 离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接设的角平分线交C的长轴于点，求的取值范围. 【变式训练14-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【变式训练14-5】已知椭圆的左、右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于，两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 【变式训练14-6】已知椭圆离心率，设点M和N分别是椭圆上不同的两动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围． 【变式训练14-7】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为，点在椭圆上，轴，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）将椭圆按照坐标变换得到曲线，若直线与曲线相切且与椭圆相交于，两点，求的取值范围． 【变式训练14-8】已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 8.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围． 9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围． 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1(－，0)，F2(，0)，点E在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N使得＝2，求以F1P为直径的圆的面积的取值范围． 11．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是(，－2)． (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围． 12．已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点． (1)若|m|>，求实数k的取值范围； (2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求△OAB的面积的取值范围． 15. 已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭圆于， 两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围. 21.椭圆的两个焦点分别为F1（0，－1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若点P在椭圆上，设，试用m表示； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的最大值和最小值。 题型15： 定比点差法 【典型例题】已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在椭圆上，满足直线的斜率之积为，且面积的最大值为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，同时与直线交于点，假设，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值，定值为0． 【分析】（1）由斜率关系求得的关系，根据面积的最大值为，得到，结合，求得，即可求得椭圆的方程； （2）设过点的直线为，联立方程组得到，再联立两直线，求得，根据，，求得，进而结合韦达定理，化简得到，即可得到结论. 【详解】（1）设，由已知，得． 又点在椭圆上，所以，则，所以，即． 因为，所以．又由面积的最大值为2，可得， 即，解得．故椭圆的方程为． （2）    由，可得点四点共线， 设过点的直线斜率存在时，直线方程为，即， 联立方程组，整理得． 设，则，， 联立方程组，可得，即． 因为，可得， 所以， 则 ． 当直线斜率不存在时，直线方程为， 求得 可得， 所以为定值，定值为0． 【变式训练15-1】已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点. (1)求切线的方程； (2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值； (3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 题型16：求根 【典型例题1】已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5， (1)求抛物线的方程； (2)点是抛物线上异于原点的不同的两点，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由抛物线，可得准线方程为， 因为点到拋物线的准线的距离为，且点的横坐标为， 根据抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为. （2）解：根据题意，设，联立方程组，解得，所以， 因为，可得，即， 可设，联立方程组， 整理得到，则， 所以，，即， 所以， 设，当且仅当时等号成立， 则， 所以当时，取最小值为． 【典型例题2】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设，为上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)恒过定点 【详解】（1）由双曲线离心率为，得， 所以双曲线方程为， 又点在双曲线上， 即， 解得，， 所以双曲线的方程为； （2）由已知得，， 设直线，点， 由得，， 则，即，， 所以 由，得， 所以 设直线，联立直线与圆， 得，， 则，即，， 所以， 所以， 即， 所以， 又点在圆上， 设圆与轴的另一个交点为， 则，且，即直线与重合， 所以直线恒过点. 【变式训练16-1】已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，. (1)求的标准方程； (2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练16-2】数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值. 题型17：多斜率计算型 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，. (1)求C的方程； (2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）当轴时，，即①， 当时，， 在中，，由余弦定理可知， ， 即， 整理，可得，即②， 由①②，解得，． 所以C的方程为． （2） 设直线l：，点，， 令，则，， 由点M，N在直线的两侧，可得， 联立，消去x，可得， 则恒成立， 所以，． 因为，所以， 由正弦定理，得， 而，即， 所以，而，则， 所以，则，即， 即， 整理，得，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以． 令， 结合，解得，则． 所以时，点P到直线l的距离． 【典型例题2】已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为． (1)求椭圆方程； (2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据椭圆C的离心率为知，所以，如图，则 则在中，可得，， 由正弦定理得， 解得，所以，， 所以椭圆C的方程为． （2）由条件知直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立，得，得 于是，， 因为，，代入椭圆方程得， 所以， 同理，于是，， 因为，所以， 即． 又直线l的斜率存在，所以，于是， 所以，即， 又，， 所以， 整理得， 所以， 化简整理得， 又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得， 所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点， 于是直线l恒过定点． 当时，，， 的面积 ， 令，因为直线l的斜率存在，则，， 于是， 又函数在上单调递减， 所以面积的取值范围为． 【变式训练17-1】已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 【变式训练17-2】已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点． (1)点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由； (2)若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程． 【变式训练17-3】设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切． (1)求椭圆的方程． (2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点． （i）求直线与的斜率之积； （ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程． 题型18：韦达定理复杂转化型 复杂型的韦达定理转化，比较多的是与角度，面积等有关，可以借助公式转化为两两交点坐标韦达定理形式，需要多积累多观察多总结。 【典型例题1】已知分别为椭圆的左、右焦点，B为椭圆C短轴的端点，若的面积为，且.（1）求椭圆C的方程； （2）若动直线与椭圆C交于，M为线段的中点，且M在曲线上，设O为坐标原点.求的范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由，， ，故椭圆C的方程为； （2）联立. .且，； 设， 依题意，，即 化简得：；所以 在中 因为，所以，所以的范围为． 【典型例题2】已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）（2）或． 试题解析：（1）因为椭圆的右焦点，，所以，因为在椭圆上，所以， 由，得，，所以椭圆的方程为． （2）由得：，即，可得， ①当垂直轴时，，此时满足，所以此时直线的方程为； ②当不垂直轴时，设直线的方程为，由消去得， 设，，所以，，代入可得：，代入，，得， 代入化简得：，解得，经检验满足题意，则直线的方程为， 综上所述直线的方程为或． 【变式训练18-1】已知双曲线的一条渐近线为，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点作直线交双曲线的右支于两点，点满足，求证：存在两个定点，使得为定值，并求出这个定值. 【变式训练18-2】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与轴交于点，过作直线交于两点，交于两点.已知直线交于点，直线交于点.试探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由. 【变式训练18-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为;双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，．过点作不垂直于y轴的直线l交曲线于点A、B，点M为线段AB的中点，直线OM交曲线于P、Q两点． (1)求、的方程； (2)若，求直线PQ的方程； (3)求四边形APBQ面积的最小值. 题型19： 椭圆与向量问题 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【解析】（1）由题意知：，解得：，椭圆方程为. （2） 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由得：， ，， ，，且， ，即，，解得：. 【典型例题2】（1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 【解析】（1）椭圆C1：的焦点坐标为， 所以椭圆C的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆C过点M，∴， ∴，∴椭圆的标准方程为. （2）由椭圆方程得，，， 设，则，； 由得：（1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，，即； 故点到轴的距离是． 【典型例题3】如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【解析】（1）由条件可知，，，则， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 【典型例题4】已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题可知，， 所以， 故椭圆的方程为； （2）设直线的方程为设， 由得，， 故， ， ， 注意到，即， 故. （3）假设轴上存在满足条件的定点， 设其坐标为，则， ， 因为为定值，故， 得，定值为， 故轴上存在定点，使得为定值. 【变式训练19-1】已知椭圆，为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，是否存在实常数，使得恒成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练19-2】已知动点W到点的距离是到直线的距离的. (1)设动点W的轨迹为C，求该轨迹方程； (2)在（1）的条件下，过点F的直线交C于M、N两点，O为坐标原点.求的取值范围. 【变式训练19-3】椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 【变式训练19-4】在平面直角坐标系中，已知点，，动点P满足：. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设曲线C的右顶点为D，若直线l与曲线C交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值. 【变式训练19-5】在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【变式训练19-6】已知椭圆C：的离心率为，C的左焦点到右顶点的距离为3． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与x轴交于点Q，与C交于A、B两点，且，求直线l的方程． 【变式训练19-7】椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，． (1)若，求的值； (2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围． 【变式训练19-8】已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且．直线：交椭圆于M，N两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求的值； 【变式训练19-9】已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，且，求实数的值． 【变式训练19-10】已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【变式训练19-11】已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点. (1)求的值； (2)直线与交于点，求证：. 题型20：证明综合 【典型例题】已知椭圆的上顶点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若椭圆的焦点在x轴上，过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆相切，已知点，直线QB与椭圆E交于点C，证明：AC与相切． 【答案】(1)焦点在y轴上时：；焦点在x轴上时： (2)证明见解析 【分析】（1）由离心率与顶点坐标，再结合关系即可求得； （2）设直线的方程为，联立方程，即可求出点B的坐标， 表示出直线BQ的方程与椭圆联立求出C点坐标，写出AC的方程，利用点到线的距离即可求得结果. 【详解】（1）设椭圆焦距为， 若焦点在x轴，由题干知：长轴长为，短轴长为， 由离心率为得， 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为． 若焦点在y轴，由题干知长轴长为，短轴长为， 由离心率为得， 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为． （2） 若焦点在x轴，椭圆的方程为，证明如下： 若直线AB斜率不存在，则AC重合，显然不满足题意； 若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 由得，，可得， 由于直线BQ的斜率为， 由得，， 即，可得， 所以直线AC的斜率， 由于直线与圆P相切，所以， 直线，圆心到直线的距离 所以直线AC与圆P相切． 【变式训练20-1】已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. (1)求椭圆的标准方程. (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值. (3)求证： 【变式训练20-2】已知椭圆E的标准方程为：，在这个椭圆上取个点，这些点的坐标分别为，连接． (1)若直线的斜率为，求椭圆E的离心率； (2)证明的面积为定值，并求多边形的面积（用n表示）； (3)若，线段的中点为M，证明：． 【变式训练20-3】已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线. 【变式训练20-4】在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【变式训练20-5】已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． 题型21： 椭圆的探索性问题 【典型例题1】已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【详解】（1）将点代入，可得，解得，故. （2）设，，，由为的中点，则， 分别将，代入，则， 两式相减可得，整理可得， 由，则，设直线的斜率为， 由图可知直线过，由（1）易知，则， 可得，解得，则， 所以直线的方程为. （3）由（2）易知，则，即， 故直线的方程为，将代入，可得， 由，则直线的斜率为，由，则， 由，则易知，即. 【典型例题2】已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在，或 【详解】（1）由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为， （2）（i）由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立， 设， 则 故在以为直径的圆外. （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形， 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，由（i）得， ，由于在直线上，所以 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则 解得，即， 故直线的方程为或. 【变式训练21-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围． 【变式训练21-2】已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式训练21-3】已知椭圆E：，若椭圆焦距为4，点在椭圆上，焦点，且面积最大值为4，过点的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆标准方程. (2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由. 1.已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围； (3)过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线. 2.在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点. (1)求的方程； (2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求； (3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：. 3.如图，已知点到两点，距离的乘积为8，点的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．    (1)求曲线的方程； (2)求的周长的取值范围； (3)过作直线分别交于两点，且，若的面积为18，求的最小值． 4.已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 5.设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 6.已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 7.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 8.已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？ 9.已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且. (1)求椭圆的方程； (2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由. 10设椭圆C：（）的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点. 11.已知O坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为． (1)求椭圆C的方程； (2)过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值． 12.已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形. (1)求C的标准方程. (2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 13.已知椭圆的离心率为，其左焦点为． (1)求的方程； (2)如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由． 14.已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，． (1)求椭圆的方程． (2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 15.已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值． 16.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 17.已知椭圆过点，且离心率为 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值. 18.已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，求面积的最大值以及此时直线l的方程. 19.在平面直角坐标系中，椭圆的上焦点为F，且C上的点到点的距离的最大值与最小值的差为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为1. (1)求的方程； (2)已知直线：）与交于,两点，与轴交于点，若点是线段靠近点的四等分点，求实数的取值范围． 20.平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范围． 21.已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：. 22.已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由． 23.已知椭圆的离心率为，且过点.点P到抛物线的准线的距离为. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)如图过抛物线的焦点F作斜率为的直线交抛物线于A，B两点（点A在x轴下方），直线交椭圆于另一点Q.记，的面积分别记为，当恰好平分时，求的值. 24.已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为. (1)证明：为定值； (2)若，，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $null