第03讲 椭圆的焦点三角形讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆焦点三角形专题，系统覆盖高考高频考点如离心率计算、面积公式、角度关系、周长问题等，按定义-性质-题型逻辑架构知识要点，通过考情分析明确命题趋势，知识要点梳理核心公式与性质，解题策略提炼四步固定流程，11类题型归纳典型例题与变式训练，配合巩固提升环节，帮助学生构建完整知识体系，突破中档小题解题难点。 资料特色在于融合数学思维与实战策略，创新设计“定义优先+定理公式+模型识别”解题路径，如通过“一见焦点三角形，先写定义两半径”等秒杀口诀培养学生数学眼光，结合正余弦定理、面积公式推导训练数学思维，设置基础巩固与能力提升分层练习，确保学生快速掌握离心率、面积等高频考点的解题技巧，为教师提供精准复习节奏把控依据，有效提升学生应考能力。

第03讲 椭圆的焦点三角形 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：焦点三角形中的角的有关问题 9 题型02：由焦点三角形求离心率 14 题型03：焦点三角形中周长问题 18 题型04：焦点三角形中的面积问题 20 题型05：焦点三角形的形状问题 28 题型06：焦点三角形的最值与范围问题 29 题型07：焦点三角形的四心及其相关问题 32 题型08：焦点三角形的焦点弦与焦半径问题 34 题型09：焦点三角形中的内切圆、外接圆 39 题型10：椭圆的光学性质 49 题型11：焦点三角形的综合问题 51 巩固提升 54 一、考情定位 1. 高频考点：选择、填空必考/常考，极少单独出大题，多为中档小题。 2. 分值：5 分/题，属于必须拿满分的题型。 3. 地位：椭圆最核心、最经典、最套路化的模型。 4. 难度：中档偏易，掌握结论可直接秒杀。 二、高考考什么（核心考点） 1. 周长与边长关系 2. 面积公式 3. 角度问题 4. 离心率计算 5. 特殊点与特殊形状 三、高考命题趋势 1. 不考复杂计算，考结论熟练度 2. 常结合向量、斜率、垂直、中点包装条件 3. 求离心率是最高频考法 4. 题型稳定、思路固定，属于送分但易错板块 一、知识目标 1. 理解椭圆焦点三角形的定义，明确其三个顶点为椭圆上任意一点P与两个焦点。 2. 掌握椭圆定义焦距与焦点三角形边长的对应关系。 3. 熟记焦点三角形核心公式：面积公式、顶角最大结论、正余弦定理应用形式。 4. 理清椭圆中 a,b,c,e 的关系，区分焦点三角形与双曲线焦点三角形的公式差异。 二、能力目标 1. 能快速识别题目中的焦点三角形模型，准确提取边长、角度、面积等关键条件。 2. 会利用椭圆定义+正余弦定理联立求解边长、角度、面积、离心率等问题。 3. 掌握顶角最大、直角、等腰、等边等特殊焦点三角形的判定与计算方法。 4. 具备化简运算、条件转化、排除易错点的能力，实现小题快解、大题稳算。 三、素养与思想目标 1. 强化数形结合思想，建立几何图形与代数公式的对应关系。 2. 体会定义优先的解题思路，提升模型识别与套用能力。 3. 培养严谨计算、规范表达的数学素养，避免公式混淆与范围遗漏。 四、应试目标 1. 选择填空题：1分钟内秒杀焦点三角形面积、角度、离心率题型，做到零失误。 2. 解答题：能将焦点三角形条件转化为 a,b,c 的关系式，顺利求解离心率或方程。 3. 全面掌握高频考点，确保该模块不丢分、少计算、速度快。 焦点三角形定义：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)； ④。 ⑤ 在. 性质1：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则，即 . 若在双曲线中 证明： 性质2：P是椭圆上一点，为椭圆左右焦点， 则， 是上一点，为双曲线左右焦点， 则， 性质3：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。 取最大值,根据等面积原理,此时 . 证明：设,由焦半径公式可知：， 在中， = 性质4：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明：设则在中，由余弦定理得： 性质5：直角顶点的讨论:当 时, 取得最大值, 若 ,则 , ； 若 ,则 ; 若 ,则 . 在分析直角顶点个数时,当 时, 有四个点 存在; 当 时, 有两个点 存在; 当 时, 无点 存在. (注意: 与 的区别) 性质6：如图，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，，则椭圆的离心率． 在双曲线中，离 证明：在△中， ． 性质7：如图，椭圆的标准方程为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则有如下性质： ①． ②，其中为椭圆的离心率． 图1 证明①：由切线长定理得：，则 ， 又根据椭圆定义得，因此． 证明②． 设的内切圆半径为，由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则．根据切线长定理，①， 根据椭圆的第二定义得到焦半径公式：， ②， 由①②得：． ， ． 当时，，同理， 由得．当时，， ． 综上，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点时性质2恒成立． 性质7：焦点三角形的轨迹为，且该椭圆长轴与原椭圆长轴比为原椭圆离心率e. P是上除去左右顶点外一点， 的内心轨迹为，且该双曲线实轴与原双曲线实轴比为原双曲线离心率e. 性质8：P是椭圆或双曲线上一点，若该椭圆焦点三角形左右旁心A或双曲线焦点三角形内心A的横坐标为 性质9：P是或上一点，若该椭圆的内切圆或双曲线的旁切圆半径为r, 性质10：P是或上一点，若该椭圆的内心A或双曲线旁心A的纵坐标为m, 椭圆中焦点三角形内切圆结论 点为椭圆上任意一点，点P为的内心,点G为的重心。 性质1： 性质2： 性质3：，，， 性质4、 性质5、 性质6、 性质7、 性质8、P的轨迹为 焦点三角形单旁切圆模型：点为椭圆上任意一点，点I为旁切圆圆心，A,B,C为切点。 结论：， : 焦点三角形双内切圆模型：，k为直线AB的倾斜角 一、核心思路（一句话）：椭圆定义 + 正余弦定理 + 面积公式 = 秒杀所有焦点三角形 二、解题四步固定流程 1. 定模型:看到椭圆上一点P两焦点 → 直接认定焦点三角形。 2. 用定义:先写：|P| + |P| = 2a，|| = 2c。 3. 套定理/公式 ①有角度：用余弦定理 ②求面积：用 S =tan ③求离心率：找 a,c 齐次式 4. 验条件:注意顶角最大在短轴端点，排除不可能情况。 三、考场秒杀口诀: 一见焦点三角形，先写定义两半径； 有角就用余弦理，求面积用正切半； 离心率找 a 比 c，顶角最大短轴看。 题型01：焦点三角形中的角的有关问题 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】D 【详解】设椭圆的中心为，长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则在等腰三角形中，，，． 因为椭圆的离心率为，所以在直角三角形中，，故，． 故选：D 【典型例题2】已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则， 又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12. 故选：D 【典型例题3】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 【典型例题4】（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，，得，. 所以，则正确.； 因为，其中，， 所以，则正确； 对于，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即. 令，，则，其中，，取. 因为，，所以，， 所以，，故. 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则正确. 故选：. 【典型例题5】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【变式训练1-1】点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1-5】已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-10】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-11】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-12】（多选）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 【变式训练1-13】（多选）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 【变式训练1-14】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 【变式训练1-15】（多选）．已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（   ） A．C的方程为 B．面积的最大值为2 C．坐标原点O到直线AB的距离为 D． 【变式训练1-16】（多选）．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（    ） A．若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为 B．若是动点，则的值恒为2 C．若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若是动点，则的取值范围是 【变式训练1-17】已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 题型02：由焦点三角形求离心率 【典型例题1】已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 【典型例题2】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 连接，，由题及椭圆的定义得，，，. 设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以该椭圆的离心率. 故选：D. 【典型例题3】已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的半焦距为， 因为的角平分线， 则在中利用角平分线定理可知，， 因，，则，则， 由椭圆的定义可知，，则， 由直线的斜率为，则， 则在中利用余弦定理可得，， 即，得或（舍）， 则椭圆C的离心率是. 故选：A      【变式训练2-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】设椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知椭圆的右顶点与右焦点分别为A，F，点P在C上，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】（多选）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，其中点是相应椭圆的焦点，“果圆”与轴的左、右交点分别为，与轴的上、下交点分别为，若是等边三角形，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．的离心率为 题型03：焦点三角形中周长问题 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选：A 【典型例题2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 ，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 【典型例题3】短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 【变式训练3-1】（多选）已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【变式训练3-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 【变式训练3-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是．若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为 ． 【变式训练3-4】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【变式训练3-5】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【变式训练3-6】已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【变式训练3-7】已知、分别为椭圆C：（）的左、右焦点，C的离心率为，P为C上一点，的周长为6. (1)求C的方程； (2)若P为C的上顶点，过且斜率不为0的直线l交C于A，B两点，交线段于点N，且，求l的方程. 题型04：焦点三角形中的面积问题 【典型例题1】已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，    设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点， 下面证明重合， 设， , ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，， 则，所以， 故选：C. 【典型例题2】已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴, 轴. 在中, ,设,则的面积为, , ,则C的方程为. 故选：D. 【典型例题3】（多选）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 【典型例题4】已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，则， 解得，而，则， 所以椭圆的方程为． （2）如图，设，由消去，得， ，，， 则， 由为线段中点，得， 由，得，则，又点到的距离， 于是， 整理得，解得，此时， 圆心到的距离成立，故. 【典型例题5】已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）． 点在椭圆上， ，解得或（舍） ．椭圆的方程为． （2）如图： 易知直线斜率不为0，设直线方程为 直线方程为：， 联立，得． 由，得， ． 直线的斜率为：． 直线方程为：． 令，得． ． 所以直线的斜率为定值. 【变式训练4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式训练4-2】已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】椭圆的左右焦点分别为为上一点，则当的面积最大时，的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【变式训练4-6】已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 【变式训练4-7】已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程. 【变式训练4-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 【变式训练4-9】已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 【变式训练4-10】已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【变式训练4-11】在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 题型05：焦点三角形的形状问题 【典型例题1】设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 【答案】D 【详解】因为，所以， 若（当时，面积一样），则，， 所以； 若，设，则，所以， 故，符合题意； 综上：的面积为1或. 故选：D 【典型例题2】设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意， 设椭圆的长轴长为2a，半焦距为c，则， 则，， 于是， ∴． 故选：C 【变式训练5-1】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 题型06：焦点三角形的最值与范围问题 【典型例题1】在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意，． 在椭圆上下顶点，面积的最大值. 此时. 所以，则求椭圆的方程. （2）如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ，， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以． 综上，的面积为定值． 【典型例题3】已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为C上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）离心率，①， 将点代入椭圆方程得②， 联立①②解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）设M点的坐标为，则，即 由（1）可知，， ， 又，. 【变式训练6-1】已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练6-2】已知椭圆的左、右焦点分别是，上顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，是上任意一点，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)过作一直线与交于两点，直线与轴分别交于点，求证：的中点是定点． 【变式训练6-3】已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 【变式训练6-4】已知椭圆C：的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，、分别为椭圆C的左、右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若，求实数λ的取值范围． 题型07：焦点三角形的四心及其相关问题 【典型例题1】已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 【典型例题2】已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 . 【答案】 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 【变式训练7-1】椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 【变式训练7-2】若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为 ． 题型08：焦点三角形的焦点弦与焦半径问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 1．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率. 故选：A. 8．（多选）已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 9．（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（   ） A．若的中点在轴上，则 B． C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A：设的中点为，坐标原点为，由中位线易知， 若的中点在轴上，则与轴垂直，所以与轴垂直， 即为通径长的一半，所以，A正确； 对于B：设，，，， ，， 又， 所以， 所以，B正确， 对于C，若， 则， 即 可得，所以C错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为， 则有，即，解得， 所以，故D正确． 故选：ABD 【变式训练8-1】已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-6】如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-7】设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练8-8】（多选）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 【变式训练8-9】（多选）．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 【变式训练8-10】已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积． 题型09：焦点三角形中的内切圆、外接圆 【典型例题1】若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设内切圆半径为， 则， 又因为，， 所以，即， 所以. 故选：B. 【典型例题2】设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 的外接圆半径：. 设，，所以. 所以. 又，所以. 由得. 又，所以， 又，所以. 故选：B 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示） 【答案】 【难度】0.65 【详解】设内切圆与分别相切于点，椭圆半焦距为c， 有，，则，即， 则，又 （e为椭圆的离心率），而，则， 即，因此， ，所以. 故答案为：. 【典型例题4】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【详解】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 【典型例题5】（多选）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．动点的轨迹是一个椭圆 C．直线的斜率之积为常数 D．内切圆的面积无最大值也无最小值 【答案】ACD 【详解】若是内切圆与轴的切点，，，，， 又，则，即， 所以离心率，A对；    若为延长线与轴的交点，，且，则，故， 由角平分线的性质可得，则， 所以，则， 又，则，故， 所以，故，则且， 所以动点的轨迹是一个不含轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；    由上分析，，，则为定值，C对； 由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于， 即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对. 故选：ACD 【典型例题6】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故答案为： 【典型例题7】已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆方程为； （2）（i）设直线的方程为，，， 由，整理得， 所以，则， 所以，， 若轴，由，解得，则，此时的斜率，即（不合题意）， 所以、的斜率均存在， 所以， 又， 所以，即， 又因为、均在椭圆上， 由椭圆的对称性可知，即为等腰三角形； （ii）设的中点为，则，， 所以， 所以的垂直平分线为， 令可得，所以， 所以的面积， 令，设，， 所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， 所以面积的最大值为. 【变式训练9-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【变式训练9-2】已知椭圆的方程为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练9-4】设点为椭圆上的动点（除左右顶点外），椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-5】已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-6】已知，是离心率为的椭圆的焦点，是椭圆上第一象限的点，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-7】已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式训练9-8】已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-9】已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练9-10】设椭圆的左、右焦点分别为，M是椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-11】已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-12】已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-13】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【变式训练9-14】知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，的面积为，点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是的内心，直线交于M，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-15】已知椭圆的方程为分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线与x轴交于点N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-16】（多选）椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（     ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是 C．取值范围是 D． 【变式训练9-17】（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【变式训练9-18】（多选）为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D． 【变式训练9-19】（多选）（多选）已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的半径为R，内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，G为的重心，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．r为定值 B． C．的最大值为 D．直线IG的倾斜角不变 【变式训练9-20】（多选）（多选）已知椭圆：的左右焦点为，，若为椭圆上一动点，记的内心为，外心为，重心为，且内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．为定值 D．的最小值为2 【变式训练9-21】（多选）（多选）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的方程为 B．的周长为4 C．定点P的坐标为 D．当轴时，的内切圆圆心坐标为 【变式训练9-22】（多选）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-23】（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 【变式训练9-24】已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为 . 【变式训练9-25】已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 【变式训练9-26】如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为 ． 【变式训练9-27】已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)当=1时，求弦长； (3)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 【变式训练9-28】已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【变式训练9-29】已知椭圆的左，右焦点为，，P为C上一动点，内切圆面积的最大值为，且到直线的距离为3c，过的直线l交C于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，探究：是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由； (3)若，直线l与直线相交于点Q，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 题型10：椭圆的光学性质 【典型例题1】椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意知， 所以． 设，所以， 又，所以， 得，所以，． 方法一：对于等腰三角形和，因为， 故，故，即， 化简得， 即，解得（负数舍去）． 方法二：易知， 则有. 化简得：，即，解得（负数舍去）. 故选：D. 【变式训练10-1】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 题型11：焦点三角形的综合问题 【典型例题1】已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则下列不正确的是（    ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．可能存在点，使得 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的离心率，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当不在x轴上时，， ，当且仅当取等号， 当在x轴上时，，上述不等式成立，因此最大为，D错误. 故选：D 【典型例题2】（多选）．已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为直角三角形，则 D．若，则的面积为 【答案】AC 【详解】对于AB，椭圆半焦距，由离心率为，得，，A正确，B错误； 对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，即不可能是直角， 由为直角三角形，得或，由椭圆对称性不妨令， 直线，由，得，即，则， 所以，C正确； 对于D，由椭圆定义得，而，解得， 而，则是边长为2的正三角形，其面积为，D错误. 故选：AC 【变式训练11-1】（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【变式训练11-2】（多选）．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【变式训练11-3】（多选）．设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．动点P到点的距离的最小值为 【变式训练11-4】（多选）．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 1.已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是　　 A． B． C． D． 2.已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　 A． B． C． D． 3.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　　 A． B． C．3 D．2 4.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 5.已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点．延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 6.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为　　 A．13 B．12 C．9 D．6 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的左支交于，两点，若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 8.已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 9.已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若△的面积为9，则实数的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为　　 A． B． C． D． 11.如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点．若，，，则椭圆的方程为　　 12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 　　． 13.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 14.已知椭圆为的左、右焦点，，，为上一点，且△的内心，若△的面积为，则的值为　　 A． B． C． D．3 15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且，则E的标准方程为（　　） A． B． C． D． 16.设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 17.如图，已知，为椭圆的左，右焦点，为上在第二象限内一点，以为直径的圆交于点，若为坐标原点），则△的面积为 　　，直线的方程为 　　． 18.椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 19.定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 20.已知，，是椭圆上的三个点，为坐标原点，，两点关于原点对称，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率是 　． 21.设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 22.已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为 　　． 23.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 24.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，过点且斜率为的直线与圆交于，两点（点在轴上方），线段与椭圆交于点，延长线与椭圆交于点，且，，则椭圆的离心率为 　　，直线的斜率为 　　． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 椭圆的焦点三角形 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：焦点三角形中的角的有关问题 9 题型02：由焦点三角形求离心率 24 题型03：焦点三角形中周长问题 31 题型04：焦点三角形中的面积问题 37 题型05：焦点三角形的形状问题 53 题型06：焦点三角形的最值与范围问题 57 题型07：焦点三角形的四心及其相关问题 63 题型08：焦点三角形的焦点弦与焦半径问题 66 题型09：焦点三角形中的内切圆、外接圆 77 题型10：椭圆的光学性质 112 题型11：焦点三角形的综合问题 115 巩固提升 120 一、考情定位 1. 高频考点：选择、填空必考/常考，极少单独出大题，多为中档小题。 2. 分值：5 分/题，属于必须拿满分的题型。 3. 地位：椭圆最核心、最经典、最套路化的模型。 4. 难度：中档偏易，掌握结论可直接秒杀。 二、高考考什么（核心考点） 1. 周长与边长关系 2. 面积公式 3. 角度问题 4. 离心率计算 5. 特殊点与特殊形状 三、高考命题趋势 1. 不考复杂计算，考结论熟练度 2. 常结合向量、斜率、垂直、中点包装条件 3. 求离心率是最高频考法 4. 题型稳定、思路固定，属于送分但易错板块 一、知识目标 1. 理解椭圆焦点三角形的定义，明确其三个顶点为椭圆上任意一点P与两个焦点。 2. 掌握椭圆定义焦距与焦点三角形边长的对应关系。 3. 熟记焦点三角形核心公式：面积公式、顶角最大结论、正余弦定理应用形式。 4. 理清椭圆中 a,b,c,e 的关系，区分焦点三角形与双曲线焦点三角形的公式差异。 二、能力目标 1. 能快速识别题目中的焦点三角形模型，准确提取边长、角度、面积等关键条件。 2. 会利用椭圆定义+正余弦定理联立求解边长、角度、面积、离心率等问题。 3. 掌握顶角最大、直角、等腰、等边等特殊焦点三角形的判定与计算方法。 4. 具备化简运算、条件转化、排除易错点的能力，实现小题快解、大题稳算。 三、素养与思想目标 1. 强化数形结合思想，建立几何图形与代数公式的对应关系。 2. 体会定义优先的解题思路，提升模型识别与套用能力。 3. 培养严谨计算、规范表达的数学素养，避免公式混淆与范围遗漏。 四、应试目标 1. 选择填空题：1分钟内秒杀焦点三角形面积、角度、离心率题型，做到零失误。 2. 解答题：能将焦点三角形条件转化为 a,b,c 的关系式，顺利求解离心率或方程。 3. 全面掌握高频考点，确保该模块不丢分、少计算、速度快。 焦点三角形定义：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)； ④。 ⑤ 在. 性质1：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则，即 . 若在双曲线中 证明： 性质2：P是椭圆上一点，为椭圆左右焦点， 则， 是上一点，为双曲线左右焦点， 则， 性质3：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。 取最大值,根据等面积原理,此时 . 证明：设,由焦半径公式可知：， 在中， = 性质4：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明：设则在中，由余弦定理得： 性质5：直角顶点的讨论:当 时, 取得最大值, 若 ,则 , ； 若 ,则 ; 若 ,则 . 在分析直角顶点个数时,当 时, 有四个点 存在; 当 时, 有两个点 存在; 当 时, 无点 存在. (注意: 与 的区别) 性质6：如图，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，，则椭圆的离心率． 在双曲线中，离 证明：在△中， ． 性质7：如图，椭圆的标准方程为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则有如下性质： ①． ②，其中为椭圆的离心率． 图1 证明①：由切线长定理得：，则 ， 又根据椭圆定义得，因此． 证明②． 设的内切圆半径为，由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则．根据切线长定理，①， 根据椭圆的第二定义得到焦半径公式：， ②， 由①②得：． ， ． 当时，，同理， 由得．当时，， ． 综上，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点时性质2恒成立． 性质7：焦点三角形的轨迹为，且该椭圆长轴与原椭圆长轴比为原椭圆离心率e. P是上除去左右顶点外一点， 的内心轨迹为，且该双曲线实轴与原双曲线实轴比为原双曲线离心率e. 性质8：P是椭圆或双曲线上一点，若该椭圆焦点三角形左右旁心A或双曲线焦点三角形内心A的横坐标为 性质9：P是或上一点，若该椭圆的内切圆或双曲线的旁切圆半径为r, 性质10：P是或上一点，若该椭圆的内心A或双曲线旁心A的纵坐标为m, 椭圆中焦点三角形内切圆结论 点为椭圆上任意一点，点P为的内心,点G为的重心。 性质1： 性质2： 性质3：，，， 性质4、 性质5、 性质6、 性质7、 性质8、P的轨迹为 焦点三角形单旁切圆模型：点为椭圆上任意一点，点I为旁切圆圆心，A,B,C为切点。 结论：， : 焦点三角形双内切圆模型：，k为直线AB的倾斜角 一、核心思路（一句话）：椭圆定义 + 正余弦定理 + 面积公式 = 秒杀所有焦点三角形 二、解题四步固定流程 1. 定模型:看到椭圆上一点P两焦点 → 直接认定焦点三角形。 2. 用定义:先写：|P| + |P| = 2a，|| = 2c。 3. 套定理/公式 ①有角度：用余弦定理 ②求面积：用 S =tan ③求离心率：找 a,c 齐次式 4. 验条件:注意顶角最大在短轴端点，排除不可能情况。 三、考场秒杀口诀: 一见焦点三角形，先写定义两半径； 有角就用余弦理，求面积用正切半； 离心率找 a 比 c，顶角最大短轴看。 题型01：焦点三角形中的角的有关问题 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】D 【详解】设椭圆的中心为，长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则在等腰三角形中，，，． 因为椭圆的离心率为，所以在直角三角形中，，故，． 故选：D 【典型例题2】已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则， 又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12. 故选：D 【典型例题3】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 【典型例题4】（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，，得，. 所以，则正确.； 因为，其中，， 所以，则正确； 对于，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即. 令，，则，其中，，取. 因为，，所以，， 所以，，故. 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则正确. 故选：. 【典型例题5】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【变式训练1-1】点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图： 不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为. 因为椭圆上存在点，使得，所以需； 在中，由余弦定理得， 又，化简得. 同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足. 故选：B. 【变式训练1-2】设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为以为直径的圆与C的一个交点为P，所以． 又，所以，， 所以， 所以离心率， 因为，所以， ，， 故． 故选：D 【变式训练1-3】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 【变式训练1-4】已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：B 【变式训练1-5】已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 【变式训练1-6】已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 【变式训练1-7】已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 【变式训练1-8】已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即是直角三角形， 因为直线的一个方向向量为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以. 故选：A 【变式训练1-9】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 【变式训练1-10】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 【变式训练1-11】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，连接，设与交于点 M. 由，可设，则，其中， 由椭圆的定义，得，从而， 又因为，所以，在中，设， 则为锐角，所以，即， 由余弦定理，得，即，解得. 故选：C. 【变式训练1-12】（多选）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 【答案】ABD 【详解】由题意可知，，， 故为等边三角形，则，， 又， 所以，，， 所以焦距，A正确； 离心率，C错误； 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又，由余弦定理可得，所以，D正确， 故选：ABD． 【变式训练1-13】（多选）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 【变式训练1-14】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 【答案】ACD 【详解】由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距，，， 对于A，由椭圆定义知：， （当且仅当，即为短轴端点时取等号）， 的最大值为，A正确； 对于B，， 即的最小值为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，设，，， ， ，，， 椭圆上存在点，使得，D正确. 故选：ACD. 【变式训练1-15】（多选）．已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（   ） A．C的方程为 B．面积的最大值为2 C．坐标原点O到直线AB的距离为 D． 【答案】BCD 【详解】 A项，由椭圆上顶点为得，， 由知，由对称性可得， 所以，即，则， 椭圆方程为，故A错误； B项，由A项可知，为定值， 故当点到距离最大时，面积最大， 即当为短轴端点时取最大值，最大值为，故B正确； C项，在中，， 设为斜边上的高，由， 可得点到直线的距离为，故C正确； D项，设，由， 所以直线方程为，令，可得， 直线方程为，令，. 由点在椭圆上，则，， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练1-16】（多选）．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（    ） A．若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为 B．若是动点，则的值恒为2 C．若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若是动点，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，若点是椭圆的短轴顶点，则，又， 所以，所以椭圆的标准方程为，故选项A正确； 对于B，设，由题意可知①， 因为，所以，即②，又③， 由②③及得，又由①知，所以.故选项B正确； 对于C，由②③得，所以，从而，故. 所以椭圆的离心率，故选项C错误； 对于D，由椭圆定义可得，即的取值范围为，即选项D正确. 故选：ABD. 【变式训练1-17】已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. （2）因为， 所以，所以， 所以. 题型02：由焦点三角形求离心率 【典型例题1】已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 【典型例题2】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 连接，，由题及椭圆的定义得，，，. 设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以该椭圆的离心率. 故选：D. 【典型例题3】已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的半焦距为， 因为的角平分线， 则在中利用角平分线定理可知，， 因，，则，则， 由椭圆的定义可知，，则， 由直线的斜率为，则， 则在中利用余弦定理可得，， 即，得或（舍）， 则椭圆C的离心率是. 故选：A      【变式训练2-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，由椭圆的对称性可知，， 由椭圆的定义可知， 因为，所以，即， 得（舍去）， 则，在中，， 所以在中，由余弦定理得，得， 所以的离心率. 故选：C 【变式训练2-2】设椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，，，则直线的方程为，即， 又到直线的距离为，则，整理得到， 所以，则，解得或（舍） 故选：D. 【变式训练2-3】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，如图所示，是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，，上顶点为A，（椭圆参数关系）， 由，结合对称性、圆的切线性质，令， 且，所以， 所以，可得，故， 故选：C 【变式训练2-4】已知椭圆的右顶点与右焦点分别为A，F，点P在C上，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 设，则，解得， ， 设为C的左焦点，由，得， 又，，因此为等边三角形，， 所以C的离心率为， 故选：B 【变式训练2-5】已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，故， 又， 则E的离心率为. 故选：B 【变式训练2-6】椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点， 则，所以， 由椭圆的定义可得，即， 则离心率. 故选：B. 【变式训练2-7】（多选）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，其中点是相应椭圆的焦点，“果圆”与轴的左、右交点分别为，与轴的上、下交点分别为，若是等边三角形，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，，， 因为是等边三角形， 所以， 即，即， 所以，所以，得， 所以， 因为，所以， 即，故B正确； 对于C项，的离心率，故C错误； 对于D项，的离心率，故D正确． 故选：ABD． 题型03：焦点三角形中周长问题 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选：A 【典型例题2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 ，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 【典型例题3】短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 【变式训练3-1】（多选）已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【详解】椭圆，则，则， 对于A：因为，所以的周长为，故A正确； 对于B：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值， 不妨取，此时， 所以为钝角，所以存在点使得，B正确； 对于C：因为，设， 则，故C错误； 对于D：因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 【变式训练3-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】因为，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点， 所以的周长为14， 所以，，解得， 故离心率. 故答案为： 【变式训练3-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是．若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为，分别是，的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，可得，. 已知四边形是矩形，其周长为，则， 即，所以，进而可得. 由椭圆的定义可知，则. 又因为四边形的面积为，所以， 即，则. 在中，，根据勾股定理可得. 对进行展开：. 已知，，代入上式可得， 即. 解得，而，所以，即，，则. 椭圆的离心率，已知，，所以. 故答案为： 【变式训练3-4】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 【变式训练3-5】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 【变式训练3-6】已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】若的长半轴为3，即，又， 所以的周长小于12，不符题意． 所以的长半轴为，，解得， 所以椭圆， 所以的离心率为． 故答案为： 【变式训练3-7】已知、分别为椭圆C：（）的左、右焦点，C的离心率为，P为C上一点，的周长为6. (1)求C的方程； (2)若P为C的上顶点，过且斜率不为0的直线l交C于A，B两点，交线段于点N，且，求l的方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设焦距为2c，依题意，解得，， 所以，所以C的方程为. （2） 依题意，得，，， 则直线的方程为， 设l的方程为，，， 联立，得， 所以，， 联立，得N的纵坐标， 由于，所以，其中为的纵坐标， 因为N，必在A，B之间，所以，即， 所以，解得， 所以l的方程为. 题型04：焦点三角形中的面积问题 【典型例题1】已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，    设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点， 下面证明重合， 设， , ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，， 则，所以， 故选：C. 【典型例题2】已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴, 轴. 在中, ,设,则的面积为, , ,则C的方程为. 故选：D. 【典型例题3】（多选）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 【典型例题4】已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，则， 解得，而，则， 所以椭圆的方程为． （2）如图，设，由消去，得， ，，， 则， 由为线段中点，得， 由，得，则，又点到的距离， 于是， 整理得，解得，此时， 圆心到的距离成立，故. 【典型例题5】已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）． 点在椭圆上， ，解得或（舍） ．椭圆的方程为． （2）如图： 易知直线斜率不为0，设直线方程为 直线方程为：， 联立，得． 由，得， ． 直线的斜率为：． 直线方程为：． 令，得． ． 所以直线的斜率为定值. 【变式训练4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可得：， 则， 设， 由题意可得：，解得， 代入方程可得，则， 又因为， 则. 故选：A. 【变式训练4-2】已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题知，，所以， 又，所以，将其代入1，解得， 所以， 故选:B. 【变式训练4-3】椭圆的左右焦点分别为为上一点，则当的面积最大时，的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意知，，设， 则， 由，得时面积最大，此时， 而此时，故， 所以 . 故选：A. 【变式训练4-4】由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，则. 因为的面积为，所以，则， 从而，即. 又的离心率为，所以，解得， 从而，则的面积为. 故选：D. 【变式训练4-5】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【答案】ACD 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 所以椭圆的短轴长为，所以A正确； 对于B中，设，可得，其中， 所以，所以最大面积为，所以B错误； 对于C中，由，且 ， 则 ， 因为，可得，则， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，连接，取的中点，连接，且， 以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为, 由椭圆的定义得， 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确. 故选：ACD.    【变式训练4-6】已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由，可得，设，则，，， 由，则，即，解得， 所以，， ，即，解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    【变式训练4-7】已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 则椭圆C的标准方程为． （2）B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0， 设直线，联立椭圆，消去x得：， 由韦达定理得：， ， 则中点， 由，所以以代替m可得， 所以， ， 化简得， 则过定点． 当时，取，，则过定点； 当时，取，，则过定点； 综上直线MN过定点． （3）M，N分别为AB，DE的中点， ， 由（2）知， 以代替m可得， 所以， ，所以或 解得， 所以直线的方程为：或. 【变式训练4-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为的最小值为，所以. 将代入的方程，得，故当轴时，的面积为，得， 则，又，所以， 可得， 故的方程为. （2）（ⅰ）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， ，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，得， 则，. 由题意可知，则 ， 故为定值. （ⅱ）当直线中的一条斜率不存在，一条斜率为0时，. 当直线的斜率均存在且不为0时， 设直线的方程为，，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，， 同理，，， 所以 . 令，则，， 故. 综上，的取值范围为. 【变式训练4-9】已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题意知 椭圆方程为 （2）（ⅰ）设 联立，消去x得 （ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立： 将代入可得. 展开并整理得. 所以. 由韦达定理可得，.   因为，根据斜率公式可得： ，即. 又因为，，所以. 展开得. 移项可得.   将，代入： 因为，等式两边同时除以得. 即. 两边同时乘以得. 移项可得，解得.   把代入得. 整理得. 【变式训练4-10】已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. （2）由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 【变式训练4-11】在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 【答案】 【详解】由题意得，即， 由椭圆定义知，，又，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 所以.    题型05：焦点三角形的形状问题 【典型例题1】设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 【答案】D 【详解】因为，所以， 若（当时，面积一样），则，， 所以； 若，设，则，所以， 故，符合题意； 综上：的面积为1或. 故选：D 【典型例题2】设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意， 设椭圆的长轴长为2a，半焦距为c，则， 则，， 于是， ∴． 故选：C 【变式训练5-1】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形. 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得. 故选：A. 【变式训练5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 【变式训练5-3】已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 【答案】(1) (2)直线直线 (3) 【详解】（1） 设, 故直线的方程为 由,得, 所以 不妨设， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形可得 所以直线方程为：，同理可得方程为：， 所以交点， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形面积为1可得 解得， 又在直线上， 所以, 所以，又， 所以 所以椭圆方程. （2） 由图形对称性可得：， 所以， 设, 将 和椭圆得方程联立得 所以 , 故直线直线 （3） 易得点关于原点对称， 由(2)知, 则直线，直线 , 将两式相乘得 ， 其中 ， 故点P的轨迹方程为：，即 设 则 当时， , 当时，, , , 综上， , 故. 题型06：焦点三角形的最值与范围问题 【典型例题1】在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意，． 在椭圆上下顶点，面积的最大值. 此时. 所以，则求椭圆的方程. （2）如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ，， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以． 综上，的面积为定值． 【典型例题3】已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为C上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）离心率，①， 将点代入椭圆方程得②， 联立①②解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）设M点的坐标为，则，即 由（1）可知，， ， 又，. 【变式训练6-1】已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 【变式训练6-2】已知椭圆的左、右焦点分别是，上顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，是上任意一点，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)过作一直线与交于两点，直线与轴分别交于点，求证：的中点是定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知的最大值为， 而， 则，即，则椭圆的方程为． （2）    根据（1）知，设， 由题意知直线斜率存在，且不为0，设直线的方程为． 则由得． 则有，． 直线的方程为，则； 直线的方程为，则． 取的中点为，则有 ． 即的中点是定点． 【变式训练6-3】已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由已知得，， ，，， 同理， ， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ． 由椭圆方程可得， 整理得，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 【变式训练6-4】已知椭圆C：的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，、分别为椭圆C的左、右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由椭圆C：的离心率为，得，解得， 由长轴长与短轴长的和为6，得，则， 所以椭圆的方程为． （2）设，由（1）知，，，而， 因此， 由，得，则， 所以实数的取值范围为. 题型07：焦点三角形的四心及其相关问题 【典型例题1】已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 【典型例题2】已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 . 【答案】 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 【变式训练7-1】椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】 设，则． 又，， 所以直线，的方程分别为， ． 由点到两直线的距离相等得，， 所以． 因为，， 所以，所以， 因此． 故答案为：. 【变式训练7-2】若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为 ． 【答案】4 【详解】如图，， 所以，. 故答案为：4.    题型08：焦点三角形的焦点弦与焦半径问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 1．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率. 故选：A. 8．（多选）已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 9．（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（   ） A．若的中点在轴上，则 B． C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A：设的中点为，坐标原点为，由中位线易知， 若的中点在轴上，则与轴垂直，所以与轴垂直， 即为通径长的一半，所以，A正确； 对于B：设，，，， ，， 又， 所以， 所以，B正确， 对于C，若， 则， 即 可得，所以C错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为， 则有，即，解得， 所以，故D正确． 故选：ABD 【变式训练8-1】已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 【变式训练8-2】已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 【变式训练8-3】已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 【变式训练8-4】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，且由椭圆定义可知，将代入到中，可得，即，解得，那么. 因为线段的中垂线过原点，所以，又因为，所以，那么是以为直角顶点的直角三角形. 在中，根据勾股定理可得，其中， 将，代入，可得，即，化简可得，即. 因为椭圆的离心率，且，所以. 故选：D. 【变式训练8-5】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则，， 所以，解得， 则，. 在中，，即， 解得. 故选：D. 【变式训练8-6】如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取椭圆的左焦点，连接，，，则四边形为平行四边形. 又，所以四边形为矩形.设，则， 由椭圆的定义知，，. 在中，，即，得； 在中，，即， 所以，所以椭圆的离心率为. 故选：D. 【变式训练8-7】设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】如图，连接，    因为是的中点，是的中点， 所以为的中位线，即， 又由椭圆的定义可得，所以. 故选：A． 【变式训练8-8】（多选）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由题意可知，则， 因，所以， 解得，故A正确； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立， 所以若点不在坐标轴上时，，此时点在椭圆的外部， 故C正确； 对于D选项，由，得， 因，， 则，即， 所以， 即， 令， 则， 令，则， 则当增大时，中也增大，即随着的增大而增大，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练8-9】（多选）．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【详解】A选项，，，因为即， 解得，所以离心率，故A正确； B选项，若，连接， 在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以， 所以，又由，解得， 所以，故B错误； C选项，设，， 则，，， 又因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 从而，所以，故C正确； D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为， 又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 【变式训练8-10】已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）可得右焦点， 当直线的斜率为0时，则直线的方程为， 因为，可得，， 所以，，，显然与，与已知条件矛盾， 所以直线的斜率不为0， 由于，故设直线的方程为，且， 设，， 联立，整理可得：， 可得①,② 因为，即,,， 可得，即，③ 将③代入①，可得，， 再代入②可得：，可得， 点到直线的距离， 弦长， 所以 由于，且，所以． ，    题型09：焦点三角形中的内切圆、外接圆 【典型例题1】若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设内切圆半径为， 则， 又因为，， 所以，即， 所以. 故选：B. 【典型例题2】设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 的外接圆半径：. 设，，所以. 所以. 又，所以. 由得. 又，所以， 又，所以. 故选：B 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示） 【答案】 【难度】0.65 【详解】设内切圆与分别相切于点，椭圆半焦距为c， 有，，则，即， 则，又 （e为椭圆的离心率），而，则， 即，因此， ，所以. 故答案为：. 【典型例题4】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【详解】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 【典型例题5】（多选）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．动点的轨迹是一个椭圆 C．直线的斜率之积为常数 D．内切圆的面积无最大值也无最小值 【答案】ACD 【详解】若是内切圆与轴的切点，，，，， 又，则，即， 所以离心率，A对；    若为延长线与轴的交点，，且，则，故， 由角平分线的性质可得，则， 所以，则， 又，则，故， 所以，故，则且， 所以动点的轨迹是一个不含轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；    由上分析，，，则为定值，C对； 由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于， 即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对. 故选：ACD 【典型例题6】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故答案为： 【典型例题7】已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆方程为； （2）（i）设直线的方程为，，， 由，整理得， 所以，则， 所以，， 若轴，由，解得，则，此时的斜率，即（不合题意）， 所以、的斜率均存在， 所以， 又， 所以，即， 又因为、均在椭圆上， 由椭圆的对称性可知，即为等腰三角形； （ii）设的中点为，则，， 所以， 所以的垂直平分线为， 令可得，所以， 所以的面积， 令，设，， 所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， 所以面积的最大值为. 【变式训练9-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】 设，，则， 因为椭圆，则， ，， 由切线的性质和椭圆的焦半径公式得 ， 则， 由， 即，即， 所以，则， 又， 所以. 故选：A. 【变式训练9-2】已知椭圆的方程为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆中，点为其左、右焦点，设椭圆半焦距为c，连接， 由是的内心，得，分别是和的角平分线， 为的角平分线，则到直线，的距离相等， 于是，同理可得，， 由比例关系性质得， 由，得，所以椭圆的离心率. 故选：B 【变式训练9-3】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】   如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为， 则 设△内切圆的半径为，则， ∴ 不妨设，则， ∴， 因为椭圆的离心率为， ∴， 故选：A. 【变式训练9-4】设点为椭圆上的动点（除左右顶点外），椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接延长交轴于， 由内角平分线定理得， 利用等比性质得， 设，，， 则，， ∴，， 又，， ∴由可得，化简得， 又∵，∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式训练9-5】已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，内切圆半径为， ，即， 所以，即， 又，. 故选：B. 【变式训练9-6】已知，是离心率为的椭圆的焦点，是椭圆上第一象限的点，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的面积为，内切圆半径为，则可得，从而可得，再由是的重心，可得，进而可得结果 【详解】解：由于椭圆的离心率为，所以，即， 设的面积为，内切圆半径为，则 ， 所以， 所以， 因为是的重心， 所以， 所以，即， 故选：D 【变式训练9-7】已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线， 延长交轴于点，则由平行于轴知，， 则,设内切圆半径为r， 则， ∴椭圆的离心率为． 故选：A﹒ 【变式训练9-8】已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的方程可得，，， 设内切圆的半径为，则， 可得， 而，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，即． 故选：C． 【变式训练9-9】已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由椭圆可得， 如图，设的内切圆与三边分别相切与， 分别为的重心和内心， 则，，， 所以, 所以 ， 故选：B 【变式训练9-10】设椭圆的左、右焦点分别为，M是椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而， 设圆与MF1、MF2分别切于点A，B，连接IA，IB， 根据切线长定理就有， ∴. 故选：A． 【变式训练9-11】已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   设，， 设内切圆分别与轴相切于点， 则，， ， ， 又 ∴， 易知， ，， 设，， 当且仅当时等号成立， 故选：A 【变式训练9-12】已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，设圆与轴相切于点， 则， 又，， 所以， 所以， 即， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， 所以， 所以，所以， ∴， ∴， 由三角形面积相等，得， ， ， ， 所以， ，即得. 故选：B. . 【变式训练9-13】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，    设点，，则， 因为为的重心，所以， 因为轴，所以点横坐标也为，， 因为为的角平分线， 则有， 又因为，所以可得， 又由角平分线的性质可得，，而 所以得， 所以，， 所以，即， 因为 即，解得，所以答案为A. 【变式训练9-14】知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，的面积为，点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是的内心，直线交于M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的面积为，即， ， ， 过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 设内切圆半径为，依题意可知， ， ， 所以. 故选：A 【变式训练9-15】已知椭圆的方程为分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线与x轴交于点N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，，如下所示： I是的内心，可得，分别是和的角平分线， MN为的角平分线，则N到直线，的距离相等， 所以，同理可得，， 由比例关系性质可得  ． 又因为，所以椭圆的离心率. 故选：B． 【变式训练9-16】（多选）椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（     ） A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是 C．取值范围是 D． 【答案】ACD 【详解】设重心，又， ∴ ，即，又是椭圆上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为， ∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练9-17】（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【答案】AC 【难度】0.4 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A正确； 对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； 对于C，设，则，    在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线，    由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：AC. 【变式训练9-18】（多选）为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D． 【答案】ACD 【详解】如图，在中， 由正弦定理，， 则，即， 所以，由 所以，则， 则最大值为，故A正确，B错误； 由题意可得，的斜率不为0，设，联立方程 得， 恒成立，，， 设与的内切圆半径分别为，， 因为， ，所以，即， ，，， 所以， 即，，所以，C正确； 作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影， 设，，， 所以，， 则， 得，同理可得， 所以，故D正确， 故选：ACD． 【变式训练9-19】（多选）（多选）已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的半径为R，内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，G为的重心，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．r为定值 B． C．的最大值为 D．直线IG的倾斜角不变 【答案】BCD 【详解】由题意可知：， 则， 设，则， 对于选项A：因为的面积， 又因为，可得， 由于不是定值，所以不r为定值，故A错误； 对于选项B：因为，分别是，的角平分线， 由角平分线定理可得， 所以，故B正确； 对于选项C：设， 由正弦定理可得：，即 由余弦定理可得： ， 即，整理得， 则，解得， 可得， 又因为当在短轴的端点时，最大，最小， 此时，， 可得，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为在椭圆上， 可得，即， 则， 又因为，可得，， 由选项B可知，则， 又因为，可得， 则，即， 由，可得点的坐标为， 由重心坐标公式可知点的坐标为， 即直线与x轴垂直，倾斜角为，是定值，故D正确； 故选：BCD. 【变式训练9-20】（多选）（多选）已知椭圆：的左右焦点为，，若为椭圆上一动点，记的内心为，外心为，重心为，且内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．为定值 D．的最小值为2 【答案】ACD 【详解】对于A：在椭圆中，，，则，即点、， 由椭圆的定义可得，， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以 ， 又，所以，即的最大值为，故A正确； 对于B：， 当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值， ，即的最大值为，故B错误； 对于C： 如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，又，分别为的重心和内心． 则，，， 所以， 所以 ， 即为定值，故C正确； 对于D：，所以， 又，所以， 则 ，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 【变式训练9-21】（多选）（多选）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的方程为 B．的周长为4 C．定点P的坐标为 D．当轴时，的内切圆圆心坐标为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，已知，可得.又离心率，则.由，得，所以椭圆方程为，故A正确. 对于B选项，周长为，根据椭圆定义，，，，所以周长是，故B错误 对于C选项，，设，，. 根据题意,设方程，与椭圆方程联立得，由韦达定理，. 因为内心在轴上，所以，即， 即，即， 经化简得，代入韦达定理则，得，解得. 故C正确. 对于D选项，轴时，直线MN方程，代入椭圆方程得. 设内切圆圆心，不妨设直线，根据点到直线距离公式，解得，舍去，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练9-22】（多选）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如下图所示，设切点为，，， 对于A，由椭圆的方程知：， 由椭圆的定义可得：， 易知，所以， 所以，故A正确； 对于BCD，， 又因为，解得：， 又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确； 从而，所以， 所以，而，所以，故C错误； 从而，故D正确. 故选:ABD．    【变式训练9-23】（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 【答案】BC 【详解】如图所示，设切点为，内切圆半径为， 对于A，由椭圆方程得， 则， 所以，， 所以，故A错误； 由题意得 ， 又因为，解得，B正确； 从而， 所以， 所以，而， 所以，，C正确； 由题知，若、、三点共线， 则为的中线， 又因此时为的角平分线， 所以只能是时，上述成立， 而在上且在第一象限， 所以、、三点不可能共线，D错误. 故选：BC 【变式训练9-24】已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为 . 【答案】 【难度】0.15 【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时， 若时，△PF1F2的内心和重心重合，不合题意； 当时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，且不重合， 由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴， 设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示： 设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上， 连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N， 则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E， 可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|， 由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2， 所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2 =（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON， 而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a， 由角平分线的性质可得，所以可得OM， 所以可得MN=ON﹣OM， 所以ME=OE﹣OM=x0， 所以，即INPEy0， （PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c）， 所以整理为：， 故答案为：. 【变式训练9-25】已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 【答案】/0.5 【详解】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为， 在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径， 内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形， ， 即，， ∴椭圆C的离心率 故答案为: 【变式训练9-26】如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】不妨设点在第二象限，的内切圆与各边的切点分别为,设, 则 ， 故，， ， 由于点在第二象限，，所以 ，故， ，因此， ， 当代入得（负值舍去）， 故答案为： 【变式训练9-27】已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)当=1时，求弦长； (3)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心率，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由，消去x得：， 根据韦达定理可知， 根据弦长公式. （3） 设的内切圆半径为，而的周长为，由，得，因此的面积最大时，其内切圆半径最大， 设，直线为， 由消去x得：， 则， 于是， 令，则，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的内切圆的半径最大时. 【变式训练9-28】已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以.    【变式训练9-29】已知椭圆的左，右焦点为，，P为C上一动点，内切圆面积的最大值为，且到直线的距离为3c，过的直线l交C于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，探究：是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由； (3)若，直线l与直线相交于点Q，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 【答案】(1)； (2)是定值，； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，若内切圆面积最大，即其半径最大，此时为椭圆的上(下)顶点， 所以，可得，又，则，且， 所以，故，得，所以，即方程为； （2）令，联立椭圆方程有，整理得， 显然，则，， 故，则 由，则，代入椭圆有，可得， 所以， 此时，， 当时，，，则， 综上，为定值； （3）由题设且，则，即， 显然直线的斜率存在，设，联立， 所以，整理得， 所以，，令，则， 由，，则，且， ， 所以，即，，成等差数列． 题型10：椭圆的光学性质 【典型例题1】椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意知， 所以． 设，所以， 又，所以， 得，所以，． 方法一：对于等腰三角形和，因为， 故，故，即， 化简得， 即，解得（负数舍去）． 方法二：易知， 则有. 化简得：，即，解得（负数舍去）. 故选：D. 【变式训练10-1】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由与关于直线对称，得， 则，解得， ， 于是，即，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：D 【变式训练10-2】椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 题型11：焦点三角形的综合问题 【典型例题1】已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则下列不正确的是（    ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．可能存在点，使得 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的离心率，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当不在x轴上时，， ，当且仅当取等号， 当在x轴上时，，上述不等式成立，因此最大为，D错误. 故选：D 【典型例题2】（多选）．已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为直角三角形，则 D．若，则的面积为 【答案】AC 【详解】对于AB，椭圆半焦距，由离心率为，得，，A正确，B错误； 对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，即不可能是直角， 由为直角三角形，得或，由椭圆对称性不妨令， 直线，由，得，即，则， 所以，C正确； 对于D，由椭圆定义得，而，解得， 而，则是边长为2的正三角形，其面积为，D错误. 故选：AC 【变式训练11-1】（多选）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC.    【变式训练11-2】（多选）．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 【变式训练11-3】（多选）．设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．动点P到点的距离的最小值为 【答案】BD 【详解】对于选项A，由已知得，，则，即，故A错； 对于选项B，由已知得，要使的面积最大，当底边上的高最大即可， 高的最大值即为1，则的面积最大值为，故B正确； 对于选项C，以线段为直径的圆的方程为， 则该圆的圆心到直线的距离为， 即以线段为直径的圆与直线相交，故C错； 对于选项D，设点，则 又，故时取得最小值为，故D正确． 故选：BD． 【变式训练11-4】（多选）．已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 【答案】AD 【详解】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上， 由. 所以椭圆的离心率，故A正确； 根据椭圆的定义，的周长为，故B错误； 如图： 取为椭圆的上顶点，则, 所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误； 如图： 当时，设，， 则， 所以，故D正确. 故选：AD 1.已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】设，，由已知结合余弦定理及椭圆定义可得，再由基本不等式即可求得椭圆离心率的取值范围． 【解答】解：设，，由余弦定理得： ， ，又，即， 解得，， ，， 得，，． 故选：． 2.已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程． 【解答】解：，， 又，， 又，， ，， ，， ，在轴上． 在△中，， 在△中，由余弦定理可得， 根据，可得，解得，． ． 所以椭圆的方程为：． 故选：． 3.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　　 A． B． C．3 D．2 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为， ， 由余弦定理可得，① 在椭圆中，①化简为， 即，② 在双曲线中，①化简为， 即，③ 联立②③得，， 由柯西不等式得， 即 即，当且仅当时取等号， 法2：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为， ， 由余弦定理可得， 由，得， ， 令， 当时，， ， 即的最大值为， 法3：设，，则， 则， 则， 由正弦定理得， 即 故选：． 4.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，利用定义可得：，，解出，．利用余弦定理可得关于，的等式，再由基本不等式求得当取最小值时，，的值． 【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，， 设，．． 则，， ，． ， 化为：． ， ， ，则，即，当且仅当，时取等号． 故选：． 5.已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点．延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，，，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再由及椭圆的定义，可得，，，的关系，在两个直角三角形中可得，的关系，进而求出椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，，， 因为，所以可得四边形为矩形， 因为，所以， 设，则，由椭圆的定义可知， ，， 在中，，即，整理可得：， 所以可得， 在△中，，即， 所以离心率， 故选：． 6.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为　　 A．13 B．12 C．9 D．6 【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可． 【解答】解：，是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为9． 故选：． 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的左支交于，两点，若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，即可求解． 【解答】解：如图所示，根据题意可知，， 又，，， 离心率， 故选：． 8.已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 【分析】根据椭圆的简单几何性质即可分别求解． 【解答】解：椭圆方程为：， ，，， △的周长为，正确； △面积的最大值为，正确； 的最小值为， 又为椭圆上异于长轴端点的动点，错误； 椭圆的焦距为，错误． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题． 9.已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若△的面积为9，则实数的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，即可得出答案． 【解答】解：由题意得， ，△的面积为9， ，即，且， ，即， ，解得， 故选：． 10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程． 【解答】解：由题意设椭圆的方程为，连接，令，则，， 由椭圆的定义知，，得， 故，则点为椭圆的上顶点或下顶点，令为坐标原点），则， 在等腰三角形中，，所以，得， 又，所以， 椭圆的方程为． 故选：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题． 11.如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点．若，，，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由椭圆的定义可设，则，又，可联立方程解出椭圆的方程． 【解答】解：设，则，又因， 又，可得，解得，可得，， 椭圆方程为：， 故选：． 12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 　　． 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解． 【解答】解：已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、， 不妨设为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得，， 所以，，， 在△中，，由余弦定理得， 化简得，即， 所以， 从而，当且仅当，时等号成立． 故答案为：． 13.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断； 由余弦定理计算判断，； 由余弦定理、二倍角的余弦计算判断作答． 【解答】解：对于，椭圆，双曲线， 由椭圆、双曲线的定义可知，，解得，，故错误； 对于，令，由余弦定理得， 当时，，即，因此，故正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，故错误；，， ，解得， 而，因此，故错误． 故选：． 14.已知椭圆为的左、右焦点，，，为上一点，且△的内心，若△的面积为，则的值为　　 A． B． C． D．3 【分析】由题意可知，△的内心到轴的距离就是内切圆的半径，由，，为上一点可得，，，再结合离心率公式和椭圆的性质，即可求解． 【解答】解：由题意可知，△的内心到轴的距离就是内切圆的半径， ，，为上一点， ， ， 又， ， ， ，即， ，解得或（舍去）， ，， 又， ，解得． 故选：． 15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且，则E的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形，根据|PF2|+|F2Q|＝4，得2a＝4，由三角形面积解得PF2，QF2，计算F1F2即2c，求出b2可得椭圆的标准方程． 【解答】解：如图，连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形， 所以|PF2|+|F2Q|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，得a＝2． 又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF2|＝m，|QF2|＝n， 则，所以，得m＝n＝2， 则，则，b2＝a2﹣c2＝2， 椭圆的标准方程为． 故选：A． 16.设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】由于椭圆的定义，结合已知条件中，解得和的值，再利用，得到，的关系，代入离心率公式即可求得所要答案． 【解答】解：设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，， 因为，，解得，， 所以，则，则， 所以离心率为：． 故选：． 17.如图，已知，为椭圆的左，右焦点，为上在第二象限内一点，以为直径的圆交于点，若为坐标原点），则△的面积为 　　，直线的方程为 　　． 【分析】根据椭圆的定义及几何性质，结合可得：和的值，利用余弦定理可求出，再 结合三角形的面积公式即可求出三角形的面积； 直线过点，求解出，即为该直线的斜率，进而得出所求的直线方程． 【解答】解：根据椭圆的性质可得：，， 即，， 所以焦点坐标，， 故圆的方程为：，其中圆的半径为2， 即． 因为为坐标原点）， 所以， 所以． 又因为点在椭圆上， 所以， 即． 在△中，应用余弦定理可得： ， 所以， 所以△的面积为：． 因为，， 所以，即直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以直线的方程为， 即． 故答案为：；． 【点评】本题考查椭圆的定义及其简单几何性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 18.椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 【分析】由已知内切圆半径，从而求出面积，再由面积，能求出． 【解答】解：椭圆的左右焦点分别为，，，，， 过焦点的直线交椭圆于，，，两点， 的内切圆的面积为， 内切圆半径． 面积； 面积， 得． 故答案为：6；3． 19.定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 【分析】第一空，直接套入“黄金椭圆”的定义即可；第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可． 【解答】解：已知椭圆：是“黄金椭圆”， 则， 解得； 如图：连接，，设△的内切圆半径为． 则， 即， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 20.已知，，是椭圆上的三个点，为坐标原点，，两点关于原点对称，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率是 　． 【分析】利用椭圆的定义及勾股定理求得和的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，， ，所以， 设，， 由对称性可知：， 在中， 由， 则，① 在△中，， ，可得， 将代入①，解得椭圆的离心率． 故答案为：． 21.设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 【分析】分类讨论，若或为直角顶点时，若为直角顶点时，求得，即可求得椭圆的离心率； 同理，若或为钝角顶点时，且，为钝角顶点，则，即可求得离心率的取值范围． 【解答】解：由题意可知，若或，则，即， 所以，同除以，可得，解得， 若，即位于上下顶点时，则， 所以椭圆的离心率， 若为钝角顶点，则，则，， 所以，， 若或为钝角顶点时，需要满足且，即， 解得，， 综上可知，的取值范围 故答案为或；． 22.已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为 　　． 【分析】由椭圆的定义，点关于直线的对称性以及向量的数量积的运算性质建立等式求出的值，进而求出的值，由此即可求解． 【解答】解：因为与关于直线对称，所以直线为的垂直平分线， 所以，由椭圆的定义可得， 设直线与交于点，则为的中点，且， 所以 ， 解得或1（舍去），所以，， 则的方程为：， 故答案为：． 23.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 【分析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则，即可求解，又因为点位于点与点之间，所以，利用正切值即可求解离心率范围． 【解答】解：设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则， 如图所示，则由题可得， 依题意可得点位于点和点之间，故， 所以，则，整理可得， 解得， 故答案为：，，． 24.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，过点且斜率为的直线与圆交于，两点（点在轴上方），线段与椭圆交于点，延长线与椭圆交于点，且，，则椭圆的离心率为 　　，直线的斜率为 　　． 【分析】取中点，由得和得，进而得到为的中点，即，由为的中点，，得，再由椭圆定义设，即可得到，，的长度，直角△中，利用勾股定理即可得到，进而得到，的长，在直角△中利用勾股定理求出离心率，，即可求出答案． 【解答】解：取中点，则由得，且由得， 为中点， ， 又为的中点， ，， 设， ，，， 在直角△中， ，，解得 ，， 在直角△中，， 椭圆离心率，图中， 当斜率为负时，画图知显然不满足，舍去． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $