第08讲 数列与概率讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列与概率结合的马尔科夫链核心考点，覆盖递推概率、状态转移等高考热点，按“概念-性质-模型-应用”架构系统梳理知识，通过思维导图、知识要点、解题策略构建体系，结合近五年真题和模拟题，分11类题型（传球、掷硬币等）归纳，每类含典型例题与变式训练，形成“识别状态-构建转移关系-求解递推”的完整解题链条，助力学生突破难点。 资料创新采用“题型归类+递推公式推导+真题应用”教学法，以传球问题为例，引导学生设n次传球后球在甲手中的概率为Pn，建立Pn与Pn-1的递推关系，结合等比数列求通项，培养数学建模和逻辑推理能力。分层练习覆盖基础到综合，配合解题策略指导，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生概率统计压轴题应考能力。

第08讲 数列与概率结合——马尔科夫链 目 录 思维导图 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 4 题型01：传球问题 4 题型02：掷硬币 25 题型03：掷骰子 31 题型04：盒子取球 37 题型05：投篮及比赛问题 47 题型06：赌博问题 59 题型07：抽奖问题 61 题型08：答题比赛问题 63 题型09：几何图形 68 题型10：马尔科夫链与日常生活的其它问题 80 题型11：新定义 95 1.近五年高考数学全国卷及新高考卷概率统计压轴题汇编： 马尔科夫链相关知识点常以递推概率、状态转移等形式融入压轴题中，汇编近五年真题可直观感受考查形式，总结解题规律。教育部教育考试院发布的高考数学试题评析（如2025年高考数学全国卷试题评析），能帮助把握概率统计模块的考查重点和命题趋势，明确马尔科夫链相关知识点的考查定位。 2.重点中学高三模拟题概率拓展题集： 北京、上海、浙江等高考改革前沿地区的重点中学模拟题中，常出现马尔科夫链相关的创新题型，选取这类题集练习，可提升对复杂模型的建模能力和综合解题能力。 3. 学习建议： 先通过教辅资料和网络课程夯实基础知识点，再结合本讲义的例题和推荐习题强化练习，最后通过真题和模拟题提升综合应用能力，重点关注“状态识别—转移矩阵构建—递推关系求解”的核心解题链条。 1. 理解核心概念明确马尔科夫性（无后效性）：即未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。 掌握状态空间和转移概率的定义，理解转移概率矩阵的表示方式。掌握基本性质与分类熟悉状态的分类：如常返态与非常返态、周期态与非周期态等，理解不同状态的特征。理解平稳分布的概念，以及马尔科夫链收敛到平稳分布的条件。 2.学会模型构建与分析能够根据实际问题构建马尔科夫链模型，确定状态转移关系。掌握计算n步转移概率、判断链的遍历性等基本分析方法。了解应用场景知晓马尔科夫链在各领域的应用，如自然语言处理（文本生成）、金融（风险预测）、生物（基因序列分析）等，能结合具体问题理解其作用。 3.通过以上目标的达成，可实现对马尔科夫链从理论到实践的初步掌握，为进一步学习更复杂的随机过程奠定基础。 高中数学马尔可夫链题型聚焦概念判断、矩阵计算、概率递推、平稳分布、实际建模五类，覆盖高考拓展与建模应用。 在日常生活和科学研究中，我们经常遇到一类随机现象：系统的未来状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。例如： 1.天气变化：明天是晴天、多云还是雨天，主要取决于今天的天气，与前天及更早的天气无关； 2.投篮交替：甲乙两人轮流投篮，下一次投篮的人选只取决于本次投篮是否命中，与之前的投篮历史无关； 3.传球训练：n次传球后球在谁手中，只取决于n-1次传球后的持球人，与更早的传球过程无关。 这类具有“无记忆性”的随机过程，就是俄国数学家安德雷·马尔可夫在1906年提出的马尔科夫链。它是概率统计中重要的数学模型，也是高中数学概率与统计模块的拓展重点内容，核心价值在于将实际问题抽象为数学模型，通过概率和矩阵工具解决实际问题。 本讲义将结合高中已学的概率、矩阵、数列知识，系统讲解马尔科夫链的核心概念、性质及典型应用，培养数学建模和逻辑推理能力。 知识点一：马尔科夫链 马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名,是一个数学随机模型,描述了一连串可能发生的事件,从一个状态到另外一个状态,也可以是保持当前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率,全概率公式,贝叶斯公式相结合,构造递推关系求的概率. 知识点二：马尔科夫链的性质 马尔科夫链具有状态空间,无记忆性,转移概率(转移矩阵)等三个要素,马尔科夫链是从一个状态到另一个状态转化的随机过程,每个状态称为状态空间.无记忆性是而的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科天性.在马尔科夫链的每一步,根据概率分布,可以从个状态变频另外一个状态,也可以保持当前状态.状态的改变叫做转移,与不同状态改变相关的概率叫做转移项率.对于随机变量序列已知第小时的状态.如果的随机变化规律与前面的各项 的取值都没有关系,那么称随机变量序列具有马尔科夫性,称具有马尔科夫性的随机变量序列为马尔科夫链。 知识点三：马尔科夫链的基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 马尔科夫链的解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式 递推数列在计数原理中的应用 概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的方法解决 题型01：传球问题 【典型例题1】甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 【典型例题2】（多选）甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．经过一次传球后，球在丙中概率为 B．经过两次传球后，球在乙手中概率为 C．经过三次传球后，球在丙手中概率为 D．经过n次传球后， 【答案】BCD 【解析】依据题意根据古典概型公式及相互独立事件乘法公式逐项计算即可判断A,B,C;对于D,根据题意得到，构造等比数列进行计算即可求解. 对于A，依题可知经过一次传球后，球在丙中概率为， 故A错误； 对于B，过两次传球后，球在乙手中概率为， 故B正确； 对于C,经过三次传球后，球在丙手中的事件包括两种情况， ①第1次传球在丙手中，第2次传球不在丙手中，第3次传球在丙手中， 概率为； ②第1次传球不在丙手中，第2次传球不在丙手中，第3次传球在丙手中， 其概率为 所以经过三次传球后，球在丙手中概率为， 故C正确； 对于D，经过次传球后，球在甲手中的概率为， 则， 整理得， 即，又， 所以是以公比为，首项为的等比数列， 则， ， 故D正确， 故选：BCD. 【典型例题3】甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则第4次传球后球在甲手中的概率为 . 【答案】 【解析】设表示经过第次传球后球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用全概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得. 设表示经过第次传球后球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，， 所以 ， 即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时. 【典型例题4】某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球传给丙的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中. (1)求传球次后，球恰好在乙手中次的概率； (2)次传球后（），记球在丙手中的概率为. ①求数列的通项公式； ②设，求证：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【解析】（1）根据条件有两种情况：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件有一个发生的概率公式，即可求解； （2）①根据条件得到，进而有是首项为，公比为的等比数列，即可求解；②根据条件得到，利用裂项相消法得到，再分为奇数和偶数两种情况讨论，即可求解. （1）传球次后，球恰好在乙手中次分为两种情况： 第一种情况：乙、甲、乙，概率为； 第二种情况：乙、丙、乙，概率为； 所以. （2）①由于n次传球后，球不在丙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在乙手中，均有的概率传给丙，故有， 整理得， 又，， 所以是首项为，公比为的等比数列. 则，得到. ②由①可得， 因为 所以， 当n为奇数时，，所以， 所以，所以， 当n为偶数时，， 所以，所以. 所以. 综上所述，，所以命题得证. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）中的①问，根据条件得到，通过变形得到，从而转化成等比数列来解决问题. 【典型例题5】足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天. (1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关? (2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． （i）求（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关 (2)（i）；（ii）证明见解析，甲的概率大 【解析】（1）计算出卡方，与10.828比较得到结论； （2）（i）根据传球的等可能性推出，（ii）推导出，构造出等比数列， 求出，得到，比较出大小. （1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．根据列联表数据，经计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001． （2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故． （ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为， 第次触球者不是甲的概率为，则， 从而，又，是以为首项，公比为的等比数列． 则，∴，， ，故第19次触球者是甲的概率大 【变式训练1-1】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【答案】C 【解析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D. 第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果， 它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A错误； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙， 甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果， 它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果， 所以概率为，故B错误； 3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确； 次传球后球在甲手上的事件记为，则有， 令，则， 于是得， 故，则， 而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以即，故D错误. 【变式训练1-2】（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 【答案】ABD 【解析】根据题意，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可判断ABC，然后逐一列举，即可判断D. 由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中， 所以，，即， 因为，则，所以，， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 则，即，故C错误； 且，故A正确； 若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中， 设甲，乙，丙对应， 则， ， ， ， ， ， 所以一共有六种情况，故D正确 【变式训练1-3】（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出.进而逐项验证可得结论. 设表示经过第次传球后，球在甲手中， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则， 所以，， ， 所以，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， ，故C错误； . 【变式训练1-4】（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．次传球后球在甲手上的概率是 D．2024次传球后球在甲手上的概率大于 【答案】AD 【解析】列举出经过2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算，可以判断A、B;记为“次传球后球在甲手上”, ,利用相互独立事件概率和条件概率探求与的关系，再用等比数列求解即可，判断C、D. 第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果， 它们等可能，2次传球后球在甲手上的事件有甲乙甲和甲丙甲，2个结果，所以概率是，故A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果， 它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误； 记事件为“次传球后球在甲手上”，则有，令，则， 于是，即， 所以，而第1次传球后，球不可能在甲手中， 所以，从而，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，故错误； 由知，令，代入得，故D正确. 【变式训练1-5】（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲､乙､丙手中的概率依次为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于ABC，由古典概率计算公式即可判断；对于D，由全概率公式即可判断. 第一次传球后到乙或丙手里，故，第二次传球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，故A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为： 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能， 3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误； 第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙共4个结果，它们等可能， 2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是，故C正确； ，即，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1-6】（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．2次传球后球在乙手上的概率是 C．2次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【答案】BCD 【解析】列举出经2次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D. 对于A，第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为： 甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9个结果，它们等可能， 2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，甲丁丙，2个结果，所以概率是，故A错误； 对于B，2次传球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2个结果， 所以概率是，故B正确； 对于C，2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，甲丁甲，3个结果， 所以概率是，故C正确； 对于D，记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，， ，则， 于是得，即， 而，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是，故D正确； 故选：BCD. 【变式训练1-7】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若次传球后球在甲手中的概率为，则 . 【答案】 【解析】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，得到，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解，进而可求解. 记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为， 则有， 所以 ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 所以 【变式训练1-8】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为 ，第n次传球后球在乙手中的概率为 ． 【答案】 【解析】利用样本空间法，通过列举的方法计算概率；首先设第次传球后在乙手中的概率为，以及第次传球道甲或丙手中的概率为，求解关于数列的递推关系式，通过构造法求数列的通项公式. 每次传球都有2种可能，传球3次有种传球过程， 其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为； 设第次传球后在乙手中的概率为，则第次传球道甲或丙手中的概率为， 故， 所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，即. 故答案为：； 【变式训练1-9】 4人互相传球，由开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到手中，则不同的传球方式有多少种？若有个人相互传球次后又回到发球人手中的不同传球方式有多少种？ 【答案】见解析 【解析】4人传球时，传球次共有种传法。设第次将球传给的方法数共有种传法，则不传给的有种，故，且不传给的下次均可传给，即 两边同除以得， 令，则，则 当时，. 当人数为时，分别用，n取代3,4时，可得. 【变式训练1-10】在某公司组织的团建活动中，，，三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在手中时，传给的概率为，传给自己的概率也为；当排球在手中时，传给的概率为，传给的概率为；当排球在手中时，传给，的概率均为.游戏开始时，排球在手中，经过次传球后，设排球在手中的概率为，排球在手中的概率为. (1)求，的值； (2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由. 【答案】(1) (2)手中的概率最大，理由见解析 【解析】（1）由题意得，，，，由递推式可求出，从而可求出，的值； （2）由（1）可求出，作差可比较大小. （1）由题意得，经过次传球后，排球在手中的概率为， ， 第次传球后，排球在手中的概率为，在手中的概率为，在手中的概率为， 则由题意得，则， 由，得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， ， ，，而也满足上式， 所以， ，，，而也满足上式， 所以， 所以，. （2）由（1）得， 当时，，，， 因为 ， 所以， 因为 ， 所以，所以， 所以经过50次传球后，排球在手中的概率最大. 【点睛】关键点点睛：此题考查概率与数列的综合问题，解题的关键是根据题意駷合概率知识求出递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 【变式训练1-11】某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为. (1)求，； (2)求的表达式； (3)设，证明：. 【答案】(1)，(2)(3)证明见解析 【解析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可； （2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前项和公式进行证明即可. （1），，； （2）由已知，∴，即， ∴是以为公比的等比数列，∴，∴. （3）.设，，∴，∴在上单调递增，显然，则，∴，则， 即，∴. 【变式训练1-12】某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为. (1)求； (2)当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望； (3)当时，证明：. 【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)证明见解析 【解析】（1）根据相互独立事件概率计算求得. （2）的可能取值为，根据相互独立事件概率计算求得分布列并求得数学期望. （3）根据第次传球后，接过他人传球的人数进行分类讨论，由此证得结论成立. （1）乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后， 事件“乙、两、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为. （2）由题意知，的可能取值为1，2，3，，， ，的分布列如下： 1 2 3 . （3）次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况， 其一为：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为； 其二是为：次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球， 第次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为. 所以，当时，所以. 【变式训练1-13】学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为． (1)求的值； (2)证明：是等比数列； (3)比较29号和30号投篮命中的概率大小． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率． 【解析】（1）依题意篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号，1号传2号传4号，1号传3号传4号按照相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得，即可得到，从而得证； （3）由（2）利用累加法求出，即可求出、，从而求出号、号命题的概率，即可比较大小. （1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为； 1号传2号传4号其概率为；1号传3号传4号其概率为， 因此． （2）解：依题意篮球传到第号，再传给号其概率为； 篮球传到第号，再传给号其概率为，因此有， 可得，且， 所以是首先为，公比为的等比数列． （3）解：，，，， ，， 由累加法，可得， 所以，，所以号投篮命中的概率为 号投篮命中的概率为， 因为，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率． 【变式训练1-14】第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知． ①试证明：为等比数列； ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小． 【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)①证明见解析 ；② 【解析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望； 方法二：判断，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论； （2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明； ②由①求出，比较其大小即可. （1）方法一：的所有可能取值为，在一次扑球中，扑到点球的概率， 所以，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为， 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知， 所以，故的分布列为： 0 1 2 3 所以的期望． （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则， 即，又，所以是以为首项，公比为的等比数列． ②由①可知，所以， 所以，故． 【变式训练1-15】在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2)①证明见解析；②. 【解析】（1）解法一：由题意可得，然后根据二项分布的概率公式求解概率，从而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值为，且在一次扑球中，扑到点球的概率，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出分布列和期望； （2）①由题意可得第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，化简变形后可证得结论；②分别表示出，化简后与比较大小可得结论. （1）解法一：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为， 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为  易知， 所以  故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 解法二：的所有可能取值为   在一次扑球中，扑到点球的概率，    所以     所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的数学期望： （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为， 则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为，  则     即，又，   所以是以为首项，公比为的等比数列． ②由①可知，所以，   所以，故． 题型02：掷硬币 【典型例题1】有人玩都硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到）.若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第7站（胜利大本营）或跳到第8站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为，则 . 【答案】 【解析】先根据题意求出，，，，，变形后推导出是公比为，首项为的等比数列，进而利用累加法求出，，，求出 由题意得：，，，，，从而当时， ，而，所以是以公比为，首项为的等比数列，即，（）所以 所以 故答案为： 【典型例题2】投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为. (1)求，，和； (2)写出的递推公式，并指出增减性. 【答案】(1)，， (2)当时递减 【解析】（1）显然，；又投掷四次，连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故. （2）共分三种情况：如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是. 由此可得，，，，. 故，① ，② ①②，有. 所以当时，递减，且易知. 综上，且当时递减. 【变式训练2-1】甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷．问： (1)第一局甲胜的概率； (2)第局甲胜的概率． 【答案】见解析 【解析】（1）； （2）设第局甲胜的概率为，则，又，用待定系数法易知． 【变式训练2-2】一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得分，反面向上得分. (1)设抛掷次的得分为，求的分布列和数学期望； (2)求恰好得到分的概率. 【答案】见解析 【解析】(1)的可能取值为. 设抛掷5次得分的概率为 其分布列如下表： 5 6 7 8 9 10 ； (2)设表示恰好得到分的概率.不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面.因为"不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是. 所以，即，. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以，即. 答：恰好得到分的概率为. 【变式训练2-3】某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为. (1)求的值； (2)求证：，其中； (3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率. 【答案】见解析 【解析】(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，. 第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，. 棋子跳到第2站应从如下两方面考虑： ①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为. . (2)证明：棋子跳到第站的情况是下列两种，而且也只有两种： ①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为； ②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为. . (3)解：由(2)知当时，数列是首项为，公比为的等比数列. . 以上各式相加，得， 获胜的概率为， 失败的概率 【变式训练2-4】设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能情况，并求； (2)证明：是等比数列，并求； (3)设抛掷n次硬币后的期望为，求． 【答案】(1)答案见详解； (2)证明见详解，； (3) 【解析】（1）列出所有和的情况，再利用古典概型公式计算即可； （2）构造得，再利用等比数列公式即可； （3）由（2）得，再分，和讨论即可. （1）当抛掷一次硬币结果为正时，； 当抛掷一次硬币结果为反时，. 当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，. 所以，. （2）由题知，， 当，且掷出反面时，有，此时， 当，且掷出正面时，有，此时， 所以， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （3）设与的概率均为， 由(2)知， 显然，. 若，则，当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，; 若，则当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，; 若，则， 当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，. 所以时，期望不变，概率为; 时，期望加1，概率为. 所以. 故 . 经检验，当时也成立. . 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分和时讨论，最后再化简的表达式即可. 题型03：掷骰子 【典型例题1】（多选）某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D． 【答案】ACD 【解析】由题意求出两枚骰子的点数均为奇数的概率为，计算出，从而得到，所以 ，求解即可. 两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为， 往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确． 由题可知，， 则， 故数列为常数列，也是等差数列，C正确． 又，得， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则，D正确． 故选：ACD. 【典型例题2】甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率 （用含n的式子表示）． 【答案】 【解析】根据题意先得“第次由甲掷”和“第次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列可解. 易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为，， 故（其中）， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，即． 故答案为： 【典型例题3】甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率 （用含n的式子表示）． 【答案】 【解析】根据题意先得“第次由甲掷”和“第次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列可解. 易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为，， 故（其中）， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，即． 故答案为： 【变式训练3-1】某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列{an}，使，记Sn＝a1＋a2＋＋an(n∈Z)． (1)求S6＝2的概率； (2)求S2≠0且S6＝2的概率． 【答案】见解析 【解析】(1)S6＝2，需6次中出现4次偶数点2次奇数点， 设其概率为P1，则P1＝. (2)S2≠0，即前两次同时出现偶数点或同时出现奇数点． ①当前两次同时出现偶数点时，S2＝2. 要使S6＝2，需后四次中出现两次偶数点，两次奇数点， 设其概率为P2，则P2＝××()2×()2＝. ②当前两次同时出现奇数点时，S2＝－2. 要使S6＝2，需后四次全出现偶数点， 设其概率为P3，则P3＝××()4＝. 所以S2≠0且S6＝2的概率P＝P2＋P3＝. 【变式训练3-2】甲、乙两人进行抛掷骰子游戏,两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子.规定:先掷出点数6的获胜,游戏结束. (1)记两人抛掷骰子的总次数为,若每次最多抛掷两次骰子,求比赛结束时,的分布列和期望; （2）已知甲先掷,求甲恰好抛掷次骰子并获得胜利的概率. 【答案】见解析 【解析】解:(1)依题意得,抛掷骰子一次获胜的概率为的可能取值为. 的分布列为 1 2 3 4 期望. (2)设甲抛掷第次骰子且不获胜的事件的概率为 依题意得,,当时, 因此,数列是首项为,公比为的等比数列. 则, 当时,甲恰好抛掷次骰子并获得胜利的概率为 显然当时,满足上式, 所以甲恰好抛掷次骰子并获得胜利的概率为. 【变式训练3-3】甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗， (1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率； (2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率； (3)若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）记投掷一次两颗骰子点数为，则的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得先投掷的人第（且）轮获胜，其概率为，再由无穷等比数列求和公式计算可得， （1）记两颗骰子点数相同为事件，则； （2）记投掷一次两颗骰子点数为，则的可能取值为，，，，， 所以， ， ， ， ， ， 记甲的点数和恰好比乙的点数和大点为事件， 则； （3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于的概率为， 若先投掷的人第一轮获胜，其概率为； 若先投掷的人第二轮获胜，即第一轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； 若先投掷的人第三轮获胜，即前两轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； 若先投掷的人第四轮获胜，即前三轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为； ， 分析可得，若先投掷的人第（且）轮获胜，其概率为； 所以、、、组成以为首项，为公比的无穷等比数列， 所以， 从而，先投掷人的获胜概率为. 【变式训练3-4】某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站。一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为. （1）求；(2) 求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率. 【答案】见解析 【解析】（1）显然，跳动一站有点数为1或2两种情况，共有6钟情况，故，跳动两站分两种情况：跳两次概率为，跳一次概率为，故； (2) 由题意知： 是首项为公比为的等比数列 ； （3）由（2）知， 于是，将这98个式子累加得：， 于是， 所以玩该游戏获胜的概率为. 题型04：盒子取球　 【典型例题1】设有两个罐子，罐中放有个白球、个黑球，罐中放有个白球，现在从两个罐子中各摸一个球交换，这样交换次后，黑球还在罐中的概率为 ． 【答案】 【解析】根据题意，得到，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解. 设表示事件交换次后黑球仍在罐中， 则 ， 所以，可得， 又由，可得， 所以由等比数列性质，得，所以． 故答案为：． 【典型例题2】甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【解析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求； （2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列； （1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. 【典型例题3】有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求；②求 【答案】(1) (2)①，，；② 【解析】（1）直接根据分步计数原理和古典概率公式计算即可； （2）是条件概率公式的乘法形式，则是根据代入条件概率公式计算，需要根据容斥原理计算，因为不互斥，计算则属于马尔科夫链的概率模型，其本质为全概率公式，通过全概率公式计算和即可计算. （1）； （2）①， ， ， ； ②， . 【典型例题4】有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行． (1)求从第2个盒子中取到红球的概率； (2)求从第个盒子中取到红球的概率； (3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）记“从第个盒子中取到红球”为事件， 此时，， 则； （2）因为 ， 所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 此时， 即， 当时，，符合题意， 综上，从第个盒子中取到红球的概率为； （3）证明：易知的所有可能取值为1，2， 此时，， 则的分布列为： 1 2 所以， 由于， 故． . 【变式训练4-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列（且）； (3)求的期望（用表示，且）. 【答案】见解析 【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为， 所以， ①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为， 若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， 综上可知：，. （2）经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为， ①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为， 若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时： 若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为， ③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时： 若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为， 故. ， 因此， 因此为等比数列，且公比为. （3）由（2）知为等比数列，且公比为，首项为， 故，所以， 【变式训练4-2】马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 【答案】见解析 【解析】（1）设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， （2）因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【变式训练4-3】文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出. (1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率； (2)抽取3次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列； (3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n次抽取中抽出第2支红笔的概率为，求的通项公式. 【答案】见解析 【解析】（1）根据题意，记事件A：第1次取出红笔；事件B：第2次取出黑笔， 则， 所以在第2次取出黑笔的前提下，第1次取出红笔的概率为. （2）由题意，随机变量可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 1 2 3 （3）由题意知：前n－1次取了1次红笔，第n次取红笔， 则 . 【变式训练4-4】有个编号分别为的盒子,第1个盒子中有2个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球,现从第一个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第二个盒子中任取一球放入第3个盒子,以此类类推,则从第2个盒子中取到白球的概率是_____,从第个盒子中取到白球的概率是___ 【答案】. 【解析】设为从第个盒子中取到白球的概率,则 此时, 当时, 易得, 故数列是以为首项,为公比 的等比数列,所以 【变式训练4-5】有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记为从第个箱子中取出黄球的概率. (1)求； (2)求. 【答案】见解析 【解析】（1）从第二个箱子取出黄球的概率， 从第三个箱子取出黄球的概率； （2）由题意可知，， 即，又， . 【变式训练4-6】一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题： (1)若取出的小球不再放回， ①求最后取完的小球是黄球的概率； ②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率； ③设随机变量为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求； (2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取次球，设随机变量为取球次数，证明：. 【答案】(1)①；②；③， (2)证明见解析 【解析】（1）①最后一次取出的是黄色小球，利用古典概率可求；②利用全概率公式可求答案；③求出的所有取值，利用期望公式，结合组合数的性质可求答案. （2）先求的分布列，写出期望，结合错位相减法可求答案. （1）①最后取完的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄色小球，设事件A:第40次取球恰好为黄色小球. 则. ②设事件B:最后取完的小球是黄球，事件：最后取完的小球是绿球，事件D:红球比其余两种颜色更早取完. ; ③的可能取值为10,11,12，，40. ， . 因为，所以. （2）设，则的分布列为 1 2 3 两式相减可得 . 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用组合数的性质进行转化求解；二是利用数列的错位相减法求和. 题型05：投篮及比赛问题 【典型例题1】小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求； (3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【解析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案； （2）方法1：得到的可能取值及相应的概率，求出期望值； 方法2：得到，，得到，，由，互相独立，求出，得到答案； （3）先计算出，再求出，，利用互斥事件求概率公式和错位相减法得到，计算出，作商比较出，从而证明出结论. （1）设事件表示共有次投中，事件B表示第二次没投中， 则表示一共投中2次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中， 故，表示一共投中2次，故， 则； （2）方法1：根据题意有可得取值为，的可能取值为， 故的可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以. 方法2：因为，， 所以，.又因为，互相独立，所以. （3）根据题意可知.，， ，记①，②， 两式相减得，故， 故.所以 ， 又因为，且当时，， 所以. 【典型例题2】某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为. (1)若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望； (2)假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得分布列并求得数学期望. （2）根据已知条件列出递推关系，利用构造等比数列、累加法等知识求得. （1）的可能取值为，则：， 则的分布列为 2 3 4 故. （2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分， 所以， 则. 因为，所以， 所以为等比数列，且首项为，公比为， 则 ， 则，故当时，. 【典型例题3】甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为和，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为和． (1)求第2次投篮的人是甲的概率； (2)记第次投篮的人是甲的概率为， ①用表示； ②求． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ） 【解析】（1）分为第1次甲投篮且游戏成功和第1次乙投篮且游戏失败两种情形，结合全概率即可得结果； （2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含第次甲投篮且游戏成功和第次乙投篮且游戏失败两种情况，由全概率公式可得解；（ⅱ）通过构造数列是以为首项，为公比的等比数列，求解即可. （1）第2次投篮的人是甲包含两种情况： ①第1次甲投篮且游戏成功，其概率为； ②第1次乙投篮且游戏失败，其概率为， 由全概率公式得第2次投篮的人是甲的概率为． （2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含两种情况： ①第次甲投篮且游戏成功，其概率为； ②第次乙投篮且游戏失败，其概率为， 由全概率公式得，即． （ⅱ）由（ⅰ）得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 【变式训练5-1】学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为． (1)求的值； (2)证明：是等比数列； (3)比较29号和30号投篮命中的概率大小． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率． 【解析】（1）依题意篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号，1号传2号传4号，1号传3号传4号按照相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得，即可得到，从而得证； （3）由（2）利用累加法求出，即可求出、，从而求出号、号命题的概率，即可比较大小. （1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为； 1号传2号传4号其概率为；1号传3号传4号其概率为， 因此． （2）解：依题意篮球传到第号，再传给号其概率为； 篮球传到第号，再传给号其概率为，因此有， 可得，且， 所以是首先为，公比为的等比数列． （3）解：，，，， ，， 由累加法，可得， 所以，，所以号投篮命中的概率为 号投篮命中的概率为， 因为，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率． 【变式训练5-2】在庆祝新中国成立七十周年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁”彩车亮相国庆游行，“女排精神”燃爆中国.某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个“投骰子50米折返跑”的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50米的折返跑，从第二次开始，参与者都需要抛掷两枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所得的点数之和能被3整除，则参与者只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3整除，则参与者需要连续进行两次折返跑.记参与者需要做n个折返跑的概率为. （1）求，，； （2）证明是一个等比数列； （3）求，若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由. 【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3），奇数，理由见解析. 【解析】（1）根据题意，是表示两次折返跑的概率，做完第一次折返跑后抛掷两枚骰子的点数和能被3整除，继而得出，是表示三次折返跑的概率，包含有做完第一次折返跑后抛掷两枚点数不能被3整除或做完第二次折返跑后抛掷两枚点数能被3整除，即可求出； （2）表示第次折返跑的概率有两种情况：做完第个折返跑（概率为）后，再做一个（即两个骰子点数之和能被3整除）；做完第个折返跑（概率为）后，再做两个（即两个骰子点数之和不能被3整除），根据互斥事件的概率和独立事件同时发生的概率可得，（），即可证明是一个等比数列； （3）由（2）得，用累加法即可求出，根据的通项公式，奇数次的概率大于偶数次的概率，所以猜测跑奇数次. （1）由题意可知，第一次50米折返跑都必须跑，所以. 第二次折返跑前，已经跑了一个折返跑， 两枚骰子的点数之和能被3整除的概率， 则两枚骰子的点数之和不能被3整除的概率为. 故参与者需要做两个折返跑（第二次训练只做一个折返跑）的概率为. 参与者需要做3个折返跑时应考虑两个方面： ①第二次做两个折返跑，其概率为， ②第二次与第三次各做一个折返跑，其概率为. 故. （2）需要做n（）个折返跑时有两种情况： 做完第个折返跑（概率为）后， 再做一个（即两个骰子点数之和能被3整除），其概率为， 由相互独立事件的概率公式可得， 这种情况做n个折返跑的概率为； 做完第个折返跑（概率为）后， 再做两个（即两个骰子点数之和不能被3整除），其概率为， 由相互独立事件的概率公式可得，这种情况做n个折返跑的概率为. 由互斥事件的概率加法公式可得（）. （）. 又， 所以是一个首项为，公比的等比数列. （3）由（1）及（2）知 （）， , ,， 以上各式累加可得（） 显然，时上式也成立； 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以折返跑奇数次的概率大于偶数次的概率，猜测折返跑为奇数次. 【点睛】本题考查互斥事件和独立事件概率求法、由递推关系证明等比数列、累加法求数列的通项公式，理解的意义是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 【变式训练5-3】某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工定点趣味投篮比赛．每位教工投篮若干次，投篮得分规则如下：第一次投篮，投中得2分，否则得1分；从第二次投篮开始，投中则获得上一次投篮得分的两倍，否则得1分．教工甲参加此次投篮比赛，每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立． (1)求教工甲前四次投篮得分之和为5的概率． (2)设教工甲第k次投篮所得分数的数学期望为． ①求，并求与之间的递推关系式； ②若，求投篮次数k的最小值． 【答案】(1) (2)①，；② 7 【解析】（1）利用独立事件的概率公式可得结果， （2）利用随机变量的分布列和数学期望的定义可得与之间的递推关系式，运用数列构造法求出可得结果. （1）教工甲前四次投篮得分之和为5的概率，即为其前四次投篮中仅投中一次的概率， 记“教工甲前四次投篮得分之和为5”为事件A， 则． （2）①教工甲第1次投篮得2分、1分的概率分别为，， 所以． 若第次教工甲投中，则得分为，若第次未投中，则教工甲的得分为1， 所以． ②因为，所以． 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即． 由，得，所以． 因为，， 所以投篮次数k的最小值为7． 【变式训练5-4】甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗．一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜．根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． (1)若第一局比赛后甲的红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）； (3)记甲获得红旗为面时最终甲获胜的概率为，，，证明：为等比数列． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)0.48； (3)证明见解析 【解析】（1）求出的所有可能取值以及取值的概率即可得分布列，根据期望公式算期望即可. （2）条件概率问题，根据条件概率公式依次求出和即可求出条件概率. （3）根据全概率公式和等比数列的定义进行研究分析证明即可. （1）由题的所有可能取值为2，3，4， 因为，，，所以的分布列为： X 2 3 4 P 0.4 0.1 0.5 所以. （2）若比赛一共进行五局，甲最终获胜为事件，第一局是乙胜为事件， 则， ， 所以； （3）由全概率公式可得， 故，即； 又因为， 所以是以为首项、为公比的等比数列. 【点睛】关键点睛：解决第（3）问的关键是正确解读第（3）问题意，并利用全概率公式推导得出相邻两项之间的关系. 【变式训练5-5】随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求： (1)当时，甲赢得比赛的概率； (2)的数学期望. 【答案】(1)； (2)； 【解析】（1）先计算比四局结束比赛的概率，再根据条件概率计算即可； （2）先根据题意得出，结合错位相减法计算数学期望即可. （1）由题意可知：4局结束比赛时甲、乙胜负情况为3比1或1比3， 若甲胜，则第三、四局必为甲胜，若乙胜，则第三、四局必为乙胜， 所以比四局结束比赛的概率为：； 其中甲赢得比赛的概率为， 故所求概率. （2）根据题意可知比赛局数为偶数，不妨设， 当时，，此时 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； …， . 所以的期望 所以， ， 两式相减，得， 因为当时，， 所以，则， 即的数学期望是. 【点睛】关键点睛：本题第二问解决的关键在于分析得比赛局数对应的概率的特征，进而利用错位相减法计算期望，由此得解. 【变式训练5-6】ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2), 【解析】（1）根据条件概率的意义可证明； （2）利用（1）中的结果可求，结合全概率公式可得，利用构造法可求. （1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2） ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 题型06：赌博问题 【典型例题】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. （1）P2的值为 ； （2）若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为 ． 【答案】 Pn＝－Pn－1/ Pn＝－Pn－1+ 【解析】（1）根据两种不同情况下，求第二次出现红球的概率，再加总即为P2的值. （2）应用全概率公式写出Pn关于Pn－1的表达式即可. （1）由题设，第二次出现红球的概率为两次都出现红球的概率、第一次为绿球第二次出现红球的概率之和， ∴. （2）由（1）易知：Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1. 故答案为：，Pn＝－Pn－1. 【变式训练6-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 【答案】(1)，；(2)证明见解析，；(3)当时，，当时，；论述见解析． 【解析】（1）按照游戏约定，易得，； （2）由全概率公式得出数列的递推公式，根据等差数列的定义易得为等差数列，运用累加法和，的值即可求得公差； （3）根据（2）求得的概率通项式，代入和，整理即得，逐一代入值，即可求出的值，分析即得结论. （1）当时，赌徒已经欠债元，因此． 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率； （2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件， ，即， 所以，所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得； （3），由（2），代入可得，即，当时，，当时，， 当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债． 题型07：抽奖问题 【典型例题】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【答案】AD 【解析】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 【变式训练7-1】 随着商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕用户的争夺越来越激烈，手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广. （1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束. 参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中. ①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率； ②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望. （2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广. 报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于. 【答案】见解析 【解析】（1）①甲在第一次中奖的概率为 乙在第二次中奖的概率为 ②设甲参加抽奖活动的次数为X，则， ；；， X 1 2 3 P . （2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为. 设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则， 令，，则丙在第次中奖的概率 在第次中奖的概率， 即， 在丙中奖的条件下，在第，次中奖的概率为， 则丙参加活动次数的均值为 设， 则， ， ， 所以. 题型08：答题比赛问题 【典型例题1】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案. 因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以，即. 显然数列递减，所以当时，， 所以的最小值为. 【典型例题2】某趣味活动设置了“谜语竞猜”和“知识竞答”两个环节，小王参与这两个环节的活动． 在“谜语竞猜”环节，设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜．在所获奖金不低于10元的条件下，求小王所获奖金为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，小王应按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ (3)在“知识竞答环节，参赛者要回答A、B两类问题，每个参赛者回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从B类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A类中随机抽取，规定每位参赛者回答的第一个问题从A类中抽取．已知小王能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且每次回答问题正确与否相互独立，求小王第n次回答正确的概率． 【答案】见解析 【解析】（1）设“所获奖金不低于元”为事件，“小王所获得的奖金为元”为事件， 则，， 所以 （2）若小王按“①、②、③”的顺序猜谜语，他所获奖金的所有可能取值为(元)， ，， ，， 因此； 若小王按“③、②、①”顺序猜谜语，他所获奖金的所有可能取值为(元)， ，，，， 因此，， 当，即时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多； 当，即时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多； 当，即时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多． （3）小王第次回答正确的概率只与第次回答是否正确有关， 则，即，于是，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即，则， 所以小王第次回答正确的概率 ． 【变式训练8-1】在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为． (1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望； (2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率． 【答案】见解析 【解析】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以的可取值为1，2， ， 则， 所以X的数学期望. （2）设在第轮中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为， 易知，，， 且， 又，所以， 整理得， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 即，所以，则， 故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为． 【变式训练8-2】2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯． (1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为，求预测正确的人数X的分布列和期望； (2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，求． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，，X可能的取值为0，1，2，3， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故． （2）第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，易得，， 则当时，第次传球之前球在梅西脚下的概率为，第次传球之前球不在梅西脚下的概率为， 故，即， 又因为， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，． 【变式训练8-3】某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分． (1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若． ①求P2，P3； ②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小． 【答案】见解析 【解析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则， 易知的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 故的分布列为 0 1 2 P 则， 所以． （2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则． ②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为， 则， 即， 又， ∴是以为首项，为公比的等比数列， 则， ∴， ∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大． 题型09：几何图形 【典型例题1】质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为 ，经过次移动到达点的概率为 ． 【答案】 【解析】根据题意，分别设出点移动到的概率，由第步和第之间的关系，得出递推关系式，即可得出数列的通项公式. 设移动次后，点移动到的概率分别为，，，， 则，，，，， ，所以， ，又，所以.所以. 所以，所以 又，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 故. 又，所以. 于是移动次后到达点的概率是 【典型例题2】（多选）一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】BCD 【解析】根据题意，结合等比数列通项公式，等比数列求和公式及累加法求得，即可判断各选项． 由题可知，质点运动到的概率， 则，故A错误； 运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 所以，故B正确； 上式变形为：， 所以是以为公比的等比数列，首项为， 所以， 所以 ， 所以是首先为，公比为的等比数列，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD． 【典型例题3】如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为. (1)求及的值： (2)求数列的前项和. 【答案】见解析 【解析】（1）如图：设起始位置为， 移动2次回到起始位置，则；； 所以， 若移动3次回到起始位置， ；； 所以， （2）每次移动的时候是顺时针与逆时针移动是等可能的， 设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，， 所以． 掷骰子次时，共有，，三种情况，故． ，即，， 又， 时，， 又，可得， 由， 可得数列是首项为公比为的等比数列， ，即， 又． 所以的前项和为 【变式训练9-1】（多选）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B．时，有 C． D． 【答案】BCD 【解析】根据题意，易得，故A错误；对于B，首先要理解是指执行第次程序后仍回到点的概率，在考虑时，必须是在执行第次程序后没有回到点的情况，即机器人在第次程序应在点或点，其概率为，而下一次有的概率回到点，故有大于等于2时，有，即得B项；对于数列递推式，采用凑项法构造等比数列即可求得通项，得C项，验证数列第7项即得D项. 对于A选项，机器人第一次执行程序后，来到或点，故，第二次执行程序后，有的概率回到点，故故A项错误； 对于选项，为执行第次程序后仍回到点的概率，要想执行次程序后仍回到点，则执行第次程序后应在或点， 且下一次有的概率回到点，故当大于等于2时，有，即，故B项正确； 由选项知，即，设，对比系数，可得， 于是，又，所以是首项为，公比为的等比数列， 故，故项正确； 对于C选项，由项可得，故C项正确． 故选：BCD． 【变式训练9-2】“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，已知该粒子的初始位置在2号仓. 则粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率=    【答案】 【解析】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，所以，进一步可得，然后利用构造法可得为等比数列，即可得解. 记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为， 粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为， 则， 消去，得， 即，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ； 故答案为： 【变式训练9-3】如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，则点Q移动次后仍在底面ABCD上的概率为 ；点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 . 【答案】 【解析】根据全概率公式对仍在底面上的概率进行计算，结合递推公式求通项公式的方法求得正确答案. 记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为. 在正方体中，每一个顶点有个相邻的点，其中两个在同一底面， 当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为； 当点在上底面时，随机移动一次在下底面的概率为. 所以，. 依题意可知， 所以， 所以是首项为为首项，公比为的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：； 【点睛】本小题主要考查全概率公式的运用.在阅读题目的时候，要注意分析点的运动情况，结合题目中的关键词“概率”，联想到动点运动的可能性，对问题进行分析，从而找到问题的突破口.求解的过程中，需要用到数列中根据递推关系求数列的通项公式的方法. 练24（23-24高二下·浙江温州·期中）一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则 ． 【答案】/0.3125 【解析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可. 由题意，， 所以. 又， 所以， 所以. 【变式训练9-4】质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为 ，经过次移动到达点的概率为 ． 【答案】 【解析】根据题意，分别设出点移动到的概率，由第步和第之间的关系，得出递推关系式，即可得出数列的通项公式. 设移动次后，点移动到的概率分别为，，，， 则，，，，， ，所以， ，又，所以.所以. 所以，所以 又，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 故. 又，所以. 于是移动次后到达点的概率是 【变式训练9-5】一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为. （1）求，； （2）设经过步到达点的概率为，求的值； （3）求. 【答案】（1），，（2）当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时， 【解析】（1）即经过一步从点到达点的概率，即经过两步从点到在点的概率，即可求出，的值； （2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，可得，当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，可得； （3）当为偶数时，得到，进而得到，再构造等比数列即可求解 解：（1）因为即经过一步从点到达点的概率，所以， 因为即经过两步从点到在点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针， 所以， （2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，到达的概率为，到达点的概率为， 所以， 当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，，所以， 综上，当为偶数时，，当为奇数时，， （3）当为奇数时，， 当为偶数时，从点或点出发经过两步到点有概率分别为 ，， 从点出发经过步到点分为两步， ①从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为， ②从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为， 所以，因为，所以，所以，因为， 所以，所以，综上，当为奇数时，，当为偶数时， 【变式训练9-6】如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作，，，，，，，，. 一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.    (1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域； (2)求经过2秒机器人位于区域的概率； (3)求经过秒机器人位于区域的概率. 【答案】见解析 【解析】（1）经过2秒机器人可能位于的区域为、，， 经过3秒机器人可能位于的区域为，，，，，； （2）若经过2秒机器人位于区域，则经过1秒时，机器人必定位于， 有三个相邻区域，故由的概率为， 有两个相邻区域，故由的概率为， 则经过2秒机器人位于区域的概率为； （3）机器人的运动路径为 ， 设经过秒机器人位于区域的概率， 则当为奇数时，， 当为偶数时，由（2）知，，由对称性可知， 经过秒机器人位于区域的概率与位于区域的概率相等，亦为， 故经过秒机器人位于区域的概率为， 若第秒机器人位于区域，则第秒机器人位于区域的概率为， 若第秒机器人位于区域，则第秒机器人位于区域的概率为， 若第秒机器人位于区域，则第秒机器人位于区域的概率为， 则有，即， 令，即，即有， 即有，则， 故有、、、， 故， 即， 综上所述，当为奇数时，经过秒机器人位于区域的概率为， 当为偶数时，经过秒机器人位于区域的概率为. 【变式训练9-7】 质点在轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为。 （Ⅰ）求和； （Ⅱ）用表示，并证明是等比数列； （Ⅲ）求． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）P1=， （Ⅱ）由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知：（n≥3） 上式可变形为 是以为公比的等比数列。 其首项P2－P1= （Ⅲ）由（Ⅱ）知Pn－Pn－1=（n≥2） ∴ 例11． 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点的概率为 (1)求和的值；(2)求证：；(3)求的表达式. (1)(2)证明：到达点有两种情况： ①从点按向量移动，即②从点按向量移动，即 (3)数列是以为首项，为公比的等比数列. 又 题型10：马尔科夫链与日常生活的其它问题 【典型例题1】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 【答案】 【解析】依题意利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可． 由题意可知，由全概率公式可得，， 所以， 又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 故答案为： ． 【典型例题2】一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则 ． 【答案】/0.3125 【解析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可. 由题意，， 所以. 又， 所以， 所以. 【典型例题3】武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立. （1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和； （ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式. 【答案】见解析 【解析】解：（1）可能取值为3，4，5，6. ，，，. ∴的分布列为 3 4 5 6 ∴ （2）（i）总分恰为分的概率为， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， 前10项和. （ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2 分，概率为，. 所以，即 ∴. ∴， ∴. 【典型例题4】春节来临，有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是. （1）求的值； （2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数，求的分布列和期望. 【答案】见解析 【解析】（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是 联立方程 ， ，解得 （2） 的分布列为 0 1 2 3 4 . 【变式训练10-1】某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述： ①； ②； ③ ④前天甲午餐总费用的数学期望为. 其中正确的是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【解析】先根据题意找到递推式，即可判断②，由递推式可求出，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断④． 若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 所以第天选择米饭套餐的概率，故②正确； 因为，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以，故①正确； 由②得，，所以， 又由题意得，，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，故③错误； 前天甲午餐总费用的数学期望为，故④正确. 故选：B. 【变式训练10-2】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 【答案】 【解析】依题意利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可． 由题意可知，由全概率公式可得，， 所以， 又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 故答案为： ． 【变式训练10-3】某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 . 【答案】 【解析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式. 当且时，若甲在第天选择了餐厅， 那么在第天有的可能性选择餐厅， 若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅， 所以第天选择餐厅的概率， 即，所以. 又由题意得，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式训练10-4】某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 . 【答案】 【解析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式. 当且时，若甲在第天选择了餐厅， 那么在第天有的可能性选择餐厅， 若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅， 所以第天选择餐厅的概率， 即，所以. 又由题意得，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式训练10-5】某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始. (1)当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望； (2)求第n轮为甲练习的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解析】（1）根据排队系统设定分析的情况，然后计算概率求期望即可； （2）根据排队系统设定得到，，然后构造数列为等比数列，最后利用等比数列的通项公式计算. （1）根据题意得，X的可能取值分别为1，2，3， 则时，表示第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为丙，即， 时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为乙，或第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为甲， 即， 时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为甲，即， 所以X的分布列如下表 X 1 2 3 P . （2）设第n轮练习为甲，乙，丙的概率分别为，，， 由题意得 ，   ① ，   ② 由②得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，则代入①中， 得，故第n轮为甲练习的概率为. 【变式训练10-6】深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)是， 【解析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望. （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. （3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. （1）依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. （3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 【变式训练10-7】甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】（1）分析出包含两种情况，把两种情况的概率相加得到，同理也包含两种情况，求出相应的概率，相加可得，由，故交换一次不合要求，而，故操作两次满足要求，并求出概率为； （2）（ⅰ）先求出，，，，判断出数列是等比数列； （ⅱ）由（ⅰ）求出，的所有可能取值为0，1，2，并得到对应的概率，得到分布列，求出数学期望. （1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，， 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为． （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，， 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． 【点睛】关键点点睛：分析出，，，从而得到数列是首项为，公比为的等比数列，再进行下一步的求解. 【变式训练10-8】北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. （1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 【变式训练10-9】 某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为. （1）求，并证明数列是等比数列； （2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求； （3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）. 【答案】见解析 【解析】（1） 依题意，知，则 当时，可得， ∴数列是首项为公比为的等比数列. （2）第二次买A产品的概率； 第二次买B产品的概率 ∴第二次来的3人中有个人购买产品， 的所有可能取值为0、1、2、3 有， ∴的分布列为 0 1 2 3 故. （3）由(1)知： ∴当趋于无穷大时，，即第次来购买产品的概率约为. 故公司每天应至少准备产品320份、产品480份. 【变式训练10-10】为治疗某种欢病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,脱停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白贝治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈半分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为. (1)求的分布列: (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,.)表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 其中.假设. (i)证明:为等比数列; (iii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性. 【答案】见解析 【解析】解:(1)由超意知,的所有可能取值为-1.0,1. , 的分布列为 0 1 (i)由(1)知, 又是首项为,公比为4的等比数列. (ii)由(i)可得, 表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验 注：虽然当时学生未学过全概率公式,但命题人直接把给出,并没有让考生推导这个递推关系,实际上,这就是一个一维随机游走模型。 题型11：新定义 【变式训练11-1】对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. (1)数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. (2)若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. (3)对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 【答案】(1)5 (2) (3)， 【解析】（1）利用给定定义证明并求值即可. （2）利用给定定义对参数范围进行讨论，求解公比即可. （3）利用给定定义分类讨论求解解析式即可. （1）依题意设数列的通项为， 则，，， ，， 由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数， 故数列为一个1到5连续可表数列， 对于数列，设其通项为，直接计算可知， 该数列的，，，，， 而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到. （2）当准等比数列公比为，，，时， 可以对应构造数列，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，， 其中由（1）可知，，为1到5连续可表数列， 对于最后一个数列，有，， ，，， 而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列， 现在，假设，满足， 数列，，，为一个公比为的1到5连续可表准等比数列， 则可以设， 其中，，为，，的一个排列， 则该数列的连续表出具有的形式， 其绝对值不小于，由于1可以被表出，有，故或， 如果不参与表出1到5，则不包含， 故可提出，即， 由于，必是非零整数， 而， 无法表示这个数字，故的表出有的参与， 如果参与表出1和2，有两种可能， 一是当独立表出，二是与其他若干项一起表出， 若当和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而为1或， 所以与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由独立表出， 所以，现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和， 故不大于，不小于4，矛盾.所以不可能成立， 综上的可能取值为 （3）我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列， 如果满足，，，的形式， 则其中一项必定为1或，且， 从而当时，任一个进制残片都不可能排列成一个1至5连续可表数列. 故，，当时，残片的各项可能取值为， 即，，，，，.由于残片各项一定非负， 则1，2，3，4，5的表出一定没有，，等值参与， 注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值， 而0对这5个数字的表出没有贡献， 故残片能够排列成1到5连续可表数列当且仅当残片中含有1，2，4三项 即所挑选的数字应当满足， 故，，从而， 其中表示不超过的最大整数， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题考查求数列新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用分类讨论思想得到所要求的解析式即可． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 数列与概率结合——马尔科夫链 目 录 思维导图 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 4 题型01：传球问题 4 题型02：掷硬币 13 题型03：掷骰子 15 题型04：盒子取球 18 题型05：投篮及比赛问题 23 题型06：赌博问题 28 题型07：抽奖问题 29 题型08：答题比赛问题 31 题型09：几何图形 33 题型10：马尔科夫链与日常生活的其它问题 39 题型11：新定义 45 1.近五年高考数学全国卷及新高考卷概率统计压轴题汇编： 马尔科夫链相关知识点常以递推概率、状态转移等形式融入压轴题中，汇编近五年真题可直观感受考查形式，总结解题规律。教育部教育考试院发布的高考数学试题评析（如2025年高考数学全国卷试题评析），能帮助把握概率统计模块的考查重点和命题趋势，明确马尔科夫链相关知识点的考查定位。 2.重点中学高三模拟题概率拓展题集： 北京、上海、浙江等高考改革前沿地区的重点中学模拟题中，常出现马尔科夫链相关的创新题型，选取这类题集练习，可提升对复杂模型的建模能力和综合解题能力。 3. 学习建议： 先通过教辅资料和网络课程夯实基础知识点，再结合本讲义的例题和推荐习题强化练习，最后通过真题和模拟题提升综合应用能力，重点关注“状态识别—转移矩阵构建—递推关系求解”的核心解题链条。 1. 理解核心概念明确马尔科夫性（无后效性）：即未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。 掌握状态空间和转移概率的定义，理解转移概率矩阵的表示方式。掌握基本性质与分类熟悉状态的分类：如常返态与非常返态、周期态与非周期态等，理解不同状态的特征。理解平稳分布的概念，以及马尔科夫链收敛到平稳分布的条件。 2.学会模型构建与分析能够根据实际问题构建马尔科夫链模型，确定状态转移关系。掌握计算n步转移概率、判断链的遍历性等基本分析方法。了解应用场景知晓马尔科夫链在各领域的应用，如自然语言处理（文本生成）、金融（风险预测）、生物（基因序列分析）等，能结合具体问题理解其作用。 3.通过以上目标的达成，可实现对马尔科夫链从理论到实践的初步掌握，为进一步学习更复杂的随机过程奠定基础。 高中数学马尔可夫链题型聚焦概念判断、矩阵计算、概率递推、平稳分布、实际建模五类，覆盖高考拓展与建模应用。 在日常生活和科学研究中，我们经常遇到一类随机现象：系统的未来状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。例如： 1.天气变化：明天是晴天、多云还是雨天，主要取决于今天的天气，与前天及更早的天气无关； 2.投篮交替：甲乙两人轮流投篮，下一次投篮的人选只取决于本次投篮是否命中，与之前的投篮历史无关； 3.传球训练：n次传球后球在谁手中，只取决于n-1次传球后的持球人，与更早的传球过程无关。 这类具有“无记忆性”的随机过程，就是俄国数学家安德雷·马尔可夫在1906年提出的马尔科夫链。它是概率统计中重要的数学模型，也是高中数学概率与统计模块的拓展重点内容，核心价值在于将实际问题抽象为数学模型，通过概率和矩阵工具解决实际问题。 本讲义将结合高中已学的概率、矩阵、数列知识，系统讲解马尔科夫链的核心概念、性质及典型应用，培养数学建模和逻辑推理能力。 知识点一：马尔科夫链 马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名,是一个数学随机模型,描述了一连串可能发生的事件,从一个状态到另外一个状态,也可以是保持当前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率,全概率公式,贝叶斯公式相结合,构造递推关系求的概率. 知识点二：马尔科夫链的性质 马尔科夫链具有状态空间,无记忆性,转移概率(转移矩阵)等三个要素,马尔科夫链是从一个状态到另一个状态转化的随机过程,每个状态称为状态空间.无记忆性是而的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科天性.在马尔科夫链的每一步,根据概率分布,可以从个状态变频另外一个状态,也可以保持当前状态.状态的改变叫做转移,与不同状态改变相关的概率叫做转移项率.对于随机变量序列已知第小时的状态.如果的随机变化规律与前面的各项 的取值都没有关系,那么称随机变量序列具有马尔科夫性,称具有马尔科夫性的随机变量序列为马尔科夫链。 知识点三：马尔科夫链的基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 马尔科夫链的解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式 递推数列在计数原理中的应用 概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的方法解决 题型01：传球问题 【典型例题1】甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 【典型例题2】（多选）甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．经过一次传球后，球在丙中概率为 B．经过两次传球后，球在乙手中概率为 C．经过三次传球后，球在丙手中概率为 D．经过n次传球后， 【答案】BCD 【解析】依据题意根据古典概型公式及相互独立事件乘法公式逐项计算即可判断A,B,C;对于D,根据题意得到，构造等比数列进行计算即可求解. 对于A，依题可知经过一次传球后，球在丙中概率为， 故A错误； 对于B，过两次传球后，球在乙手中概率为， 故B正确； 对于C,经过三次传球后，球在丙手中的事件包括两种情况， ①第1次传球在丙手中，第2次传球不在丙手中，第3次传球在丙手中， 概率为； ②第1次传球不在丙手中，第2次传球不在丙手中，第3次传球在丙手中， 其概率为 所以经过三次传球后，球在丙手中概率为， 故C正确； 对于D，经过次传球后，球在甲手中的概率为， 则， 整理得， 即，又， 所以是以公比为，首项为的等比数列， 则， ， 故D正确， 故选：BCD. 【典型例题3】甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则第4次传球后球在甲手中的概率为 . 【答案】 【解析】设表示经过第次传球后球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用全概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得. 设表示经过第次传球后球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，， 所以 ， 即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时. 【典型例题4】某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球传给丙的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中. (1)求传球次后，球恰好在乙手中次的概率； (2)次传球后（），记球在丙手中的概率为. ①求数列的通项公式； ②设，求证：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【解析】（1）根据条件有两种情况：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件有一个发生的概率公式，即可求解； （2）①根据条件得到，进而有是首项为，公比为的等比数列，即可求解；②根据条件得到，利用裂项相消法得到，再分为奇数和偶数两种情况讨论，即可求解. （1）传球次后，球恰好在乙手中次分为两种情况： 第一种情况：乙、甲、乙，概率为； 第二种情况：乙、丙、乙，概率为； 所以. （2）①由于n次传球后，球不在丙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在乙手中，均有的概率传给丙，故有， 整理得， 又，， 所以是首项为，公比为的等比数列. 则，得到. ②由①可得， 因为 所以， 当n为奇数时，，所以， 所以，所以， 当n为偶数时，， 所以，所以. 所以. 综上所述，，所以命题得证. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）中的①问，根据条件得到，通过变形得到，从而转化成等比数列来解决问题. 【典型例题5】足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天. (1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关? (2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． （i）求（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关 (2)（i）；（ii）证明见解析，甲的概率大 【解析】（1）计算出卡方，与10.828比较得到结论； （2）（i）根据传球的等可能性推出，（ii）推导出，构造出等比数列， 求出，得到，比较出大小. （1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．根据列联表数据，经计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001． （2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故． （ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为， 第次触球者不是甲的概率为，则， 从而，又，是以为首项，公比为的等比数列． 则，∴，， ，故第19次触球者是甲的概率大 【变式训练1-1】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【变式训练1-2】（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 【变式训练1-3】（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．次传球后球在甲手上的概率是 D．2024次传球后球在甲手上的概率大于 【变式训练1-5】（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲､乙､丙手中的概率依次为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．2次传球后球在乙手上的概率是 C．2次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【变式训练1-7】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若次传球后球在甲手中的概率为，则 . 【变式训练1-8】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为 ，第n次传球后球在乙手中的概率为 ． 【变式训练1-9】 4人互相传球，由开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到手中，则不同的传球方式有多少种？若有个人相互传球次后又回到发球人手中的不同传球方式有多少种？ 【变式训练1-10】在某公司组织的团建活动中，，，三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在手中时，传给的概率为，传给自己的概率也为；当排球在手中时，传给的概率为，传给的概率为；当排球在手中时，传给，的概率均为.游戏开始时，排球在手中，经过次传球后，设排球在手中的概率为，排球在手中的概率为. (1)求，的值； (2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由. 【变式训练1-11】某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为. (1)求，； (2)求的表达式； (3)设，证明：. 【变式训练1-12】某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为. (1)求； (2)当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望； (3)当时，证明：. 【变式训练1-13】学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为． (1)求的值； (2)证明：是等比数列； (3)比较29号和30号投篮命中的概率大小． 【变式训练1-14】第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知． ①试证明：为等比数列； ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小． 【变式训练1-15】在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 题型02：掷硬币 【典型例题1】有人玩都硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到）.若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第7站（胜利大本营）或跳到第8站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为，则 . 【答案】 【解析】先根据题意求出，，，，，变形后推导出是公比为，首项为的等比数列，进而利用累加法求出，，，求出 由题意得：，，，，，从而当时， ，而，所以是以公比为，首项为的等比数列，即，（）所以 所以 故答案为： 【典型例题2】投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为. (1)求，，和； (2)写出的递推公式，并指出增减性. 【答案】(1)，， (2)当时递减 【解析】（1）显然，；又投掷四次，连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故. （2）共分三种情况：如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是. 由此可得，，，，. 故，① ，② ①②，有. 所以当时，递减，且易知. 综上，且当时递减. 【变式训练2-1】甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷．问： (1)第一局甲胜的概率； (2)第局甲胜的概率． 【变式训练2-3】某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为. (1)求的值； (2)求证：，其中； (3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率. 【变式训练2-4】设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能情况，并求； (2)证明：是等比数列，并求； (3)设抛掷n次硬币后的期望为，求． 题型03：掷骰子 【典型例题1】（多选）某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D． 【答案】ACD 【解析】由题意求出两枚骰子的点数均为奇数的概率为，计算出，从而得到，所以 ，求解即可. 两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为， 往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确． 由题可知，， 则， 故数列为常数列，也是等差数列，C正确． 又，得， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则，D正确． 故选：ACD. 【典型例题2】甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率 （用含n的式子表示）． 【答案】 【解析】根据题意先得“第次由甲掷”和“第次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列可解. 易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为，， 故（其中）， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，即． 故答案为： 【典型例题3】甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率 （用含n的式子表示）． 【答案】 【解析】根据题意先得“第次由甲掷”和“第次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列可解. 易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为，， 故（其中）， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，即． 故答案为： 【变式训练3-1】某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列{an}，使，记Sn＝a1＋a2＋＋an(n∈Z)． (1)求S6＝2的概率； (2)求S2≠0且S6＝2的概率． 【变式训练3-2】甲、乙两人进行抛掷骰子游戏,两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子.规定:先掷出点数6的获胜,游戏结束. (1)记两人抛掷骰子的总次数为,若每次最多抛掷两次骰子,求比赛结束时,的分布列和期望; （2）已知甲先掷,求甲恰好抛掷次骰子并获得胜利的概率. 【变式训练3-3】甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗， (1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率； (2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率； (3)若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率. 【变式训练3-4】某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站。一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为. （1）求；(2) 求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率. 题型04：盒子取球　 【典型例题1】设有两个罐子，罐中放有个白球、个黑球，罐中放有个白球，现在从两个罐子中各摸一个球交换，这样交换次后，黑球还在罐中的概率为 ． 【答案】 【解析】根据题意，得到，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解. 设表示事件交换次后黑球仍在罐中， 则 ， 所以，可得， 又由，可得， 所以由等比数列性质，得，所以． 故答案为：． 【典型例题2】甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【解析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求； （2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列； （1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. 【典型例题3】有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求；②求 【答案】(1) (2)①，，；② 【解析】（1）直接根据分步计数原理和古典概率公式计算即可； （2）是条件概率公式的乘法形式，则是根据代入条件概率公式计算，需要根据容斥原理计算，因为不互斥，计算则属于马尔科夫链的概率模型，其本质为全概率公式，通过全概率公式计算和即可计算. （1）； （2）①， ， ， ； ②， . 【典型例题4】有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行． (1)求从第2个盒子中取到红球的概率； (2)求从第个盒子中取到红球的概率； (3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）记“从第个盒子中取到红球”为事件， 此时，， 则； （2）因为 ， 所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 此时， 即， 当时，，符合题意， 综上，从第个盒子中取到红球的概率为； （3）证明：易知的所有可能取值为1，2， 此时，， 则的分布列为： 1 2 所以， 由于， 故． . 【变式训练4-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列（且）； (3)求的期望（用表示，且）. 【变式训练4-2】马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 【变式训练4-3】文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出. (1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率； (2)抽取3次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列； (3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n次抽取中抽出第2支红笔的概率为，求的通项公式. 【变式训练4-4】有个编号分别为的盒子,第1个盒子中有2个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球,现从第一个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第二个盒子中任取一球放入第3个盒子,以此类类推,则从第2个盒子中取到白球的概率是_____,从第个盒子中取到白球的概率是___ 【变式训练4-5】有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记为从第个箱子中取出黄球的概率. (1)求； (2)求. 【变式训练4-6】一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题： (1)若取出的小球不再放回， ①求最后取完的小球是黄球的概率； ②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率； ③设随机变量为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求； (2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取次球，设随机变量为取球次数，证明：. 题型05：投篮及比赛问题 【典型例题1】小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求； (3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【解析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案； （2）方法1：得到的可能取值及相应的概率，求出期望值； 方法2：得到，，得到，，由，互相独立，求出，得到答案； （3）先计算出，再求出，，利用互斥事件求概率公式和错位相减法得到，计算出，作商比较出，从而证明出结论. （1）设事件表示共有次投中，事件B表示第二次没投中， 则表示一共投中2次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中， 故，表示一共投中2次，故， 则； （2）方法1：根据题意有可得取值为，的可能取值为， 故的可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以. 方法2：因为，， 所以，.又因为，互相独立，所以. （3）根据题意可知.，， ，记①，②， 两式相减得，故， 故.所以 ， 又因为，且当时，， 所以. 【典型例题2】某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为. (1)若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望； (2)假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得分布列并求得数学期望. （2）根据已知条件列出递推关系，利用构造等比数列、累加法等知识求得. （1）的可能取值为，则：， 则的分布列为 2 3 4 故. （2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分， 所以， 则. 因为，所以， 所以为等比数列，且首项为，公比为， 则 ， 则，故当时，. 【典型例题3】甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为和，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为和． (1)求第2次投篮的人是甲的概率； (2)记第次投篮的人是甲的概率为， ①用表示； ②求． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ） 【解析】（1）分为第1次甲投篮且游戏成功和第1次乙投篮且游戏失败两种情形，结合全概率即可得结果； （2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含第次甲投篮且游戏成功和第次乙投篮且游戏失败两种情况，由全概率公式可得解；（ⅱ）通过构造数列是以为首项，为公比的等比数列，求解即可. （1）第2次投篮的人是甲包含两种情况： ①第1次甲投篮且游戏成功，其概率为； ②第1次乙投篮且游戏失败，其概率为， 由全概率公式得第2次投篮的人是甲的概率为． （2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含两种情况： ①第次甲投篮且游戏成功，其概率为； ②第次乙投篮且游戏失败，其概率为， 由全概率公式得，即． （ⅱ）由（ⅰ）得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 【变式训练5-1】学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为． (1)求的值； (2)证明：是等比数列； (3)比较29号和30号投篮命中的概率大小． 【变式训练5-2】在庆祝新中国成立七十周年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁”彩车亮相国庆游行，“女排精神”燃爆中国.某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个“投骰子50米折返跑”的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50米的折返跑，从第二次开始，参与者都需要抛掷两枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所得的点数之和能被3整除，则参与者只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3整除，则参与者需要连续进行两次折返跑.记参与者需要做n个折返跑的概率为. （1）求，，； （2）证明是一个等比数列； （3）求，若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由. 【变式训练5-3】某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工定点趣味投篮比赛．每位教工投篮若干次，投篮得分规则如下：第一次投篮，投中得2分，否则得1分；从第二次投篮开始，投中则获得上一次投篮得分的两倍，否则得1分．教工甲参加此次投篮比赛，每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立． (1)求教工甲前四次投篮得分之和为5的概率． (2)设教工甲第k次投篮所得分数的数学期望为． ①求，并求与之间的递推关系式； ②若，求投篮次数k的最小值． 【变式训练5-4】甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗．一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜．根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4． (1)若第一局比赛后甲的红旗个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）； (3)记甲获得红旗为面时最终甲获胜的概率为，，，证明：为等比数列． 【变式训练5-5】随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求： (1)当时，甲赢得比赛的概率； (2)的数学期望. 【变式训练5-6】ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 题型06：赌博问题 【典型例题】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. （1）P2的值为 ； （2）若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为 ． 【答案】 Pn＝－Pn－1/ Pn＝－Pn－1+ 【解析】（1）根据两种不同情况下，求第二次出现红球的概率，再加总即为P2的值. （2）应用全概率公式写出Pn关于Pn－1的表达式即可. （1）由题设，第二次出现红球的概率为两次都出现红球的概率、第一次为绿球第二次出现红球的概率之和， ∴. （2）由（1）易知：Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1. 故答案为：，Pn＝－Pn－1. 【变式训练6-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 题型07：抽奖问题 【典型例题】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【答案】AD 【解析】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 【变式训练7-1】 随着商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕用户的争夺越来越激烈，手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广. （1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束. 参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中. ①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率； ②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望. （2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广. 报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于. 题型08：答题比赛问题 【典型例题1】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案. 因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以，即. 显然数列递减，所以当时，， 所以的最小值为. 【典型例题2】某趣味活动设置了“谜语竞猜”和“知识竞答”两个环节，小王参与这两个环节的活动． 在“谜语竞猜”环节，设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜．在所获奖金不低于10元的条件下，求小王所获奖金为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，小王应按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ (3)在“知识竞答环节，参赛者要回答A、B两类问题，每个参赛者回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从B类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A类中随机抽取，规定每位参赛者回答的第一个问题从A类中抽取．已知小王能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且每次回答问题正确与否相互独立，求小王第n次回答正确的概率． 【答案】见解析 【解析】（1）设“所获奖金不低于元”为事件，“小王所获得的奖金为元”为事件， 则，， 所以 （2）若小王按“①、②、③”的顺序猜谜语，他所获奖金的所有可能取值为(元)， ，， ，， 因此； 若小王按“③、②、①”顺序猜谜语，他所获奖金的所有可能取值为(元)， ，，，， 因此，， 当，即时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多； 当，即时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多； 当，即时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多． （3）小王第次回答正确的概率只与第次回答是否正确有关， 则，即，于是，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即，则， 所以小王第次回答正确的概率 ． 【变式训练8-1】在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为． (1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望； (2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率． 【变式训练8-2】2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯． (1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为，求预测正确的人数X的分布列和期望； (2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，求． 【变式训练8-3】某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分． (1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若． ①求P2，P3； ②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小． 题型09：几何图形 【典型例题1】质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为 ，经过次移动到达点的概率为 ． 【答案】 【解析】根据题意，分别设出点移动到的概率，由第步和第之间的关系，得出递推关系式，即可得出数列的通项公式. 设移动次后，点移动到的概率分别为，，，， 则，，，，， ，所以， ，又，所以.所以. 所以，所以 又，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 故. 又，所以. 于是移动次后到达点的概率是 【典型例题2】（多选）一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】BCD 【解析】根据题意，结合等比数列通项公式，等比数列求和公式及累加法求得，即可判断各选项． 由题可知，质点运动到的概率， 则，故A错误； 运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 所以，故B正确； 上式变形为：， 所以是以为公比的等比数列，首项为， 所以， 所以 ， 所以是首先为，公比为的等比数列，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD． 【典型例题3】如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为. (1)求及的值： (2)求数列的前项和. 【答案】见解析 【解析】（1）如图：设起始位置为， 移动2次回到起始位置，则；； 所以， 若移动3次回到起始位置， ；； 所以， （2）每次移动的时候是顺时针与逆时针移动是等可能的， 设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，， 所以． 掷骰子次时，共有，，三种情况，故． ，即，， 又， 时，， 又，可得， 由， 可得数列是首项为公比为的等比数列， ，即， 又． 所以的前项和为 【变式训练9-1】（多选）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B．时，有 C． D． 【变式训练9-2】“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，已知该粒子的初始位置在2号仓. 则粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率=    【变式训练9-3】如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，则点Q移动次后仍在底面ABCD上的概率为 ；点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 . 【变式训练9-4】质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为 ，经过次移动到达点的概率为 ． 【变式训练9-5】一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为. （1）求，； （2）设经过步到达点的概率为，求的值； （3）求. 【变式训练9-6】如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作，，，，，，，，. 一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.    (1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域； (2)求经过2秒机器人位于区域的概率； (3)求经过秒机器人位于区域的概率. 【变式训练9-7】 质点在轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为。 （Ⅰ）求和； （Ⅱ）用表示，并证明是等比数列； （Ⅲ）求． 题型10：马尔科夫链与日常生活的其它问题 【典型例题1】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 【答案】 【解析】依题意利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可． 由题意可知，由全概率公式可得，， 所以， 又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 故答案为： ． 【典型例题2】一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则 ． 【答案】/0.3125 【解析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可. 由题意，， 所以. 又， 所以， 所以. 【典型例题3】武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立. （1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和； （ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式. 【答案】见解析 【解析】解：（1）可能取值为3，4，5，6. ，，，. ∴的分布列为 3 4 5 6 ∴ （2）（i）总分恰为分的概率为， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， 前10项和. （ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2 分，概率为，. 所以，即 ∴. ∴， ∴. 【典型例题4】春节来临，有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是. （1）求的值； （2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数，求的分布列和期望. 【答案】见解析 【解析】（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是 联立方程 ， ，解得 （2） 的分布列为 0 1 2 3 4 . 【变式训练10-1】某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述： ①； ②； ③ ④前天甲午餐总费用的数学期望为. 其中正确的是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【变式训练10-2】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 【变式训练10-3】某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 . 【变式训练10-4】某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 . 【变式训练10-5】某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始. (1)当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望； (2)求第n轮为甲练习的概率. 【变式训练10-6】深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【变式训练10-7】甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【变式训练10-8】北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【变式训练10-9】 某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为. （1）求，并证明数列是等比数列； （2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求； （3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）. 【变式训练10-10】为治疗某种欢病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,脱停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白贝治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈半分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为. (1)求的分布列: (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,.)表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 其中.假设. (i)证明:为等比数列; (iii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性. 题型11：新定义 【变式训练11-1】对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. (1)数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. (2)若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. (3)对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $