第07讲 椭圆的最值范围讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆最值问题核心考点，涵盖利用定义、函数思想、不等式、数形结合等6大方法及13类题型，通过考情分析、知识要点梳理、解题策略指导和分层题型训练，帮助学生构建系统解题框架，突破高考拉分难点。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“题型归类+方法口诀”教学策略，如参数方程法解决距离最值、判别式法求切线边界，配合典型例题与变式训练，提升学生转化与建模能力，为教师提供精准复习节奏把控方案，高效提升学生应考能力。

第07讲 椭圆的最值问题 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 3 题型归纳 4 求椭圆的最值和取值范围的常用方法 4 题型01：利用椭圆定义求最值 4 题型02：利用函数思想求范围或最值 6 题型03：利用不等式思想求范围或最值 8 题型04：利用数形集合思想求范围或最值 10 题型05：利用焦半径范围求最值 11 题型06：用向量求椭圆最值 13 椭圆的最值和取值范围的常用方法归纳 16 题型01：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 16 题型02：点和椭圆上点的最值 17 题型03：圆与椭圆上点点距离最值 19 题型04：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 21 题型05：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 22 题型06：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 24 题型07：周长最值 29 题型08：弦长公式与面积最值问题 30 题型09：椭圆上点到直线距离最值 33 题型10：椭圆有关向量积最值问题 36 题型11：距离和最值 40 题型12：距离差最值 42 题型13：距离商最值 43 巩固提升 44 1. 地 位：高考解析几何压轴小题/解答题第二问常考，属于拉分题，难度中偏难。 2. 考查形式 ①求：距离、面积、角度、斜率、弦长、向量数量积等的最值/范围 ②条件：点在椭圆上、直线与椭圆相交、焦点三角形、定点定值结合 3. 命题特点 ①重函数思想与几何转化 ②轻死算，重换元、判别式、均值不等式、三角换元 1. 会把几何最值转化为函数/不等式问题。 2. 掌握椭圆最值4种通用方法：参数方程、二次函数、判别式、均值不等式。 3. 能在5分钟内搞定一道椭圆最值小题。 4. 解答题能写出规范步骤：设元→列式→求范围→验证。 方法点拨 一、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求最值或取值范围. (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． 二、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： （1）几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； （2）代数法：常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 三、椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．要理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量之间的内在联系． (2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边．在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系． 一．通用解题步骤（考场直接套） 1. 设：设点/设直线/设参数θ 2. 代：代入椭圆方程，消元 3. 构：构造目标函数（距离/面积/斜率/向量等） 4. 求：用函数/三角/不等式求最值 5. 验：检验范围与取等条件 二．高频题型一句话口诀 1.点在椭圆上求距离 → 参数方程最快 2.直线与椭圆求面积 → 弦长×高 / 行列式 3.求斜率/比值范围 → 判别式+不等式 4.焦点三角形最值 → 用定义+不等式 注意 1. 参数方程法（万能首选）：把所有问题变成三角函数最值，再用辅助角公式/单调性求解。适用：距离、面积、斜率、向量数量积。 2. 二次函数法（代数通法） 3. 判别式法（求切线/边界最值）：适用：直线与椭圆相切、距离极值。 4. 均值不等式 / 基本不等式 求椭圆的最值和取值范围的常用方法 题型01：利用椭圆定义求最值 此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决 【典型例题1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【答案】B 【解析】利用椭圆的定义求解. 如图所示： ， 故选：B 【典型例题2】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为(2)最大值为，最小值为 【解析】 (1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． (1) 由椭圆可知，，， 则，， 则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； (2) ，，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 【变式训练1-1】已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 【变式训练1-3】（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，则可以是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为__，最小值为__. 【变式训练1-5】已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______． 题型02：利用函数思想求范围或最值 【典型例题1】如图，已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围（ ） A．[-1，1] B． C． D．(-1，0) 【答案】B 【分析】看问题：求点G横坐标的取值范围（属于范围问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想 看条件：过椭圆的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G， 定措施：先求直线的垂直平分线的方程，再令，求出点G的横坐标（用表示），故从函数思想的角度考虑，后求函数的值域，即可得点横坐标的取值范围． 【详解】设直线的方程为，代入，整理得． 直线过椭圆的左焦点，方程有两个不等实根．记，，，，中点，， 则，，的垂直平分线的方程为． 令，得．，， 点横坐标的取值范围为． 【点睛】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去（或，得到（或的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等． 【典型例题2】已知点是椭圆上任一点，那点到直线：的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程可设，利用点到直线距离公式表示出距离，由三角函数的性质可求出最值. 【详解】由椭圆方程可设，则点到直线的距离，则当时，取得最小值为. 【变式训练2-1】椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知曲线，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C.记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为.求的最小值. 题型03：利用不等式思想求范围或最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 【典型例题1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（       ）． A．13 B．12 C．25 D．16 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果. 【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：， （当且仅当时取等号），的最大值为. 【典型例题2】已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　 A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【解答】解：对于函数，且的图象，令，求得，， 可得它的图象恒过定点． 因为点在椭圆，，上，则， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9 【典型例题3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号. 【详解】根据椭圆的定义可知，，即， 因为，， 所以 【变式训练3-1】已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【巩固练习3】设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（   ） A．12 B． C．6 D． 【变式训练3-3】椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围． 【变式训练3-5】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 题型04：利用数形集合思想求范围或最值 【典型例题1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足，，则|MN|的最大值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先由，，判断出M、N分别落在以A、B为圆心的圆上，借助于几何关系分析得到，当直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M、N时，|MN|最大，利用几何关系求最值. 【详解】设PF1、PF2的中点分别为A、B，则AB∥F1F2.∵，，∴，， ∴M、N分别落在以A、B为圆心的圆上，如图示： 则直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M、N时，|MN|最大， 此时= 6. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 【变式训练4-1】椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________. 【变式训练4-2】设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________. 题型05：利用焦半径范围求最值 【典型例题1】平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上， ， 则可得的最小值为，最大值为， 的取值范围是. 故选：A. 【典型例题2】已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（       ） A．（0，） B．（0，2） C．（l，2） D．（，2） 【答案】A 【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果. 【详解】如下图，延长、相交于点，连接， 因为， 因为为的角平分线，所以，，则点为的中点， 因为为的中点，所以，， 设点，由已知可得，，， 则且，且有， ， 故， 所以，. 故选：A. 【典型例题3】在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据椭圆定义，将设代入得， 根据椭圆的几何性质，，故，即 ，故，即，又，故该椭圆离心率的取值范围是． 【变式训练5-1】已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 【变式训练5-2】已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________． 【变式训练5-4】已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____. 【变式训练5-5】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则的最小值是 ． 题型06：用向量求椭圆最值 【典型例题1】（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【解析】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 【典型例题2】已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，求出，当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立方程可得，满足题意时，应用平面向量数量积公式及韦达定理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【解析】（1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以，， ， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 【变式训练6-1】（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5] 【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B，在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，则的最大值为_______________； 【变式训练6-3】已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点. (1)求的离心率； (2)已知； （i）证明：点在轴的异侧； （ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值. 【变式训练6-4】已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 椭圆最值和取值范围的常见题型归纳 题型01：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 【典型例题】若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点与椭圆的位置关系即可求解. 【解析】，所以 故选：B. 【变式训练1-1】已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 题型02：点和椭圆上点的最值 例：点A为椭圆上的动点，点，求最大值 法一：构造二次函数模型求最值（最优） 步骤一：设点： 步骤二：写出两点距离公式： 步骤三：把点坐标代入椭圆方程得出x²与y²的关系，再代入消元 ，代入得，此时根号内是一个关于的二次函数，且 步骤四：通过二次函数单调性和定义域求最值 （注意定义域） 法二：利用椭圆的参数方程构造三角函数模型 对于椭圆，它的参数方程为 大致步骤：利用两点距离公式表示 【典型例题1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以 【典型例题2】已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，. 所以当时，的最小值为. 故选D. 【典型例题3】已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，先根据两点距离公式结合二次函数求解，然后利用圆的性质求得最值. 【详解】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故.    【典型例题4】已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为1，则a的值为___________． 【答案】2或4 【详解】解：设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)， 则， 当时，有.∴当时，， 得 (舍)， 当时，有， 当且仅当x＝3时， ， 故a＝2或a＝4， 综上得a＝2或4. 故答案为：2或4. 【变式训练2-1】设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【变式训练2-2】已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________. 【变式训练2-5】设椭圆的的焦点为是C上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的最小值和最大值． 题型03：圆与椭圆上点点距离最值 【典型例题1】已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依据题意，圆心记为，半径，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，在椭圆上，则有，且 ，当时，有最小值.的最小值为. 故选：B 【典型例题2】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆的圆心为，则， 设则 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：B. 【变式训练3-1】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　 A．2 B． C． D． 2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式训练3-4】（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（       ） A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为 C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为 【变式训练3-5】（多选）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【变式训练3-6】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ． 题型04：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 【典型例题1】已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可. 【解析】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①， 因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得. 故选：B． 【典型例题2】椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，则m的值为_______. 【答案】. 【分析】联立方程组，根据直线与椭圆相切，结合，列出方程，即可求解. 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得，可得， 解得. 所以的值为. 故答案为: 【变式训练4-1】已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式训练4-3】已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________. 题型05：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 【典型例题1】（多选）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答. 【解析】依题意，椭圆的左焦点为，设， 对于A，轴，直线，由得：，则，A正确； 对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得： ，则，， ， 显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即，于是得， 因此，D正确. 故选：ABD 【典型例题2】斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线y＝x＋t与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【解析】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C. 【变式训练5-1】已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点,若直线被椭圆截得的线段长为，则的值____________． 【变式训练5-2】动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 题型06：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 【典型例题1】（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C; 根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D. 【解析】因为，，所以，所以，故A正确; 因为，所以，故B错误; 设 因为与椭圆交于，两点， 所以， 两式相减得， 即，即， 因为，所以，故C正确; 设直线, 由得, 因为直线与圆相交,所以,解得, 根据韦达定理得 , 点到直线的距离, 所以, 因为， 当且仅当时，取最大值，故D正确. 故选：ACD 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）结合焦距及椭圆的定义由条件列的方程，解方程求，代入椭圆方程可得结论； （2）在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． （2）设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 【典型例题3】已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的离心率可得结果. （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面积，分析函数性质可得结果. 【解析】（1） 由椭圆的定义得，的周长为 ，故. 由离心率得，∴， ∴椭圆C的方程为. （2） 设， 由得，， 由得，， ∴， ∴ ， ∵点到直线的距离为， ∴的面积， 令，则 ∵二次函数对称轴为直线， ∴当时，， ∴. 【变式训练6-1】已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 【变式训练6-2】已知椭圆，短轴的一个端点到右焦点的距离为，半焦距. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【变式训练6-3】已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的方程； (2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值． 【变式训练6-4】如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．    (1)求圆心的轨迹的方程； (2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值． 题型07：周长最值 【典型例题】点为椭圆的右焦点，在椭圆上运动，点，则周长的最大值为_________ 【答案】 【详解】由椭圆方程知：，，，则右焦点，左焦点， 由椭圆定义知：，， 当三点共线，如下图所示时，取得最大值， ， ， 即周长的最大值为. 故答案为：. 【变式训练7-1】椭圆的左、右焦点分别为、，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则周长的最大值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 题型08：弦长公式与面积最值问题 弦长公式 一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， （1）若此时AB直线方程为： 则AB＝ （2）若AB直线方程为： 则AB＝ 面积处理策略 (1)底：高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高) (2)水平宽·铅锤高或 【典型例题1】是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理可得，换元，利用对勾函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 设直线， 联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， 则， 可得， 则面积， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值. 【答案】(1)，(2)1 【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解，即可得椭圆的方程； （2）设，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，即可得的表达式，利用函数性质求最值即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由椭圆过点，离心率 所以，解得， 所以椭圆的方程为： （2）设，则，得， ，得，所以， 所以， 点到直线的距离 所以的面积 当时，的面积取到最大值1. 【变式训练8-1】平面中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为.设点为，过原点的直线交椭圆于、两点，则面积的最大值为 . 【变式训练8-2】已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值． 【变式训练8-3】已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 题型09：椭圆上点到直线距离最值 两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为，用点到直线的距离公式 法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式，求出切线，再求两直线间距离 【典型例题1】已知P是椭圆上动点，则P点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆的参数方程，结合点到直线的距离公式及三角函数的性质可求得结果. 【详解】将椭圆化为参数方程为（为参数）， 设，则P点到直线的距离为 ， 当时，取得最小值 【典型例题2】已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆上的点为，结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解. 【详解】设椭圆上的点为， 则点到直线的距离为，其中， 由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 【典型例题3】曲线上点到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】求曲线的切线方程，利用平行线的距离公式求所得直线与已知直线的距离，即可知最小距离. 【详解】令与相切，联立整理可得， 所以，可得， 当，此时与的距离， 当，此时与的距离， 所以曲线到直线距离的最小值为. 【典型例题4】在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为 . 【答案】 【分析】设椭圆切线，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值. 【详解】令与椭圆相切，消去x整理得：， 所以，可得，显然与椭圆无交点， 当，切线为，与距离为； 当，切线为，与距离为； 所以点P到直线的距离d的最小值为. 【变式训练9-1】点在椭圆上，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】若点在椭圆上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练9-5】已知椭圆与直线相切，则的取值范围是_____________ 【变式训练9-6】长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 【变式训练9-7】若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 【变式训练9-8】已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 . 【变式训练9-9】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________. 【变式训练9-10】如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且． (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程； (2)求点M到直线距离的最大值. 【变式训练9-11】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 【变式训练9-12】已知椭圆E：的焦距为，且经过点． （1）求椭圆E的标准方程： （2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 【变式训练9-13】动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 题型10：椭圆有关向量积最值问题 类型一：通过极化恒等式转换成单线段最值问题 极化恒等式：在三角形ABC中（M为BC的中点），则 A B C M 证明（基底法）：因为，所以 类型二：设点，利用坐标表示数量积 【典型例题1】已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】求出焦点坐标，设出（），利用向量的数量积的坐标表示和椭圆方程表达出，结合的取值范围，得到的取值范围. 【详解】由，，解得：，所以，不妨令，，因为P是椭圆E上任一设点，设（），则，即，其中，因为，所以，，所以的取值范围是. 故答案为： 【典型例题2】已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（       ） A．[8，12] B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围 【详解】 由，得，则， 圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2， 因为 ， 因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点， 所以，即， 所以，所以， 所以的取值范围为， 故选：C 【典型例题3】已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（       ） A．10 B．9 C．8 D．2 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算求出，根据向量数量积基底模式求出， 再用两点间的距离公式及点在椭圆上即可求解. 【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，所以，而，因为， 所以当时取得最大值3，所以的最大值为. 故选:C． 【典型例题4】在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求． 【详解】解：由题意得． 设椭圆上一点，则， ，又， 当时，取得最小值． 故选：C． 【典型例题5】（多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（       ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率 C．△的周长为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的方程，求出，，，判断A，B，C的正误，对于D，设出，表示出的解析式，求出其范围，判断正误即可. 【详解】椭圆， ， 椭圆的长轴长为，故A正确， 椭圆的离心率，故B错误， 的周长为：，故C正确， 设，则，且， 故， 又，则， 故， 故的取值范围是，故D正确， 故选：ACD. 【变式训练10-1】设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练10-2】已知椭圆的左右焦点,,点在椭圆上,是椭圆上的动点,则的最大值为 A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练10-4】已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（       ） A．[8，12] B． C． D． 【变式训练10-6】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 题型11：距离和最值 【典型例题1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以在椭圆的内部，设椭圆右焦点为，易得，则，由椭圆定义可知：，所以，因为，所以. 故选：D. 【典型例题2】已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，为曲线的左焦点， 由于满足，故点N在椭圆内部， 设C的右焦点为 ，连接 ， 由于M为曲线C上的动点，则 ， 从而， 因为, 当 共线，且N在线段上时取等号(如图)， 故的最小值为， 故选：C. 【变式训练11-1】已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 【变式训练11-3】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【变式训练11-4】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式训练11-5】已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 题型12：距离差最值 【典型例题1】已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【答案】C 【详解】依题意可知，对于椭圆，， 对于圆，圆心为，半径， 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义有， 根据圆的几何性质有， 当且仅当是线段与圆交点时等号成立， 所以， 其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立， 所以， 此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点. 故选：C 【典型例题2】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的左焦点为，则 求的最小值即求的最小值，圆的半径为圆心为 所以的最小值为 所以的最小值为 故选：D. 【变式训练12-1】已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）则等于（    ） A．4 B．2 C． D． 19．点在椭圆：上，的右焦点为，点在圆：上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【变式训练12-4】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 题型13：距离商最值 【典型例题】椭圆的焦点为，点在上，当最大时，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，且直线与轴的交点为， 作过点与，且与直线相切的圆，设切点为，如图， 由图可知，，当且仅当与切点重合等号成立， 所以，当与切点重合时，满足最大， 此时圆心在轴上，设，则圆的半径， 又（弦切角定理）， 所以，， 所以，＝＝ ＝＝＝. 故选：A. 【变式训练13-1】已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞) 2．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（ ） A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11 3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ） A．2 B． C．3 D． 4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆方程为，是上､下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（ ） A．9 B．3 C． D． 7．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（ ） A．16 B．9 C．7 D．25 8．已知三个顶点都在曲线上，且（其中O为坐标原点），分别为的中点，若直线的斜率存在且分别为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知点在椭圆上，过点分别作斜率为-2，2的直线，与直线，分别交于，两点.若，则实数的取值可能为（ ） A． B．1 C．2 D．3 11．已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（ ） A． B． C． D． 12．（多选）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ） A．的最大值大于3 B．的最大值为4 C．的最大值为60° D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或 13．已知直线：与椭圆：相交于、两点，若椭圆上存在点，使得，则实数的取值范围是_________. 14．设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，那么的周长的取值范围为__________． 15．己知椭圆，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则点M的纵坐标的最大值为__________． 16．已知椭圆的左､右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点. （1）若直线与的斜率之积为，求椭圆C的离心率； （2）若，证明直线的斜率k满足大于． 17．椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1． （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围； 18．已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆的左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆． （1）求椭圆的方程； （2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值． 19．已知直线与椭圆交于、两点，且在直线 的上方（如图所示）. （1）求常数的取值范围；（2）若的面积最大，求直线的斜率的大小． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 椭圆的最值问题 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 3 题型归纳 4 求椭圆的最值和取值范围的常用方法 4 题型01：利用椭圆定义求最值 4 题型02：利用函数思想求范围或最值 9 题型03：利用不等式思想求范围或最值 11 题型04：利用数形集合思想求范围或最值 16 题型05：利用焦半径范围求最值 17 题型06：用向量求椭圆最值 21 椭圆的最值和取值范围的常用方法归纳 28 题型01：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 28 题型02：点和椭圆上点的最值 29 题型03：圆与椭圆上点点距离最值 34 题型04：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 39 题型05：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 41 题型06：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 44 题型07：周长最值 53 题型08：弦长公式与面积最值问题 54 题型09：椭圆上点到直线距离最值 60 题型10：椭圆有关向量积最值问题 75 题型11：距离和最值 82 题型12：距离差最值 86 题型13：距离商最值 91 巩固提升 93 1. 地 位：高考解析几何压轴小题/解答题第二问常考，属于拉分题，难度中偏难。 2. 考查形式 ①求：距离、面积、角度、斜率、弦长、向量数量积等的最值/范围 ②条件：点在椭圆上、直线与椭圆相交、焦点三角形、定点定值结合 3. 命题特点 ①重函数思想与几何转化 ②轻死算，重换元、判别式、均值不等式、三角换元 1. 会把几何最值转化为函数/不等式问题。 2. 掌握椭圆最值4种通用方法：参数方程、二次函数、判别式、均值不等式。 3. 能在5分钟内搞定一道椭圆最值小题。 4. 解答题能写出规范步骤：设元→列式→求范围→验证。 方法点拨 一、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求最值或取值范围. (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． 二、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： （1）几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； （2）代数法：常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 三、椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．要理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量之间的内在联系． (2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边．在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系． 一．通用解题步骤（考场直接套） 1. 设：设点/设直线/设参数θ 2. 代：代入椭圆方程，消元 3. 构：构造目标函数（距离/面积/斜率/向量等） 4. 求：用函数/三角/不等式求最值 5. 验：检验范围与取等条件 二．高频题型一句话口诀 1.点在椭圆上求距离 → 参数方程最快 2.直线与椭圆求面积 → 弦长×高 / 行列式 3.求斜率/比值范围 → 判别式+不等式 4.焦点三角形最值 → 用定义+不等式 注意 1. 参数方程法（万能首选）：把所有问题变成三角函数最值，再用辅助角公式/单调性求解。适用：距离、面积、斜率、向量数量积。 2. 二次函数法（代数通法） 3. 判别式法（求切线/边界最值）：适用：直线与椭圆相切、距离极值。 4. 均值不等式 / 基本不等式 求椭圆的最值和取值范围的常用方法 题型01：利用椭圆定义求最值 此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决 【典型例题1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【答案】B 【解析】利用椭圆的定义求解. 如图所示： ， 故选：B 【典型例题2】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为(2)最大值为，最小值为 【解析】 (1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． (1) 由椭圆可知，，， 则，， 则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； (2) ，，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 【变式训练1-1】已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值． 解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为， 则由椭圆定义， 于是. 当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是， 而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有， 在第三象限交点时有. 显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为 . 故选：A. 【变式训练1-2】动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 【答案】B 【解析】 【分析】 求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短. 【详解】 设动点 的坐标为 ，则 整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ， ，如下图所示，当经过点时，最短，此时 故选：B 【变式训练1-3】（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，则可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得的取值范围，即可得出合适的选项. 在椭圆中，，，，则、，如下图所示： 设直线交椭圆于点、，且， 由椭圆定义可得，则，故， 当点与点重合时，此时取得最小值，即， 当点与点重合时，此时取得最大值，即. 因此，的取值范围是. 故选：ABC. 【变式训练1-4】已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为__，最小值为__. 【答案】          【解析】设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，由椭圆定义，结合当在直线与椭圆交点上时和当在直线与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解. 【详解】 设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内， 则由椭圆定义， 当在直线与椭圆交点上时，在轴的上方时，，取得最小值，最小值为：； 当在直线与椭圆交点，在轴的下方时，有最大值， 其最大值为. 故答案为：，. 【变式训练1-5】已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】 结合椭圆的定义求得正确答案. 【详解】 依题意，椭圆方程为，所以， 所以是椭圆的右焦点，设左焦点为， 根据椭圆的定义可知， ， 所以的最大值为. 故答案为： 题型02：利用函数思想求范围或最值 【典型例题1】如图，已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围（ ） A．[-1，1] B． C． D．(-1，0) 【答案】B 【分析】看问题：求点G横坐标的取值范围（属于范围问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想 看条件：过椭圆的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G， 定措施：先求直线的垂直平分线的方程，再令，求出点G的横坐标（用表示），故从函数思想的角度考虑，后求函数的值域，即可得点横坐标的取值范围． 【详解】设直线的方程为，代入，整理得． 直线过椭圆的左焦点，方程有两个不等实根．记，，，，中点，， 则，，的垂直平分线的方程为． 令，得．，， 点横坐标的取值范围为． 【点睛】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去（或，得到（或的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等． 【典型例题2】已知点是椭圆上任一点，那点到直线：的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程可设，利用点到直线距离公式表示出距离，由三角函数的性质可求出最值. 【详解】由椭圆方程可设，则点到直线的距离，则当时，取得最小值为. 【变式训练2-1】椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则有，由在椭圆上可得，又即可求直线斜率的取值范围. 【详解】由题意知：设，而，， ∴，，则，而，∴，又，故.故选：A 【变式训练2-2】已知曲线，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C.记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为.求的最小值. 【答案】 【分析】看问题：求的最小值.（属于最值问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想 看条件：直线与曲线交于A，D两点，记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为. 定措施：把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式可求，从而求出；利用直 角梯形的面积公式可求，求出（用表示），故从函数思想的角度考虑，后求函数的 值域，即可得的最小值. 【详解】由，得，当直线过椭圆的左右顶点时，， 因为直线与曲线有两个交点，所以，即，设， 则，，所以， 又原点到直线的距离为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，所以的最小值为. 题型03：利用不等式思想求范围或最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 【典型例题1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（       ）． A．13 B．12 C．25 D．16 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果. 【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：， （当且仅当时取等号），的最大值为. 【典型例题2】已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　 A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【解答】解：对于函数，且的图象，令，求得，， 可得它的图象恒过定点． 因为点在椭圆，，上，则， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9 【典型例题3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号. 【详解】根据椭圆的定义可知，，即， 因为，， 所以 【变式训练3-1】已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得的范围，及，从而可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点， 所以， 且，则， 则， 因为，所以， 所以， 即. 【巩固练习3】设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 【变式训练3-2】已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可． 【详解】设，则，，，    由，得，则，有， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以椭圆长轴长的最小值是. 【变式训练3-3】椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】看问题：求点P的横坐标的取值范围（属于范围问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想 看条件：点P为椭圆上一动点，F1、F2为该椭圆的两焦点，∠F1PF2为钝角， 由此可得或 定措施：由已知得或，代入点的坐标可求得的不等式，故可用不等式思想求得求点P的横坐标的取值范围。 【详解】设，由题意可得,因为是钝角，所以， 所以，所以，所以，得， 所以，故选：C 【变式训练3-4】已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围． 【答案】. 【分析】由椭圆的定义，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】由题可知，， 因为， ∴时，有最大值，或时，有最小值， 即的取值范围为. 【变式训练3-5】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据已知条件结合椭圆定义求出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】设，，根据椭圆定义得 ， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为. 题型04：利用数形集合思想求范围或最值 【典型例题1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足，，则|MN|的最大值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先由，，判断出M、N分别落在以A、B为圆心的圆上，借助于几何关系分析得到，当直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M、N时，|MN|最大，利用几何关系求最值. 【详解】设PF1、PF2的中点分别为A、B，则AB∥F1F2.∵，，∴，， ∴M、N分别落在以A、B为圆心的圆上，如图示： 则直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M、N时，|MN|最大， 此时= 6. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 【变式训练4-1】椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________. 【答案】 【分析】设椭圆的右焦点为，根据题意可得到，并且当且仅当三点共线时等号成立，，由此可求出的长，进而可求的面积. 【详解】 设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长，此时， 所以此时的面积为. 【变式训练4-2】设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________. 【答案】 【分析】由题意知，，则；由三角形的三边关系可知，从而可求出，由椭圆的定义知，，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆定义可知，且，则，因为，所以，所以，所以，故的方程为. 题型05：利用焦半径范围求最值 【典型例题1】平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上， ， 则可得的最小值为，最大值为， 的取值范围是. 故选：A. 【典型例题2】已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（       ） A．（0，） B．（0，2） C．（l，2） D．（，2） 【答案】A 【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果. 【详解】如下图，延长、相交于点，连接， 因为， 因为为的角平分线，所以，，则点为的中点， 因为为的中点，所以，， 设点，由已知可得，，， 则且，且有， ， 故， 所以，. 故选：A. 【典型例题3】在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据椭圆定义，将设代入得， 根据椭圆的几何性质，，故，即 ，故，即，又，故该椭圆离心率的取值范围是． 【变式训练5-1】已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 【答案】详见解析. 【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证. 【详解】由，可得， ∴，又， ∴， 即. 【变式训练5-2】已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】 如图，直线与直线相交于点N， 由于PM是的平分线，且，即PM⊥， 所以三角形是等腰三角形， 所以，点M为中点， 因为O为的中点， 所以OM是三角形的中位线， 所以， 其中， 因为P与的四个顶点不重合，设，则， 则， 所以，又， 所以， ∴的取值范围是. 故选：D. 【变式训练5-3】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】[1,3] 【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围. 【详解】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是. 故答案为：. 【变式训练5-4】已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____. 【答案】 【分析】设点，可得出，其中，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】设点，则，可得，其中， ， 当且仅当时，取得最大值. 故答案为：. 【变式训练5-5】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意知 ，所以，解得，所以为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以 ，因的最小值为，所以 题型06：用向量求椭圆最值 【典型例题1】（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【解析】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 【典型例题2】已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，求出，当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立方程可得，满足题意时，应用平面向量数量积公式及韦达定理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【解析】（1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以，， ， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 【变式训练6-1】（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5] 【答案】AC 【解析】因为，则三点共线，周长是定值，A对． ，B错． ∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则 解得或，，，，C对． 令 消x可得， 时， 时，∴，D错． 故选：AC. 【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B，在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，则的最大值为_______________； 【答案】3 【解析】由椭圆的左，右焦点分别为，， 设，因为，可得， 整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点点坐标为. 设P点坐标为，则可得Q点坐标为， 由， 当时，取最大值，最大值为. 故答案为：3 【变式训练6-3】已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点. (1)求的离心率； (2)已知； （i）证明：点在轴的异侧； （ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，2 【分析】（1）直接根据椭圆中的关系和离心率公式求解； （2）（i）由，则，根据坐标运算可证； （ii）要使最小，此时，，根据等号成立的条件可得点坐标，再结合向量坐标运算可解的值. 【解析】（1）由题设，. 则，即，且，即. 则的离心率为. （2）（i）由（1）可得，设. 则. 由，得，即0. 故必存在一点在第一象限，另一点在第四象限，即点在轴的异侧. （ii）记的面积为，点到的距离为，则. 要使最小，则必须使与同时达到最小值. 显然当运动至的右顶点时最小，此时， 而， 当且仅当或时取等号，最小值为. 此时. 且， 故，解得.    【变式训练6-4】已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）把点代入椭圆得，再结合以及椭圆的性质，可解出的值，再结合离心率的取值范围，即可算出椭圆方程； （2）当直线的斜率存在时，可设出直线方程为，联立椭圆的标准方程，由根的判别式可得，然后由韦达定理整理出，再结合即可得出；再讨论当直线的斜率不存在时，直线为，易得，综合两种情况即可得到答案. 【解析】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 椭圆最值和取值范围的常见题型归纳 题型01：利用点与椭圆的位置关系求参数取值范围 【典型例题】若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点与椭圆的位置关系即可求解. 【解析】，所以 故选：B. 【变式训练1-1】已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【解析】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 3.已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____. 【答案】 【分析】利用点与椭圆的位置关系即可求解. 【解析】因为点P(k，1)在椭圆=1外， 所以>1， 解得k<或k>， 故实数k取值范围为. 故答案为： 题型02：点和椭圆上点的最值 例：点A为椭圆上的动点，点，求最大值 法一：构造二次函数模型求最值（最优） 步骤一：设点： 步骤二：写出两点距离公式： 步骤三：把点坐标代入椭圆方程得出x²与y²的关系，再代入消元 ，代入得，此时根号内是一个关于的二次函数，且 步骤四：通过二次函数单调性和定义域求最值 （注意定义域） 法二：利用椭圆的参数方程构造三角函数模型 对于椭圆，它的参数方程为 大致步骤：利用两点距离公式表示 【典型例题1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以 【典型例题2】已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，. 所以当时，的最小值为. 故选D. 【典型例题3】已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，先根据两点距离公式结合二次函数求解，然后利用圆的性质求得最值. 【详解】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故.    【典型例题4】已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为1，则a的值为___________． 【答案】2或4 【详解】解：设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)， 则， 当时，有.∴当时，， 得 (舍)， 当时，有， 当且仅当x＝3时， ， 故a＝2或a＝4， 综上得a＝2或4. 故答案为：2或4. 【变式训练2-1】设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案. 【详解】，设，则，所以， ， 因为，所以当时，有最大值为. 故选：B.    【变式训练2-2】已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为， 设点，则，且有， 所以，. 故选：A. 【变式训练2-3】已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，得到，利用椭圆的范围求解. 【详解】解：设， 则， ， ， 因为， 所以，即， 故选：B 【变式训练2-4】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________. 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及两点间的距离公式，即可求解. 【详解】根据题意，易知，设，则，即， 故， 因为，所以当时，. 故答案为：. 【变式训练2-5】设椭圆的的焦点为是C上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的最小值和最大值． 【答案】(1)；(2)最小值为2，最大值为4. 【分析】(1)由给定条件求出半焦距c，再由的周长列出方程再经计算即得； (2)设出点P的坐标，求出关于的函数关系及的范围，求得函数最值即可. 【详解】(1)显然椭圆的焦点在x轴上，直线交x轴于点，于是得椭圆的焦点，即半焦距， 而的周长为，则有，解得，， 所以椭圆的标准方程为； (2)设椭圆上的点，于是有，即，， 令坐标原点为O，则O是线段F1F2的中点，于是得， 因此，当时，，当或时，， 所以的最小值为2，最大值为4. 题型03：圆与椭圆上点点距离最值 【典型例题1】已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依据题意，圆心记为，半径，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，在椭圆上，则有，且 ，当时，有最小值.的最小值为. 故选：B 【典型例题2】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆的圆心为，则， 设则 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：B. 【变式训练3-1】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则，得， 圆的圆心，半径为， 则 ， 令，对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：D 【变式训练3-2】点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用二次函数的基本性质可求得点到圆心的最大距离，结合圆的几何性质可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点，则且， ，当且仅当时，等号成立， 所以，. 故选：C. 【变式训练3-3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　 A．2 B． C． D． 【解答】解：设圆的圆心为，则， 设，则， 椭圆， ， ，，， 令， 在，单调递减，单调递增， 在时最小，即最小值为， ，． 2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】 【解析】由题意知 ，所以，解得，所以椭圆的方程为，设，因为，且，所以又因，所以， 所以因为，所以当时，的最大值为 【变式训练3-4】（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（       ） A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为 C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】 AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断. 【详解】 解：因为椭圆方程为：， 所以，故A错误，B正确； 由，得， 因为， 所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部， 所以圆在椭圆内部，故C正确； 设， 则， 当时，取得最小值，则的最小值为，故D错误， 故选：BC 【变式训练3-5】（多选）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确，设椭圆上一点，求得，求得和，进而可判定C正确，D不正确. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率为，所以A不正确，B正确； 又由圆，可得圆心，半径为， 设椭圆上任意一点， 则， 令，可得图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，所以C正确，D不正确. 【变式训练3-6】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】，要求的最大值，需先求的最大值，设出，代两点间的距离公式即可求出的最大值，进而求解. 【详解】如图，设点在圆上，设，而, 则， 故, 此时， 又因为， 所以的最大值是.    故答案为：. 题型04：利用直线与椭圆的位置关系求参数取值范围 【典型例题1】已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可. 【解析】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①， 因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得. 故选：B． 【典型例题2】椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，则m的值为_______. 【答案】. 【分析】联立方程组，根据直线与椭圆相切，结合，列出方程，即可求解. 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得，可得， 解得. 所以的值为. 故答案为: 【变式训练4-1】已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【解析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 【变式训练4-2】直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 【解析】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 【变式训练4-3】已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】由已知条件可得、，直线的斜率为， 直线的方程为， 当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行， 故设该直线的方程为， 联立，整理，得. 由，得，解得， 分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为， 则点到直线的距离. 又，所以，所以， 所以、分别为椭圆的左､右焦点， 所以， 则， 当且仅当时取等号. 因此，的最小值为. 故答案为：. 题型05：利用椭圆中弦长求参数（值）范围 【典型例题1】（多选）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答. 【解析】依题意，椭圆的左焦点为，设， 对于A，轴，直线，由得：，则，A正确； 对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得： ，则，， ， 显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即，于是得， 因此，D正确. 故选：ABD 【典型例题2】斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线y＝x＋t与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【解析】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C. 【变式训练5-1】已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点,若直线被椭圆截得的线段长为，则的值____________． 【答案】 【分析】设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【解析】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 故答案为: 【变式训练5-2】动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，得， 整理得M的轨迹C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时； 当直线l的斜率存在时，设方程为，，， 联立方程，消y得， 恒成立，故， 则，， 所以， 法一：令，，则， 可得， 当，即，时，取得最大值3； 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为； 法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为. 题型06：利用椭圆中弦长探求最值与范围问题 【典型例题1】（多选）已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C; 根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D. 【解析】因为，，所以，所以，故A正确; 因为，所以，故B错误; 设 因为与椭圆交于，两点， 所以， 两式相减得， 即，即， 因为，所以，故C正确; 设直线, 由得, 因为直线与圆相交,所以,解得, 根据韦达定理得 , 点到直线的距离, 所以, 因为， 当且仅当时，取最大值，故D正确. 故选：ACD 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）结合焦距及椭圆的定义由条件列的方程，解方程求，代入椭圆方程可得结论； （2）在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． （2）设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 【典型例题3】已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的离心率可得结果. （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面积，分析函数性质可得结果. 【解析】（1） 由椭圆的定义得，的周长为 ，故. 由离心率得，∴， ∴椭圆C的方程为. （2） 设， 由得，， 由得，， ∴， ∴ ， ∵点到直线的距离为， ∴的面积， 令，则 ∵二次函数对称轴为直线， ∴当时，， ∴. 【变式训练6-1】已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知圆，则， 又线段的垂直平分线交于点，所以， 则， 所以动点到定点，的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且，，即，， 椭圆方程为； （2）设直线与椭圆的交点为，， 联立直线与椭圆，得， 即， 且，， 则， 又点到直线的距离， 则的面积， 设，则，， 又函数在上单调递增， 即当，即时，取得最小值为， 此时取得最大值为. 【变式训练6-2】已知椭圆，短轴的一个端点到右焦点的距离为，半焦距. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由椭圆方程，，则短轴的端点为，，右焦点为， 由短轴的一个端点到右焦点的距离为， 可得，解得， 所以，椭圆方程为. （2）当直线的斜率不存在时，不妨设， 将代入椭圆方程可得， 解得，此时，的面积为； 当直线的斜率存在时，设方程为，，， 由题意可得，， 联立可得，消去可得， 由， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，的面积最大值为； 综上所述，面积的最大值为. 【变式训练6-3】已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的方程； (2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2)4 【分析】（1）根据三角形的面积及内切圆的半径列出方程组求得得椭圆方程； （2）设直线的方程与椭圆方程联立，，写出直线的方程求出的坐标，并求出， ，将表示为的函数，使用基本不等式求最大值. 【解析】（1）由题意知，则， 又， 则， 又， 解得， 所以椭圆的方程为.    （2）设直线的方程为 联立方程组，可得， 则，直线的方程：，所以，同理， ，， ， 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4． 【变式训练6-4】如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．    (1)求圆心的轨迹的方程； (2)若、是曲线上的两点，是曲线C上位于直线两侧的动点．若直线的斜率为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设动圆与两个已知圆的切点分别为，根据椭圆的定义可得点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，求出可得答案； （2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程，由得的范围，利用韦达定理得四边形的面积可得答案； 【解析】（1）如图，设动圆与两个已知圆的切点分别为，由，， 所以点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，所以， 所以点的轨迹方程为：；   （2）设，，直线的方程为，代入中， 整理得，，解得，，，      四边形的面积， 当时，，所以四边形面积的最大值为； 题型07：周长最值 【典型例题】点为椭圆的右焦点，在椭圆上运动，点，则周长的最大值为_________ 【答案】 【详解】由椭圆方程知：，，，则右焦点，左焦点， 由椭圆定义知：，， 当三点共线，如下图所示时，取得最大值， ， ， 即周长的最大值为. 故答案为：. 【变式训练7-1】椭圆的左、右焦点分别为、，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则周长的最大值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【详解】 由题意，椭圆，其中，， 由于点B为椭圆的上顶点，故， 周长为， 其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号， ， 即，故周长最大值为12. 故选：C 题型08：弦长公式与面积最值问题 弦长公式 一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， （1）若此时AB直线方程为： 则AB＝ （2）若AB直线方程为： 则AB＝ 面积处理策略 (1)底：高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高) (2)水平宽·铅锤高或 【典型例题1】是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理可得，换元，利用对勾函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 设直线， 联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， 则， 可得， 则面积， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值. 【答案】(1)，(2)1 【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解，即可得椭圆的方程； （2）设，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，即可得的表达式，利用函数性质求最值即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由椭圆过点，离心率 所以，解得， 所以椭圆的方程为： （2）设，则，得， ，得，所以， 所以， 点到直线的距离 所以的面积 当时，的面积取到最大值1. 【变式训练8-1】平面中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为.设点为，过原点的直线交椭圆于、两点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意求椭圆方程，分类讨论直线斜率，利用三角形面积公式结合最值的求法即可得解. 【详解】因为左焦点为，右顶点为， 所以，可得 所以椭圆的标准方程为 当直线垂直于轴时，，因此，的面积 当直线不垂直于轴时，设直线方程为. 由 解得 所以，又点到直线的距离， 所以的面积, 要求的最大值，故， 当时，，当且仅当， 即等号成立，所以， 可得，当等号成立. 所以的最大值是. 【变式训练8-2】已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值． 【答案】(1),(2) 【分析】（1）根据题意可得出，，再利用的关系求出，进而求解； （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且椭圆长轴长为，所以，，则，所以椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,， 联立，得， ， 所以，即或， 则， 故， 点到直线的距离，所以的面积， 设，则， 故，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为 【变式训练8-3】已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入方程得，结合离心率公式可得，可得椭圆方程. （2）应用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离，基本不等式即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，得①， ，，即②， 由①②联立解得，则椭圆方程为 （2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ， 则， 点到直线的距离为， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即，即时等号成立，故面积的最大值为. 题型09：椭圆上点到直线距离最值 两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为，用点到直线的距离公式 法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式，求出切线，再求两直线间距离 【典型例题1】已知P是椭圆上动点，则P点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆的参数方程，结合点到直线的距离公式及三角函数的性质可求得结果. 【详解】将椭圆化为参数方程为（为参数）， 设，则P点到直线的距离为 ， 当时，取得最小值 【典型例题2】已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆上的点为，结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解. 【详解】设椭圆上的点为， 则点到直线的距离为，其中， 由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 【典型例题3】曲线上点到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】求曲线的切线方程，利用平行线的距离公式求所得直线与已知直线的距离，即可知最小距离. 【详解】令与相切，联立整理可得， 所以，可得， 当，此时与的距离， 当，此时与的距离， 所以曲线到直线距离的最小值为. 【典型例题4】在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为 . 【答案】 【分析】设椭圆切线，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值. 【详解】令与椭圆相切，消去x整理得：， 所以，可得，显然与椭圆无交点， 当，切线为，与距离为； 当，切线为，与距离为； 所以点P到直线的距离d的最小值为. 【变式训练9-1】点在椭圆上，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点在椭圆上，∴令，， ，， 则当时，可取得最大值为， 故选：B 【变式训练9-2】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，设， 设点到直线：的距离， 所以有， 其中， 所以当时，有最小值， 故选：C 【变式训练9-3】若点在椭圆上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知椭圆的方程为， 求的最小值即求点到点斜率的最小值， 设过点和点的直线方程为， 联立， 知当时直线斜率取最小值， ， 故当时，斜率取最小值， 即的最小值为. 故选：D. 【变式训练9-4】已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【解析】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 【变式训练9-5】已知椭圆与直线相切，则的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【解析】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 故答案为： 【变式训练9-6】长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】首先分别设三点的坐标，即，，，再根据坐标间的关系，，即可求解；利用数形结合，转化为平行线间的距离，即可求解. 【详解】设，， 由题意可知，，即， 又由，得，化简为； 如图，向椭圆平移直线，设平移直线为， 当直线与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最近； 联立，得， 此时，得，由图可知，正的舍去， 直线与之间的距离， 即点到直线的距离的最小值为. 【变式训练9-7】若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 【答案】 【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，联立方程组得，利用判别式求，从而利用平行线的距离公式得到答案. 【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得，消去，整理得， 由，即，解得. 当时，直线与直线的距离； 当时，直线与直线的距离. 由可知符合题意. 将代入，即，可解得， 将代入可得，则点的坐标为，此时距离的最大值为. 【变式训练9-8】已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意先求出直线关于原点的对称直线，然后利用几何知识得，设，在利用点到直线的距离公式，从而可求解. 【详解】直线关于原点的对称直线为，记直线与直线的交点为，连结，，如图， 为的中位线，则， 设， ，或， 当时，与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，舍去. 当时，符合要求，此时，，椭圆离心率. 故答案为：. 【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为___________. 【答案】12 【分析】对椭圆进行三角换元，进而代入所求式子，再利用放缩法进行化简，最后通过辅助角公式结合三角函数的性质求得答案. 【详解】由题意，设，则 ，当且仅当时取“=”. 故答案为：12. 【变式训练9-9】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________. 【答案】18. 【分析】由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值. 【解析】由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. 设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.    联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 故答案为:18 【变式训练9-10】如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且． (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程； (2)求点M到直线距离的最大值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设点， 根据题意得到，代入即可求解； （2）设平行于直线且与相切的直线，联立方程组，根据与C相切时，求得，得到的方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. （1）解：设点， 由，可得，即，又因为点在圆上，代入可得，整理得，即点M的轨迹方程. （2）解：设平行于直线且与相切的直线，联立方程组，整理得，当与C相切时，则满足，解得，即，所以的方程为或，所以点M到直线距离的最大值. 【变式训练9-11】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）18. 【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. (2)设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值. 联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式训练9-12】已知椭圆E：的焦距为，且经过点． （1）求椭圆E的标准方程： （2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 【答案】（1） ；（2）2 【分析】（1）由待定系数法求解析式； （2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值. 【解析】（1）由题意得，所以，即椭圆方程为； （2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：， 由，得． ，，. 不妨设在x轴上方，则在x轴下方． 椭圆在x轴上方对应方程为，， 则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得. 同理可得B处的切线方程为． 由得， 代入①得，所以． 因为，所以 设，则，则， 当且仅当，即时，的最大值是2． 另解：当直线l的斜率存在时，设l：， 由得， 所以，，， 椭圆在x轴上方的部分方程为，， 则过的切线方程为， 即， 同理可得过的切线方程为. 由得 设，则， 所以直线l的方程为，所以. ， 令，则，所以， 当时，即时，取得最大值，为2 【变式训练9-13】动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出的定点坐标，表示出，由基本不等式得出结果. 【解析】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，， 因为与，都内切， 所以，， 所以， 又，，故， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的方程为：， 则，，所以， 故的方程为：. （2）设，，， 由题意中的性质可得，切线方程为， 切线方程为， 因为两条切线都经过点，所以，， 故直线的方程为：，显然当时，， 故直线经过定点. 设直线的方程为：， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，所以直线的方程为， 令得， ， 所以直线经过定点，又， 所以 ， 所以，当且仅当时，即时取等号. 题型10：椭圆有关向量积最值问题 类型一：通过极化恒等式转换成单线段最值问题 极化恒等式：在三角形ABC中（M为BC的中点），则 A B C M 证明（基底法）：因为，所以 类型二：设点，利用坐标表示数量积 【典型例题1】已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】求出焦点坐标，设出（），利用向量的数量积的坐标表示和椭圆方程表达出，结合的取值范围，得到的取值范围. 【详解】由，，解得：，所以，不妨令，，因为P是椭圆E上任一设点，设（），则，即，其中，因为，所以，，所以的取值范围是. 故答案为： 【典型例题2】已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（       ） A．[8，12] B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围 【详解】 由，得，则， 圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2， 因为 ， 因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点， 所以，即， 所以，所以， 所以的取值范围为， 故选：C 【典型例题3】已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（       ） A．10 B．9 C．8 D．2 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算求出，根据向量数量积基底模式求出， 再用两点间的距离公式及点在椭圆上即可求解. 【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，所以，而，因为， 所以当时取得最大值3，所以的最大值为. 故选:C． 【典型例题4】在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求． 【详解】解：由题意得． 设椭圆上一点，则， ，又， 当时，取得最小值． 故选：C． 【典型例题5】（多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（       ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率 C．△的周长为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的方程，求出，，，判断A，B，C的正误，对于D，设出，表示出的解析式，求出其范围，判断正误即可. 【详解】椭圆， ， 椭圆的长轴长为，故A正确， 椭圆的离心率，故B错误， 的周长为：，故C正确， 设，则，且， 故， 又，则， 故， 故的取值范围是，故D正确， 故选：ACD. 【变式训练10-1】设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】根据对称性，可设点，,则的面积为，则当面积最大时，即最大，此时为上顶点时，即时最大.此时.又，则、. 则，. 故选：B 【变式训练10-2】已知椭圆的左右焦点,,点在椭圆上,是椭圆上的动点,则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 因为点在椭圆上， 所以，联立，可解得， 所以椭圆方程为， 由题意得， 因为P是椭圆上的动点，设， 由椭圆的参数方程可得（为参数）， 所以， 又因为 则， ， 所以 ，其中， 所以当时，取得最大值为， 故选：B. 【变式训练10-3】已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设，由可知，， ，， ， ，时，的最小值为，解得. 当时，的最大值为. 故选：D 【变式训练10-4】已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（       ） A．[8，12] B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围 【详解】由，得，则， 圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2， 因为 ， 因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点， 所以，即， 所以，所以， 所以的取值范围为 【变式训练10-5】已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得. 【详解】由题可得，， 设，因为点P在线段AB上， 所以， ∴， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 【变式训练10-6】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，根据得到，联立方程组解出点坐标，再设点坐标为，将直线与直线联立解得点坐标，由结合二次函数得性质即可求解. 【详解】由椭圆得左，右焦点分别为，，    设， 因为，所以，整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点A点坐标为， 设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为， 将，代入解得直线方程为， 再将直线与直线联立解得点坐标为， 所以， 当时，取最大值，最大值为 题型11：距离和最值 【典型例题1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以在椭圆的内部，设椭圆右焦点为，易得，则，由椭圆定义可知：，所以，因为，所以. 故选：D. 【典型例题2】已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，为曲线的左焦点， 由于满足，故点N在椭圆内部， 设C的右焦点为 ，连接 ， 由于M为曲线C上的动点，则 ， 从而， 因为, 当 共线，且N在线段上时取等号(如图)， 故的最小值为， 故选：C. 【变式训练11-1】已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点为椭圆的右焦点， ， 点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外， 设椭圆的左焦点为， ， ， ，当点在的延长线上时取等号， ， 则的最大值为． 故选：． 【变式训练11-2】动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 【答案】B 【分析】求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短. 【详解】设动点 的坐标为 ，则 整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ， ，如下图所示，当经过点时，最短，此时 【变式训练11-3】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示： ， 故选：B 【变式训练11-4】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 【变式训练11-5】已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【答案】10 【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【详解】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 题型12：距离差最值 【典型例题1】已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【答案】C 【详解】依题意可知，对于椭圆，， 对于圆，圆心为，半径， 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义有， 根据圆的几何性质有， 当且仅当是线段与圆交点时等号成立， 所以， 其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立， 所以， 此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点. 故选：C 【典型例题2】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的左焦点为，则 求的最小值即求的最小值，圆的半径为圆心为 所以的最小值为 所以的最小值为 故选：D. 【变式训练12-1】已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）则等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】延长交的延长线于点,作图如下： 因为为的角平分线，且， 所以， 所以， 因为分别为的中点， 所以为的中位线， 所以， 所以. 故选：A 19．点在椭圆：上，的右焦点为，点在圆：上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得圆：， 所以圆心为，半径为2. 设椭圆的左焦点为，则， 故要求的最小值，即求的最小值， 圆的半径为2， 所以的最小值等于， ∴的最小值为， 故选：D. 【变式训练12-2】设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 【变式训练12-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则，的最小值为 【变式训练12-4】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【详解】(1)由椭圆可知，，， 则，， 则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； (2)，，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 题型13：距离商最值 【典型例题】椭圆的焦点为，点在上，当最大时，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，且直线与轴的交点为， 作过点与，且与直线相切的圆，设切点为，如图， 由图可知，，当且仅当与切点重合等号成立， 所以，当与切点重合时，满足最大， 此时圆心在轴上，设，则圆的半径， 又（弦切角定理）， 所以，， 所以，＝＝ ＝＝＝. 故选：A. 【变式训练13-1】已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的左焦点为, 当l：时，，， 所以， 设与椭圆联立，可得： ， 由韦达定理得：， 取中点为， 所以的中垂线方程为： ， 令 ，得， 所以， 又， 所以， 综上所述， 故选：B. 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞) 【答案】D 【解析】由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<≤1且m≠5，解得m≥1且m≠5. 2．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（ ） A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11 【答案】C 【分析】两圆的圆心是椭圆的焦点，，的最大值与最小值是到圆心的距离加上半径、减去半径，结合椭圆定义可得． 【详解】由题意椭圆的焦点分别是，恰好是已知两圆圆心，两圆半径都是1，，，，，， ∴，．故选：C． 3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径最短，可知当垂直于轴时，最短，把的最小值代入中，再由的最大值为12，列方程可求出m的值 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，由可知，， 因为过的直线交椭圆于两点，所以，所以， 所以当垂直于轴时，最短，此时最大，当时，，得， 所以 的最小值为，因为的最大值为12，所以，解得或（舍去）， 4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果. 【详解】如下图，延长、相交于点，连接， 因为，则，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有， ， 故，所以，.故选：C. 5．设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，可得出，可得出，构造函数，问题转化为函数在区间上的最大值为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围. 【详解】设点，则，可得， ，因为的最大值为，则关于的二次函数在上的最大值为.因为，则二次函数的图象开口向下. ①当时，即当时，函数在上单调递减，则，合乎题意； ②当时，即当时，函数， 解得（舍去）.综上所述，.故选：A. 6．已知椭圆方程为，是上､下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（ ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，求出，由椭圆定义可得，再由展开利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得，椭圆焦点在轴上，且当为左右顶点时，取最大值为120°， 则，又，则，，又为椭圆焦点，则， 则， 当且仅当时等号成立，则的最小值为.故选：D. 7．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（ ） A．16 B．9 C．7 D．25 【答案】D 【分析】设，根据标准方程求得，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆，所以. 设， 则, 又.∴. 故.所以的最大值与最小值的和为.故选：D. 【点睛】解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值. 8．已知三个顶点都在曲线上，且（其中O为坐标原点），分别为的中点，若直线的斜率存在且分别为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量线性运算可得，知关于原点对称，得到；根据在曲线上可得到，利用基本不等式可得，代入即可求得结果. 【详解】由得：，即， 关于原点对称，又分别为中点，，，，， 设，，则，又，两式作差得：，即， （当且仅当时取等号），的取值范围为. 【点睛】本题考查椭圆内接三角形相关问题的求解，解题关键是能够根据平行关系将转化为，从而根据对称关系和基本不等式确定所求的取值范围. 9．已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、的值，可得出椭圆的方程，设点，可得出，利用两点间的距离公式结合可得出，由可求得的取值范围. 【详解】由已知条件可得，，则，椭圆的方程为.设，则，因为，所以， 所以. 因为，因为，所以. ①当时，即当时，可得，此时； ②当时，即当时，可得，而，故，解得. 综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 10．已知点在椭圆上，过点分别作斜率为-2，2的直线，与直线，分别交于，两点.若，则实数的取值可能为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】设出，，三点的坐标→利用四边形为平行四边形构造方程→将转化为关于点坐标的关系式→的最大值→的范围. 【详解】设，，，则，，由题得四边形为平行四边形，所以，故故. 因为，所以，故实数的取值范围为，故选:CD. 【点睛】本题主要考查椭圆的性质，借助于点在曲线山化简表达式，利用函数的思想解决最值或者范围问题，重点考查学生分析问题解决问题的能力. 11．已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由得，分别写出直线和的方程，由M到两直线的距离相等列式，整理可得m关于的关系式，求得m的取值范围，即可得出结果. 【详解】由椭圆方程可得，由可得，则直线的方程为，即，直线的方程为， 即，在的平分线上， ①，， ，则①式可化为，即， 又，，结合选项可得m的可能取值为1，0，.故选：ACD. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是利用角平分线上的点到两直线距离相等列式求出m关于的关系式，得出m的范围求解. 12．（多选）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ） A．的最大值大于3 B．的最大值为4 C．的最大值为60° D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或 【答案】BCD 【分析】由椭圆，可得，，，左、右焦点分别为，． 对于A，，即可判断出正误；对于B，由，即可判断出正误． 对于C，当点取短轴的一个端点时，取得最大值，取，则，求出即可判断出正误．对于D，设，，，，，由，可得，即，又，代入即可判断出正误． 【详解】由椭圆方程得，因此．选项A中，，A错误； 选项B中，，当且仅当时取等号，B正确； 选项C中，当点为短轴的端点时，取得最大值，取，则， 的最大值为60°，C正确；选项D中，设． ，，即或．又由题意知， 或，化简得或，D正确．故选：BCD． 13．已知直线：与椭圆：相交于、两点，若椭圆上存在点，使得，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】将直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理及向量运算可求解． 【详解】设中点为，，则，，所以，代入椭圆方程：，将直线方程，代入椭圆方程得：，所以，解得，且，所以，故．故答案为：． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 14．设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，那么的周长的取值范围为__________． 【答案】 【分析】设左焦点为，结合椭圆定义可将的周长转化为，设出直线AB方程，与抛物线联立，表示出的长即可求得取值范围. 【详解】设左焦点为，则易得四边形为平行四边形，则的周长为，由题可得直线斜率不为0，则可设直线为， 联立方程可得，设， 则，，，，则，故的周长的取值范围为. 15．己知椭圆，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则点M的纵坐标的最大值为__________． 【答案】 【分析】当直线的斜率为0时，可得线段AB的中点M的纵坐标为0，当当直线的斜率不为0时，设过的直线为，然后将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，显然当时，，再利用基本不等式求解即可 【详解】当直线的斜率为0时，此时直线为，此时线段AB的中点M的纵坐标为0；当直线的斜率不为0时，设过的直线为，设，由，得，则，所以线段AB的中点M的纵坐标为，当时，M的纵坐标为0， 当时，，当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，当时，，综上，的最大值为， 16．已知椭圆的左､右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点. （1）若直线与的斜率之积为，求椭圆C的离心率； （2）若，证明直线的斜率k满足大于． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）设点的坐标为，，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率； （2）直线的方程为，设点的坐标为，，代入椭圆方程，再由，运用两点的距离公式，化简整理，再由二次不等式的解法，即可得证． 【详解】 解：（1）设点的坐标为，．由题意，有①，由，，得，．由，可得，代入①并整理得．由于，故，于是，所以椭圆的离心率； （2）证明：依题意，直线的方程为，设点的坐标为，．由条件得， 消去并整理得②，由，及，得． 整理得．而，于是，代入②，整理得． 由，故，即，因此，所以． 17．椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1． （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）把代入椭圆方程得，进而可得，再由以及求出的值即可求解； （2）设，，由角平分线以及正弦定理可得，再根据，即可得的取值范围. 【详解】（1）把代入椭圆方程得，解得，因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1，所以，又，联立得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）如图所示，设，，在中，由正弦定理可得 在 中，由正弦定理可得，因为，，两式相除可得， 又，消去得到，化为，因为，即， 也即，解得：，所以的取值范围为． 18．已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆的左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆． （1）求椭圆的方程； （2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计算出即可； (2)设的方程，和，联立椭圆方程并消元得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理得到，进而求出和，根据平行线间的距离公式可得与的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可. 【详解】（1）设点，，则点，，， ∵，∴，∴，∵点在椭圆上， ∴，即为点的轨迹方程．又∵点的轨迹是过的圆， ∴，解得，所以椭圆的方程为． （2）由题意，可设的方程为，联立方程，得． 设，，则，且， 所以，同理，又与的距离为，所以，四边形的面积为，令，则，且，当且仅当，即时等号成立． 所以，四边形的面积最大值为． 19．已知直线与椭圆交于、两点，且在直线 的上方（如图所示）. （1）求常数的取值范围；（2）若的面积最大，求直线的斜率的大小． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，由结合点在直线上可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）设点、，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式求出的面积的最大值，求出的值，进一步求出点的坐标，即可得出直线的斜率. 【详解】（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得（*）， 由题意可得，解得，因为点在直线的上方，则，解得，综上所述，实数的取值范围为； （2）设点、，由韦达定理可得，， ，，点到直线的距离为，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，方程（*）为，由图可知，则，，即点，故直线的斜率为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $