第02讲 动点轨迹的求法讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何核心考点“动点轨迹的求法”，覆盖直线、圆、椭圆等4类高频轨迹，按“考情定位-知识要点-题型归纳-巩固提升”逻辑架构，系统梳理直接法、定义法等6种求法的适用场景与步骤，通过“建系设点-翻译条件-选法化简-检验范围”四步流程，帮助学生突破几何条件代数化难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义融合“数学思维”与“数学语言”，创新“八字诀”解题策略，如定义法快速判断轨迹形状秒解小题，直接法规范步骤稳解大题。设置分层训练强化易错点，培养学生逻辑推理与模型建构能力，为教师提供精准复习节奏指导，助力学生高效突破解析几何高频考点。

第02讲 动点轨迹的求法 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 7 题型01：直接法 7 题型02：定义法 11 题型03：相关点法 14 题型04：点差法 17 题型05：交轨法 20 题型06：参数法 25 巩固提升 26 一、考情定位 1. 必考/高频考点：常在解析几何小题、解答题第1问出现，是求方程、范围、最值的基础。 2. 难度：中档为主，易与圆、椭圆、双曲线、抛物线结合。 3. 分值：选择填空 5 分；解答题里占关键步骤分。 4. 核心思想：几何条件→代数方程（坐标化）。 二、高考常考4类轨迹 1. 直线：距离差/和为定值、垂直、角平分线、中垂线等。 2. 圆：到定点距离定长、直径所对圆周角、阿波罗尼斯圆。 3. 椭圆：到两定点距离和为定值（>焦距）。 4. 双曲线：到两定点距离差的绝对值为定值。 5. 抛物线：到定点与定直线距离相等。 四、高考高频陷阱（必避） 1. 范围问题：轨迹不是整条曲线，是一段/一部分（要写定义域）。 2. 去杂点：分母不为0、根号下非负、三角形三点不共线等。 3. 定义条件： ①椭圆：距离和 > || ②双曲线：距离差绝对值 < || 且不为0 4. 结果要写成标准形式/整式方程。 一、知识目标 1. 理解动点轨迹的本质：满足一定几何条件的点的集合。 2. 熟记并区分圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线的定义与判定条件。 3. 掌握5种常用求法的适用场景与基本步骤： ①直接法 ②定义法 ③相关点法（代入法） ④参数法 ⑤交轨法 二、能力目标 1. 能快速审题，判断几何条件适合哪种轨迹求法。 2. 会把几何关系转化为代数方程，规范化简、整理。 3. 能处理轨迹范围、去杂点、特殊点检验，避免漏解、错解。 4. 能在解析几何大题中，独立完成第一问轨迹方程求解，拿满分。 三、思想方法目标 1. 树立数形结合思想：用坐标把几何问题代数化。 2. 强化转化与化归思想：复杂条件→简单等式。 3. 培养分类讨论、严谨求范围的数学思维。 四、应试目标 1. 选择填空题：快速判断轨迹形状，用定义法秒解。 2. 解答题：步骤规范、书写工整，轨迹方程不丢分。 3. 做到：会做必对、对必快、快不乱。 知识点一：曲线方程 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 知识点二：动点轨迹的求法 1.直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质. 2.代入法（相关点法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可把点的坐标用点的坐标表示出来，然后代入已知曲线的方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法） “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 S1设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； S2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 S3代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．. 3.定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. (1)椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 (2)双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 (3)抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. (4)角分线的定义 到角的两边距离相等的所有点的轨迹 （5）中垂线 到线段两端点距离相等的点的轨迹 （6)圆的定义 到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的轨迹 4.点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. 5.交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 6.参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 对求动点P轨迹方程步骤的几点说明 （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 五、考场解题策略 一、总体解题思路（八字诀）：先定型，再定法，后化简，验范围 二、四步通用解题流程 1. 建系设点：建立合适坐标系，设动点 P(x,y)。 2. 翻译条件：把题目几何条件（距离、垂直、平行、角度、比例、向量等）写成等式/不等式。 3. 选法化简：用对应方法把等式化成 x,y 的方程，整理成标准形式。 4. 检验范围：去掉不满足题意的点、线段、射线、孤立点。 三、5种方法·考场选择策略 1. 直接法（最稳、最通用） ①看到：距离、垂直、平行、斜率、角度、向量关系 ②策略：直接列等式 → 化简 → 得方程 ③适用：大题第一问稳拿分 2. 定义法（最快、秒小题） ①看到：到两定点和/差为定值、到定点与定直线距离相等 ②策略：先判断是不是圆/椭圆/双曲线/抛物线 ③适用：选择填空快速出答案 3. 相关点法（代入法） ① 看到：一个点跟着已知曲线上的点运动 ②策略： 设 P(x,y)，已知点 Q(,) 找关系 → 用 x,y 表示, → 代入已知曲线 ③适用：点随点动、中点、对称点 4. 参数法 ①看到：旋转、角度、斜率、时间、动点在直线/圆上转动 ②策略：设参数（θ,k,t）→ 写 x=f(t),y=g(t) → 消参 ③适用：轨迹是曲线段、带角度的运动 5. 交轨法 ①看到：两条动直线的交点轨迹 ②策略：联立两条动直线方程 → 消去参数 → 得轨迹 ③适用：动直线相交、动弦中点、动切线交点 四、避坑策略（必看） 1. 轨迹≠整条曲线，多数是一段，一定要写范围。 2. 三角形、线段、射线要排除共线、重合点。 3. 化简时不随便平方、不随便除，防止丢解增解。 4. 最后一步：代回原题条件检验。 题型01：直接法 【典型例题1】与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设动点，由，即，整理可得. 【典型例题2】设圆外切，又与轴相切的圆的圆心的估计方程是（ ） A. B. 和 C. D. 和 【答案】D 【解析】 设动圆圆心为，动圆半径为，定圆圆心为，半径，由题意得，又，所以，故，化简可得.当时，，当时，. 【典型例题3】已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设，因为，所以， 又因为直线与直线的斜率之积为，所以， 整理得. 故选：C. 【典型例题4】已知点，两点，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设点，，，， 则，，， 则，即 【典型例题5】动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 【典型例题6】在平面直角坐标系中，，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________. 【答案】 【解析】 设，由题意可得， 整理得，故动点的运动轨迹方程为， 如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部， 所以， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：； 【典型例题7】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 设，则， 化简得，即， 故答案为： 【变式训练1-1】若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1-6】已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为________． 【变式训练1-7】一个动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为___________. 【变式训练1-8】设，分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为_________. 【变式训练1-9】已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【变式训练1-10】在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【变式训练1-11】在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【变式训练1-12】已知曲线是动点到两定点，距离之比为的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）求过点，且与曲线相切的直线方程. 【变式训练1-13】已知，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）在直线上求一点，使过点能作轨迹的两条互相垂直的切线. 【变式训练1-14】已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离之比均为. （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作两条相异直线分别于曲线相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段长的最大值. 【变式训练1-15】如图，已知点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.    【变式训练1-16】已知两条直线，，求到这两条直线距离相等的所有的点组成的轨迹方程. 题型02：定义法 【典型例题1】已在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由定义可知点的轨迹是半径为的圆在第四象限内的部分，所以 【典型例题2】平面内有两定点，，且，动点满足，则点的轨迹是（ ） A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线 【答案】C 【解析】 以的中点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，则，， 设动点，则，所以. 【典型例题3】已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D. 【典型例题4】5.已知，，，以为焦点的椭圆过、两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，，， 所以，，， 因为 都在椭圆上， 所以，， 故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支， 又，，即，，所以， 因此的轨迹方程是（）. 故选：A. 【典型例题5】在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 【典型例题6】已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 【变式训练2-1】设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【变式训练2-5】求下列动圆的圆心的轨迹方程： （1）与圆和圆都内切； （2）与圆内切，且与圆外切； 【变式训练2-6】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，过原点作，使，垂足为点，求点的轨迹方程． 题型03：相关点法 【典型例题1】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如下图所示：    不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入方程可得， 整理得. 故选：D 【典型例题2】已知圆，直线过点.线段的端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，， 由点是的中点，得，可得， 又点在圆上运动，所以， 将上式代入可得，， 化简整理得点的轨迹方程为：. 故选：B 【典型例题3】设动点是曲线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设点，，则，，易知，即，即，又，所以，即. 【典型例题4】已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 【变式训练3-1】已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【变式训练3-3】已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式训练3-4】设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】设圆的圆心为，点在圆上，则的中点的轨迹方程是______. 【变式训练3-7】已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【变式训练3-8】椭圆上有动点，点，分别是椭圆的左、右焦点，求的重心的轨迹方程. 【变式训练3-9】在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 【变式训练3-10】已知圆，点，点在圆上移动，且动点满足，求动点的轨迹方程. 【变式训练3-11】过原点作圆的弦. （1）求弦中点的轨迹方程； （2）延长到，使，求点的轨迹方程. 题型04：点差法 【典型例题1】设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设弦的中点为，弦的两个端点分别为，， 则，，作差可得，且，， 由弦过点，则， 化简可得，即，即. 【典型例题2】已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题可知为中点的弦所在的直线斜率存在且不为，设直线方程为，与椭圆方程联立，消去得，设直线与椭圆交点坐标为，，因为抛物线中点坐标为，所以，由一元二次方程根与系数关系得，解得，所以，所以，故选：C. 【典型例题3】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，线段的中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设双曲线方程，，，将代入双曲线方程，整理得，由一元二次方程根与系数关系得，则，又，所以，，所以双曲线的方程是，故选B. 【典型例题4】过点作抛物线的弦，恰被点平分，则弦所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 方法一：设，，则有，两式做差得，因为是弦的中点，所以，，代入得，即，所以直线的斜率， 所以所求弦所在直线的方程为，即. 方法二：设弦所在直线的方程为，由，消去得，此方程的两根就是，两点的纵坐标，由一元二次方程根与系数关系和中点坐标公式，得，又，所以，所以所求弦所在直线的方程为. 【典型例题5】已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交动点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设，因为，所以，化简得，即为动点的轨迹方程； （2）设，，当直线轴时，直线的方程为，则，，此时线段的中点不是点，不符合题意. 故设直线的方程为，将，代入得，两式相减并化简得，所以，所以直线的方程为，即. 【变式训练4-1】已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点关于轴对称，若直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【变式训练4-2】已知抛物线的焦点，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【变式训练4-3】已知椭圆的离心率，点在该椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 【变式训练4-4】已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 【变式训练4-5】已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值. 【变式训练4-6】已知双曲线的方程为. （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程； （2）过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于，两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【变式训练4-7】已知直线与双曲线交于，两点. （1）若以线段为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （2）是否存在这样的实数，使，两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 题型05：交轨法 【典型例题1】已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（    ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为：，设， 则由，可得， 消去可得． 本题选择A选项. 【典型例题2】两动直线与的交点轨迹是（    ）. A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．圆的一部分 【答案】A 【分析】令，，则 ,由于过定点，过定点，令与的交点为，利用轨迹法可求得点的轨迹方程，进而得出结果. 【详解】令，则，， 所以， 过定点，过定点，令与的交点为， 则，，所以 整理得，因为、存在，所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：A. 【典型例题3】已知点、以及直线，设长为的线段在直线上移动（如图所示），求直线和的交点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 如图所示，∵点A、B在直线上，设点A、B、M的坐标分别为，，，其中． 当时，由、、三点共线， 得，解出a，得①， 由、、三点共线， 得，解出b，得．② 由条件，得．∴．③， 由①、②、③式得． 整理得①．④， 当时，两直线和的交点M与点或点重合，得点P和点Q的坐标都满足方程④． 总之，④式就是点M的轨迹方程． ④式可改写成． ∴轨迹的图形是双曲线，它的中心是点，焦点在直线上． 【典型例题4】如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交，的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设点，先证明椭圆在点处的切线方程为． 联立，可得，， 故椭圆在点处的切线方程为． 设点，再证圆在点处的切线方程为． 当直线的斜率存在且不为零时，，圆在点处的切线斜率为， ∴圆在点处的切线方程为，即， 当直线的斜率不存在且为零时，在点处的切线满足上式. 设点，则圆在点处的切线方程为， 设点，则， ∴点、的坐标满足方程， 故直线的方程为， 由于直线与直线重合， 即直线与直线重合， ∴，即， 由于点在椭圆上，则，即， 因此，点的轨迹方程为． 得， 又在曲线上，即， 代入可得. 【典型例题5】设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（除点，外）． 【解析】 根据题意，设， ∵， ∴ ∴，（），两式相乘得① ∵， ∴，代入①得， ∴，即，（） 经检验点不满足，不合题意， ∴点的轨迹方程为（除点外）． 【变式训练5-1】已知点是直线与的交点，则到直线距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【变式训练5-2】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为________. 【变式训练5-4】如图，已知曲线的动弦垂直交轴于点，曲线与轴的交点，，试探求与交点的轨迹方程. 【变式训练5-5】两动直线与的交点的轨迹方程． 【变式训练5-6】如图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状． 【变式训练5-7】已知抛物线，过顶点的两弦，互相垂直，求以，为直径的两圆的另一交点的轨迹方程． 【变式训练5-8】已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且． (1)求直线与的交点N的轨迹M的方程； 题型06:参数法 【典型例题1】平面直角坐标系中曲线上任意一点 ，均满足 （为参数），求曲线的方程. 【答案】 【解析】 由，则，所以. 【典型例题2】在直角坐标系中，曲线上任意一点均满足（为参数），点为曲线上一点，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程. 【答案】 【解析】 由，即， 可得， 设点，，且， 又，即， 所以，即. 【变式训练6-1】已知定点和抛物线，若过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，求线段的中点的轨迹方程． 【变式训练6-2】已知抛物线，定点，为抛物线上任意一点，在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程． 【变式训练6-3】当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 一、单选题 1．已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．两条互相垂直的直线 7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 9．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 10．动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 11．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 12．已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 13．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 14．已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 15．已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 16．已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 17．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 18．在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 19．已知的方程是的方程是，动点到和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是 ． 20．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 动点轨迹的求法 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 7 题型01：直接法 7 题型02：定义法 16 题型03：相关点法 22 题型04：点差法 29 题型05：交轨法 36 题型06：参数法 44 巩固提升 46 一、考情定位 1. 必考/高频考点：常在解析几何小题、解答题第1问出现，是求方程、范围、最值的基础。 2. 难度：中档为主，易与圆、椭圆、双曲线、抛物线结合。 3. 分值：选择填空 5 分；解答题里占关键步骤分。 4. 核心思想：几何条件→代数方程（坐标化）。 二、高考常考4类轨迹 1. 直线：距离差/和为定值、垂直、角平分线、中垂线等。 2. 圆：到定点距离定长、直径所对圆周角、阿波罗尼斯圆。 3. 椭圆：到两定点距离和为定值（>焦距）。 4. 双曲线：到两定点距离差的绝对值为定值。 5. 抛物线：到定点与定直线距离相等。 四、高考高频陷阱（必避） 1. 范围问题：轨迹不是整条曲线，是一段/一部分（要写定义域）。 2. 去杂点：分母不为0、根号下非负、三角形三点不共线等。 3. 定义条件： ①椭圆：距离和 > || ②双曲线：距离差绝对值 < || 且不为0 4. 结果要写成标准形式/整式方程。 一、知识目标 1. 理解动点轨迹的本质：满足一定几何条件的点的集合。 2. 熟记并区分圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线的定义与判定条件。 3. 掌握5种常用求法的适用场景与基本步骤： ①直接法 ②定义法 ③相关点法（代入法） ④参数法 ⑤交轨法 二、能力目标 1. 能快速审题，判断几何条件适合哪种轨迹求法。 2. 会把几何关系转化为代数方程，规范化简、整理。 3. 能处理轨迹范围、去杂点、特殊点检验，避免漏解、错解。 4. 能在解析几何大题中，独立完成第一问轨迹方程求解，拿满分。 三、思想方法目标 1. 树立数形结合思想：用坐标把几何问题代数化。 2. 强化转化与化归思想：复杂条件→简单等式。 3. 培养分类讨论、严谨求范围的数学思维。 四、应试目标 1. 选择填空题：快速判断轨迹形状，用定义法秒解。 2. 解答题：步骤规范、书写工整，轨迹方程不丢分。 3. 做到：会做必对、对必快、快不乱。 知识点一：曲线方程 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 知识点二：动点轨迹的求法 1.直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质. 2.代入法（相关点法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可把点的坐标用点的坐标表示出来，然后代入已知曲线的方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法） “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 S1设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； S2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 S3代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．. 3.定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. (1)椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 (2)双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 (3)抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. (4)角分线的定义 到角的两边距离相等的所有点的轨迹 （5）中垂线 到线段两端点距离相等的点的轨迹 （6)圆的定义 到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的轨迹 4.点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. 5.交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 6.参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 对求动点P轨迹方程步骤的几点说明 （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 五、考场解题策略 一、总体解题思路（八字诀）：先定型，再定法，后化简，验范围 二、四步通用解题流程 1. 建系设点：建立合适坐标系，设动点 P(x,y)。 2. 翻译条件：把题目几何条件（距离、垂直、平行、角度、比例、向量等）写成等式/不等式。 3. 选法化简：用对应方法把等式化成 x,y 的方程，整理成标准形式。 4. 检验范围：去掉不满足题意的点、线段、射线、孤立点。 三、5种方法·考场选择策略 1. 直接法（最稳、最通用） ①看到：距离、垂直、平行、斜率、角度、向量关系 ②策略：直接列等式 → 化简 → 得方程 ③适用：大题第一问稳拿分 2. 定义法（最快、秒小题） ①看到：到两定点和/差为定值、到定点与定直线距离相等 ②策略：先判断是不是圆/椭圆/双曲线/抛物线 ③适用：选择填空快速出答案 3. 相关点法（代入法） ① 看到：一个点跟着已知曲线上的点运动 ②策略： 设 P(x,y)，已知点 Q(,) 找关系 → 用 x,y 表示, → 代入已知曲线 ③适用：点随点动、中点、对称点 4. 参数法 ①看到：旋转、角度、斜率、时间、动点在直线/圆上转动 ②策略：设参数（θ,k,t）→ 写 x=f(t),y=g(t) → 消参 ③适用：轨迹是曲线段、带角度的运动 5. 交轨法 ①看到：两条动直线的交点轨迹 ②策略：联立两条动直线方程 → 消去参数 → 得轨迹 ③适用：动直线相交、动弦中点、动切线交点 四、避坑策略（必看） 1. 轨迹≠整条曲线，多数是一段，一定要写范围。 2. 三角形、线段、射线要排除共线、重合点。 3. 化简时不随便平方、不随便除，防止丢解增解。 4. 最后一步：代回原题条件检验。 题型01：直接法 【典型例题1】与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设动点，由，即，整理可得. 【典型例题2】设圆外切，又与轴相切的圆的圆心的估计方程是（ ） A. B. 和 C. D. 和 【答案】D 【解析】 设动圆圆心为，动圆半径为，定圆圆心为，半径，由题意得，又，所以，故，化简可得.当时，，当时，. 【典型例题3】已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设，因为，所以， 又因为直线与直线的斜率之积为，所以， 整理得. 故选：C. 【典型例题4】已知点，两点，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设点，，，， 则，，， 则，即 【典型例题5】动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 【典型例题6】在平面直角坐标系中，，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________. 【答案】 【解析】 设，由题意可得， 整理得，故动点的运动轨迹方程为， 如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部， 所以， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：； 【典型例题7】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 设，则， 化简得，即， 故答案为： 【变式训练1-1】若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示： 圆的圆心为，圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以的中点满足直线方程，解得， 过点的圆与轴相切，设圆心的坐标为， 所以，解得：. 故选：C． 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B． 【变式训练1-3】已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 【变式训练1-4】已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 【变式训练1-5】如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 【变式训练1-6】已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为________． 【答案】（或除去点，） 【解析】 设底边的另一个端点的坐标为，则， 化简可得， 因为三点构成三角形，所以三点不共线且不重合， 当三点共线时，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以点的轨迹方程为或除去点. 故答案为：或除去点. 【变式训练1-7】一个动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 设动点，则动点到直线的距离为，到点的距离为， 则，即. 【变式训练1-8】设，分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为_________. 【答案】 【解析】 设，，， 则的中点，所以，， 又， 即. 【变式训练1-9】已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式训练1-10】在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式训练1-11】在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 【变式训练1-12】已知曲线是动点到两定点，距离之比为的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）求过点，且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 （1）设点，由及两点间的距离公式， 得，平方整理可得； （2）由（1）可得，其圆心为，半径为， 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为， 则，解得，此时切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足于圆相切. 【变式训练1-13】已知，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）在直线上求一点，使过点能作轨迹的两条互相垂直的切线. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设点，由，得，即； （2）设点，设切线与圆相切于，两点，由题意可知四边形为正方形，且， 所以，解得，即 【变式训练1-14】已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离之比均为. （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作两条相异直线分别于曲线相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段长的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设曲线上的任意一点为，由题意得，整理可得； （2）由题意可知，直线，的斜率均存在，且互为相反数， 因为点，故可设直线的方程为， 由，消去得， 因为在圆上，所以一定是该方程的解， 所以，同理. 所以， 所以直线的斜率为定值，设直线的方程为， 则圆的圆心到直线的距离， 所以， 所以当时，. 【变式训练1-15】如图，已知点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.    【答案】 【解析】 设点P的坐标为， 由点A，B的坐标可得直线AP，BP的斜率分别为，. 由已知得， 化简得点P的轨迹方程为. 【变式训练1-16】已知两条直线，，求到这两条直线距离相等的所有的点组成的轨迹方程. 【答案】或 【解析】 直线方程整理为，， 设满足条件的点坐标为， 则根据题意得： 即有或，即或． 故所求轨迹方程为：或． 题型02：定义法 【典型例题1】已在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由定义可知点的轨迹是半径为的圆在第四象限内的部分，所以 【典型例题2】平面内有两定点，，且，动点满足，则点的轨迹是（ ） A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线 【答案】C 【解析】 以的中点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，则，， 设动点，则，所以. 【典型例题3】已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D. 【典型例题4】5.已知，，，以为焦点的椭圆过、两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，，， 所以，，， 因为 都在椭圆上， 所以，， 故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支， 又，，即，，所以， 因此的轨迹方程是（）. 故选：A. 【典型例题5】在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 【典型例题6】已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 【变式训练2-1】设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由椭圆的定义即可求得答案； 【详解】由题意可得，即表示点到的距离和为4， 且，则点的轨迹为以为焦点的椭圆， 则， 可得点的轨迹的方程为， 故选：C. 【变式训练2-2】已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 【变式训练2-3】已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【变式训练2-4】已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: .    【变式训练2-5】求下列动圆的圆心的轨迹方程： （1）与圆和圆都内切； （2）与圆内切，且与圆外切； 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    【变式训练2-6】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，过原点作，使，垂足为点，求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 依题意， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，则其圆心为，半径为， 故可得点的轨迹方程为    题型03：相关点法 【典型例题1】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如下图所示：    不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入方程可得， 整理得. 故选：D 【典型例题2】已知圆，直线过点.线段的端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，， 由点是的中点，得，可得， 又点在圆上运动，所以， 将上式代入可得，， 化简整理得点的轨迹方程为：. 故选：B 【典型例题3】设动点是曲线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设点，，则，，易知，即，即，又，所以，即. 【典型例题4】已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 【变式训练3-1】已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解. 【详解】设的中点为， 因为，则， 因为点P在曲线上， 所以将代入曲线， 则，即， 所以的中点的轨迹方程是. 故选：C. 【变式训练3-2】动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设连线的中点为，因为动点与定点连线的中点为， 所以，即， 又点在圆上，即， 即，即. 【变式训练3-3】已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式训练3-4】设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 【变式训练3-5】已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，根据可得，代入即可求解. 【详解】设，，则， 所以，， 因为，所以，所以， 因为在圆上，所以， 所以，即， 因为点是圆上异于，的动点，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：. 【变式训练3-6】设圆的圆心为，点在圆上，则的中点的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】 圆可化为， 则，设，P（x0，y0），所以 整理得,即， 将点代入圆的方程得， 即为. 故答案为：. 【变式训练3-7】已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设点的坐标，点的坐标为， 又， 所以，， ，， ， ， ， 点在抛物线上，，， 整理得， 所以点的轨迹方程为． 【变式训练3-8】椭圆上有动点，点，分别是椭圆的左、右焦点，求的重心的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设点P，M的坐标分别为，， ∵在已知椭圆的方程中，，， ∴， 则已知椭圆的两焦点为，. ∵存在，∴. 由三角形重心坐标公式有即 ∵，∴. ∵点P在椭圆上，∴， ∴， 故的重心M的轨迹方程为. 【变式训练3-9】在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 【答案】 【解析】 设，线段的中点， 因为为线段的中点，， ， ，即，得. 所以点的轨迹方程是． 【变式训练3-10】已知圆，点，点在圆上移动，且动点满足，求动点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设动点，，，， 由，所以，即， 又点在圆上，即 所以， 即 【变式训练3-11】过原点作圆的弦. （1）求弦中点的轨迹方程； （2）延长到，使，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设点，则点，因为点的坐标满足， 所以，即； （2）设点，则点，所以， 即，所以点的轨迹方程为. 题型04：点差法 【典型例题1】设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设弦的中点为，弦的两个端点分别为，， 则，，作差可得，且，， 由弦过点，则， 化简可得，即，即. 【典型例题2】已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题可知为中点的弦所在的直线斜率存在且不为，设直线方程为，与椭圆方程联立，消去得，设直线与椭圆交点坐标为，，因为抛物线中点坐标为，所以，由一元二次方程根与系数关系得，解得，所以，所以，故选：C. 【典型例题3】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，线段的中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设双曲线方程，，，将代入双曲线方程，整理得，由一元二次方程根与系数关系得，则，又，所以，，所以双曲线的方程是，故选B. 【典型例题4】过点作抛物线的弦，恰被点平分，则弦所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 方法一：设，，则有，两式做差得，因为是弦的中点，所以，，代入得，即，所以直线的斜率， 所以所求弦所在直线的方程为，即. 方法二：设弦所在直线的方程为，由，消去得，此方程的两根就是，两点的纵坐标，由一元二次方程根与系数关系和中点坐标公式，得，又，所以，所以所求弦所在直线的方程为. 【典型例题5】已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交动点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设，因为，所以，化简得，即为动点的轨迹方程； （2）设，，当直线轴时，直线的方程为，则，，此时线段的中点不是点，不符合题意. 故设直线的方程为，将，代入得，两式相减并化简得，所以，所以直线的方程为，即. 【变式训练4-1】已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点关于轴对称，若直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 抛物线的焦点为，设，，，则可设直线的方程为，联立方程，得，，则，，直线的斜率，故直线的斜率为，故选C. 【变式训练4-2】已知抛物线的焦点，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由抛物线的准线方程为，由抛物线的定义及题意可知，解得，所以抛物线的方程为. （2）方法一：由（1）得抛物线的方程为，焦点，设，两点的坐标分别为，，，则，两式相减，整理得 ，因为线段中点的纵坐标为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即； 方法二：由（1）得抛物线的方程为，焦点，由题意知直线得斜率不为零，故可设直线的方程为，联立，消去，整理得，，设，，，因为线段中点的纵坐标为，，解得，所以直线的方程为，即. 【变式训练4-3】已知椭圆的离心率，点在该椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题意知，即，，将点代入椭圆的方程，可得，所以，，所以，，所以椭圆的标准方程为 （2）设，是椭圆上关于直线，且恒过定点，则，因为点，在椭圆上，所以，，所以，化简可得，即，所以，又因为的中点在上，所以，所以，由，得，所以或，解得，或，即的取值范围是. 【变式训练4-4】已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）由双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线的方程为，代入，可得，所以双曲线的标准方程为； （2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为，设是先的中点，设，，则，，因为点，在双曲线上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即，两式相减得，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即，联立直线与双曲线方程得，消去得，显然，所以直线与双曲线无交点，所有直线不存在，故不存在被点平分的弦. 【变式训练4-5】已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题意得，所以，所以，即，所以所求双曲线的渐近线方程为； （2）由（1）得当时，，双曲线的方程为，设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，由得，所以，，又因为点在圆上，所以，所以. 【变式训练4-6】已知双曲线的方程为. （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程； （2）过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于，两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）因为点在双曲线内，所以过点的直线一定与双曲线有两个交点，设以为中点的弦的两端点为，，则有，，根据双曲线的对称性知，由点，在双曲线上，得，，两式相减得，所以，所以，即以为中点的弦所在直线的斜率，故所求中点弦所在直线的方程为，即； （2）假定直线存在，采用（1）的方法求出直线的方程为，即，由，消去得，，无实根，因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在. 【变式训练4-7】已知直线与双曲线交于，两点. （1）若以线段为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （2）是否存在这样的实数，使，两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）由消去得，依题意，解得，且，设，，则，因为以线段为直径的圆过原点，所以，即，因为，所以，所以，解得； （2）假设存在实数，使，两点关于直线对称，则直线与垂直，所以，所以直线的方程为，将代入得，所以线段的中点的横坐标为，纵坐标为，因为线段的中点不在直线上，不存在实数，使，两点关于直线对称. 题型05：交轨法 【典型例题1】已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（    ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为：，设， 则由，可得， 消去可得． 本题选择A选项. 【典型例题2】两动直线与的交点轨迹是（    ）. A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．圆的一部分 【答案】A 【分析】令，，则 ,由于过定点，过定点，令与的交点为，利用轨迹法可求得点的轨迹方程，进而得出结果. 【详解】令，则，， 所以， 过定点，过定点，令与的交点为， 则，，所以 整理得，因为、存在，所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：A. 【典型例题3】已知点、以及直线，设长为的线段在直线上移动（如图所示），求直线和的交点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 如图所示，∵点A、B在直线上，设点A、B、M的坐标分别为，，，其中． 当时，由、、三点共线， 得，解出a，得①， 由、、三点共线， 得，解出b，得．② 由条件，得．∴．③， 由①、②、③式得． 整理得①．④， 当时，两直线和的交点M与点或点重合，得点P和点Q的坐标都满足方程④． 总之，④式就是点M的轨迹方程． ④式可改写成． ∴轨迹的图形是双曲线，它的中心是点，焦点在直线上． 【典型例题4】如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交，的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设点，先证明椭圆在点处的切线方程为． 联立，可得，， 故椭圆在点处的切线方程为． 设点，再证圆在点处的切线方程为． 当直线的斜率存在且不为零时，，圆在点处的切线斜率为， ∴圆在点处的切线方程为，即， 当直线的斜率不存在且为零时，在点处的切线满足上式. 设点，则圆在点处的切线方程为， 设点，则， ∴点、的坐标满足方程， 故直线的方程为， 由于直线与直线重合， 即直线与直线重合， ∴，即， 由于点在椭圆上，则，即， 因此，点的轨迹方程为． 得， 又在曲线上，即， 代入可得. 【典型例题5】设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（除点，外）． 【解析】 根据题意，设， ∵， ∴ ∴，（），两式相乘得① ∵， ∴，代入①得， ∴，即，（） 经检验点不满足，不合题意， ∴点的轨迹方程为（除点外）． 【变式训练5-1】已知点是直线与的交点，则到直线距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】求出必过点，发现两直线垂直，可得的轨迹为圆，则处理圆上一点到直线的最大距离问即可. 【详解】因为与， 所以与， 可得必过点分别为， 由可知垂直，垂足为，    则,可得在以为直径的圆上， 由可知圆心,半径 则圆心到的距离， 所以到直线距离的最大值为， 故选:B. 【变式训练5-2】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程. 【详解】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 【变式训练5-3】在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 设，，， 因为，所以. 已知，，则直线，即 又，，则，即， 又，则和的交点的轨迹方程为， 即， 又当时，不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 所以 【变式训练5-4】如图，已知曲线的动弦垂直交轴于点，曲线与轴的交点，，试探求与交点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设直线与交于点. 设，，，， 则，， 两式相乘可求. 【变式训练5-5】两动直线与的交点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 令，， 则直线的斜率，直线的斜率，所以． 易知过定点，过定点． 令与的交点为，因为，存在，所以， 所以，， 所以，整理得， 所以交点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式训练5-6】如图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状． 【答案】答案见解析 【解析】 设及，又， 所以，直线的方程为①；直线的方程为②． 由①②得③．、 又因为， 所以，代入③得，化简得， 所以，点的轨迹方程为． 所以，当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆． 【变式训练5-7】已知抛物线，过顶点的两弦，互相垂直，求以，为直径的两圆的另一交点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 易得直线的斜率存在，设的直线方程分别为， 直线和抛物线联立得，解得或，所以， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 所以整理得， 所以①， 同理，以代替可得以为直径的圆的方程为②， ①+②得， ， 所以以为直径的两圆的另一交点的轨迹方程 【变式训练5-8】已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且． (1)求直线与的交点N的轨迹M的方程； 【答案】(1)（且） 【分析】（1）设：，：，直线与的交点是N，且，消去即可得解； 【详解】（1）由已知，，则：，：， ∴点满足，即，∴①②， ∴点P的轨迹方程是（）， 又依题意可知， 综上可知：直线与的交点N的轨迹M的方程为：（且） 题型06:参数法 【典型例题1】平面直角坐标系中曲线上任意一点 ，均满足 （为参数），求曲线的方程. 【答案】 【解析】 由，则，所以. 【典型例题2】在直角坐标系中，曲线上任意一点均满足（为参数），点为曲线上一点，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程. 【答案】 【解析】 由，即， 可得， 设点，，且， 又，即， 所以，即. 【变式训练6-1】已知定点和抛物线，若过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（或） 【解析】 设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为， 由，得：， ，解得：或，则，， 而，因此点M的坐标为， ，消去参数k，得：． 由或，得：或． 综上，点M的轨迹方程（或） 【变式训练6-2】已知抛物线，定点，为抛物线上任意一点，在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设 、 ，则， ①，② 在抛物线上， ，把①②代入得，化简得， 即，轨迹为抛物线. 【变式训练6-3】当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 【答案】 【解析】 将原式配方得，， 设点的坐标为，则， 消去参数，得，即． 由于原参数方程中的取值范围是，而普通方程中的取值范围是，两者范围不一致，所以对于原参数方程的普通方程应为． 一、单选题 1．已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出中点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，代入圆的方程，化简即可. 【详解】设线段的中点，则，故， 化简得，即线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 2．已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得. 【详解】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 3．已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【详解】因为、，所以， 又因为的周长为，得， 由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分， 且椭圆中， ，，即， 椭圆方程为， 因为时，三点共线，不能构成三角形． 顶点的轨迹方程为， 故选：C． 4．已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 5．已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出点的坐标，根据向量关系得到、坐标与坐标的关系，然后结合已知条件以及、在圆上的条件，进而求出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为，，，所以. 根据向量相等的性质，可得，进一步整理得到. 将展开可得. 因为，在圆上，所以，， 又已知，即. 将上述值代入可得：. 由可得. 又因为，所以，可得. 动点的轨迹方程为， 故选：C. 6．已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．两条互相垂直的直线 【答案】A 【分析】由题意设出点，坐标，然后求出直线与直线的方程，根据直线方程的特点，两方程相乘，从而得到点的轨迹方程，进而得解. 【详解】   由于是椭圆的长轴上的两个顶点，所以， 设，则， 所以直线的方程为①，直线的方程为②， ①②得， 又因为在椭圆上，所以，即， 所以，即， 即直线与直线的交点在双曲线上. 故选：A. 7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程. 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 二、填空题 8．已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可. 【详解】设点P的坐标为. 因为，所以， 整理得，即. 所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆. 所以轨迹形成的图形面积. 故答案为： 9．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【详解】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 10．动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用直接法建立等式，化简即可. 【详解】解：动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数， 所以，即， 展开整理得． 故答案为：． 11．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程. 【详解】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 12．已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，根据可求出顶点的轨迹方程. 【详解】设点，则，，其中， 由题意可得，化简可得. 故顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 13．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出． 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为． 故答案为： 14．已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 15．已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 【答案】（且） 【分析】求出的中点，且，故点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分，求出答案. 【详解】设点，点D为点和点的中点， 则，， ∵以为斜边，点A为直角顶点， ∴， ∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分， ∴点A的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且） 16．已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 17．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 18．在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由，可得点A的轨迹再求方程. 【详解】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，   E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，， 所以， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）， 且，，所以， 所以顶点A的轨迹方程为． 故答案为：． 19．已知的方程是的方程是，动点到和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，点到和所引的切线长为，表示出，，相减化简可得答案. 【详解】设，点到和所引的切线长为， ：的圆心为，半径为 的圆心为，半径为 则，， ，，即． 故答案为： 20．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】（）． 【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案. 【详解】设， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以，， 因为三点共线，所以， 两式相乘得，（）, 因为，所以，即， 所以，整理得（）， 所以直线和的交点的轨迹方程（）. 故答案为：（）. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $