第06讲 椭圆的离心率讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆离心率这一核心考点，涵盖求离心率值与取值范围两大模块，按几何性质、定义应用、坐标法等19类题型系统梳理，通过思维导图、考情分析、知识要点、解题策略、真题训练等环节，帮助学生构建完整知识体系与解题框架。 讲义创新采用题型分类突破法，如焦点三角形模型结合正弦定理、点差法应用等，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置巩固提升与模拟真题分层练习，配合即时方法总结，助力学生高效掌握离心率求解技巧，为教师把握复习重点、优化教学节奏提供清晰路径。

第06讲 椭圆的离心率 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 8 一：求椭圆的离心率 10 题型01：利用几何性质 10 题型02：建立关于a和c的一次或二次方程 11 题型03：利用坐标法代入椭圆方程 13 题型04: 利用椭圆第一定义 14 题型05: 椭圆第二定义和焦半径公式 17 题型06：椭圆第三定义（中点弦定理） 19 题型07：椭圆的焦点三角形模型 22 题型08：利用正弦定理求离心率 23 题型10：焦点三角形双余弦定理模型 25 题型11：焦点弦与定比分点 27 题型12：点差法求椭圆的离心率 27 题型13: 椭圆与四心 29 题型14：内切圆问题 31 题型15：椭圆与圆 32 题型16：椭圆与双曲线共焦点 33 二：离心率的取值范围 36 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围 36 题型02：椭圆的有界性 37 题型03：临界关系求离心率的取值范围 38 题型04：和差最值的应用 40 题型05：转化为位置关系 41 题型06：方程联立型 43 题型07：焦半径范围的应用 45 题型08：焦点弦定比分点 46 题型09：椭圆对称性的使用 47 题型10：由给定条件求离心率取值范围 49 题型11：点差法求离心率取值范围 52 题型12：利用向量求离心率取值范围 53 题型13：与基本不等式结合 56 题型14：与三角函数结合 58 题型15：转化为函数 59 题型16：椭圆与双曲线 61 题型17：内切圆相关 62 题型18：已知焦点三角形的角 63 题型19: 焦点圆 66 巩固提升 67 模拟真题 75 椭圆离心率是高考数学解析几何核心考点，属于高频、中档偏难题型，聚焦公式理解、几何转化与代数运算，是拉开分数的关键知识点。 1. 考查频率：全国卷及各省市卷每年必考，多以选择、填空题出现（5分），偶尔在解答题第一问设置，难度稳定在中档。 2. 考查形式： ① 直接求离心率的值或范围； ②结合椭圆定义、几何性质（焦点、顶点、对称轴、通径）考查； ③与直线、向量、三角形、圆综合，依托几何关系建立等式/不等式； ④题干无具体数值，侧重几何转化与方程思想。 3. 命题趋势：淡化复杂计算，强化几何直观与定义应用，常结合焦点三角形、中位线、垂直、平行、相似等面几何性质命题。 4. 易错点：混淆a,b,c关系、漏看焦点在x/y轴上、范围题忽略椭圆本身限制（0<e<1）。 1. 基础目标：牢记离心率定，掌握核心关系，能进行a,b,c三者互化。 2. 能力目标：能从题干几何条件（垂直、等腰、相似、焦半径、焦点三角形）中，建立a,c的等式/不等式，求解离心率。 3. 思维目标：树立几何转代数的解析思想，熟练使用定义法、几何法、方程法解题，不盲目联立计算。 4. 应试目标：选择/填空题1分钟内快速解题，解答题稳定拿到第一问分数。 离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。 知识点一：求离心率的方法． 求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可）， 1.利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解； （1）特殊三角形与离心率 这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单. （2） 平行四边形与离心率 与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法. （3） 圆与离心率 借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等. 2.利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数） 3.通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 知识点二：离心率的范围问题． 在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： 1.借助题目中给出的不等信息 题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口； 基本步骤： ①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等； ②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解. 2.借助函数的值域求解范围 若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可； 基本步骤： ①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； ②通过确定函数的定义域； ③利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 3.借助平面几何图形中的不等关系 基本步骤： ①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系， ②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式， ③解不等式，确定离心率的范围. *建立不等式* 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围． 知识点三：求椭圆离心率常用公式 椭圆离心率公式1： 椭圆离心率公式2： 证明： 椭圆离心率公式3：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率 证明： 由正弦定理得： 由等比定理得：， 即 ∴。 椭圆离心率公式4：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点，=，=β，则 证明：由正弦定理有 椭圆离心率公式5：点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时， 注：而不是 知识点四：椭圆的概念和简单几何性质 1.椭圆第一定义： 一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 2.椭圆第二定义 定义: 平面内一动点到一定点与到定直线距离的比为常数 拓展：椭圆、双曲线的左右准线分别为 焦半径与第二定义 点P是椭圆上一动点，则有： （1）.焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)； （2）.|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； 椭圆焦半径： (1) 坐标式 1　 椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. 2　 椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. (2) 长度范围 若为任意焦点，为椭圆上一动点，则有； 3.椭圆第三定义 若椭圆上存在任意两点 关于原点对称, 点 为椭圆上异于 的任意一点, 有 第三定义，又叫中点弦定理 1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. 2.AB是椭圆的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则 知识点五：与圆锥曲线离心率有关的二级结论： 结论1（最大顶角）：在椭圆焦点三角形中，∠，则当为短轴端点时，最大，且椭圆的离心率， ; 结论2（最大顶角）：设为椭圆上一点，,, ∠, 则当为短轴端点时，∠且椭圆的离心率 ; 结论3（斜率乘积）：在椭圆中，若直线与椭圆相交于两点， 是弦的中点，则. 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有 知识点六：焦点弦定理 过椭圆的焦点F 的弦 与对称轴 (椭圆是长轴) 的夹角为且 则（为离心率），直线的斜率记为,则 （1）若焦点在轴上，，,(焦点在 x轴上，e为离心率); （2）若焦点在轴上，，,(焦点在 y轴上，e为离心率) 知识点七：焦点三角形：双底角型 1　 设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有； 2　 椭圆焦点三角形面积： 3　 顶角： 椭圆顶角在短轴顶点处最大。 若、为，为椭圆上一动点，，则，故点为上下顶点时角度最大． （一）椭圆离心率的求值 1. 定义法求离心率 设点为椭圆上一点, 为椭圆的两个焦点, 那么我们根据离心率公式及定义有: 在椭圆中, 2. 运用通径求离心率 3. 运用求离心率 4. 运用求离心率 5. 结论求离心率（A,B为椭圆上任意两点，M为直线AB中点） 6. 运用正弦定理余弦定理求离心率 7. 运用相似比求离心率 8. 求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 9. 运用几何关系求离心率 （二）椭圆扁平程度： 因为，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆 （3) 求离心率取值范围 【解题策略】 解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解． (四）离心率问题中的共焦点问题 【解题策略】 在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，学生面对此类问题往往束手无策，下面介绍下与此类问题有关的两个结论。 已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则 Ⅰ．； Ⅱ．＋＝1． 【方法技巧】 结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减． 结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．然后使用结论Ⅱ：＋＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方． （五）与离心率问题有关的参数问题 【解题策略】 有些离心率问题，如果题设条件中含有参数，同时参数的取值范围已知或易求解，首先找出离心率和参数之间的关系，进而求出离心率的取值范围。 解析几何中与参数有关的问题的思考途径与常用方法: 1.应用判别式建立不等式关系; 2.根据曲线的范围建立不等关系; 3.挖掘曲线的隐含不等式; 4.利用题设条件中的不等关系. 一：求椭圆的离心率 题型01：利用几何性质 【典型例题】直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称关系和垂直关系可知四边形为矩形，结合直线倾斜角大小可确定，由此利用表示出，结合椭圆定义可构造齐次方程求得离心率. 【详解】 记椭圆的左焦点为， 由对称性可知：四边形为平行四边形，， ； ，，四边形为矩形，， 又，，又，， ，，， 椭圆的离心率. 故选：C. 【变式训练1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为______. 【变式训练1-2】已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为__________. 题型02：建立关于a和c的一次或二次方程 【典型例题1】已知分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆的右顶点，为坐标原点，若椭圆上的一点满足，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【解析】由得 ,由得 ,所以 ,选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 【典型例题2】设椭圆的左右焦点为，焦距为，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下： 由得， ， 由 即， 整理得， 则， 得 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题. 【变式训练2-1】已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】椭圆的左、右焦点为，过作直线垂直于x轴，交椭圆C于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 【变式训练2-3】椭圆的半焦距为，若抛物线与椭圆的一个交点的横坐标为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型03： 利用坐标法代入椭圆方程 【典型例题】已知椭圆与圆交于两点，若四边形（为原点）是菱形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心的坐标结合椭圆及圆的对称性以及四边形是菱形，确定A点的坐标，代入椭圆可得的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】圆的方程可化为：，且圆心， 则菱形对角线的交点坐标为，将代入圆的方程，得， 不妨设点A位于第一象限，则，代入椭圆方程可得， 整理可得：，则：. 故选：B. 【变式训练3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 【变式训练3-2】如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，是的三等分点（靠近点），为椭圆的右焦点，的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为______． 【变式训练3-3】如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率 . 【变式训练3-4】已知椭圆：的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上， 则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ． 题型04: 利用椭圆第一定义 【典型例题1】嫦娥奔月是中华民族的千年梦想，2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（    ） A．圆形轨道的周长为 B．月球半径为 C．近月点与远月点的距离为 D．椭圆轨道的离心率为 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义和几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为， 可得环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以A错误； 则月球半径为，所以B错误； 则近月点与远月点的距离为，所以C正确； 设椭圆方程为，则， 解得， 所以椭圆的离心率为，所以D错误. 故选：C. 【典型例题2】已知椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与椭圆C交于点A，B，若|AF1|＝|AB|＝5，|F1B|＝6，则椭圆C的离心率为_____. 【答案】. 【分析】设椭圆的长轴长为，可得．即有，，在中，由余弦定理可得．在△，中由余弦定理可得，即可求解． 【详解】如图： 设椭圆的长轴长为， ． ，， ． 即有，， 在中，由余弦定理可得 在△，中由余弦定理可得． 故答案为：． 【典型例题3】已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 __． 【答案】 【分析】由题意得到，即，进而求得，结合，得到，即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为，，则， 所以, 且， 所以， 又由，即，即， 所以. 故答案为：. 【变式训练4-1】设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点A，使，且，则椭圆离心率为 A． B． C． D． 【变式训练4-2】分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于A、B两点，已知，，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，连接交y轴于点Q，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型05: 椭圆第二定义和焦半径公式 【典型例题1】已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为____. 【答案】 【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到，然后利用计算即可. 【详解】如图， 作垂直右准线交右准线于点，作垂直右准线交右准线于点 作垂直于点 由，设，则 由 所以， 又直线的斜率为，所以 所以 故答案为： 【典型例题2】已知点是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用勾股定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知：， 由平分，则， 因为，所以， 由是关于直线的对称点，则共线，，，， 所以，在中，， 可得，解得，， 在中，由勾股定理，可得， 代入可得：，化简可得：， 所以其离心率. 故答案为：. 【变式训练5-1】已知椭圆C：()，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A､B两点，满足，则椭圆C离心率的最小值是______. 【变式训练5-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越小，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 题型06： 椭圆第三定义（中点弦定理） 【典型例题1】若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入椭圆得，由根与系数的关系可以推出线段中点坐标为，再由原点与线段中点的连线的斜率为，能够算出，进而利用离心率的计算公式求出即可. 【详解】解：把代入椭圆得， 整理得. 设，，则，. 线段中点坐标为， 原点与线段中点的连线的斜率. 由椭圆，可知，，则. 则椭圆的离心率. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， ，， 故椭圆的离心率. 故选：B. 【典型例题3】过原点的直线与椭圆，交于两点，是椭圆上异于的任一点.若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【答案】. 【详解】当为轴时，则.故取. 于是，. 因此，. 所以，. 【变式训练6-1】已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知椭圆上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，求椭圆的离心率. 【变式训练6-5】已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-7】设椭圆的左顶点为，左焦点为，离心率为，（为坐标原点）． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为正数的直线与椭圆在上方的交点为，为线段的中点，若．求直线的方程． 题型07：椭圆的焦点三角形模型 【典型例题】已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距. 【详解】设椭圆方程为，依题意可知，， 解得，所以椭圆的焦距为. 故选：A 【变式训练7-1】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为e，下列说法正确的是（    ） A．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 B．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 C．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 D．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 题型08：利用正弦定理运用求离心率 【典型例题】已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若，且,则C的离心率为（ ） A. 1-    B. 2-    C.    D. -1 【解析】===-1 【变式训练8-1】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知是椭圆短轴上的两个端点，O为坐标原点，点A是椭圆长轴上的一个端点，点P是椭圆上异于的任意一点，点Q与点P关于轴对称，给出以下命题，其中所有正确命题的序号是 ． ①当P点的坐标为时，椭圆的离心率为； ②直线的斜率之积为定值； ③； ④的最大值为； ⑤直线的交点M在双曲线上． 【变式训练8-3】已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率 题型09：利用余弦定理 【典型例题】已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到. 【变式训练9-1】已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于 . 【变式训练9-2】已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与C交于A,B两点,若,,则（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．若椭圆C的短轴长为2,则椭圆C的方程为 D．直线的斜率的绝对值为 题型10： 焦点三角形双余弦定理模型 【典型例题】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根据，得到方程，解得. 【详解】解： ，， 在和中利用余弦定理可得 即 化简可得 同除得：解得或（舍去） 故选： 【变式训练10-1】椭圆的左右焦点分别为为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足，若构成公比为2的等比数列，则C的离心率为__________． 【变式训练10-2】已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______. 题型11： 焦点弦与定比分点 【典型例题】椭圆：的左焦点，上顶点A，直线与椭圆的另一交点为M，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求得M的坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】解：因为，，，， 所以，则， 因为在椭圆上， 所以， ∴， ∴， 故选：A. 【变式训练11-1】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 题型12：点差法求椭圆的离心率 【典型例题1】直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率. 【详解】如图所示， 因为，所以， 所以， 设， 则，两式相减得， 则， 因为直线，为线段中点，， 所以，， 代入上式得，则， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 【典型例题2】过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据点差法的知识，设点的坐标，代入曲线方程，作差，化简整理即可. 【详解】设则两式作差得 整理得 又是线段的中点，且直线的斜率为， 即 故答案为：. 【变式训练12-1】斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 【变式训练12-3】已知椭圆C：的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为 ． 题型13: 椭圆与四心 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得的周长为，内切圆的半径为，再结合等面积法得，再平方整理得，再求离心率即可； 【详解】解：由题知为上一点， 所以，， 所以的周长为， 因为的内心为 所以，内切圆的半径为， 所以，由三角形内切圆的性质知，，即， 两边平方并整理得，即， 所以，离心率为 故选：C 【典型例题2】已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________． 【答案】 【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到的关系，即可求解离心率. 【详解】设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得， 由于，所以的纵坐标为， 由于是的内心，所以内切圆的半径为， 由椭圆定义得， ， ， 故答案为： 【变式训练13-1】已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】已知椭圆的两个焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是______． 【变式训练13-5】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，离心率； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程． 题型14：内切圆问题 【典型例题】椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由①得原点到直线AB的距离，求得，由②得，求得，从而，两边同除以得，又，即可解得． 【详解】设左顶点，上顶点，则直线AB的方程为， 以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离， 即，即，即，所以， 长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则，所以， 综上，，即，两边同除以得，又，解得． 故答案为：． 【变式训练14-1】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 【变式训练14-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率 ． 题型15：椭圆与圆 【典型例题1】已知点P在椭圆上，点Q在圆，其中c为椭圆C的半焦距，若的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆与椭圆的性质求解， 【详解】点在椭圆上，则的最大值为，圆的半径为， 则的最大值为，故， 故选：D 【变式训练15-1】已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________． 【变式训练15-2】已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型16： 椭圆与双曲线共焦点 若椭圆和双曲线共焦点：（为焦点三角形顶角 【典型例题1】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，并且，，在中根据勾股定理可得到：该式变形即可求解． 【详解】解：如图， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： 得， ，，设，， 在中由勾股定理得， 化简得：该式可变成：，即． 故选：C. 【典型例题2】已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（      ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为， 由于线段的垂直平分线过，所以有. 根据双曲线和椭圆的定义有， 两式相减得到，即， ， 所以， 当且仅当即等号成立，即最小值为. 故选：B. 【变式训练16-1】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的一个交点，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练16-3】已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-4】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率 C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得 【变式训练16-5】【多选】如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则的方程为 【变式训练16-6】已知，椭圆的方程为，双曲线的方程是，与的离心率之积为，则的渐近线方程为__________． 二：离心率的取值范围 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围 【典型例题】椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是（    ） A．（0，） B．（，] C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，由得到a的范围，然后利用离心率又，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上， ∴，解得：， 又， ∴它的离心率的取值范围为， 故选：C. 【变式训练1-1】已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【变式训练1-3】（多选）已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（    ） A． B．的离心率为 C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短轴长的取值范围是 题型02：椭圆的有界性 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 【典型例题1】已知是椭圆 的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的，两点满足，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，.由已知可得.进而根据椭圆的方程消去，得到.然后根据椭圆的范围，即可求出，进而求出答案. 【详解】设， ，. 则，， 由已知可得，，即， 整理可得. 因为，所以， 所以， 又由题意可得，所以. 又，所以， 所以，即，所以. 故选：C. 【典型例题2】已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同的两点使得，则该椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，求出坐标，根据可得， 把代入椭圆方程得，根据的范围可得答案. 【详解】设，， 则， 因为，所以，可得， 由可得，两式相减可得， 因为上存在不同的两点，且，所以，解得， 又，所以. 故答案为：. 【变式训练2-1】已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，已知，为椭圆的左右焦点，椭圆上存在点使为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【变式训练2-3】已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 . 题型03：临界关系求离心率的取值范围 【典型例题】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线所成的角为，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线所成的角为，可知，由题知，解得，又即可得出结果. 【详解】设过的两条直线与圆分别切于点， 由两条切线所成的角为，知：， 又在椭圆上， 所以，即得， 所以， 所以椭圆的离心率， 又， 所以 故答案为：. 【变式训练3-1】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知椭圆 C的焦点为 为 C 上一点满足，则C 的离心率取值范围是 ． 【变式训练3-3】已知椭圆C： ，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是 ． 题型04：和差最值的应用 【典型例题1】设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】因为点在椭圆的内部，所以①，而②，，由①②得，即.所以. 因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 【典型例题2】设椭圆左、右焦点分别，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在椭圆外部得不等关系，变形后得离心率的一个范围，利用椭圆定义变形后，结合题意得不等关系，从而得的一个范围，再结合可得结论． 【详解】∵点在椭圆的外部，则，可化为， ∴，即． 由椭圆的定义得， ， ， 又∵恒成立， ∴，解得，即， 又，综上可得， 即椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 【变式训练4-1】设椭圆：的左､右焦点分别为，，，过作轴的垂线与椭圆在第一象限的交点为.已知，，是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-3】设椭圆：的左、右焦点、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【变式训练4-4】设椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为、，其焦距为2，点Q（，）在椭圆内部，点P是椭圆上动点，且|PF1|+|PQ|<6|F1F2|恒成立.则椭圆离心率的取值范围是 . 题型05：转化为位置关系 【典型例题1】若椭圆上存在点，满足（为坐标原点），则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程表示，，，再结合椭圆图形得出，求出结果即可. 【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为，，， 由题意知，，， 由椭圆上存在点满足，等价于以为原点，以为半径的圆与椭圆有交点， 得， 所以，解得， 所以．又， 所以的离心率的取值范围为． 故选：D. 【典型例题2】已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质分析出以为直径的圆与椭圆有公共点，得到，消去，即可求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆C的右焦点为，连接． 由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 故选：C 【典型例题3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图，根据图中的几何关系求解. 【详解】由题意作图如下： 设 ， ，则有 ， ， ， ， ， ，得：…① ， 化简得： ，即 ，P点也在以 为圆心半径为c的圆上， 即圆与椭圆必定有不与右顶点重合的交点（与右顶点重合显然不满足题意）， 圆 与x轴除原点外的另一个交点的坐标是 ，并且该交点必须在椭圆外， ，即 ，因为是椭圆，所以 ； 故选：A. 【变式训练5-1】已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知，是椭圆的两个焦点，点是椭圆上的一动点，若，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【变式训练5-6】如图，椭圆的左、右焦点分别为，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围．    【变式训练5-7】已知椭圆C :(a>b>0)的右焦点为F，经过坐标原点O的直线交椭圆于A． B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，若存在以MN为直径的圆恰经过坐标原点O，则椭圆的离心率的取值范围为 . 题型06：方程联立型 【典型例题1】点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 【典型例题2】已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出线段AB中点横坐标，即可列式求解作答. 【详解】依题意，点，设直线，， 由消去x得：， 则，线段AB的中点， 因为，则有，直线， 令得点，而，有， 又，即，因此，即， 依题意，恒成立，而恒有，因此，离心率， 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 【变式训练6-1】已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为 ． 题型07：焦半径范围的应用 , 【典型例题1】已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，椭圆C的半焦距为c，根据椭圆的定义以及可得，再根据可得，从而可得. 【详解】设，，椭圆C的半焦距为c，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 则，所以. 故选：A. 【典型例题2】若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别， 所以，得到， 又，所以，得到，故. 故选：C. 【变式训练7-1】已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【变式训练7-6】已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型08：焦点弦定比分点 运用e=求离心率 【典型例题】椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立消去得关于的二次方程，利用是它的一个解，求得点坐标坐标，然后由向量的线性关系用用表示，利用的范围求得离心率的范围． 【详解】，，则AF：，，满足, 消去得，， 是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以． 故选：B． 【变式训练8-1】已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线AF交椭圆于点，，若，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 题型09：椭圆对称性的使用 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 【典型例题1】已知椭圆=1的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可. 【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则， 因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，， 在中，，所以， 由，得，整理，得，又， 所以. 故选：B 【典型例题2】已知椭圆的左，右焦点，过原点的直线与椭圆相交于两点．其中点M在第一象限，，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】由题意可得四边形为矩形，由勾股定理可得，可得，可得的值，又由的范围，可得的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】因为，所以由椭圆的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 即， 由，得， 所以，得， 因为点M在第一象限， 所以解得， 因为，， 所以，得， 所以， 化简得，解得， 综上， 所以椭圆C的离心率的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练9-1】设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知椭圆C：的左焦点为F，点A是椭圆C的上顶点，直线l：与椭圆C相交于M，N两点．若点A到直线l的距离是1，且，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知椭圆：的右焦点为，经过原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，的中点为，的中点为．若，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 题型10：由给定条件求离心率取值范围 【典型例题1】设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出． 【详解】设，，因为，， 所以，， 由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则． 故选：B． 【典型例题2】设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，可表示出，结合化简，进而可得当时，取得最小值，进而求解即可. 【详解】由题意可知，，设， 因为，所以， 又，， 所以， 因为，则， 当时，取得最小值，即， 即， 所以， 即椭圆的离心率为. 故选：D. 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，b－c为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为，则椭圆的离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c，根据最小值为与可得，根据b＞c易得，结合两式即可求解. 【详解】依题意，如图所示： 当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 化为，即． 解得． 可得．① ∵b＞c， ∴， ∴， ∴， ∴．② 解得． 由①②解得． 故椭圆离心率的取值范围为． 故答案为：． 【变式训练10-1】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，且点B到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】过椭圆的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点.若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为. (1)若为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程； (2)若为锐角，求椭圆C的离心率的取值范围． 【变式训练10-5】过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ． 题型11：点差法求离心率取值范围 【典型例题1】已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，中垂线与轴交于点，将代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出点坐标，由此可得直线方程，求得点坐标，由在线段上可构造的齐次不等式求得结果. 【详解】设的中点为，中垂线与轴交于点， 设，， 由得：， ，， ， ，，直线方程为：， 令，解得：，即， 在线段上，，整理可得：，即， 又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果. 【典型例题2】已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】设，，根据题意利用两点坐标表示斜率公式和中点坐标公式可得；由点差法可得，进而，结合离心率的概念即可求解. 【详解】设，， 则， 所以，得. 将A、B两点坐标代入椭圆方程，得， 两式相减，得，有，所以， 由，得，即， 由，得，即，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练11-1】已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知椭圆 ，直线与椭圆交于A,B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C,设直线AB与直线OM的斜率分别为，且则椭圆离心率的取值范围为 【变式训练11-3】椭圆，直线AB斜率存在，弦AB中垂线过，求离心率e的取值范围. 题型12：利用向量求离心率取值范围 【典型例题1】（多选）（2022·高二课时练习）椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，，，则，，，，再由可得，从而可求出离心率的范围 【详解】设，，， 则，， ，． 因为 恒成立， 所以离心率． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由转化为坐标的关系，进而可得到的关系，考查计算能力，属于中档题 【典型例题2】已知椭圆的右焦点为上的两点关于原点对称，，且，则离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为E，根据椭圆的定义可知，，利用余弦定理求出，利用，最后结合平面向量的数量积计算即可得答案. 【详解】解：由题意得： 椭圆的左焦点为E，则 因为两点关于原点对称，所以四边形为平行四边形 由，得，，且， 所以，化简可得，所以； 在中， ， 由得： 整理得：，又，所以； 综上， 故答案为: 【变式训练12-1】已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使得（为原点），，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【变式训练12-3】若为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P满足，则C的离心率e的取值范围为 ． 【变式训练12-4】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-5】已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-6】已知椭圆E：的离心率的取值范围是，其左右焦点分别是，，若P为椭圆上位于y轴右侧的一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练12-7】已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型13：与基本不等式结合 【典型例题1】已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题给条件和椭圆定义构造不等式，进而求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设椭圆左右焦点分别为，，连接, 由椭圆及直线的对称性知：四边形 为平行四边形， 且，， 在△中， ， ∴， （当且仅当时等号成立） 可得，即，则， ∴椭圆的离心率. 故选：C 【典型例题2】已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的性质可得四边形为平行四边形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围． 【详解】解：连接，与左右焦点，的连线， 由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，， 在三角形中，， 所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故， 即，可得， 所以椭圆的离心率. 故选：A． 【变式训练13-1】椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 【变式训练13-5】伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程可以为 B．若，则 C．有且仅有一个点，使得 D．的最小值为 【变式训练13-6】已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．存在点使得 D．的最小值为1 题型14：与三角函数结合 【典型例题】已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为 A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【答案】C 【分析】设左焦点为，根据椭圆定义：，根据和关于原点对称可知，推知，又根据是的斜边中点可知，在中用和分别表示出和代入中即可表示出即离心率，进而根据的范围确定的范围． 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上， 设左焦点为，根据椭圆定义：， 又∵，∴ …① 是的斜边中点，∴， 又 …②， …③ ②③代入①， ∴，即， ∵，∴， ∴，∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，三角函数最值的求法，将离心率表示为关于的函数是解题的关键，属于中档题. 【变式训练14-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【变式训练14-2】已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【变式训练14-3】已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ． 题型15：转化为函数 【典型例题1】已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和正弦值，可设出的三边长，结合椭圆定义和勾股定理求出等量关系，利用点的位置求出的范围，代入等式有解，可求出的关系，即可求出离心率的范围. 【详解】解： 因为，，不妨设，，， 由椭圆定义可知：，， 由勾股定理可知：，即，化简可得：， 点在延长线上，且在椭圆内部，所以，，解得：. 令在上单调递增，所以，解得：，，又，且在椭圆内部，所以，则，. 故选B． 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为圆与的一个公共点，若，则当时，椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得，结合对勾函数求其范围，进而可得离心率的范围. 【详解】设椭圆的半焦距为， 则圆，表示以，半径为的圆， 若圆与椭圆有公共点，则，可得，解得， 因为，且， 可得，整理得， 又因为，即， 且，则，解得， 可得， 整理得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且， 可得，则， 可得； 综上所述：椭圆的离心率的取值范围为. 故答案为：.      【变式训练15-1】已知点满足，且点Q恒在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是 ． 【变式训练15-3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，是上第一象限内的点，关于原点的对称点为，且，，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【变式训练15-4】设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为 ． 题型16：椭圆与双曲线 【典型例题】已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10， 则有m＝10，n＝2c， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有， 由离心率公式可得 ， 因为，所以，，则，， 故，，则，即， 故的取值范围是. 故选：B． 【变式训练16-1】设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 【变式训练16-2】设，同时为椭圆与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则的取值范围是 ． 【变式训练16-3】已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且 ，设与的离心率分别为，，求的取值范围. 【变式训练16-4】已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 ． 题型17：内切圆相关 【典型例题】已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线和正弦定理可得：，，从而由等比性质，结合题干中的条件可得：，根据，求得椭圆的离心率取值范围. 【详解】如图，连接，，I是的内心，可得，分别是和的角平分线，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，所以， 又因为,所以，同理可得：，由比例关系可知，，又，所以，，因此，又，所以． 故答案为： 【变式训练17-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-2】如图，椭圆C：的顶点分别为，，，，记四边形的面积为，四边形的内切圆面积为，若，则椭圆C的离心率的最大值为 ． 题型18：已知焦点三角形的角 【典型例题1】已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴△中，，∴△中， ，所以，∴，∴，∴，∵， ∴. 【典型例题2】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据椭圆的性质，只需保证为椭圆上下顶点时即可，应用余弦定理列不等式，结合椭圆离心率范围求离心率取值范围. 【详解】由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大， 所以椭圆上存在点使， 只需最大的情况下，有， 又椭圆离心率，故. 故答案为： 【典型例题3】设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【分析】在△ 中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率. 【详解】由，，设，，在 中，由正弦定理有：， 离心率，则  ；解得：， 由于，得， 显然成立， 由有，即，得， 所以椭圆离心率取值范围为. 故选：C 【变式训练18-1】椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且，则该椭圆的离心率的取值范围为 A． B． C． D． 【变式训练18-2】已知椭圆的两个焦点为，，若椭圆上存在一点满足，则椭圆离心率的最小值为________． 【变式训练18-3】设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是_______________. 【变式训练18-4】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【变式训练18-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型19: 焦点圆 【典型例题1】已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可. 【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形； 同理当轴时，有两个点满足为直角三角形． ∵使为直角三角形的点有且只有4个， ∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴， ∴，∴，又，解得. 方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时, 又，故. 故选：A． 【典型例题2】已知圆与轴的交点分别为，，点是直线：上的任意一点，椭圆以，为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为____________. 【答案】 【分析】由题意可知：，然后求得点关于直线的对称点，由，此时椭圆的离心率取得最大值即可求解. 【详解】由题意可知：，点是直线上的点，到两点距离之和的最小值为关于直线的对称点与的距离， 设可得，解得：所以 所以椭圆的长轴长，所以的最小值为，椭圆的离心率的最大值为 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练19-1】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-2】已知点是椭圆上任意一点，的离心率为，若圆上存在点，使得，则的最大值为______． 一、单选题 1．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆  过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当 取最小值时，椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率的值为（    ）. A． B． C． D． 5．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（    ） A． B． C． D． 14．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ） A．或 B． C． D．或 15．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．已知方程，则E表示的曲线形状是（    ） A．若，则E表示椭圆 B．若E表示双曲线，则或 C．若E表示双曲线，则焦距是定值 D．若E的离心率为，则 18．已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 24．已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 25已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．动点Q的轨迹方程为 C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为 D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为 26．若曲线C的方程为，则（    ） A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为 B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为 C．当时，曲线C表示圆，半径为1 D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4 27．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（    ） A． B． C． D．2 28．第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（    ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为. 29．设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（    ） A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为 B．若，则的面积为 C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是 D．若恒成立，则C的离心率的范围是 三、填空题 30．如图，圆柱的轴截面是正方形，D、E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C、D、E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是____________． 31．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是________. 32．在椭圆上，为焦点三角形，，，则椭圆的离心率＝________． 33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且.若，则椭圆的离心率为______. 34．已知椭圆左､右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________. 四、解答题 35．已知椭圆，长轴两端点为A，B，如果椭圆上存在点P使得∠APB=120°，求这个椭圆的离心率的取值范围． 36．设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为. (1)求椭圆的离心率； (2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标. 37．已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于点A，B，且，O为坐标原点，求椭圆C的离心率． 38．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．求椭圆的离心率. 39．（2022·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点，，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率． 40．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率． 41．设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由. 一、单选题 1.已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为F，的中点为M，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.（已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7.已知椭圆：的离心率为，M为的上顶点，P，N是椭圆上不同于M的两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.已知，则椭圆与椭圆（且）有（    ） A．相同的焦点 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 9.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为，则内层椭圆的短轴长为（    ） A．75米 B．米 C．50米 D．米 10.已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 11.若椭圆比椭圆更扁，则的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.下列选项中椭圆的形状最扁的是（    ） A． B． C． D． 13.下列选项中椭圆的形状更扁的是（    ） A． B． C． D． 14.已知命题：离心率越小，椭圆的形状越扁，命题：离心率越大，双曲线的“张口”越小，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 15.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 16.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18.万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）． A． B． C． D． 19.已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20.已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于A、B两点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21.设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（    ） A． B． C． D． 22.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 A． B． C． D． 23.已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点. 若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．已知分别是椭圆的左､右焦点，第一象限内的点在上，，直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 26．设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过,若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 27．已知椭圆：（）的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，，若坐标原点到的距离为，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 28．椭圆的两个焦点，，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，，，则离心率e等于（　　） A． B． C． D． 29．与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 30．17世纪法国数学家费马在著作中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴引垂线，垂足为Q，记，则（    ） A．方程表示的椭圆的焦点落在x轴上 B． C．M的值与P点在椭圆上的位置无关 D．M越来越小，椭圆的离心率越来越小 31．已知正方形，以为焦点,且过两点的椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 32．已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得为等腰钝角三角形，则椭圆的离心率的取值可以是 A． B． C． D． 34.已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 35．设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的离心率，为坐标原点，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为（  ） A．2 B． C． D．1 36．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．若椭m=(　　) A．或 B． C． D．或 38．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（    ）． A． B． C． D． 39．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点），则椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 40.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 41.已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 42.椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 43.椭圆的离心率是 A． B． C． D． 44．双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 45．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 46．黄金分割是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，其比值为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（    ） A．若椭圆的焦点在轴上，上顶点为，右顶点为，左焦点为．小欧提出只要满足，椭圆的离心率就等于 B．一顶角等于的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于 C．假设，小莱发现若公比大于0的等比数列与著名的斐波那契数列的递推公式相同，则数列的公比等于 D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离与柱高满足，则 47．已知是3与12的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 48．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有（    ） A．长轴长为m＋n＋2R B．焦距为n－m C．短轴长为 D．离心率 49．已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（    ） A． B．的离心率为 C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短轴长的取值范围是 50．如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的短轴长为2 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为 51．平面内与两定点，连线的斜率之积等于常数的点的轨迹，加上两点构成曲线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 C．当时，曲线的离心率随着的增大而增大 D．当时，曲线的焦点坐标为， 52．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（    ） A．长轴长为 B．离心率为 C．焦距为 D．面积为 53．椭圆的离心率是，则实数的值是（    ） A．4 B． C．1 D． 54．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（    ） A．设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线 B．设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 55．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是 A． B． C． D． E．椭圆Ⅱ比椭圆I更扁 56．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 57．椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为 C．椭圆上存在点，使得的面积为 D．为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为 58．已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是椭圆，且其离心率 C．若，则C是双曲线，其渐近线程为 D．若，则C是双曲线，其离心率为或 59．为使椭圆的离心率为，正数的值可以是（    ） A． B． C． D． 60．已知椭圆C：的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点．设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率不可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 61.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ． 62.设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 . 63.椭圆的离心率 64.在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 . 65.已知椭圆的方程为分别为其左右焦点，两点在椭圆上，且满足，若直线的倾斜角为，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为 ． 66．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上、下顶点分别为，，若四点共圆，则的离心率为 . 67．已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点为，设两曲线的其中一个交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 68．已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为 . 69．已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 70．设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 . 71．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 72．若椭圆的离心率为，则m的值为 . 73．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为 . 四、解答题 74.已知椭圆的离心率为，上顶点. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，，点是椭圆上的动点，过作直线分别交椭圆于另外三点，求的取值范围. 75.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得. 76.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：． 77.已知以原点O为中心的椭圆标准方程的离心率为，焦点F为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过焦点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求的面积． 78.已知椭圆：（），，为其左，右焦点，为其上顶点，的内切圆周长为. （1）求椭圆的离心率； （2）若点在椭圆上，，是椭圆上任意两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，求的取值范围. 79.已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，，，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上． 80.已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值． 81.已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 82.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 83.已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （I）求与的关系式； （II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率. 84.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为上一点，且面积的最大值为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴的交点为定点，求的值及定点的坐标. 85.已知椭圆的长轴长为，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：. 86.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形的周长为， (1)求椭圆的方程． (2)设直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值及面积的最大值． 87．已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点. (1)求椭圆C的方程. (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 88．已知椭圆：过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)已知，为椭圆的两焦点，若点P在椭圆上，且，求的面积. 89．已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围． 90．求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 91．已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点. ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过点且与椭圆有相同的离心率的椭圆的标准方程. 92．已知椭圆经过点，离心率． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论． 93．已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M.记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值. 94．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）椭圆过点，离心率； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； （3）求经过点，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程. 95．已知椭圆：，，. (1)若椭圆的离心率是，求的值； (2)椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于，且，是不同的两点. ①设的面积是，的面积是，当时，求的范围； ②若点，满足，且，则点在点的右下方.求证：点在点的右下方. 96．已知椭圆：过点记椭圆的左顶点为M，右焦点为 (1)若椭圆C的离心率，求的范围； (2)已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点（异于左右顶点）连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由； (3)已知，设直线的方程为，它与相交于，.若直线与的另一个交点为.证明：. 97．已知椭圆C：（）过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是椭圆C的左、右顶点），且以线段MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 98已知在椭圆上，分别为的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长. 99．已知椭圆：，离心率为，且经过点. (1)求C的方程： (2)过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程. 100．已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，求面积的取值范围（为坐标原点）. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 椭圆的离心率 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 8 一：求椭圆的离心率 10 题型01：利用几何性质 10 题型02：建立关于a和c的一次或二次方程 12 题型03：利用坐标法代入椭圆方程 16 题型04: 利用椭圆第一定义 20 题型05: 椭圆第二定义和焦半径公式 24 题型06：椭圆第三定义（中点弦定理） 29 题型07：椭圆的焦点三角形模型 34 题型08：利用正弦定理求离心率 36 题型10：焦点三角形双余弦定理模型 42 题型11：焦点弦与定比分点 45 题型12：点差法求椭圆的离心率 47 题型13: 椭圆与四心 51 题型14：内切圆问题 57 题型15：椭圆与圆 59 题型16：椭圆与双曲线共焦点 61 二：离心率的取值范围 68 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围 68 题型02：椭圆的有界性 70 题型03：临界关系求离心率的取值范围 73 题型04：和差最值的应用 76 题型05：转化为位置关系 80 题型06：方程联立型 85 题型07：焦半径范围的应用 89 题型08：焦点弦定比分点 93 题型09：椭圆对称性的使用 94 题型10：由给定条件求离心率取值范围 98 题型11：点差法求离心率取值范围 104 题型12：利用向量求离心率取值范围 108 题型13：与基本不等式结合 114 题型14：与三角函数结合 119 题型15：转化为函数 123 题型16：椭圆与双曲线 128 题型17：内切圆相关 131 题型18：已知焦点三角形的角 133 题型19: 焦点圆 139 巩固提升 142 模拟真题 172 椭圆离心率是高考数学解析几何核心考点，属于高频、中档偏难题型，聚焦公式理解、几何转化与代数运算，是拉开分数的关键知识点。 1. 考查频率：全国卷及各省市卷每年必考，多以选择、填空题出现（5分），偶尔在解答题第一问设置，难度稳定在中档。 2. 考查形式： ① 直接求离心率的值或范围； ②结合椭圆定义、几何性质（焦点、顶点、对称轴、通径）考查； ③与直线、向量、三角形、圆综合，依托几何关系建立等式/不等式； ④题干无具体数值，侧重几何转化与方程思想。 3. 命题趋势：淡化复杂计算，强化几何直观与定义应用，常结合焦点三角形、中位线、垂直、平行、相似等面几何性质命题。 4. 易错点：混淆a,b,c关系、漏看焦点在x/y轴上、范围题忽略椭圆本身限制（0<e<1）。 1. 基础目标：牢记离心率定，掌握核心关系，能进行a,b,c三者互化。 2. 能力目标：能从题干几何条件（垂直、等腰、相似、焦半径、焦点三角形）中，建立a,c的等式/不等式，求解离心率。 3. 思维目标：树立几何转代数的解析思想，熟练使用定义法、几何法、方程法解题，不盲目联立计算。 4. 应试目标：选择/填空题1分钟内快速解题，解答题稳定拿到第一问分数。 离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。 知识点一：求离心率的方法． 求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可）， 1.利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解； （1）特殊三角形与离心率 这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单. （2） 平行四边形与离心率 与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法. （3） 圆与离心率 借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等. 2.利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数） 3.通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 知识点二：离心率的范围问题． 在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： 1.借助题目中给出的不等信息 题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口； 基本步骤： ①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等； ②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解. 2.借助函数的值域求解范围 若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可； 基本步骤： ①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； ②通过确定函数的定义域； ③利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 3.借助平面几何图形中的不等关系 基本步骤： ①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系， ②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式， ③解不等式，确定离心率的范围. *建立不等式* 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围． 知识点三：求椭圆离心率常用公式 椭圆离心率公式1： 椭圆离心率公式2： 证明： 椭圆离心率公式3：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率 证明： 由正弦定理得： 由等比定理得：， 即 ∴。 椭圆离心率公式4：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点，=，=β，则 证明：由正弦定理有 椭圆离心率公式5：点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时， 注：而不是 知识点四：椭圆的概念和简单几何性质 1.椭圆第一定义： 一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 2.椭圆第二定义 定义: 平面内一动点到一定点与到定直线距离的比为常数 拓展：椭圆、双曲线的左右准线分别为 焦半径与第二定义 点P是椭圆上一动点，则有： （1）.焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)； （2）.|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； 椭圆焦半径： (1) 坐标式 1　 椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. 2　 椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. (2) 长度范围 若为任意焦点，为椭圆上一动点，则有； 3.椭圆第三定义 若椭圆上存在任意两点 关于原点对称, 点 为椭圆上异于 的任意一点, 有 第三定义，又叫中点弦定理 1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. 2.AB是椭圆的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则 知识点五：与圆锥曲线离心率有关的二级结论： 结论1（最大顶角）：在椭圆焦点三角形中，∠，则当为短轴端点时，最大，且椭圆的离心率， ; 结论2（最大顶角）：设为椭圆上一点，,, ∠, 则当为短轴端点时，∠且椭圆的离心率 ; 结论3（斜率乘积）：在椭圆中，若直线与椭圆相交于两点， 是弦的中点，则. 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有 知识点六：焦点弦定理 过椭圆的焦点F 的弦 与对称轴 (椭圆是长轴) 的夹角为且 则（为离心率），直线的斜率记为,则 （1）若焦点在轴上，，,(焦点在 x轴上，e为离心率); （2）若焦点在轴上，，,(焦点在 y轴上，e为离心率) 知识点七：焦点三角形：双底角型 1　 设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有； 2　 椭圆焦点三角形面积： 3　 顶角： 椭圆顶角在短轴顶点处最大。 若、为，为椭圆上一动点，，则，故点为上下顶点时角度最大． （一）椭圆离心率的求值 1. 定义法求离心率 设点为椭圆上一点, 为椭圆的两个焦点, 那么我们根据离心率公式及定义有: 在椭圆中, 2. 运用通径求离心率 3. 运用求离心率 4. 运用求离心率 5. 结论求离心率（A,B为椭圆上任意两点，M为直线AB中点） 6. 运用正弦定理余弦定理求离心率 7. 运用相似比求离心率 8. 求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 9. 运用几何关系求离心率 （二）椭圆扁平程度： 因为，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆 （3) 求离心率取值范围 【解题策略】 解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解． (四）离心率问题中的共焦点问题 【解题策略】 在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，学生面对此类问题往往束手无策，下面介绍下与此类问题有关的两个结论。 已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则 Ⅰ．； Ⅱ．＋＝1． 【方法技巧】 结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减． 结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．然后使用结论Ⅱ：＋＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方． （五）与离心率问题有关的参数问题 【解题策略】 有些离心率问题，如果题设条件中含有参数，同时参数的取值范围已知或易求解，首先找出离心率和参数之间的关系，进而求出离心率的取值范围。 解析几何中与参数有关的问题的思考途径与常用方法: 1.应用判别式建立不等式关系; 2.根据曲线的范围建立不等关系; 3.挖掘曲线的隐含不等式; 4.利用题设条件中的不等关系. 一：求椭圆的离心率 题型01：利用几何性质 【典型例题】直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称关系和垂直关系可知四边形为矩形，结合直线倾斜角大小可确定，由此利用表示出，结合椭圆定义可构造齐次方程求得离心率. 【详解】 记椭圆的左焦点为， 由对称性可知：四边形为平行四边形，， ； ，，四边形为矩形，， 又，，又，， ，，， 椭圆的离心率. 故选：C. 【变式训练1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】利用题给条件求得，进而求得椭圆的离心率 【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率 故答案为： 【变式训练1-2】已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据顶点坐标求出以线段为直径的圆的方程，根据直线与圆相切求出，再根据以及离心率公式可求出结果. 【详解】因为、， 所以以线段为直径的圆的方程为：， 因为直线与圆相切， 所以，化简得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 题型02：建立关于a和c的一次或二次方程 【典型例题1】已知分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆的右顶点，为坐标原点，若椭圆上的一点满足，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【解析】由得 ,由得 ,所以 ,选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 【典型例题2】设椭圆的左右焦点为，焦距为，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下： 由得， ， 由 即， 整理得， 则， 得 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题. 【变式训练2-1】已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得出，，利用余弦定理可求得，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】因为点是椭圆上位于第一象限的点，， 所以，为锐角， 因为是顶角为的等腰三角形，但，故， 所以，， 由余弦定理可得， 由椭圆定理可得，故. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【变式训练2-2】椭圆的左、右焦点为，过作直线垂直于x轴，交椭圆C于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何关系，由得a、b、c的齐次式，然后可得. 【详解】∵ 轴，∴ ．∵ 为等腰直角三角形，为AB中点，∴ ，∴ ，化为 ．解得 ． 故选：A． 【变式训练2-3】椭圆的半焦距为，若抛物线与椭圆的一个交点的横坐标为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程得交点坐标，代入椭圆方程得的齐次方程，变形后可求得． 【详解】由题可知交点的坐标为，代入椭圆方程可得 ∵ ∴ ∴，因为，故解得． 故选：B 【变式训练2-4】已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，所以， 由，得， 又，所以， 在中，由， 得，即，所以， 即的离心率为. 故选：A. 题型03： 利用坐标法代入椭圆方程 【典型例题】已知椭圆与圆交于两点，若四边形（为原点）是菱形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心的坐标结合椭圆及圆的对称性以及四边形是菱形，确定A点的坐标，代入椭圆可得的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】圆的方程可化为：，且圆心， 则菱形对角线的交点坐标为，将代入圆的方程，得， 不妨设点A位于第一象限，则，代入椭圆方程可得， 整理可得：，则：. 故选：B. 【变式训练3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 【答案】 【分析】将代入椭圆的方程得，设，由，根据向量的坐标运算得，代入椭圆方程得，进而求解椭圆的离心率，得到答案． 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆的左右焦点分别为， 将代入椭圆的方程，可得，可设， 由，即, 所以，即，可得， 代入椭圆方程可得，即， 又由，整理得，即， 所以椭圆的离心率为． 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中涉及到椭圆的标准方程，向量的坐标运算等知识的综合考查，其中根据向量的坐标运算，求得点C的坐标，代入椭圆的方程得出是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 【变式训练3-2】如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，是的三等分点（靠近点），为椭圆的右焦点，的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【详解】设A ，B ，F ，椭圆方程为， 令，可得，即有M ，由C是AB的三等分点（靠近点B）， 可得C ，由O，C，M共线，可得，即为，即有， ，则． 【变式训练3-3】如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率 . 【答案】 【分析】由平行关系得出对应线段成比例，得到，表示出坐标，代入椭圆方程，得出结果. 【详解】因为椭圆的离心率为，则，， 又因为，即，则， 则.设，则， 所以. 由 解得所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：椭圆离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定，，的等量关系或不等关系，然后把用，代换，求的值． 【变式训练3-4】已知椭圆：的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上， 则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】P设为，由点，关于直线对称可列方程组解出P点坐标，将P点坐标代入椭圆方程，即可化简得关于e的方程，从而解出e. 【详解】椭圆左焦点坐标为 ，它关于直线 的对称点P设为， 则有，解得，即 . 则有 ，整理可得：， 又，整理可得：，即， 因为椭圆的离心率 ，则有，即. 故选：D 【变式训练3-5】已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程，由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标 坐标，求得垂直平分线方程，当时，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得，即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为倾斜角为的直线过点，即直线的斜率为1， 可知直线必与椭圆C相交， 设直线的方程为: ，，线段的中点， 联立方程 ，化为， 则， 可得， 且，，即， 可得的垂直平分线为:， 令 ，解得 ，即， 可知， 由题意可得：，则 ， 所以椭圆的离心率为. 故答案为: . 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 题型04: 利用椭圆第一定义 【典型例题1】嫦娥奔月是中华民族的千年梦想，2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（    ） A．圆形轨道的周长为 B．月球半径为 C．近月点与远月点的距离为 D．椭圆轨道的离心率为 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义和几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为， 可得环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以A错误； 则月球半径为，所以B错误； 则近月点与远月点的距离为，所以C正确； 设椭圆方程为，则， 解得， 所以椭圆的离心率为，所以D错误. 故选：C. 【典型例题2】已知椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与椭圆C交于点A，B，若|AF1|＝|AB|＝5，|F1B|＝6，则椭圆C的离心率为_____. 【答案】. 【分析】设椭圆的长轴长为，可得．即有，，在中，由余弦定理可得．在△，中由余弦定理可得，即可求解． 【详解】如图： 设椭圆的长轴长为， ． ，， ． 即有，， 在中，由余弦定理可得 在△，中由余弦定理可得． 故答案为：． 【典型例题3】已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 __． 【答案】 【分析】由题意得到，即，进而求得，结合，得到，即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为，，则， 所以, 且， 所以， 又由，即，即， 所以. 故答案为：. 【变式训练4-1】设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点A，使，且，则椭圆离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设分别是椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义可知： ，所以，所以．若椭圆上存在 点，使，所以，所以，所以，故应选． 【变式训练4-2】分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于A、B两点，已知，，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：设，则由，得，所以，，所以，解得，在中，，即，把代入得，所以，故选A． 【变式训练4-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，连接交y轴于点Q，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设边长为，即， 由题意数形结合易证得，，即． 在中由题意可得， ， ． ， ．故C正确． 【变式训练4-4】已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据离心率求出的关系，根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案. 【详解】设椭圆的焦距为，因为离心率为，所以，； 因为为等腰三角形，且在第一象限，所以， 由椭圆的定义可得. 设直线的倾斜角为，则，，； 所以. 故选：B. 题型05: 椭圆第二定义和焦半径公式 【典型例题1】已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为____. 【答案】 【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到，然后利用计算即可. 【详解】如图， 作垂直右准线交右准线于点，作垂直右准线交右准线于点 作垂直于点 由，设，则 由 所以， 又直线的斜率为，所以 所以 故答案为： 【典型例题2】已知点是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用勾股定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知：， 由平分，则， 因为，所以， 由是关于直线的对称点，则共线，，，， 所以，在中，， 可得，解得，， 在中，由勾股定理，可得， 代入可得：，化简可得：， 所以其离心率. 故答案为：. 【变式训练5-1】已知椭圆C：()，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A､B两点，满足，则椭圆C离心率的最小值是______. 【答案】 【分析】如图：过点作准线于，准线于，交准线于，准线交轴于，计算，解得答案. 【详解】如图：过点作准线于，准线于，交准线于，准线交轴于. ，则，故， 故，，即，解得. 当取右顶点，取左顶点时等号成立. 故答案为：. 【变式训练5-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（    ） A．实数a越小，椭圆C越圆 B．若，且，则 C．当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据离心率得到越大，越大，椭圆C越扁； B选项，根据，得到，又因为，得到方程，求出，，得到离心率； C选项：设出的方程，联立椭圆方程得到两根之和，两根之积，结合求出的值，从而求出直线斜率； D选项，表达出，，从而得到方程，求出，进而表达出，即可判断D； 【详解】A选项，因为，所以，此时，故椭圆的离心率为， 越大，越大，椭圆C越扁，A错误； B选项：因为，则， 又因为，则，故， 又因为， 解得，，故，B正确； C选项：当时，椭圆C： 且， 当过的直线斜率为0时，此时A在轴上，不符合要求，舍去， 设过的直线的方程为， 因为点A在轴的上方，且，所以直线的斜率大于0， 联立得，，设，， 则，，所以， 解得，负值舍去， 所以直线的方程的斜率为，C错误； D选项：设，则，所以， 则 ， 同理可得，由，得， 故，则， 又因为，， 故 ，D正确； 故选：BD. 【点睛】椭圆的焦半径公式： （1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，，则，. （2）椭圆上一点，其中椭圆上下焦点分别为，，则，. 题型06： 椭圆第三定义（中点弦定理） 【典型例题1】若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入椭圆得，由根与系数的关系可以推出线段中点坐标为，再由原点与线段中点的连线的斜率为，能够算出，进而利用离心率的计算公式求出即可. 【详解】解：把代入椭圆得， 整理得. 设，，则，. 线段中点坐标为， 原点与线段中点的连线的斜率. 由椭圆，可知，，则. 则椭圆的离心率. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， ，， 故椭圆的离心率. 故选：B. 【典型例题3】过原点的直线与椭圆，交于两点，是椭圆上异于的任一点.若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【答案】. 【详解】当为轴时，则.故取. 于是，. 因此，. 所以，. 【变式训练6-1】已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得，并得到中点坐标；利用点差法可构造等式求得，根据椭圆离心率可求得结果. 【详解】关于直线对称，， 又中点纵坐标为，中点横坐标为； 设，，则， 两式作差得：，即， ； 又，，，解得：， 椭圆的离心率. 故选：A. 【变式训练6-2】已知椭圆上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入椭圆的方程，表示出，由即可得，据此即可求出离心率. 【详解】由已知可设. 设,由题设可得,,所以. 因为, 所以,则,所以. 故选：C. 【变式训练6-3】椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出，得到，根据斜率之积列出方程，得到，结合，求出，求出离心率. 【详解】由题意得：，设，，故， ，故， 解得：， 由，得到，即， 离心率. 故选：D 【变式训练6-4】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，求椭圆的离心率. 【答案】 【分析】利用椭圆点差法，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】解：设，，则， ， ∴， ∵，，， ∴，∴. 又∵， ∴，∴，∴. 【变式训练6-5】已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可设点坐标为，则，即，由，则，整理解方程即可. 【详解】设点坐标为，则，， 不妨设， 则， 整理可得，即， 或（舍）， 故选：C 【变式训练6-6】已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设另一个焦点为，则由题意可知, 且,, 所以. 故选：A. 【变式训练6-7】设椭圆的左顶点为，左焦点为，离心率为，（为坐标原点）． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为正数的直线与椭圆在上方的交点为，为线段的中点，若．求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设椭圆半焦距为c，根据给定条件列出方程组，求解作答. （2）令椭圆右焦点，根据给定条件可得，设出点的坐标，借助向量数量积建立关系，再与椭圆方程联立求解作答. 【详解】（1）设椭圆半焦距为c，依题意，，，解得，则， 所以椭圆的方程为：. （2）由（1）知，，椭圆右焦点，在中，为线段的中点，而是线段中点，则， 因，则有，设，， 则，又，消去并整理得， 显然，，解得，则，点，直线AP斜率， 所以直线的方程为：，即. 题型07：椭圆的焦点三角形模型 【典型例题】已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距. 【详解】设椭圆方程为，依题意可知，， 解得，所以椭圆的焦距为. 故选：A 【变式训练7-1】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为e，下列说法正确的是（    ） A．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 B．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 C．当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形 D．当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形 【答案】AD 【分析】根据椭圆的对称性对每一种情况进行讨论分析可求解. 【详解】对于A，当时，可得，要使得为直角三角形， 则或或. 易知：当为上、下顶点时，，有种情况， 当时，，有种情况， 同理，当，也有种情况.故共有6个不同的点，使得为直角三角形， 选项A正确. 对于B，当时，可得，要使得为等腰三角形， 则或或. 根据对称性易知，以上每一种情况都有种等腰三角形，故共有个等腰三角形，故B错误. 对于C，当时，可得，当点在上顶点或下顶点时最大，且最大角为，故要使得为直角三角形， 则或. 当时，，有种情况， 同理，当，也有种情况.共有4个不同的点，使得为直角三角形，故选项C错误. 对于D，要使得为等腰三角形， 则，点P为上下顶点，此时有两种； 或，，因为椭圆离心率， 所以，，此时点P为上下顶点； 或，此时点P为上下顶点； 故共有个等腰三角形，故D正确. 故选：AD 题型08：利用正弦定理运用求离心率 【典型例题】已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若，且,则C的离心率为（ ） A. 1-    B. 2-    C.    D. -1 【解析】===-1 【变式训练8-1】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 可得， 又由，所以， 所以 . 故选：B. 【变式训练8-2】已知是椭圆短轴上的两个端点，O为坐标原点，点A是椭圆长轴上的一个端点，点P是椭圆上异于的任意一点，点Q与点P关于轴对称，给出以下命题，其中所有正确命题的序号是 ． ①当P点的坐标为时，椭圆的离心率为； ②直线的斜率之积为定值； ③； ④的最大值为； ⑤直线的交点M在双曲线上． 【答案】①④⑤ 【分析】利用点在椭圆上可判断①，利用椭圆方程可判断②③⑤的正误，利用正弦定理可判断④的正误. 【详解】①把点的坐标代入椭圆的方程，可得， 所以，所以是正确的； ②设，则，所以，所以不正确； ③因为点在圆外，所以， 所以，所以不正确； ④设，由椭圆的对称性不妨设， 则， 故恒为正,当时，取最小值， 故当为长轴的顶点时，最小且为锐角， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得：，所以正确； ⑤直线的方程为：，直线的方程为， 两式相乘可得：，化为， 由于点不与重合，所以的轨迹为双曲线的一部分，所以正确． 【变式训练8-3】已知为椭圆：（）上一点，，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率 【答案】/ 【分析】根据题意由和差化积公式可得，再由正弦定理和诱导公式即可求得该椭圆离心率. 【详解】利用和差化积公式可得：. 由两边同时乘以可得：，即. 设，，，则. 在中，由正弦定理可得， 所以. 所以该椭圆离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知角的关系利用和差化积公式得出，再由正弦定理实现边角互化求得离心率. 题型09：利用余弦定理 【典型例题】已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到. 【变式训练9-1】已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义求出，由余弦定理求出方程，求出离心率. 【详解】由椭圆定义可得，又， 故， 由余弦定理得， 故，故， 解得，故离心率为 故答案为： 【变式训练9-2】已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由椭圆的定义可得，结合余弦定理可得，再利用椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】设，则， 在中， ， 所以， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 【变式训练9-3】已知,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与C交于A,B两点,若,,则（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．若椭圆C的短轴长为2,则椭圆C的方程为 D．直线的斜率的绝对值为 【答案】AC 【分析】设出,根据等式关系,分别求出,再根椭圆定义即可得,将中各个边长用表示,可发现是直角三角形,根据直角三角形中正切值的计算公式即可判断选项A正误;根据,在中,由勾股定理即可得离心率,判断选项B正误;根据离心率及短轴长为2,即可得选项C正误;直线的斜率即为,根据离心率可找到,在中,由余弦定理可得,进而可得,从而判断选项D正误. 【详解】解:由题知,, 不妨设,则,即, 由椭圆的定义可知: , 所以, 因为,即,解得, 所以,显然, 所以是以为直角的直角三角形,所以,故选项A正确; 因为且, 所以在中,由勾股定理知: , 解得,故离心率,故选项B错误; 由于,因为,可得, 故椭圆方程为: ,故选项C正确; 根据对顶角相等可知等于直线的倾斜角, 由于,,所以, 在中,所以由余弦定理可得: , 所以,所以选项D错误. 故选:AC 题型10： 焦点三角形双余弦定理模型 【典型例题】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根据，得到方程，解得. 【详解】解： ，， 在和中利用余弦定理可得 即 化简可得 同除得：解得或（舍去） 故选： 【变式训练10-1】椭圆的左右焦点分别为为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足，若构成公比为2的等比数列，则C的离心率为__________． 【答案】 【分析】设，进而结合题意，根据椭圆的定义得，，再结合余弦定理，根据得，进而可求得答案. 【详解】解：设，因为构成公比为2的等比数列， 所以， 因为由椭圆的定义知，， 所以，即， 所以在中，， 在中，， 因为， 所以， 所以，整理得，即， 所以，椭圆的离心率， 故答案为： 【变式训练10-2】已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，设，则，利用椭圆的定义求出的表达式，在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出的表达式，代入离心率公式求解即可. 【详解】根据题意，作图如下： 设，则，由椭圆的定义知， ，， 因为，所以，在中，由余弦定理可得， ， 在中，由余弦定理可得，， 即，解得， 所以，所以椭圆离心率. 故答案为： 题型11： 焦点弦与定比分点 【典型例题】椭圆：的左焦点，上顶点A，直线与椭圆的另一交点为M，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求得M的坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】解：因为，，，， 所以，则， 因为在椭圆上， 所以， ∴， ∴， 故选：A. 【变式训练11-1】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与构建出关于a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得. 【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线， 直线方程为：，联立方程，可得 根据韦达定理：， 因为，即，所以 所以 即，所以，联立，可得 故选：D. 【变式训练11-2】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，由此可求出点的坐标，再把点的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率. 【详解】由题意得，设 因为，所以， 所以，得，即 因为点在椭圆上， 所以，化简得， 所以离心率， 故选：B. 题型12：点差法求椭圆的离心率 【典型例题1】直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率. 【详解】如图所示， 因为，所以， 所以， 设， 则，两式相减得， 则， 因为直线，为线段中点，， 所以，， 代入上式得，则， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 【典型例题2】过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据点差法的知识，设点的坐标，代入曲线方程，作差，化简整理即可. 【详解】设则两式作差得 整理得 又是线段的中点，且直线的斜率为， 即 故答案为：. 【变式训练12-1】斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得. 【详解】设，，线段AB的中点为E， 由，，两式相减可得， 即，又由，，则， 设直线的方程为，（），可得，， 又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得， 所以，所以，即， 得， 故选：A 【变式训练12-2】已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D. 【详解】如图所示： 根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确； 椭圆C的离心率为，故选项B不正确； 不妨设，则，， 两式相减得，变形得， 又注意到点为线段的中点，所以， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即，故选项C正确； 因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确. 故选：AC． 【变式训练12-3】已知椭圆C：的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为 ． 【答案】/0.75 【分析】设，根据，得，，应用点差法求得，结合离心率即可求解. 【详解】设，因为直线斜率为正，设为，所以可设点在第一象限， ，，且A，B，P，Q四点共线， ，， 又，，，， 在椭圆上，，， 两式相减可得，，， 又，， ，即，， ，又直线斜率为正，． 故答案为：. 题型13: 椭圆与四心 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得的周长为，内切圆的半径为，再结合等面积法得，再平方整理得，再求离心率即可； 【详解】解：由题知为上一点， 所以，， 所以的周长为， 因为的内心为 所以，内切圆的半径为， 所以，由三角形内切圆的性质知，，即， 两边平方并整理得，即， 所以，离心率为 故选：C 【典型例题2】已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________． 【答案】 【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到的关系，即可求解离心率. 【详解】设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得， 由于，所以的纵坐标为， 由于是的内心，所以内切圆的半径为， 由椭圆定义得， ， ， 故答案为： 【变式训练13-1】已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率. 【详解】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴  ∴I的纵坐标为， 在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即为内切圆半径， 内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形， ， 即，， ∴椭圆C的离心率. 故选：A 【变式训练13-2】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和G为重心判断出，再利用求出， 借助椭圆定义求出，最后勾股定理建立等式解出离心率即可. 【详解】 如图，连接并延长交于，连接.由得， 即，所以，又G为重心，所以是等腰三角形，， 由得，，又由椭圆定义. ，即，化简得，故离心率为. 故选：B. 【变式训练13-3】已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得的内切圆的半径为，根据，即可得到、，再根据，即可得到关于的方程，解得即可； 【详解】解：依题意，因为的内心，所以的内切圆的半径为， 所以 由，所以，因为，所以 即，所以，解得或（舍去） 故选：A 【变式训练13-4】已知椭圆的两个焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是______． 【答案】 【分析】首先根据题意，画出图像，利用向量变形得，，再结合内心的性质得到，然后利用余弦定理得,再结合焦点三角形的面积公式即可求解. 【详解】不妨设为下焦点，为上焦点，延长交于，如下图； 分别记，，，面积为，，，， 以，为基底表示， 又，，三点共线，，， ∴， 由内心的性质知，， 不妨令，，，由椭圆的第一定义，且，在中，余弦定理得，∴，∴，∴， ∴，． 故答案为： 【变式训练13-5】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，离心率； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程． 【答案】(1)＋＝1 (2)＋＝1 (3)＋＝1或＋＝1 【分析】（1）根据椭圆的焦点结合离心率求得的值，进一步计算得到椭圆的方程； （2）根据题意得出为等腰直角三角形，得到，再由，求得的值，即可求得椭圆的方程； （3）由所求椭圆与椭圆有相同离心率，得到，分类讨论，即可求得椭圆的方程. 【详解】（1）（1）依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又，则a＝4， ∴b2＝a2－c2＝42－32＝7， ∴椭圆的方程为． （2）设椭圆方程为，如图所示， 由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8， 可得为等腰直角三角形，为斜边的中线(高线)， 又由，所以，所以， 故所求椭圆的方程为. （3）由题意，椭圆，可得长半轴，短半轴， ， 因为所求椭圆与椭圆有相同离心率，可得， 解得，即， 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为， 综上可得，椭圆的方程为或. 题型14：内切圆问题 【典型例题】椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由①得原点到直线AB的距离，求得，由②得，求得，从而，两边同除以得，又，即可解得． 【详解】设左顶点，上顶点，则直线AB的方程为， 以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离， 即，即，即，所以， 长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则，所以， 综上，，即，两边同除以得，又，解得． 故答案为：． 【变式训练14-1】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，熟悉离心率公式即可，第二问的关键是利用数形结合，由结合椭圆定义、三角形的面积公式即可顺利求解. 【变式训练14-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【分析】设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，结合椭圆定义建立的关系求得. 【详解】 设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，，， 由对称性知， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 题型15：椭圆与圆 【典型例题1】已知点P在椭圆上，点Q在圆，其中c为椭圆C的半焦距，若的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆与椭圆的性质求解， 【详解】点在椭圆上，则的最大值为，圆的半径为， 则的最大值为，故， 故选：D 【变式训练15-1】已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________． 【答案】 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心，在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出，的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上，如图， 设圆、与轴的切点分别为，， 由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上， 所以， 由椭圆的定义知，则， 有，， ，， 又圆与圆的面积之比为，所以圆与圆的半径之比为， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率. 故答案为： 【变式训练15-2】已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记上焦点为，圆心为，由线段成比例得出，且，于是有，然后由椭圆定义和垂直得出关于齐次等式，化简后可求得离心率． 【详解】如图，记上焦点为，圆心为，则，连接，， ，，又，则， 所以，， ，则， 由椭圆定义， 又，所以，所以， ，即，， ，所以． 故选：B 题型16： 椭圆与双曲线共焦点 若椭圆和双曲线共焦点：（为焦点三角形顶角 【典型例题1】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，并且，，在中根据勾股定理可得到：该式变形即可求解． 【详解】解：如图， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： 得， ，，设，， 在中由勾股定理得， 化简得：该式可变成：，即． 故选：C. 【典型例题2】已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（      ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为， 由于线段的垂直平分线过，所以有. 根据双曲线和椭圆的定义有， 两式相减得到，即， ， 所以， 当且仅当即等号成立，即最小值为. 故选：B. 【变式训练16-1】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的一个交点，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，如下图： 由椭圆和双曲线的定义可得：， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， ， ， ， . 故选：B. 【变式训练16-2】设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出，可得，得 ，就得到了的关系，最后利用基本不等式求得最小值. 【详解】 解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义， 由椭圆的定义，又，故， 得，将代入得， ∴． 故选：B． 【变式训练16-3】已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10， 则有m＝10，n＝2c， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有， 由离心率公式可得， 因为，所以，，则，， 故，，则，即， 故的取值范围是. 故选：B． 【变式训练16-4】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率 C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得 【答案】ABD 【分析】设，则点，由点在椭圆和双曲线的渐近线上可求出椭圆和双曲线的离心率，分别令点为椭圆上顶点、点为双曲线的顶点时可判断C、D选项，即可得解. 【详解】如图，设，则由正六边形性质可得点， 由点在椭圆上可得，结合可得， 椭圆离心率， 当点为椭圆上顶点时，，此时； 点在双曲线的渐近线上可得即, 双曲线的离心率为, 当点为双曲线的顶点时，易知. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题. 【变式训练16-5】【多选】如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则的方程为 【答案】BCD 【分析】利用双曲线的标准方程及椭圆方程可得判断A，利用切线长性质结合双曲线的定义可判断B，利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式可判断C，利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程判断D. 【详解】对于A：由可得，所以，故A错误； 对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K， 可得，，，又因为， 所以，又， 解得，， 可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，故B正确； 对于C：在椭圆中，，，则， 由，得 ，解得a＝3， 则的离心率，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 若，则， 又c＝2，，解得，， 则椭圆的方程为，故D正确． 故选：BCD. 【变式训练16-6】已知，椭圆的方程为，双曲线的方程是，与的离心率之积为，则的渐近线方程为__________． 【解析】设曲线，的离心率分别为，，则，， ，即 因为双曲线的渐近线方程为：，代入可得： 二：离心率的取值范围 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围 【典型例题】椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是（    ） A．（0，） B．（，] C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，由得到a的范围，然后利用离心率又，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上， ∴，解得：， 又， ∴它的离心率的取值范围为， 故选：C. 【变式训练1-1】已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据焦距求出的范围，然后离心率的公式可得答案. 【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为． 因为，所以，，则，解得， 此时，所以． 故选：C. 【变式训练1-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题设可得，结合椭圆参数关系及离心率性质求离心率范围. 【详解】依题意，，即，所以， 从而，即，所以，又， 所以椭圆离心率的取值范围是． 故答案为： 【变式训练1-3】（多选）已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（    ） A． B．的离心率为 C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短轴长的取值范围是 【答案】AC 【分析】由曲线为焦点在x轴上的椭圆，得出和，根据即可判断A；根据椭圆离心率即可判断B；表示出椭圆的焦距，由函数的单调性即可判断C；由的范围即可得出的短轴长的取值范围，从而判断D． 【详解】对于A：根据题意知椭圆的标准方程为， 因为C的焦点在x轴上， 所以，即，故A正确； 对于B：由A可得，， 所以椭圆的离心率，故B错误； 对于C：椭圆的焦距， 因为函数，在上都是单调递减的， 所以m的值越小，的焦距越大，故C正确； 对于D：椭圆的短轴长， 因为当时，， 所以， 所以，故D错误， 故选：AC． 题型02：椭圆的有界性 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 【典型例题1】已知是椭圆 的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的，两点满足，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，.由已知可得.进而根据椭圆的方程消去，得到.然后根据椭圆的范围，即可求出，进而求出答案. 【详解】设， ，. 则，， 由已知可得，，即， 整理可得. 因为，所以， 所以， 又由题意可得，所以. 又，所以， 所以，即，所以. 故选：C. 【典型例题2】已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同的两点使得，则该椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，求出坐标，根据可得， 把代入椭圆方程得，根据的范围可得答案. 【详解】设，， 则， 因为，所以，可得， 由可得，两式相减可得， 因为上存在不同的两点，且，所以，解得， 又，所以. 故答案为：. 【变式训练2-1】已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可表示出，由可整理得到，根据可构造齐次不等式求得离心率的取值范围. 【详解】设，则，； ，整理可得：，即， 又，，则，，又， 的取值范围为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果. 【变式训练2-2】如图，已知，为椭圆的左右焦点，椭圆上存在点使为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由最大当且仅当P在短轴端点处，结合已知条件，利用直角三角形中的边角关系得到的大小关系，进而得到a、c的不等关系，然后得到结果. 【详解】当点为短轴端点时最大，当点为短轴端点时，因为， 由题意可知，只需，所以，所以 所以，即，所以， 又因为，所以 故答案为: 【变式训练2-3】已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由椭圆的切线方程及圆心到直线的距离列出方程，根据方程有解得出不等式，求出离心率范围即可. 【详解】如图，    的面积最大值为存在直线使到直线的距离为， 设，则为， 到的距离为有解， 平方整理得，即①， 又② 两式相减得，所以有解， 又，即， 所以， . 故答案为： 题型03：临界关系求离心率的取值范围 【典型例题】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线所成的角为，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线所成的角为，可知，由题知，解得，又即可得出结果. 【详解】设过的两条直线与圆分别切于点， 由两条切线所成的角为，知：， 又在椭圆上， 所以，即得， 所以， 所以椭圆的离心率， 又， 所以 故答案为：. 【变式训练3-1】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果. 【详解】设，，则， 在中， ， 所以， 所以， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 【变式训练3-2】已知椭圆 C的焦点为 为 C 上一点满足，则C 的离心率取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，利用余弦定理可得，再结合基本不等式推出，即可求得答案. 【详解】设椭圆C的方程为， 设，，则， 在中，，有, 得，即， 故，因为，即，当且仅当时取等号， 故，即，故 ， 解得，由，所以C的离心率取值范围是， 故答案为： 【变式训练3-3】已知椭圆C： ，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当P为椭圆的上下顶点时，可得存在点M，N使得； 当P不为椭圆的上下顶点时，将点M，N位置特殊化，从而得到直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，因为，所以，并通过，，得到，从而计算出，的不等关系以及椭圆的离心率. 【详解】连接OP，当P不为椭圆的上下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，设， 因为存在点M，N使得，所以， 所以，所以， 可得，而，即，可得， 所以椭圆的离心率， 当点P位于椭圆的上下顶点，点M、N位于圆O与x轴的左右交点时， 所以此时在圆O上存在点M，N使得． 所以椭圆C的离心率的取值范围是． 故答案为： 题型04：和差最值的应用 【典型例题1】设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】因为点在椭圆的内部，所以①，而②，，由①②得，即.所以. 因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 【典型例题2】设椭圆左、右焦点分别，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在椭圆外部得不等关系，变形后得离心率的一个范围，利用椭圆定义变形后，结合题意得不等关系，从而得的一个范围，再结合可得结论． 【详解】∵点在椭圆的外部，则，可化为， ∴，即． 由椭圆的定义得， ， ， 又∵恒成立， ∴，解得，即， 又，综上可得， 即椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 【变式训练4-1】设椭圆：的左､右焦点分别为，，，过作轴的垂线与椭圆在第一象限的交点为.已知，，是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用得到，再结合三点共线求出的最大值，结合不等式，求出离心率的范围即可 【详解】 ∵，，∴， 又∵，∴，而且椭圆离心率，综上. 故选：D. 【变式训练4-2】设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在椭圆外部得一不等关系，变形后得离心率的一个范围，恒成立，利用椭圆定义变形后，结合平面上两点间距离的性质得一不等关系，从而以得的一个范围，两者再结合椭圆的性质可得结论． 【详解】∵点在椭圆的外部,则，可化为， ∴，即． 由椭圆的定义得 ， , ∵恒成立， ∴， 解得，即． 所以椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 【变式训练4-3】设椭圆：的左、右焦点、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在椭圆的内部，可得，即可求出的一个范围； ，由恒成立可得到，即可求出的另外一个范围. 【详解】点在椭圆的内部， ∴ 或， 又 ∴. ，∵，且， ∴要恒成立，则，即， ， 综上，椭圆离心率的取值范围是，， 故答案为：. 【变式训练4-4】设椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为、，其焦距为2，点Q（，）在椭圆内部，点P是椭圆上动点，且|PF1|+|PQ|<6|F1F2|恒成立.则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】，． 【分析】点在椭圆的内部，所以，，由，且，要恒成立，即． 【详解】点在椭圆的内部， ，． 所以 又因为，且， 要恒成立，即 所以，，则椭圆离心率的取值范围是，． 故答案为： ，． 【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，考查了椭圆中的范围问题的求法，转化思想是解题关键． 题型05：转化为位置关系 【典型例题1】若椭圆上存在点，满足（为坐标原点），则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程表示，，，再结合椭圆图形得出，求出结果即可. 【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为，，， 由题意知，，， 由椭圆上存在点满足，等价于以为原点，以为半径的圆与椭圆有交点， 得， 所以，解得， 所以．又， 所以的离心率的取值范围为． 故选：D. 【典型例题2】已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质分析出以为直径的圆与椭圆有公共点，得到，消去，即可求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆C的右焦点为，连接． 由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 故选：C 【典型例题3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图，根据图中的几何关系求解. 【详解】由题意作图如下： 设 ， ，则有 ， ， ， ， ， ，得：…① ， 化简得： ，即 ，P点也在以 为圆心半径为c的圆上， 即圆与椭圆必定有不与右顶点重合的交点（与右顶点重合显然不满足题意）， 圆 与x轴除原点外的另一个交点的坐标是 ，并且该交点必须在椭圆外， ，即 ，因为是椭圆，所以 ； 故选：A. 【变式训练5-1】已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得以为直径的圆与椭圆相交，所以，即可求出答案. 【详解】解：由已知，以为直径的圆与椭圆相交，所以， 所以， 故选：D. 【变式训练5-2】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数形结合可知，点不是直角顶点，则由，确定离心率的取值范围. 【详解】当和垂直于时，恰有4个点满足是直角三角形， 由条件可知，点不是直角顶点，则以为直径的圆与椭圆无交点， 则，得，解得：， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B 【变式训练5-3】已知，是椭圆的两个焦点，点是椭圆上的一动点，若，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆与圆的性质，作图，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 其中圆为以为圆心，以为半径的圆，显然，，，，，解得. 故选：A. 【变式训练5-4】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点，求出其轨迹，求出，即得解. 【详解】解：设动点，由题得， 化简得. 所以动点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆. 因为点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点， 所以. 所以椭圆的离心率. 因为椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D 【变式训练5-5】已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，求出椭圆左焦点关于对称点的坐标，根据点和椭圆的位置关系找出不等关系，列出关于的不等式从而求解离心率范围. 【详解】设的半焦距为，则关于直线的对称点的坐标为， 因为落在上或内，所以，所以，则， 两边同时除以，解得. 故答案为：. 【变式训练5-6】如图，椭圆的左、右焦点分别为，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围．    【答案】 【分析】直线上存在点，使得，则以点为圆心，为半径的圆总和线段有公共点，即点到直线的距离，由此列不等式求解即可. 【详解】由题意可知，， 则直线方程为，整理得， 若直线上存在点，使得， 则以点为圆心，为半径的圆总和线段有公共点， 即点到直线的距离， 所以，即， 又， 所以，整理得，即， 又由且可得， 解得. 【变式训练5-7】已知椭圆C :(a>b>0)的右焦点为F，经过坐标原点O的直线交椭圆于A． B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，若存在以MN为直径的圆恰经过坐标原点O，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】， 【解析】设方程为，联立方程组求出，坐标，进而得出，的坐标，由列方程得到关于的方程，令此方程有解得出，，的关系，从而得出离心率的范围． 【详解】设直线的方程为， 联立方程组，消元得， ，，，， 又，，是，的中点， ，，，， 以为直径的圆恰经过坐标原点， ， ， 即， ， ，即， 存在符合条件的直线，使得， 关于的方程有解， ，即，， ，， 又， ． 故答案为：，． 【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围. 题型06：方程联立型 【典型例题1】点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 【典型例题2】已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出线段AB中点横坐标，即可列式求解作答. 【详解】依题意，点，设直线，， 由消去x得：， 则，线段AB的中点， 因为，则有，直线， 令得点，而，有， 又，即，因此，即， 依题意，恒成立，而恒有，因此，离心率， 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 【变式训练6-1】已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式及两平行线间的距离公式求出平行四边形的面积，换元后求出面积最大值，再由矩形面积最大列式求得的范围． 【详解】椭圆C：的焦点在x轴上， 设所在直线方程为，其中为椭圆的半焦距. 则由 得 设，则， 所以， 因为所在直线方程为， 所以直线与的距离为： ， 设，则， 则 要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可. 根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大. 即当时有最大值，也即是时最小， 由函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为函数在上，当时取得最小值，则. 所以，即，所以， 同时除以可得，解得, 故选：A 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质 【变式训练6-2】已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意联立方程求点的横坐标，由结合弦长公式整理可得关于的方程有且仅有一个解，分类讨论运算求解. 【详解】由题意可得：， ∵直线的斜率存在且不为0，设为，则直线， 联立方程，消去y得：，解得或（舍去）， 即点B的横坐标为， 同理可得：点C的横坐标为， 由题意可得：，即， 整理得：， 由题意结合椭圆的对称性可得：关于的方程有且仅有一个解，则有： 当是方程的根，即，则， 若，则有且仅有一个解，即符合题意； 当不是方程的根，则在内无零点， ∵，则的对称轴， ∴，解得； 综上所述：，故椭圆离心率. 故选：B. 【点睛】易错点点睛： 在处理关于的方程有且仅有一个解的问题时，注意到该方程一定有一解，则需要讨论是否为的根. 【变式训练6-3】椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，利用不等关系，转化求离心率的取值范围. 【详解】设过点F的直线l的直线方程为与椭圆交于A，B两点， 设点，，联立方程得， 整理为：， ，， 若恒有，则， 所以是钝角，即， ，， ，整理为恒成立， 所以，即，整理为， 解得：或（舍） 所以，离心率， 故答案为： 题型07：焦半径范围的应用 , 【典型例题1】已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，椭圆C的半焦距为c，根据椭圆的定义以及可得，再根据可得，从而可得. 【详解】设，，椭圆C的半焦距为c，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 则，所以. 故选：A. 【典型例题2】若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别， 所以，得到， 又，所以，得到，故. 故选：C. 【变式训练7-1】已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出和，再借助焦点三角形建立不等关系求解即得. 【详解】因点P在椭圆上，则，又， 于是得，， 而，当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”， 即，解得， 所以，椭圆的离心率取值范围是. 故选：D. 【变式训练7-2】设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，由此列出满足的不等式关系，即可求得答案. 【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点， 则, 且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，    即，即，又， 故椭圆离心率的取值范围是， 故选：C 【变式训练7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围. 【详解】由，得 ，得， 又，则， ∴，即， 又，∴． 故选：B． 【变式训练7-4】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解. 【详解】因为，所以， 由椭圆的定义得：，解得， 因为，所以， 两边同除以a得，解得 ， 因为 ，所以， 所以该离心率的取值范围是 故选：D. 【变式训练7-5】设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【分析】在△ 中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率. 【详解】由，，设，，在 中，由正弦定理有：， 离心率，则  ；解得：， 由于，得， 显然成立， 由有，即，得， 所以椭圆离心率取值范围为. 故选：C 【变式训练7-6】已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角平分线的性质定理有 ，再根据线段之间的关系建立不等式可求解. 【详解】因为是的中点，是的中点，所以， 因为平分，所以 ， 因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是． 故选：A． 题型08：焦点弦定比分点 运用e=求离心率 【典型例题】椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立消去得关于的二次方程，利用是它的一个解，求得点坐标坐标，然后由向量的线性关系用用表示，利用的范围求得离心率的范围． 【详解】，，则AF：，，满足, 消去得，， 是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以． 故选：B． 【变式训练8-1】已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线AF交椭圆于点，，若，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】写出直线AF的方程与椭圆的方程联立，得B点横坐标，由向量关系得坐标间的关系，化简出离心率得取值范围. 【详解】由题设，则，直线AF的方程为， 联立方程组，得， 所以B点横坐标为， 又因为，所以， 即，得，又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】条件可以用坐标表示，即可将条件的范围转化为椭圆方程中参数的取值范围. 题型09：椭圆对称性的使用 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 【典型例题1】已知椭圆=1的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可. 【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则， 因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，， 在中，，所以， 由，得，整理，得，又， 所以. 故选：B 【典型例题2】已知椭圆的左，右焦点，过原点的直线与椭圆相交于两点．其中点M在第一象限，，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】由题意可得四边形为矩形，由勾股定理可得，可得，可得的值，又由的范围，可得的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】因为，所以由椭圆的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 即， 由，得， 所以，得， 因为点M在第一象限， 所以解得， 因为，， 所以，得， 所以， 化简得，解得， 综上， 所以椭圆C的离心率的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练9-1】设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在直角中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 【变式训练9-2】已知椭圆C：的左焦点为F，点A是椭圆C的上顶点，直线l：与椭圆C相交于M，N两点．若点A到直线l的距离是1，且，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式求出，再根据定义和对称性得到的取值范围即可求解． 【详解】解：由题得，则，解得， 设右焦点为，由对称性可知， ， 则， ，又，所以 故选：A． 【变式训练9-3】已知椭圆：的右焦点为，经过原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，的中点为，的中点为．若，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，由条件求出的坐标，由条件确定的关系，由求出的范围，结合点在椭圆上可求的范围，由此可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设（不妨设，），则，由直线过原点和椭圆的对称性可得，所以， 所以由点在椭圆上得，结合上述条件可得：， 化简得，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：. 题型10：由给定条件求离心率取值范围 【典型例题1】设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出． 【详解】设，，因为，， 所以，， 由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则． 故选：B． 【典型例题2】设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，可表示出，结合化简，进而可得当时，取得最小值，进而求解即可. 【详解】由题意可知，，设， 因为，所以， 又，， 所以， 因为，则， 当时，取得最小值，即， 即， 所以， 即椭圆的离心率为. 故选：D. 【典型例题3】已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，b－c为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为，则椭圆的离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c，根据最小值为与可得，根据b＞c易得，结合两式即可求解. 【详解】依题意，如图所示： 当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 化为，即． 解得． 可得．① ∵b＞c， ∴， ∴， ∴， ∴．② 解得． 由①②解得． 故椭圆离心率的取值范围为． 故答案为：． 【变式训练10-1】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，且点B到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先结合椭圆的定义及对称性，求得，然后由题目的条件可得的取值范围，由此即可确定离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 结合椭圆的性质以及直线，可得四边形为平行四边形， 所以，即，， 因为点B到直线l的距离不小于，，直线， 所以，得， 因为， 所以. 故选：A 【变式训练10-2】过椭圆的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点.若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用基本量表示出，从而表示出直线的斜率，同除以得到离心率的不等式，求得其范围. 【详解】 如图所示：， 所以， 又因为，所以，即，解得. 故选：C. 【变式训练10-3】已知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用极化恒等式由得，根据向量运算得 ，结合条件得出的取值范围建立关于的不等关系，从而求出离心率的取值范围. 【详解】设坐标原点为 所以 又 所以，即，故. 故选：C 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的关系式，这个关系式可以用几何关系得到，也可以用代数关系得到. 在本题中主要是通过建立关系 ，一方面由极化恒等式得，另一方面结合条件及向量运算得，从而建立a，b，c的不等关系. 【变式训练10-4】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为. (1)若为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程； (2)若为锐角，求椭圆C的离心率的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由题意知为等腰直角三角形，可得出椭圆方程； （2）由为锐角，有，结合椭圆离心率定义可得答案. 【详解】（1）因为椭圆C的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为，且为直角， 所以，又焦距为2，所以， 所以椭圆C的标准方程为；    （2）因为椭圆C的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为，且为锐角， 所以（为坐标原点）， 所以， 所以椭圆C的离心率的取值范围为.    【变式训练10-5】过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别讨论直线的斜率是否存在，利用坐标运算即可求解椭圆的离心率e的取值范围. 【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，又椭圆左焦点    若，则，即， 所以，即 所以椭圆的离心率； 当倾斜角为，直线的斜率存在设为，则， 设，则，所以①，    若，则②， 联立①②，结合可得， 由，，所以，且， 所以，则，故， 所以，即，故 综上，椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 题型11：点差法求离心率取值范围 【典型例题1】已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，中垂线与轴交于点，将代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出点坐标，由此可得直线方程，求得点坐标，由在线段上可构造的齐次不等式求得结果. 【详解】设的中点为，中垂线与轴交于点， 设，， 由得：， ，， ， ，，直线方程为：， 令，解得：，即， 在线段上，，整理可得：，即， 又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果. 【典型例题2】已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】设，，根据题意利用两点坐标表示斜率公式和中点坐标公式可得；由点差法可得，进而，结合离心率的概念即可求解. 【详解】设，， 则， 所以，得. 将A、B两点坐标代入椭圆方程，得， 两式相减，得，有，所以， 由，得，即， 由，得，即，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练11-1】已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，因为，为椭圆上的两点，再有点差法可得，两式相减化简可得，再由，求解即可. 【详解】因为，则， 所以，即， ， 又因为点，为椭圆上的两点， 所以，两式相减可得：，即， 所以， 因为，所以， 所以，即，即， 因为，所以， 又因为，为椭圆上的两点，所以， 所以，解得：，即. 故选：C. 【变式训练11-2】已知椭圆 ，直线与椭圆交于A,B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C,设直线AB与直线OM的斜率分别为，且则椭圆离心率的取值范围为 【答案】 【分析】根据椭圆的中点弦公式，可求得与的关系，结合椭圆中的关系求得离心率的取值范围． 【详解】设直线与椭圆的交点坐标为，中点 则 将A、B坐标代入椭圆可得  ，两式相减可得 化简可得，即 因为，即 化简得，因为 所以，化简得 即，因为椭圆的离心率 所以椭圆离心率的取值范围为 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，中点弦问题的应用，椭圆离心率范围的求法，属于中档题． 【变式训练11-3】椭圆，直线AB斜率存在，弦AB中垂线过，求离心率e的取值范围. 【答案】 【分析】设，则，整理化简得，再由即可求出结果. 【详解】解：设， 则，即， 将下面两式子代入第一个式子得， ， ，， ， ， 则，即， ，所以，又， ， 即离心率e的取值范围. 【点睛】本题我们采取设点法，尤其是弦中点问题，常用设点法，得到方程组后的变形是本题的难点，首先是整体代换消元，将整体代换，用表示代入等式得到，此处自然会想到因式分解，约去部分式子，此时得到，再根据范围，得到其整体范围，即可得到的范围，再根据与其关系，得到离心率范围，本题字母运算较多，但是式子能够整体代换，在逐步化简中出现关键点，抓住其关键点即可得到答案. 题型12：利用向量求离心率取值范围 【典型例题1】（多选）（2022·高二课时练习）椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，，，则，，，，再由可得，从而可求出离心率的范围 【详解】设，，， 则，， ，． 因为 恒成立， 所以离心率． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由转化为坐标的关系，进而可得到的关系，考查计算能力，属于中档题 【典型例题2】已知椭圆的右焦点为上的两点关于原点对称，，且，则离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为E，根据椭圆的定义可知，，利用余弦定理求出，利用，最后结合平面向量的数量积计算即可得答案. 【详解】解：由题意得： 椭圆的左焦点为E，则 因为两点关于原点对称，所以四边形为平行四边形 由，得，，且， 所以，化简可得，所以； 在中， ， 由得： 整理得：，又，所以； 综上， 故答案为: 【变式训练12-1】已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析可得，根据数量积的坐标表示结合椭圆的性质运算求解. 【详解】设椭圆的半焦距为c， 由题意可得：， 可得：， 由图可得：∠APB即为的补角， 若∠APB为钝角，即为锐角， 由图可知，故原题意等价于， 整理得，且，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 【变式训练12-2】已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使得（为原点），，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由两边平方得，利用，进一步推出，将代入得，再根据推出，得，再根据推出，从而可得 【详解】设，则，， 因为，所以， 又因为，，， 所以 ， 所以， 又因为，即， 所以，即， 因为，所以， 所以，整理得，得， 又因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 【变式训练12-3】若为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P满足，则C的离心率e的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律得，进而根据的范围得到，结合有4个不同的点，即可得满足的关系系，进而可求离心率的范围. 【详解】设O为坐标原点，则，故 ，由于，故， 若存在四个不同的点P满足，又， 所以即解得 ，即． 故答案为： 【变式训练12-4】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，转化为在点使得，进而可得结果. 【详解】由知，即存在点使得． 记短轴端点为顶点和焦点，所对应的角为，因此， 即．而． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量的加减运算和椭圆的几何性质，考查了数形结合思想和计算能力，属于基础题目. 【变式训练12-5】已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围. 【详解】设点， ，因为， 所以，即， 结合可得，所以. 故选：B. 【变式训练12-6】已知椭圆E：的离心率的取值范围是，其左右焦点分别是，，若P为椭圆上位于y轴右侧的一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求得，结合，整理得，进而得到，即可求解. 【详解】由题意，点P是椭圆上位于y轴右侧的一点，可得， 设，则， 由椭圆的定义可知，因此， 又因为是右焦点，所以，即，整理得， 所以，解得， 即. 故选：D. 【变式训练12-7】已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案. 【详解】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，因为梯形的高为c，所以， 在中，，则即． 设，则，在， 即， 解得，同理， 又，所以，即， 所以. 故选：A． 题型13：与基本不等式结合 【典型例题1】已知是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题给条件和椭圆定义构造不等式，进而求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设椭圆左右焦点分别为，，连接, 由椭圆及直线的对称性知：四边形 为平行四边形， 且，， 在△中， ， ∴， （当且仅当时等号成立） 可得，即，则， ∴椭圆的离心率. 故选：C 【典型例题2】已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的性质可得四边形为平行四边形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围． 【详解】解：连接，与左右焦点，的连线， 由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，， 在三角形中，， 所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故， 即，可得， 所以椭圆的离心率. 故选：A． 【变式训练13-1】椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立消去得关于的二次方程，利用是它的一个解，求得点坐标坐标，然后由向量的线性关系用用表示，利用的范围求得离心率的范围． 【详解】，，则AF：，，满足, 消去得，， 是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以． 故选：B． 【变式训练13-2】设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和均值不等式得到当且仅当时等号成立，进而根据可得，从而结合离心率的范围即可求出结果. 【详解】根据题意可知， 当且仅当时等号成立，所以，即，所以，即， 故选：A． 【变式训练13-3】已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，而，则有，又点A，B关于原点O对称， 即四边形为平行四边形，且是矩形，于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故选：D 【变式训练13-4】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围. 【详解】 设，则.显然当靠近右顶点时，， 所以存在点使等价于， 在中由余弦定理得， 即，解得 ， 同理可得，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解. 【变式训练13-5】伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程可以为 B．若，则 C．有且仅有一个点，使得 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为钝角，从而判断C；由基本不等式判断D． 【详解】对于：由，解得， 则椭圆的标准方程为，故A正确； 对于B：由定义可知， 由余弦定理可得， ， 解得， 则，故B错误； 对于C：当点为短轴的一个端点时，最大， 此时为钝角， 则椭圆上存在四个不同的点，使得，故C错误； 对于D ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：AD． 【变式训练13-6】已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．存在点使得 D．的最小值为1 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义性质，结合所给条件，逐个分析判断即可得解. 【详解】由题意可得，所以， 由点在椭圆内部可得：， 可得，即 ，所以， 对A，，所以，故A错误； 对B，当时，，, ，故B正确； 对C，由A知，当时，当在短轴端点时， 最大，此时，此时， 由，故可得在椭圆在最扁时的最大值都小于， 所以不存在点使得，即C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了椭圆的相关性质，考查了椭圆的离心率和距离最值问题，同时考查了椭圆的定义和基本不等式的应用，需要一定的计算能力，属于较难题. 本题的关键点有： （1）椭圆定义的应用，椭圆定义在解决距离问题时往往和两点之间线段最短结合来求最值； （2）离心率和椭圆形状的关系，通常是解焦点三角形的关键； （3）基本不等式求最值，也是解析几何求最值得重要方法. 题型14：与三角函数结合 【典型例题】已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为 A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【答案】C 【分析】设左焦点为，根据椭圆定义：，根据和关于原点对称可知，推知，又根据是的斜边中点可知，在中用和分别表示出和代入中即可表示出即离心率，进而根据的范围确定的范围． 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上， 设左焦点为，根据椭圆定义：， 又∵，∴ …① 是的斜边中点，∴， 又 …②， …③ ②③代入①， ∴，即， ∵，∴， ∴，∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，三角函数最值的求法，将离心率表示为关于的函数是解题的关键，属于中档题. 【变式训练14-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过几何性质表达出该椭圆的离心率的函数，即可得出该椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意， 在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， 由椭圆的定义得， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式训练14-2】已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，可得，.然后根据正弦定理可求出，.根据椭圆的定义可推得，，化简整理可得，.求出，令，构造函数，根据函数的单调性，即可得出答案. 【详解】 设，则， . 由正弦定理可得，， 所以，. 根据椭圆的定义可知，， 所以有， 所以有 . 因为，，所以， 令，则，设， 则函数在上单调递增. 又，， 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：设，根据已知条件，求出的三个内角，根据正弦定理用表示出.然后根据椭圆的定义，化简整理可推得.进而根据函数的性质，结合的范围，即可得出答案. 【变式训练14-3】已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不妨设，，，，直线倾斜角为，直线倾斜角为，由，结合基本不等式可得，由已知可得，进而可求椭圆离心率的取值范围． 【详解】不妨设，，，， 设直线倾斜角为，直线倾斜角为， 则， ， 若的最大值为，则有最小值， 又，当且仅当，即时取等号， 则，即，解得， 又椭圆与直线无公共点，则，所以， 所以椭圆离心率的取值范围是． 故答案为：． 题型15：转化为函数 【典型例题1】已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和正弦值，可设出的三边长，结合椭圆定义和勾股定理求出等量关系，利用点的位置求出的范围，代入等式有解，可求出的关系，即可求出离心率的范围. 【详解】解： 因为，，不妨设，，， 由椭圆定义可知：，， 由勾股定理可知：，即，化简可得：， 点在延长线上，且在椭圆内部，所以，，解得：. 令在上单调递增，所以，解得：，，又，且在椭圆内部，所以，则，. 故选B． 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为圆与的一个公共点，若，则当时，椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得，结合对勾函数求其范围，进而可得离心率的范围. 【详解】设椭圆的半焦距为， 则圆，表示以，半径为的圆， 若圆与椭圆有公共点，则，可得，解得， 因为，且， 可得，整理得， 又因为，即， 且，则，解得， 可得， 整理得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且， 可得，则， 可得； 综上所述：椭圆的离心率的取值范围为. 故答案为：.      【变式训练15-1】已知点满足，且点Q恒在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出，求出，则函数在上有零点，可得出关于、的不等式组，结合可计算得出的取值范围. 【详解】如下图所示： 由题意可知，，设，则，， 由椭圆定义可得，， 在中，由勾股定理可得， 即，即， 因为点在椭圆内，则， 又因为，所以，， 令，则在上单调递增， 若方程在内有实根，则， 所以，，所以，， 因为点在椭圆内，且，则，即， 所以，，，因此，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率取值范围的求解，解题的关键在于通过勾股定理得出方程，在转化为函数在区间上有零点来处理，同时要善于分析出点在椭圆内这一条件，结合椭圆定义构造不等式关系来求解椭圆离心率的取值范围. 【变式训练15-2】设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用距离公式将表示，配方后，分和两种情况讨论即得 【详解】设， 则， 因为， 当即时， ， 所以，即 化简得：， 故，两边同除以得，所以； 当，即时， ，所以， 由，同除以得，所以 综上，离心率的范围为 故答案为： 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 【变式训练15-3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，是上第一象限内的点，关于原点的对称点为，且，，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】连接、，分析可知四边形为矩形，设，，根据题中条件可得出，利用椭圆的定义、勾股定理可得出，令，设，利用函数的单调性可求得的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】解：连接、． 由关于原点的对称点为，可知，， 所以四边形为矩形， 设，，由椭圆的定义可知，． 在中，由，则， 所以， 则． 在中，， 在中，， 由，得．由图形可知，． 令，设，易知在上单调递增，所以， 则，所以，所以， 故椭圆的离心率的取值范围为． 故答案为：. 【变式训练15-4】设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围． 【详解】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点， 所以半径，即，且． 所以 ， 由于，令，则，则 ． 由于函数在上单调递减， 故在上单调递减， 故，即，满足，符合题意． 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可. 题型16：椭圆与双曲线 【典型例题】已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10， 则有m＝10，n＝2c， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有， 由离心率公式可得 ， 因为，所以，，则，， 故，，则，即， 故的取值范围是. 故选：B． 【变式训练16-1】设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围． 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的， 则椭圆与双曲线共焦点，设，则，， ，， ， ， 设，则， 解得，即， 又，且， ， 故的取值范围是． 故答案为： 【变式训练16-2】设，同时为椭圆与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆及双曲线的定义求出，再根据，可得的关系，再将用表示结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：设，，焦距为2c， 由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，， 当时，可得，即， 可得，则，所以， 由，可得，可得，即， ， 可设，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，可得， 所以． 故答案为：. 【变式训练16-3】已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且 ，设与的离心率分别为，，求的取值范围. 【答案】 【分析】设，，，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由可得，由，可得，设，则，再利用函数在上的单调性可得答案. 【详解】设，，，由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得，解得，， 由，可得，即， 由，，可得， 由，可得，可得，即， 则， 设， 则， 由于函数在上递增， 所以， 即的取值范围为. 【变式训练16-4】已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 题型17：内切圆相关 【典型例题】已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线和正弦定理可得：，，从而由等比性质，结合题干中的条件可得：，根据，求得椭圆的离心率取值范围. 【详解】如图，连接，，I是的内心，可得，分别是和的角平分线，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，所以， 又因为,所以，同理可得：，由比例关系可知，，又，所以，，因此，又，所以． 故答案为： 【变式训练17-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面积相等，得到由此得到消去整理化简求出离心率的取值范围. 【详解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以 解得因为所以 两边平方得：又因为 整理得： 因为不等式两边同时除以，得：； 解得： 故选：A 【变式训练17-2】如图，椭圆C：的顶点分别为，，，，记四边形的面积为，四边形的内切圆面积为，若，则椭圆C的离心率的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用四边形的面积为2ab，利用四边形内切圆半径为圆心到直线的距离，求出四边形的内切圆面积为，然后利用，求解椭圆离心率范围． 【详解】四边形的面积为2ab，四边形内切圆半径r为圆心到直线：的距离，则四边形的内切圆面积为，由，可得， ，椭圆C的离心率的最大值为． 故答案为． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b, c的方程或不等式，再根据 a,b, c 的关系消掉b 得到 a, c 的关系式，而建立关于 a,b, c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 题型18：已知焦点三角形的角 【典型例题1】已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴△中，，∴△中， ，所以，∴，∴，∴，∵， ∴. 【典型例题2】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据椭圆的性质，只需保证为椭圆上下顶点时即可，应用余弦定理列不等式，结合椭圆离心率范围求离心率取值范围. 【详解】由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大， 所以椭圆上存在点使， 只需最大的情况下，有， 又椭圆离心率，故. 故答案为： 【典型例题3】设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【分析】在△ 中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率. 【详解】由，，设，，在 中，由正弦定理有：， 离心率，则  ；解得：， 由于，得， 显然成立， 由有，即，得， 所以椭圆离心率取值范围为. 故选：C 【变式训练18-1】椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且，则该椭圆的离心率的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设（-c，0），（c，0），由椭圆的定义可得，， 可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2， 即为（λ2+1）t2=4c2，②由②÷①2，可得，令m=λ+1，可得λ=m-1， 即有， 由≤λ≤2，可得≤m≤3，即， 则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值. 即有，解得. 考点：椭圆的简单性质 【变式训练18-2】已知椭圆的两个焦点为，，若椭圆上存在一点满足，则椭圆离心率的最小值为________． 【答案】 【分析】不妨设椭圆的两个焦点在轴上，故当点为椭圆的上下顶点时最大 设椭圆的上顶点为，则，结合，，分析即得解 【详解】 不妨设椭圆的两个焦点在轴上，故当点为椭圆的上下顶点时最大 设椭圆的上顶点为，若椭圆上存在一点满足， 则 且，故 故 则则椭圆离心率的最小值为 故答案为： 【变式训练18-3】设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】设左焦点为E,连AE,BE,依题意可得四边形AEFB为矩形,根据椭圆定义,勾股定理以及已知不等式列式可解得. 【详解】画出图形 设左焦点为E，连接AE，BE,依据题意可得四边形AEFB为矩形 故答案为： 【变式训练18-4】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【详解】分析：设直线与轴的交点为，连接．由线段的中垂线过点，可得，所以．因为，由因为，所以．变形可得，进而可得，所以．根据椭圆的离心率，可得． 详解： 设直线与轴的交点为，连接， ∵的中垂线过点， ∴，可得， 又∵，且， ∴，即， ∴，，结合椭圆的离心率，得， 故离心率的取值范围是． 【变式训练18-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围. 【详解】由，得 ，得， 又，则， ∴，即， 又，∴． 故选：B． 题型19: 焦点圆 【典型例题1】已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可. 【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形； 同理当轴时，有两个点满足为直角三角形． ∵使为直角三角形的点有且只有4个， ∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴， ∴，∴，又，解得. 方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时, 又，故. 故选：A． 【典型例题2】已知圆与轴的交点分别为，，点是直线：上的任意一点，椭圆以，为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为____________. 【答案】 【分析】由题意可知：，然后求得点关于直线的对称点，由，此时椭圆的离心率取得最大值即可求解. 【详解】由题意可知：，点是直线上的点，到两点距离之和的最小值为关于直线的对称点与的距离， 设可得，解得：所以 所以椭圆的长轴长，所以的最小值为，椭圆的离心率的最大值为 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练19-1】已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点，求出其轨迹，求出，即得解. 【详解】解：设动点，由题得， 化简得. 所以动点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆. 因为点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点， 所以. 所以椭圆的离心率. 因为椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D 【变式训练19-2】已知点是椭圆上任意一点，的离心率为，若圆上存在点，使得，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，当不为的上、下顶点时，设直线，分别与圆切于点，，设，连接，得，又，得即可解决. 【详解】连接，当不为的上、下顶点时， 设直线，分别与圆切于点，， 设， 由题意知，即， 所以， 连接， 所以， 所以， 又因为， 所以有，即， 结合得． 故答案为：． 一、单选题 1．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【分析】解法一：首先利用坐标表示，，讨论对称轴和两种情况下是否满足，并求椭圆的离心率； 解法二：利用椭圆的参数方程，设为，并表示，换元后得，对任意的恒成立，列式后，可求椭圆的离心率. 【详解】解法一： 设 ，由，因为，，所以 ， 因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即； 当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立． 故选：C． 解法二： 由题意可知，由，，又，恒成立.令，对任意的恒成立， ，所以，所以，得，即； 故选：C 【点睛】本题两种方法分别是直接法和参数法，关键是解决恒成立问题，利用二次函数求指定区间上的最值，体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养. 2．已知椭圆  过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当 取最小值时，椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，利用导数求得使函数取最小值的，根据离心率定义即得. 【详解】由题可知，设，则， 而，则， 又， 令，则， 所以， 由，可得，函数单调递减，由，可得，函数单调递增， 故，即时， 取最小值， 此时. 故选：C. 3．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，推得长度，根据其比值关系，即可求得结果. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，如下所示： 设，则， 在△中，由余弦定理可得,整理可得：，即； 在△中，同理可得：，故，解得. 故选：. 4．已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，进而联立直线与椭圆方程得，，进而令，则，再代入值计算即可得答案. 【详解】如图所示，由椭圆定义可得，， 设的面积为，的面积为，因为， 所以，，即， 设直线，则联立椭圆方程与直线，可得 ， 所以，， 令，则， 当时，有. 故选：B 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 5．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案. 【详解】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，因为梯形的高为c，所以， 在中，，则即． 设，则，在， 即， 解得，同理， 又，所以，即， 所以. 故选：A． 6．椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，从而求出离心率. 【详解】由题意得：，故， 故离心率为 故选：B 7．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，结合椭圆定义可得椭圆的短半轴为2，再根据正弦定理求得长半轴，即可由求得离心率 【详解】如图所示，伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，伞沿是一个半径为2的圆，故椭圆的短半轴长， 圆心到伞柄底端距离，阳光与地面夹角，直径，，则， 由正弦定理得，得， 故 故选：B 8．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得椭圆的长半轴和半焦距，由此求得椭圆的离心率. 【详解】由题意，设圆柱底面直径为，则椭圆短轴长，椭圆长轴竖直截面如下图所示： 由题意及图，可知为直角等腰三角形，且， 故，椭圆的长轴长， 所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C 9．椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设P点坐标，Q点与P点关于x轴对称，坐标可用P点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a与b的关系，即可求出离心率. 【详解】，设，则， 则，， ， 又，则， 所以，即， 所以椭圆的离心率， 故选：C. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求出B点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率. 【详解】左、右焦点分别为，，上顶点为，∴，设，则， 由，根据勾股定理，有，即 解得，即， 由，，，，三点共线， ∴，代入椭圆方程，有，化简得， 所以椭圆离心率为. 故选：B 11．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 答案】B 【分析】根据椭圆的长轴长与短轴长的定义，结合离心率公式和参数之间的等量关系，可得答案. 【详解】因为椭圆的离心率， 所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大， 因为， 所以. 故选：B. 12．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，从而有，由，可得，再根据椭圆的定义计算即可得解. 【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为，连接， 则四边形为矩形， 则， 所以， 在中，由， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B. 13．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率. 【详解】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴  ∴I的纵坐标为， 在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即为内切圆半径， 内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形， ， 即，， ∴椭圆C的离心率. 故选：A 14．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ） A．或 B． C． D．或 ．【答案】A 【分析】由是2和8的等比中项求出的值，可得到圆锥曲线的方程，根据离心率定义可得结果. 【详解】是2和8的等比中项，或， 当时，方程为，表示椭圆， ，离心率为， 当时，方程为，表示双曲线， ，离心率为， 故选：A 15．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及的周长求出，再根据离心率的计算公式即可得解. 【详解】解：由题可知，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 16．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角恒等变换化简可得，设出的坐标，在两个三角形中表示出和，再由点在椭圆上化简可得的关系，进而求出离心率． 【详解】因为可得，即， 而在三角形中，，所以上式可得 而， 所以可得，即， 由题意可得，，设，， 可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示： 在中，， 在中，， 所以， 所以可得， 所以离心率 故选：． 17．已知方程，则E表示的曲线形状是（    ） A．若，则E表示椭圆 B．若E表示双曲线，则或 C．若E表示双曲线，则焦距是定值 D．若E的离心率为，则 ．【答案】B 【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A; 根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为，分类讨论求得m的值，判断D. 【详解】由题意得，当时，， 即，要表示椭圆，需满足 ，解得且， 故A错误； 若E表示双曲线，则不能为0， 故化为， 则，即或，故B正确； 由B的分析知，时， ，此时c不确定， 故焦距不是定值，C错误； 若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且， 当时，，此时 ， 则，解得 ， 当时，，此时 ， 则，解得 ，故D错误， 故选：B 18．已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的离心率求得，再根据椭圆离心率的公式及可得解. 【详解】解：因为椭圆的离心率为， 所以，解得， 则椭圆的离心率. 故选：C. 19．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．【答案】D 【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解. 【详解】因为，由椭圆定义知， 又，所以，再由椭圆定义， 因为，所以， 所以由余弦定理可得， 即， 化简可得，即， 解得或（舍去）. 故选：D 20．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意如图所示，由球的半径可得，的值，进而可得的正弦值，求出的值，即求出的值，由圆柱的底面半径可得的值，即求出的值，进而求出的值，再求出离心率的值． 【详解】解：如图所示，，，，则， ，即，而，即， 所以， 所以离心率， 故选：B． 21．已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入C中，求得AB坐标，利用三角形AOB是等腰直角三角形，求得a，b的关系，从而求得离心率. 【详解】将代入C中，得，，由题意得， 即，． 故选：D. 22．已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． ．【答案】A 【分析】根据椭圆性质结合离心率运算处理． 【详解】由题得：，所以 故选：A． 23．定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在椭圆上及双曲线的渐近线方程，再利用椭圆中之间的关系，结合椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】由定义可知C的伴随曲线的渐近线方程为. 由题意可知，，即. 将点代入椭圆C的方程，得， 联立，解得，即 所以，即 所以椭圆的离心率. 故选：A. 二、多选题 24．已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】假设椭圆的焦点在轴上，且点为椭圆的右焦点，分情况讨论与的位置，可得离心率. 【详解】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点， 分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率； ②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足； ③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足； ④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为， 故选：AB. 25已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．动点Q的轨迹方程为 C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为 D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A：利用离心率直接求出；对于B：设进行向量坐标化，整理化简得到，即可判断出动点的轨迹方程为直线，故正确； 对于C、D：求出线段长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确； 对于B：设 ，由，得两式相乘得，同理可得， 由题意知且，否则与矛盾， 动点的轨迹方程为，即直线，故正确； 对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离， min， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 26．若曲线C的方程为，则（    ） A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为 B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为 C．当时，曲线C表示圆，半径为1 D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4 【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦距判断AD，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B，由圆的标准方程判断C． 【详解】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错； 选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确； 选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确； 选项D，曲线C表示椭圆时，或， 时，，，， 时，，，， 所以，即，无最大值．D错． 故选：BC． 27．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果． 【详解】若曲线是椭圆则其离心率为； 若曲线是双曲线则其离心率为； 故选：AC 28．第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（    ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为. 【答案】BCD 【分析】由离心率相同及已知得到、，即可判断A、B；由在椭圆上得到，进而判断C；根据对称性确定的坐标，结合斜率两点式得判断D. 【详解】A：由且，则，即，故错误； B：由，得，则，所以，故正确； C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确； D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确. 故选：BCD. 29．设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（    ） A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为 B．若，则的面积为 C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是 D．若恒成立，则C的离心率的范围是 【答案】BD 【分析】A. 设，，所以该选项错误； B. 求出的面积为所以该选项正确； C. 求出，所以该选项错误； D. 若恒成立，所以，所以该选项正确. 【详解】解：A. 设，所以，因为， 所以.所以，所以该选项错误； B. 若，则所以则的面积为所以该选项正确； C. 若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误； D. 若恒成立，所以，所以，所以该选项正确. 故选：BD 三、填空题 30．如图，圆柱的轴截面是正方形，D、E分别是边和的中点，C是的中点，则经过点C、D、E的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是____________． 30．【答案】## 【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可. 【详解】设圆柱的轴截面，即正方形的边长为2，设 是弧的中点，且与C关于圆柱的中心对称， 由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴, 所以长半轴长 短半轴长 ， 故半焦距为 , 所以椭圆的离心率为 ， 故答案为：． 31．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是________. 【答案】或 【分析】分椭圆的焦点在，轴上，由椭圆的方程可得的值，再由焦距为2可得的值，求出椭圆的离心率． 【详解】由椭圆的方程可得，且，焦距为2，可得，即， 当焦点在轴上时，则，，可得， 由题意可得，所以，这时离心率； 当焦点在轴上时，则，即，这时离心率， 综上，离心率为或， 故答案为：或 32．在椭圆上，为焦点三角形，，，则椭圆的离心率＝________． 【答案】 【分析】由已知，在焦点三角形 ，根据正弦定理可知，然后借助椭圆的定义以及题中给的焦点三角形的两个底角即可直接求解离心率. 【详解】由已知，为焦点三角形，由正弦定理可知; ， 即， 所以 . 故答案为：. 33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且.若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据题意结合列式求解可得，再利用及运算求解. 【详解】由题意可得： 则 ∵，则，即，解得： ∴，则 故答案为：. 34．已知椭圆左､右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________. ．【答案】## 【分析】求出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，即可求得椭圆的离心率的值. 【详解】在中，，，则， ，则， 由椭圆的定义可得，则. 故答案为：. 四、解答题 35．已知椭圆，长轴两端点为A，B，如果椭圆上存在点P使得∠APB=120°，求这个椭圆的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，即当为短轴端点时，即可，再结合离心率公式，即可求解． 【详解】点，是长轴的两个端点， 若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可， 即当为短轴端点时，即可， ， ， 又， 该椭圆的离心率的取值范围是． 36．设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为. (1)求椭圆的离心率； (2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）结合题意得，进而根据直线的斜率为得，即，再解方程即可得答案； （2）结合（1）得圆的方程为，进而设直线的方程为，再与椭圆方程联立结合韦达定理和整理化简得或，再检验不满足题意，进而得直线经过轴上定点. （1） 由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直， 的横坐标为.当时，，即. 又直线的斜率为，所以， 即，即 则，解得或（舍去）， 即. （2） 解：已知是椭圆的上顶点，则， 由（1）知，解得， 所以，椭圆的方程为， 设直线的方程为， 联立可得， 所以， 又， ， 化简整理有，得或. 当时，直线经过点，不满足题意；. 当时满足方程中， 故直线经过轴上定点. 37．已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于点A，B，且，O为坐标原点，求椭圆C的离心率． 【答案】 【分析】由题意可得，，从而可得点的坐标，代入椭圆C的方程，可得与的关系，根据可得与的关系，由离心率公式直接求解即可. 【详解】由题易知，，，则. 代入椭圆C的方程，可得，所以，即. 所以，所以． 38．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．求椭圆的离心率. 【分析】根据可得与，结合与即可求离心率. 【详解】解：， 离心率为. 39．（2022·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点，，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率． ．【答案】 【分析】作出截面，根据平面与球相切的性质，结合直角三角形中各边的关系与勾股定理等，求解椭圆的基本量即可. 【详解】设椭圆的方程为． 作出几何体的轴截面图，如图所示， 点M，N是P圆柱内两个内切球的球心，，是椭圆的两个焦点，其中O是与的交点，． 根据圆的切线的性质，可得，， 由题意，可知，， 所以， 所以，即， 所以在中，，则， 所以， 所以，即a＝4， 所以椭圆的离心率． 40．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率． 【答案】 【分析】设，得到，结合，得到，又由，两式相减得，求得，进而求得椭圆的离心率． 【详解】设，则，且， 所以， 因为，所以，所以， 又因为， 两式相减得，即， 所以，所以． 41．设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据焦距，求得c值，根据离心率，求得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. （2）当直线l斜率为0，即为x轴时，分析可得；当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，，将直线与椭圆联立，可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理，可得、表达式，根据斜率公式，化简整理，即可得证. （1） 因为焦距，所以， 因为离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2） 当直线l斜率为0，即为x轴时， 则，所以； 当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，， 将直线l与椭圆联立，消x整理得， 所以，， 所以，， 所以. 综上所述：为定值0. 模拟真题 一、单选题 1.已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得. 【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c， 由及，得， 显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号， 因此，即，又，则， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 2.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为F，的中点为M，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的标准方程写出A、B、F点的坐标，则坐标可求，然后结合数量积公式得到的等量关系式，结合可得离心率的值. 【详解】根据椭圆方程，可得，，，， 利用，整理得， 把，代入得. 又，所以， 离心率， 故选：C. 3.（已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接建立关系，即可求出结果. 【详解】设的离心率为，因为，则的横坐标为，且为第一象限上的点， 由，解得，则，又因为直线的斜率为， 则，得到，又，所以， 得到，解得或（舍）． 故选：A. 4.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案. 【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为， 设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得， 此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合勾股定理化简得到，再利用柯西不等式即可得解. 【详解】依题意，不妨设P为第一象限的交点，，则， 因为在中，，所以，即， 则，即， 所以，即， 由柯西不等式得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 此时满足，所以的最大值为. 故选：D. 6.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分， 可得，且，所以圆柱的底面直径， 设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得， 所以，由勾股定理得，解得. 故选：A. 7.已知椭圆：的离心率为，M为的上顶点，P，N是椭圆上不同于M的两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设出直线的方程，求出，由建立方程，确定方程解的个数即得答案. 【详解】显然，直线MN的斜率存在，由对称性，不妨设直线MN的方程为， 由消去y得，得点横坐标， 则，同理， 由得， 化简得，即， 由，得，令， 显然函数在上单调递减，在上单调递增，且， 因此当时，方程有3个不等的实根， 所以满足条件的有3个. 故选：C． 【点睛】思路点睛：确定图形个数问题，选定一个变量，结合题设条件建立方程，转化为分析判断方程解的个数作答. 8.已知，则椭圆与椭圆（且）有（    ） A．相同的焦点 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 【答案】C 【分析】将椭圆方程（且）化为标准方程，得（且）求解. 【详解】将椭圆方程（且）化为标准方程，得（且）， 所以离心率， 故选：C． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质，属于基础题. 9.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为，则内层椭圆的短轴长为（    ） A．75米 B．米 C．50米 D．米 【答案】B 【分析】以50米为1个单位，根据题意可求外层椭圆的方程为，进而可设内层椭圆方程为，联立方程，根据直线与椭圆的位置关系运算求解. 【详解】以50米为1个单位，设外层椭圆的长轴、短轴和焦距分别为，离心率为， 由题意可得，解得， 故外层椭圆的方程为，左顶点， 注意到内、外椭圆的离心率均为，且焦点均在x轴上， 设内层椭圆方程为，由题意可得AC的方程为， 联立方程，消去y得， 由，得， 故内层椭圆的方程为，即， 故其短半轴长为，即短轴长为，即米． 故选：B. 10.已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合椭圆离心率的定义，求出m，n的关系判断作答. 【详解】椭圆的方程为，则该椭圆的长短半轴长分别为， 离心率，解得， 对于A，，A符合； 对于B，，B符合； 对于C，，C不符合； 对于D，，D符合. 故选：C 11.若椭圆比椭圆更扁，则的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据离心率越大椭圆越扁，列不等式即可求得椭圆的长轴长的取值范围. 【详解】椭圆的离心率 椭圆离心率 因为椭圆比椭圆更扁， 所以，即，解之得 则，所以椭圆的长轴长的取值范围是． 故选：C 12.下列选项中椭圆的形状最扁的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求椭圆的离心率来求得正确答案. 【详解】A选项，，， B选项，，， C选项，，，， D选项，，，， 其中最接近的是，所以最扁的是. 故选：C 13.下列选项中椭圆的形状更扁的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项椭圆中的离心率，根据椭圆离心力越大，其形状越扁，由此即可得到结果. 【详解】椭圆的离心率为； 椭圆的离心率为； 椭圆，即的离心率为； 椭圆，即的离心率为； 又，所以椭圆形状更扁. 故选：C. 14.已知命题：离心率越小，椭圆的形状越扁，命题：离心率越大，双曲线的“张口”越小，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】研究的变化情况，可以得出结论. 【详解】根据椭圆的图象可知，越接近于1，则椭圆越圆.离心率越小，则由知，越大，则椭圆越圆，因此命题为假命题； 对于双曲线，以焦点在x轴上的为例，根据双曲线的图象知，渐近线斜率越小，即越小，双曲线的“张口”越小. 离心率越大，则由知，越大，双曲线的“张口”越大，因此命题为假命题. 根据，或且非逻辑联接词判定命题的依据知，只有B正确. 故选：B. 15.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 【答案】C 【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D． 【详解】A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； B选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； C选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C错误； D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确. 故选：C． 16.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于， 根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故， 根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故， 综上， 故选：C. 17.下列方程表示的椭圆中，形状最接近圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【详解】A：，则， B：，则， C：，则， D：，则， 由上C选项中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：C 18.万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解. 【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得， 所以小椭圆的长轴长为：． 故选：B． 19.已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线所过的定点，由题，此定点也在椭圆上，从而得出a，b，c的关系，用离心率表示出a，再由题目中长轴长的范围列出关于离心率的不等式，求解即可. 【详解】直线即，该直线过定点，所以点在C上，，即， 设，则， 所以， 因为C的长轴长大于，所以，， 所以，解得，所以：. 故选：B. 20.已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于A、B两点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据椭圆的定义可知，求得后，再根据，最后求椭圆的离心率. 【详解】根据椭圆的定义可知的周长为，所以， ， . 故选：B 21.设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接， 椭圆：的右顶点为A，右焦点为F， B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限， 直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点 为的中位线， ，且， ， 解得椭圆的离心率. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题. 22.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， ∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4， ∴（2，2）在椭圆C：上， ∴， ∵，∴，∴， ∴ ∴椭圆方程为：. 故选D. 考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质. 23.已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点. 若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线方程可得，可得，再结合椭圆定义及离心率公式可得解. 【详解】 如图所示， 由已知，则一条渐近线， 即， 又， 即，且四边形为矩形， 所以， 则， 又根据椭圆定义可知， 所以离心率， 故选：D. 24.已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则 A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1 【答案】A 【详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n， 又= ，故．故选A． 【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质． 【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误． 25．已知分别是椭圆的左､右焦点，第一象限内的点在上，，直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率可得，结合同角三角函数关系式求出，结合椭圆定义得，利用余弦定理即可求得的关系式，即可求得椭圆离心率. 【详解】由题意知直线的斜率为，即得， 得，为锐角， 结合,， 则， 由，得， 在中，， 得，所以，即， 可得的离心率， 故选：C 26．设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过,若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得，然后利用已知条件和勾股定理可求出，再结合椭圆的定义列方程可求出的关系，从而可求出离心率 【详解】由题设， 因为，所以 由勾股定理可得， 因为， 所以，得, 故离心率， 故选：D. 27．已知椭圆：（）的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，，若坐标原点到的距离为，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值． 【详解】设，，作，， 由题意可得，，， 即有，，由， 可得， 因为，在直角三角形中，由勾股定理得， 可得． 故选：D． 28．椭圆的两个焦点，，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，，，则离心率e等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，利用勾股定理求得由椭圆的定义求得2a,即可求出离心率. 【详解】由题意，因为MF1⊥F1F2，，所以，，所以. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型. 29．与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解. 【详解】由椭圆，得，，焦点在轴上． 由题意得双曲线，焦点在轴上，， 所以，， 所以． 所以双曲线方程为． 故选：B 30．17世纪法国数学家费马在著作中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴引垂线，垂足为Q，记，则（    ） A．方程表示的椭圆的焦点落在x轴上 B． C．M的值与P点在椭圆上的位置无关 D．M越来越小，椭圆的离心率越来越小 【答案】C 【分析】对选项A，根据椭圆的定义即可判断A错误，对选项B，根据题意得到，故B错误，对选项C，分别讨论焦点在轴和轴的情况，即可判断C正确，对选项D，根据，即可判断D错误. 【详解】对选项A，方程， 化简为. 当时，则，方程表示焦点在轴的椭圆，故A错误. 对选项C，设，椭圆的焦点在轴上， ，，， 因为为常数，所以的值与点在椭圆上的位置无关. 设，椭圆的焦点在轴上， ，，， 因为为常数，所以的值与点在椭圆上的位置无关，故C正确. 对选项B，当椭圆的焦点在轴时，， . 当椭圆的焦点在轴时，， 所以， 综上，故B错误. 对选项D，因为，所以越来越小，椭圆的离心率越来越大，故D错误. 故选：C 31．已知正方形，以为焦点,且过两点的椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为1，则由题意可得，，从而可求出椭圆的离心率. 【详解】设正方形的边长为1，则， ∵椭圆过，两点， ∴， ∴椭圆的离心率， 故选：D 32．已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程和切点坐标，写出切线方程，得M点坐标，由M的位置，求得离心率. 【详解】因为为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线， 切线斜率，所以PM的斜率，直线PM的方程为， 令，得，所以，由题， ，所以，． 故选：C． 33．椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得为等腰钝角三角形，则椭圆的离心率的取值可以是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，椭圆C上存在点N，使得为等腰钝角三角形，只可能，且，而，，通径为，所以，通过这一不等式可得到离心率的范围，进而得到选项. 【详解】由题意，椭圆C上存在点N，使得为等腰钝角三角形，只可能，且，而，，通径为，所以，得，所以. 故答案为C. 【点睛】求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子． 34.已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而可求出椭圆中的，再由离心率求出，然后由可求出，从而可求出椭圆的方程. 【详解】由题意可知椭圆的焦点在上，所以设椭圆方程为， 由可得其焦点坐标为， 因为椭圆与抛物线的焦点重合， 所以， 因为椭圆的离心率，所以，得， 所以， 所以椭圆方程为， 故选：C 35．设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的离心率，为坐标原点，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为（  ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由椭圆与双曲线的定义表示长度，结合勾股定理与离心率的定义化简求解 【详解】设椭圆的长半轴是,双曲线的实半轴是，它们的半焦距是， 并设,根据椭圆的和双曲线的定义可得， 解得，∵由勾股定理得， ∴， 化简可得，∴， ∴， 故选：B 36．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率. 【详解】依题意可知， 所以. 故选：B 37．若椭m=(　　) A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】分析：因为椭圆的焦点的位置不确定，所以需要根据焦点的位置分类讨论. 详解：如果，则，故，所以； 如果，则，故，则.故选A . 点睛：求圆锥曲线的离心率，往往需要先定位，即确定焦点的位置，然后再定量，即求出参数的值. 38．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率的定义列方程求，根据长轴长的定义求椭圆E的长轴长. 【详解】因为椭圆的方程为， 所以，，， 又椭圆的离心率为 所以，解得， 所以, 所以椭圆E的长轴长为． 故选：C. 39．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点），则椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，即得. 【详解】令，由，可得，即， 所以，解得， 所以椭圆的长轴长为. 故选：B. 40.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点P的参数形式，再结合直线的斜率公式，以及椭圆的性质，即可求解. 【详解】点P为椭圆C上的动点，则可设， 又， 则. 故选：D. 41.已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据离心率取值范围可得，因此以为直径作圆与必有四个不同的交点，再分情况讨论直角位置即可求得符号题意的三角形个数. 【详解】由可得，即，可得， 因此以为直径作圆与必有四个不同的交点， 因此中以的三角形有四个， 除此之外以为直角，为直角的各有两个， 所以存在使为直角三角形的点共有8个. 故选：D 42.椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 43.椭圆的离心率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程得出，可求出离心率. 【详解】由椭圆，可得，则 所以椭圆的离心率为 故选：A 44．双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】试题分析：∵双曲线 (a＞0，b＞0)和椭圆 (m＞b＞0)的离心率互为倒数， ∴ ∴ ∴，三角形一定是直角三角形 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 45．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得 PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c． 设∠PF2F1 =，则，△PF1F2中，由余弦定理可得 cos= 由-1＜cosθ 可得 3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得 2ac＜a2，e= ，综上 故选D 点睛：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到cos，且-1＜cosθ＜，构建关于 的不等关系是解题的关键． 二、多选题 46．黄金分割是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，其比值为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（    ） A．若椭圆的焦点在轴上，上顶点为，右顶点为，左焦点为．小欧提出只要满足，椭圆的离心率就等于 B．一顶角等于的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于 C．假设，小莱发现若公比大于0的等比数列与著名的斐波那契数列的递推公式相同，则数列的公比等于 D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离与柱高满足，则 【答案】ABD 【分析】选项A，将条件中数量积用坐标表示，整理方程可得；选项B，分别用正余弦定理得到边长与腰长的方程，联立方程组可得；选项C，由等比数列性质，在两边同除以可得公比的方程；选项D，结合对数性质，借助连等式设法，找到的等量关系即可. 【详解】对选项A，设椭圆的方程为， 则，，， 由，得， 即，即，可得，故A正确； 对选项，设该三角形底边长为，腰长为， 由正弦定理得，即①； 又由余弦定理得②， ①②两式联立得，即， 由于，，故，故B正确； 对选项C，设数列的公比为，，则， 由题意得，，两边同除以整理得， ，解得，故C错误； 对选项D，设， 则，，，由， 得，即， 则，且，解得，故D正确． 故选：ABD． 47．已知是3与12的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据等比中项的定义，结合椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】因为是3与12的等比中项， 所以， 当时，即， 该圆锥曲线表示焦点在横轴上的椭圆，由标准方程可知： ，所以椭圆的离心率为； 当时，即， 该圆锥曲线表示焦点在纵轴上的双曲线，由标准方程可知： ，所以双曲线的离心率为， 故选：AB 48．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有（    ） A．长轴长为m＋n＋2R B．焦距为n－m C．短轴长为 D．离心率 【答案】ABD 【分析】利用近地点和远地点到焦点的距离得到关于、的关系式，求得、值后再利用椭圆的几何性质和进行求解. 【详解】不妨设椭圆的焦距、长轴长分别为、， 由题意，得， 解得， 则长轴长为，即选项A正确； 焦距为，即选项B正确； 短轴长为， 即选项C错误； 离心率为，即选项D正确. 故选：ABD. 49．已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（    ） A． B．的离心率为 C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短轴长的取值范围是 【答案】AC 【分析】由曲线为焦点在x轴上的椭圆，得出和，根据即可判断A；根据椭圆离心率即可判断B；表示出椭圆的焦距，由函数的单调性即可判断C；由的范围即可得出的短轴长的取值范围，从而判断D． 【详解】对于A：根据题意知椭圆的标准方程为， 因为C的焦点在x轴上， 所以，即，故A正确； 对于B：由A可得，， 所以椭圆的离心率，故B错误； 对于C：椭圆的焦距， 因为函数，在上都是单调递减的， 所以m的值越小，的焦距越大，故C正确； 对于D：椭圆的短轴长， 因为当时，， 所以， 所以，故D错误， 故选：AC． 50．如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的短轴长为2 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为 【答案】CD 【分析】由图形特征，可得椭圆的短轴长和椭圆的长轴长，计算离心率和方程，验证各选项. 【详解】由题意，椭圆的短轴长与圆柱底面直径相等，即椭圆的短半轴长，短轴长为，B选项错误； 截面与底面所成的角为，则椭圆的长轴长为，得，A选项错误； ，离心率为，C选项正确； 当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上时，则椭圆的方程为，D选项正确. 故选：CD． 51．平面内与两定点，连线的斜率之积等于常数的点的轨迹，加上两点构成曲线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 C．当时，曲线的离心率随着的增大而增大 D．当时，曲线的焦点坐标为， 【答案】BD 【分析】根据已知条件求得曲线的方程，对进行分类讨论，结合椭圆、双曲线、离心率、焦点等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】设动点，则，化简得， 加上，，则曲线的方程为． 当时，曲线是圆，故A错误； 当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，故B正确； 当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）， 离心率，随的增大而减小，故C错误； 当时，曲线表示的焦点在x轴上椭圆， 焦点的坐标为，； 当时，曲线表示的焦点在x轴上双曲线，焦点的坐标为，；故D正确. 故选：BD 52．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（    ） A．长轴长为 B．离心率为 C．焦距为 D．面积为 【答案】BC 【分析】由投影的特点可确定，椭圆短轴长为球的直径，由此可得椭圆长轴长，并计算得到和离心率，知ABC的正误；根据椭圆面积大于球大圆面积可知D错误. 【详解】 由题意知：，，，， 椭圆长轴长，A错误； 椭圆的短轴长为球的直径，即，， ，椭圆的焦距为，C正确； 椭圆的离心率，B正确； 由图可知：椭圆的面积大于球大圆的面积，又球大圆的面积， 椭圆的面积大于，D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据投影的特点确定椭圆的的取值与球半径长之间的关系. 53．椭圆的离心率是，则实数的值是（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】AB 【分析】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别计算可得； 【详解】解：因为椭圆的离心率是． 当焦点在轴上时，，，，解得； 当焦点在轴上时，，，，解得． 故实数的值为或． 故选：AB． 54．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（    ） A．设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线 B．设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆 C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 【答案】CD 【解析】根据双曲线的定义可判断A选项的正误；根据直角三角形的几何性质可判断B选项的正误；求出方程的两根，结合椭圆和双曲线离心率的取值范围可判断C选项的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若动点的轨迹为双曲线，则，即， 但与的大小关系未知，A选项错误； 对于B选项，由可得， 可得，所以，点为线段的中点， 如下图所示： 当为圆的一条直径时，与重合； 当不是圆的直径时，由垂径定理可得， 设的中点为，由直角三角形的几何性质可得（定值）， 所以，点的轨迹为圆，B选项错误； 对于C选项，解方程，可得，， 所以，方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确； 对于D选项，双曲线的焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦距为，焦点坐标为，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法： （1）直接法：根据题设条件直接列出方程； （2）定义法：根据圆的定义写出方程； （3）几何法：利用圆的性质列方程； （4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 55．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是 A． B． C． D． E．椭圆Ⅱ比椭圆I更扁 【答案】ABD 【分析】先根据已知的条件确定和的关系，以及和的关系，再判断正确选项． 【详解】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得；因为，且，则，所以A正确；因为，所以B正确；因为，，则有，所以C错误；因为，所以D正确；因为，即，则椭圆I比椭圆Ⅱ更扁，所以E不错误，故选ABD. 【点睛】本题考查椭圆的基本性质，找到两个椭圆的长半轴和半焦距的关系，逐一分析选项即可． 56．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定图形，由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断A；由，结合不等式性质判断B； 由变形推理判断C，D作答. 【详解】观察给定图形，由及得，A正确； 由，得，B不正确； 因，即，有，得， 令，，即有，由给定轨道图知，， 因此，，D正确；而，C不正确. 故选：AD 57．椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为 C．椭圆上存在点，使得的面积为 D．为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为 【答案】BD 【分析】求出椭圆的离心率，可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；求出的取值范围，可判断C选项；利用平面内两点间的距离公式结合圆的几何性质可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，则， 对于A选项，椭圆的离心率为，A错； 对于B选项，的周长为，B错； 对于C选项，当点为椭圆短轴的端点时，的面积取最大值，且最大值为， 所以，，故椭圆上不存在点，使得的面积为，B错； 对于D选项，圆的圆心为坐标原点，该圆的半径为， 设点，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 当且仅当、、三点共线，且为线段上的点，以及点为椭圆的长轴端点时， 取最大值，D对. 故选：BD. 58．已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是椭圆，且其离心率 C．若，则C是双曲线，其渐近线程为 D．若，则C是双曲线，其离心率为或 【答案】ACD 【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义及相关性质逐项分析即可判断作答. 【详解】对于A，当时，由椭圆定义知，C是焦点在x轴上的椭圆，A正确； 对于B，当时，由椭圆定义知，C是焦点在x轴上的椭圆，离心率有，解得，B不正确； 对于C，当时，若，则曲线是焦点在x轴上的双曲线，渐近线程为， 若，则曲线是焦点在y轴上的双曲线，渐近线程为，C正确； 对于D，当时，若，则曲线是焦点在x轴上的双曲线，离心率有，解得， 若，则曲线是焦点在y轴上的双曲线，离心率有，解得，D正确. 故选：ACD 59．为使椭圆的离心率为，正数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】讨论时，焦点在轴上，得出，，当时，焦点在轴上，此时，利用离心率公式即可求解， 【详解】当时，焦点在轴上，此时，，所以， 所以，解得：，符合题意； 当时，焦点在轴上，此时，，所以， 所以，解得：，符合题意； 综上所述：正数的值可以时或， 故选：CD 【点睛】易错点点睛：对于圆锥曲线类问题，在焦点位置不确定的时候，要进行讨论，此种情况易漏选答案. 60．已知椭圆C：的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点．设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设，，，则，令，则，利用导数求出最值，可得，进而可得离心率． 【详解】解：设，，，则，，，， 令，则， ， 时，单调递减，时，单调递增， 可知：当时，函数取得最小值， 故选:BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的性质及几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值，解题的关键是由题意可得，则，然后利用导数求解即可，属于较难题． 三、填空题 61.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为，最小值为，代入条件即可求解. 【详解】依题意，由图象的性质可知， 点到焦点距离的最大值为，最小值为， 所以，化简得，即离心率， 故答案为：. 62.设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆及双曲线的定义，设，则，中利用余弦定理可求得两个离心率之间的关系式，进一步即可求得范围. 【详解】设，由， 所以， 由，得， 化为，所以， 由，可得， 所以，所以， 故答案为：. 63.椭圆的离心率 【答案】/ 【分析】由椭圆方程直接求离心率即可. 【详解】由椭圆方程知：，则. 故答案为： 64.在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合椭圆定义可得，进而利用余弦定理列式求解. 【详解】因为，所以， 因为与互补，且， 由余弦定理可得， 可得，所以. 故选：C． 65.已知椭圆的方程为分别为其左右焦点，两点在椭圆上，且满足，若直线的倾斜角为，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据条件判断出四边形为矩形，再根据椭圆的定义求解. 【详解】 由，可得四边形为平行四边形，故直线经过坐标原点，， 所以，即三角形是直角三角形，四边形为矩形， 在中，， ， 根据椭圆的定义有， 所以离心率， 故答案为：． 66．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上、下顶点分别为，，若四点共圆，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据对称性得到圆心为，直径为，由勾股定理列出方程，得到，求出离心率. 【详解】由题意得，，， 因为四点共圆，圆心为， 由对称性得此圆的圆心在轴上，直径为，故圆心为，直径为， 连接，由勾股定理得， 故，又，故， 方程两边同除以得，解得，负值舍去， 故答案为： 67．已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点为，设两曲线的其中一个交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线定义得到，进而得到，在中结合余弦定理得到即可求解离心率. 【详解】如图，过点作（为抛物线准线），垂足为，设， 在中，， 所以，即，则， 在中，由余弦定理可知，， 即，则，解得或． 故答案为：或 68．已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】根据角平分线性质定理结合椭圆定义即可得到关于的方程，则得到离心率的值. 【详解】设，则，则， 根据角平分线性质定理得，即，解得， 则根据椭圆定义得，， 故答案为：. 69．已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点到的距离最小，再利用两点距离公式与二次函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为椭圆的右焦点， 而是的中点，则 因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个， 又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点， 而左右顶点中，右顶点更靠近点， 所以右顶点到的距离最小， 设是椭圆上的点，， ， 对于，其开口向上，对称轴为，定义域为， 要使在处取得最小值， 则在上单调递减， 所以，即，则， 又，所以. 故答案为：. 70．设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆及双曲线的定义，设，则，中利用余弦定理可求得两个离心率之间的关系式，进一步即可求得范围. 【详解】设，由， 所以， 由，得， 化为，所以， 由，可得， 所以，所以， 故答案为：. 71．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 72．若椭圆的离心率为，则m的值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】因为，所以该椭圆的焦点在横轴上，所以 所以有， 因为该椭圆的离心率为， 所以， 故答案为： 73．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质即可列方程求解. 【详解】由题意得，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为， 椭圆的离心率为，可得，又， 则，解得① .椭圆的面积为，即②， 联立①②，解得 椭圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题 74.已知椭圆的离心率为，上顶点. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，，点是椭圆上的动点，过作直线分别交椭圆于另外三点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求出，得到椭圆方程； （2）设，求出，设，联立方程求出，同理可得，代入求解范围. 【详解】（1）由题得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由题可知， ① 由题可知：直线斜率不为 设， 联立, 则， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以 又因为，所以， 所以② 设，同理得， 所以， 又因为， 所以，所以同理可得③， 将②③代入①得 又因为，所以. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆中范围问题，考查学生数学运算能力，解析几何中，范围的问题通常采用参数来求解. 75.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，写出以为直径的圆的方程，然后在圆的方程中，令，求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）解：由椭圆过可得，可得， 又因为，解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）解：设点、，易知点、， 若直线与轴重合，则、中必有一点与点重合，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，则中点. 因为，则点是在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 在圆的方程中，令，得， . 所以，即， 又因为， 所以，即，解得， 所以点坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 76.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否为零进行讨论，当直线斜率存在且不为零时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和斜率公式再进行求证即可． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，， 所以，解得，则椭圆的方程为； （2）由（1）知，若直线的斜率为， 此时直线的方程为，显然成立； 若直线的斜率不为， 不妨设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时，由韦达定理得，， 易知，， 所以 ． 故． 【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程. 77.已知以原点O为中心的椭圆标准方程的离心率为，焦点F为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过焦点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆离心率以及焦点坐标，列方程求解，即可得答案. （2）写出直线方程，联立直线和椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出弦长以及原点到直线AB的距离，即可求得答案. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：， 所以椭圆方程为. （2）由题意知直线AB的方程为，设， 联立，， 则， 故 ， 点O到直线AB的距离为：， 故的面积为. 78.已知椭圆：（），，为其左，右焦点，为其上顶点，的内切圆周长为. （1）求椭圆的离心率； （2）若点在椭圆上，，是椭圆上任意两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）记的内切圆半径为，则由题意可求得，再由的面积列方程可求出，从而可得离心率； （2）由于点在椭圆上，则将其坐标代入中，再结合，，可求出椭圆的方程，设，，线段的中点为 ，利用点差法可得，从而可得线段的垂直平分线的方程，则，再由点在椭圆内部可求出结果 【详解】解：（1）记的内切圆半径为，则，则 ， 又的面积：，即，故椭圆的离心率为 ； （2）因为点在椭圆上，即，又因为，，则， 则  ，所以 ，，，故椭圆为. 又设，，线段的中点为 . 若，即，则，满足题意；若，即，则不满足题意，应舍去； 当时，有，作差得： 因为，，所以， 因为，所以 ， 设线段的垂直平分线为，则，得 ：， 令，得，又因为点在椭圆内部，则，则， 故    【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用点差法求出，从而可求出线段的垂直平分线的方程，由此可求出，进而可求得结果，属于中档题 79.已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，，，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆方程； （2）方法一：设直线，，联立方程组利用设而不求法证明直线和直线过定点，结合条件证明结论. 方法二：直线，，通过齐次化变形，证明，，由此证明直线和直线过定点，结合条件证明结论. 【详解】（1）由，， 三角形面积， 解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）由（1）得，设，，，， 直线，． 联立 消去y整理得， 方程的判别式， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得．若，则， 则直线MN过定点，与题意矛盾； 若，则，则直线MN过定点． 同理可得 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 整理得． 若，则，则直线AB过定点，与题意矛盾； 若，则，则直线AB过定点． 又因为，所以， 所以直线AB与MN的交点在以和所连线段为直径的定圆上． 方法二：设，，，， 直线，． 椭圆方程变形为， 直线变形为， 代入椭圆方程得， 即， 左右两边同时除以得，， 则，为方程的两个根，则， 所以，直线MN过定点． 同理可得， 则，为方程的两个根，则， 所以， 直线AB过定点． 又因为，所以， 所以直线AB与MN的交点在以和所连线段为直径的定圆上． 【点睛】关键点点睛： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 80.已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意得到、、的方程组，解得即可； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，即可求出，，从而得到，则，再设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再根据得到，最后根据计算可得； 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可得，， 设直线的方程为， 代入得，它的两个根为和， 可得，，从而． 因为，所以， 若直线的斜率不存在，根据对称性，则在椭圆的上（下）顶点处， 不妨取为上顶点，则， 由，解得或， 所以或， 所以， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，， 将代入，整理得， 由，则，， 所以， 化简得， 所以. 综上可得的面积等于，为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 81.已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据顶点得到，根据离心率得到，则得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，求出两直线方程，得到面积表达式，化积为和，代入化简即可. 【详解】（1）由题意得，，则，则， 则椭圆的方程为. （2）显然当直线的斜率为0和不存在时，不合题意， 则可设直线的方程为，，， 则联立椭圆方程有，化简得， 则，解得或， 则，，，，， 则，则直线的方程为，令，则， ，则直线的方程为，令，则， 则，，因为，则同号， 则 . 82.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求解，即可求椭圆方程； （2）首先求，联立直线与椭圆方程，并利用韦达定理表示四边形的面积，即可求解面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由已知得，得，，， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得，，则， 设，，直线的方程为， 代入，整理为， 由，解得：， 且，， 四边形的面积 ， 当时，. 83.已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （I）求与的关系式； （II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率. 【答案】（Ⅰ）（II） 【分析】（I）联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于0，即可求出结果； （Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，可得的面积是的面积的两倍，再由当时，的面积取到最大值，可得，进而可得原点到直线的距离，再由点到直线的距离公式，以及（I）的结果，即可求解. 【详解】（I）由，得， 则 化简整理，得； （Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍. 所以当时，的面积取到最大值，此时， 从而原点到直线的距离， 又，故. 再由（I），得，则.   又，故，即， 从而，即. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于中档试题. 84.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为上一点，且面积的最大值为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴的交点为定点，求的值及定点的坐标. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）当为椭圆短轴端点时，面积最大，结合离心率和椭圆关系可构造方程组求得结果； （2）将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用直线两点式可得直线方程，令可表示出；由为定点可构造方程求得，进而得到点坐标. 【详解】（1）当为椭圆短轴端点时，面积最大，即， 由得：，椭圆的方程为：. （2）由得：， ，即； 设，，， 由题意知：，直线方程为：， 令，则， 即， 为定点，，即，解得：； 此时，，则. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，解题关键是能够通过化简所求点坐标，结合该点为定点确定方程，从而解得参数值，由参数值确定定点坐标. 85.已知椭圆的长轴长为，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得，即求； （2）证明即证明直线与的斜率，根据题意，设直线，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理代入变形即可证明． 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设直线，联立方程组消去，得， ，解得， 当时，直线，点在直线上，不满足题意，舍去， 设，则，易知直线与的斜率均存在，所以， 设直线与的斜率分别为，则， 要证，即证， 只需证， 故 又， 所以 ， 所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为证明，利用韦达定理法即得. 86.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形的周长为， (1)求椭圆的方程． (2)设直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值及面积的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件列方程组求解. （2）根据以为直径的圆经过椭圆的右顶点求得m进而得恒过定点，由求面积，并换元后用二次函数求最大值. 【详解】（1）因为椭圆上的一点和它的两个焦点构成的三角形周长为， 所以， 又椭圆的离心率为，即，所以 所以． 所以，椭圆的方程为. （2）不妨设直线的方程． 联立，消去得， ，即， 设，则，① 因为以为直径的圆过，所以， 由， 得， 将代入上式， 得， 将①式代入上式， ， 解得，或（舍）， 所以，令是直线与轴的交点，则， 此时直线与椭圆恒有两个交点. 则有， 设，则， 所以当时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. 87．已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点. (1)求椭圆C的方程. (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在的坐标为，理由见解析 【分析】（1）先求出椭圆的离心率为，由此得到，将点的坐标代入椭圆，得到，再代入，解得，，则可得结果； （2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB为直径的圆经过定点，再证明猜想，设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，，利用，，，证明即可. 【详解】（1）在椭圆中，，，，离心率， 在椭圆C：中，， 所以，化简得， 因为在椭圆C：上， 所以，所以，所以，， 所以椭圆. （2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB为直径的圆的方程为， 联立，解得， 由此猜想存在，使得以AB为直径的圆是经过定点， 证明如下： 当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线， 联立，消去并整理得， ， 设、， 则，， 则， ， 因为 ， 所以，所以点在以为直径的圆上， 综上所述：以AB为直径的圆是经过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 88．已知椭圆：过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)已知，为椭圆的两焦点，若点P在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据点在椭圆求得方程，结合椭圆、的关系写出椭圆的方程； （2）应用椭圆定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由在上，则，可得， 所以为，故长轴长为4，离心率为， 故中，且，则， 所以为. （2）由题意，在中，而， 又， 所以，故， 所以. 89．已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，焦距为，根据题意求得，即可得解； （2）易得，设的方程为，则的方程为，分别与两椭圆方程联立，求得，再根据求得，同理可得，再由，整理即可得出答案. 【详解】（1）解：设椭圆的方程为，焦距为， 椭圆的离心率， 则有，解得， 所以椭圆的方程为； （2）解：， 设，则，且， 则， 设的方程为，则的方程为， 联立，消得， 则， 联立，消得， 则， 所以， 同理可得， 所以， 设， 则， 因为，则，则， 所以， 即. 90．求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】或. 【分析】由题设可得，根据椭圆参数关系有，设椭圆方程为或，结合点在椭圆上分别求参数，即可得椭圆的标准方程. 【详解】由题设，椭圆离心率为，则，又在椭圆上， 若所求椭圆方程为，则，即，故方程为； 若所求椭圆方程为，则，即，故方程为. 91．已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点. ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过点且与椭圆有相同的离心率的椭圆的标准方程. 【答案】（1）选①得到的椭圆方程都是；选②（2）或. 【分析】（1）若选①，由条件可得，然后利用定义可求出的值，然后可得答案；若选②，由条件可得，然后，然后可算出答案； （2）设所求椭圆的方程为，由过点可得，然后分、两种情况讨论求解即可. 【详解】若选①，因为矩形的长为，宽为，所以 所以， 所以 所以椭圆的标准方程为 若选②，因为，所以，因为，所以 所以，所以 所以 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中 所以，所以其方程为 （2）椭圆的离心率为 设所求椭圆的方程为，因为过点，所以 若，则，所以，， 所以由可解得 若，则，所以，， 所以由可解得 所以所求椭圆的方程为：或 92．已知椭圆经过点，离心率． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论． 【答案】（1）；（2）或为等差数列；证明见解析． 【分析】（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解； （2）设的斜率为，则直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再利用韦达定理化简得，即得解. 【详解】解：（1）由点在椭圆上得，①，． 又②． 由①②得，． 故椭圆的标准方程为． （2）或能构成一个等差数列． 椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在， 设的斜率为，则直线的方程为③． 代入椭圆方程，整理得，易知． 设，则有④． 在方程③中，令，得，从而， 因为 =⑤， 将④代入⑤得． 而，所以，即为、的等差中项， 所以或为等差数列． 【点睛】方法点睛：关于直线和椭圆的位置关系问题，经常要联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理来化简求解. 93．已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M.记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由点A在短轴端点时，面积取得最大值，得到，再根据椭圆的离心率为求解. （2）设直线PM的方程为与联立，根据 PM是椭圆的切线，由，得到，设，用导数法求得，然后根据，由 求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以， 设，则， 当时，面积取得最大值， 所以，又， 解得， 所以椭圆的方程是. （2）设直线PM：与联立得：， 因为PM是椭圆的切线， 所以，即， 由，得， 所以，则， 设，则①， 因为， 所以②， 将①②代入，得， 因为同号， 所以， 因为M在直线上， 所以， 所以 ， 所以, . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 94．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）椭圆过点，离心率； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； （3）求经过点，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【解析】(1)根据椭圆的焦点分别在轴上，结合，分别气的的值，即可求得椭圆的方程，得到答案； (2)根据题意得出为等腰直角三角形，得到，再由，求得的值，即可求得椭圆的方程； (3)由所求椭圆与椭圆有相同离心率，得到，分类讨论，即可求得椭圆的方程. 【详解】(1)若焦点在x轴上，则，因为，所以， 又由，所以椭圆的方程为； 若焦点在y轴上，则，因为，解得， 所以椭圆的方程为， 综上可得，所求椭圆的方程为或. (2)设椭圆方程为，如图所示， 由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8， 可得为等腰直角三角形，为斜边的中线(高线)， 又由，所以，所以， 故所求椭圆的方程为. (3)由题意，椭圆，可得 因为所求椭圆与椭圆有相同离心率，可得， 解得，即， 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为， 综上可得，椭圆的方程为或. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准的求解，以及椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，以及合理利用椭圆的几何性质求得的值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 95．已知椭圆：，，. (1)若椭圆的离心率是，求的值； (2)椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于，且，是不同的两点. ①设的面积是，的面积是，当时，求的范围； ②若点，满足，且，则点在点的右下方.求证：点在点的右下方. 【答案】(1)或 (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）首先对参数分类讨论，然后结合平方关系、离心率公式即可求解. （2）①画出图形，先将直线方程与椭圆方程分别联立，分别求出，的坐标，然后再将面积比转换为线段长度之比，即坐标变化量之比，从而可将表示成关于的函数，结合题意可以求出的范围，由复合函数单调性即可求出的范围；②要证明点在点的右下方，只需证明直线的斜率即可，结合①中的数据并通过适当的运算技巧即可得证. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述：若椭圆的离心率是，则或. （2）①如图所示：   当时，椭圆方程为，此时，，， 所以直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立得, 消去化简并整理得，解得， 同理直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立得, 消去化简并整理得，解得， 注意到， 由题意可知， 从而， 所以， 因为为椭圆内部一点，将代入得， 因此， 所以， 因为当时，函数单调递减， 所以由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以， 综上所述：当时，的范围为. ②由题意若要证明点在点的右下方， 只需证明直线的斜率即可， 由①中分析可知，，，， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 综上所述：由以上分析可知点在点的右下方. 【点睛】关键点点睛：本题第一问比较常规，熟练运用离心率公式以及平方关系是解题的关键；第二问的关键是要将面积比转化为线段长度比，即转换为坐标形式，从而由韦达定理即可表示成的函数；第三问的关键是分析出只需证明直线的斜率即可，剩下的就是交给运算技巧了. 96．已知椭圆：过点记椭圆的左顶点为M，右焦点为 (1)若椭圆C的离心率，求的范围； (2)已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点（异于左右顶点）连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由； (3)已知，设直线的方程为，它与相交于，.若直线与的另一个交点为.证明：. 【答案】(1)； (2)垂直，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先根据在椭圆上，得到b,a的关系，再结合离心率的范围可以求得b的范围； （2）假设向量数量积为0，可以求得E点坐标，可以确定EM与EG垂直； （3）设点后联立直线和椭圆方程，再消参数得出横坐标关系，即可得出结论. 【详解】（1）在椭圆上, 可得 ； （2）   且椭圆过, 因此椭圆方程为 由题意得，假设设, 则,由得 即① 又点在椭圆上，② ①②联立消去，得 则 （为左项点不符合题意舍）, 所以与垂直. （3）   设, 由（2）知椭圆方程为与直线的方程 联立消去， 并整理得， 可得 又点A 在直线上， 又直线 AD 的方程为与椭圆方程为联立消去， 整理得, 所以于是可得  ，即, 从而B , D 两点关于 x 轴对称，因此. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 97．已知椭圆C：（）过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是椭圆C的左、右顶点），且以线段MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标 【分析】（1）根据题意列出的方程组，结合求解出的值，则椭圆方程可知； （2）设出直线的横截式方程以及的坐标，联立直线与椭圆方程可求得纵坐标的韦达定理形式，结合条件可知，通过化简可求得的值，则所过定点坐标可知. 【详解】（1）因为，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知的斜率不为，设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为以为直径的圆经过点，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 化简可得，解得或， 当时，过点，不符合题意； 当时，过定点，满足题意， 综上所述，直线过定点. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略： （1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； （2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 98已知在椭圆上，分别为的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若动点均在上，且在轴的两侧，求四边形的周长. 【答案】(1)； (2)8. 【分析】（1）把给定点的坐标代入椭圆方程，建立方程组并求解即得. （2）根据给定条件，利用椭圆定义计算即得. 【详解】（1）由点在椭圆上， 得，解得，则半焦距， 所以的离心率为. （2）因为动点均在上，且在轴的两侧， 所以由椭圆的定义得，四边形的周长为. 99．已知椭圆：，离心率为，且经过点. (1)求C的方程： (2)过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程； （2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程. 【详解】（1）椭圆：，离心率为，且经过点， 则有，解得，所以椭圆C的方程为. （2）过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方）， 设直线的方程为， 椭圆左顶点为，，点N在x轴下方，直线的斜率， 由，消去得， 设，则有，得， ， 原点到直线的距离， 则有， 当时，方程化简为，解得； 当时，方程化简为，解得，不满足，舍去. 所以直线的方程为，即. 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 100．已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，求面积的取值范围（为坐标原点）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标结合离心率即可得到方程组，解出即可； （2）将直线与椭圆联立得到韦达定理式，再计算出斜率之和表达式，化简变形将韦达定理式代入得到关系式，最后计算面积表达式，求解其最值即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）联立，消元整理得， 时 设，，则，， 由 得 所以 所以 化简得，即，所以或 当时过点，不合题意，舍去，所以，即， 此时，所以，设到直线的距离为， 则， 当且仅当时，当时 所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是联立椭圆与直线方程得到伟大定理式，再计算化简斜率之和的表达式，从而得到，最后计算面积表达式即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $