1.5角平分线教学设计2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 5 角平分线（第1课时） 一、学习任务分析 《义务教育数学课程标准（2022年版）》对角平分线内容提出明确要求：探索并证明角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）及其逆定理（角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上）。强调理解证明的意义与必要性，遵循逻辑思维的基本要求，掌握综合法的证明格式，并能用不同形式表达证明过程。 本节内容共2课时，主要研究角平分线的性质定理、逆定理及其应用，其内容设计思路与“线段的垂直平分线”一节类似。第1课时，重点探究并证明角平分线的性质定理，进而通过逆向思考探索并证明角平分线性质定理的逆定理，最后借助例题及巩固练习对角平分线的两个定理进行初步应用。第2课时，侧重综合运用角平分线的性质定理及其逆定理解决相关问题。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：本节课的知识生长点源于七年级上册“基本平面图形”中线段、角、线段中点及角平分线等基础知识的学习，并在七年级下册“生活中的轴对称”中进一步探索了线段、角等基本图形的轴对称性及相关性质，集中体现了轴对称变换在几何图形中的工具性作用。上一节的内容是“线段的垂直平分线”，学生已经系统研究了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，以及相关的应用，本节“角平分线”内容设计与其类似，学生可以借助类比的方法学习本节内容，进一步体会证明的必要性，掌握综合法的证明方法，为后续几何证明奠定基础。 学生活动经验基础：在以往几何图形的研究中，学生主要借助实物操作、折纸、画图、度量及轴对称等直观方法。从八年级上册“平行线的证明”一章开始，学生已经逐步积累了命题证明的活动经验，但要实现从“能说理”到“能证明”的跨越，仍需要学生在合作学习的过程中进一步积累活动经验，在合情推理的基础上加强演绎推理的训练，从而提升数学核心素养。 三、教学目标 1.通过旧知建构过程，理解证明的意义与必要性，提升知识建构能力，激发对数学学习的兴趣。 2.经历“观察—猜想—操作—验证”的探究过程，归纳角平分线的性质定理及其逆定理，初步掌握证明过程的书写，体会演绎推理的严谨性，形成有理有据的逻辑推理意识。 3.通过小组交流与合作，发展数学表达能力，培养勇于探索、团结协作的学习品质。 教学重点：证明角平分线的性质定理及其逆定理。 教学难点：类比线段垂直平分线的性质，理解角平分线性质的证明思路；清晰区分“点到点的距离”与“点到直线的距离”。 四、教学过程设计 【第一环节】旧知建构，提出命题 1.活动内容 我们学习过线段、角等基本的平面图形，理解了线段中点、角平分线的定义，知道线段、角具有轴对称性。 （1）请分别指出线段和角的对称轴。 线段的垂直平分线和角平分线所在的直线。 （2）上节课我们证明了线段垂直平分线的相关结论，这节课可能研究线段的哪些结论呢？请构思本节课的主要内容。 2.活动目的 要消除学生“角平分线的性质已经学过了，为什么现在还要学？”的疑问，关键在于让学生理解本次学习不是简单重复，而是从直观认知到逻辑证明的深化。教师应引导学生类比上一节线段的垂直平分线的学习方法来学习本节内容。同时，从命题的角度再次学习角平分线的性质时，教师可通过设计开放性问题、联系实际情境、借助动态演示等方式再次激发学生的学习兴趣。 3.注意事项 本环节的活动以问题串的形式引导学生发现本节课知识的生长点并进行延伸，学生能够在大单元知识结构中明晰为什么要学习本节内容，初步理解本节课内容在整个单元中的地位与作用，从而激发学习兴趣。 【第二环节】探究推理，证明命题 1.活动内容 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。 已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。 求证：PD＝PE。 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，图1 ∴∠PDO＝∠PEO＝90°。 ∵∠1＝∠2，OP＝OP ， ∴△PDO≌△PEO（AAS）。 ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）。 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 符号语言： ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE。 角平分线的性质定理也是证明两条线段相等的依据之一。 2.活动目的 让学生明确证明命题的一般步骤，并能灵活运用；能够准确、清晰地阐述证明过程，体会逻辑推理的严谨性；归纳并理解角平分线性质定理在解决几何问题中的作用。 3.注意事项 在分析命题条件时，学生可能对“点到这个角的两边的距离”这一表述没有直观感受。此时，教师应引导学生追溯其实质，即“点到直线的距离”，并与上一节“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离”进行对比区分，前者是点到直线的距离，后者是点到点的距离。 当学生运用全等三角形的方法证明出PD＝PE，得出角平分线的性质定理后，教师可进一步追问：“角平分线的性质定理对你以后的几何学习有什么帮助？”这一提问旨在激发学生的深度思考，打破学生对“证明完成即结束”的惯性认知。事实上，这里不仅完成了一道题的证明，更是在进行命题的证明，经过证明的真命题称为定理，而定理可以作为后续几何推理的依据。在教师的引导下，学生能够总结出：在证明两条线段相等时，除了借助全等三角形、等腰三角形等已有的证明方法以外，又多了一种证明方法，即借助角平分线的性质定理来证明。 【第三环节】实践操作，逆向证明 1.活动内容 尝试·思考 （1）类比线段的垂直平分线的学习路径，你能写出角平分线性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性。 分析：将原命题分成三个部分：①OP平分∠AOB；②PD⊥OA，PE⊥OB；③PD＝PE。其中角平分线的性质定理是“①②→③”，那么此定理的逆命题就应该有“①③→②”与“②③→①”两种可能。可以借助画图对以上两种情况分别进行论证。 猜想1 证角相等：由条件②③推导出结论①。 已知：如图2，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE。 求证：OP平分∠AOB。 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， 图2 ∴∠ODP＝∠OEP＝90°。 ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）。 ∴∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等）。 ∴OP平分∠AOB。 因此，“②③→①”这个命题是真命题，成立。 猜想2 证垂直：由条件①③推导出结论②。 如图3，已知OP平分∠AOB，PE＝PF（以P为圆心，PE的长为半径画圆，交OA于点F，交OB于点E），但不能保证PE⊥OB，PF⊥OA。 因此，通过举反例的方法得出“①③→②”这个命题是假命题，不成立。 图3 角平分线性质定理的逆定理为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 符号语言（如图1）：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE， ∴OC是∠AOB的角平分线。 角平分线的性质定理的逆定理是证明两角相等的依据之一。 2.活动目的 通过上节课“线段的垂直平分线”的学习路径，引导学生运用类比的方法探究角平分线性质定理的逆命题。在探究过程中，由角平分线的性质定理“①②→③”可猜想逆定理可能有“②③→①”和“①③→②”两种情况，培养学生思维的严谨性。在证明角平分线的性质定理的逆定理的推理过程中，教师要关注学生证明思路的形成过程，引导他们通过构造辅助线、利用三角形全等等策略进行推理，深刻体会演绎推理的严谨性，逐步树立“有理有据”的推理意识。同时，可通过举反例的方法，让学生进一步体会推理的严谨性，发展逻辑推理能力。 3.注意事项 由于学生已具备上一节“线段的垂直平分线”的学习经验，很容易对角平分线的性质定理进行逆向思考。此处教师可根据班级学情灵活引导，不局限于教材中“由②③→①”这一种逆命题形式，鼓励学生提出多种可能的组合猜想，以激发其几何学习的兴趣。 在构造证明时，学生可能会联想到利用圆的半径相等构建相等的线段。由于学生对于圆的性质的认知目前仅停留在小学阶段的初步认知，教师需根据班级实际情况适时引导。此外，“在一个角的内部”这一限制条件是逆定理成立的关键。学生独立发现此条件存在一定的困难，教师需根据班级实际情况适时引导。 【第四环节】典例精析，应用定理 1.活动内容 例1 如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在边BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长。 分析：（1）根据角平分线性质定理的逆定理或三角形全等的证明方法证得∠BAD＝30°；（2）利用特殊直角三角形中三边的数量关系求得DE的长。图4 解：【方法一】∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°。 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， AD＝10， ∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。 【方法二】 思路：由△ADE≌△ADF(HL)得到∠DAE＝30°，从而得到DE＝5。 2.活动目的 对本节课所学的知识进行巩固，使学生掌握证明线段之间关系或角之间关系的又一种方法。 3.注意事项 引导学生多角度思考，体会在证明两个角相等时，运用角平分线的性质定理可能比运用全等三角形方法进行证明更为简洁。同时，需注重指导学生书写的规范性。 【第五环节】巩固练习，知能进阶 1.活动内容 练习 如图5，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，如果PC＝6，求点P到OA的距离。 解：过点P作PH⊥OA，垂足为 H，图5 ∵OP平分∠AOB，PC⊥OB， ∴PH＝PC＝6。 ∴点P到OA的距离为6。 2.活动目的 此环节与上一环节紧密衔接，旨在实现对角平分线的性质定理的初步应用。为了明确区分“点到直线的距离”与上一节课“点到点的距离”，教学中需通过对比讨论加深学生对这两个几何概念的理解。同时，引导学生以添加辅助线的方式揭示图形中的隐含条件，从而为完成本节课的课后习题及下节课的进一步学习降低难度。 3.注意事项 学生能够从本题给出的条件与结论中联想到辅助线的添加方法，并进行推理与解答，但在书写过程中，要注意对辅助线的具体描述需要进一步规范。 【第六环节】归纳小结，提炼升华 1.活动内容 引导学生进行梳理，教师可以展示如下的结构图。 2.活动目的 引导学生从知识与技能、活动经验、数学思想方法等方面对本节课进行回顾，进一步深化对几何证明的理解，体会数学证明的力量。 3.注意事项 本环节要注意让学生畅所欲言，积极表达自己的想法，教师可以引导学生总结出本节课中分别通过两个反例对应说明两个假命题不成立。 【第七环节】作业布置，分层推进 1.活动内容 必做题：教科书习题1.5 第1，2，7题。 选做题：通过查阅资料等方式，进一步理解角平分线的判定定理。 2.活动目的 设置必做题旨在巩固基础知识，帮助学生理解和掌握数学的基本概念与技能；设置选做题，鼓励学有余力的学生将课堂中积累的研究方法延续至课后，实现深度学习。 3.注意事项 要求学生通过独立思考，自主完成必做题。针对选做题，教师可进行适当引导和讲解，加深学生对所学知识的理解。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 5 角平分线（第2课时） 一、学习任务分析 本节课是北师大版初中数学八年级（下册）第一章“三角形的证明及其应用”第5节的第2课时。本节共分为2课时：第1课时研究角平分线的性质定理及其逆定理；第2课时运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题。 本节课为第2课时，重点在于学习如何综合运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题。本节内容的设计思路与前一节类似，教学时应引导学生进行类比，体会线段的垂直平分线、角平分线研究方法的一致性，促进学生形成结构化的认识，让学生进一步体会“类比”这一数学思想方法在探究新知中的重要作用。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：在上节课的学习中，学生已梳理了角平分线相关知识的生长点与延伸路径，通过类比线段垂直平分线的学习方法，掌握了角平分线的性质定理、判定定理及其简单应用，初步具备了演绎推理的能力，并对几何命题的证明步骤有了基本认识。 学生活动经验基础：通过上一节课的探究与实践，学生积累了一定的几何活动经验与学习方法，能够在教师的引导下进行猜想、操作与初步论证。根据上节课的反馈，学生在添加辅助线及规范书写证明过程等方面仍需加强。此外，本节课的问题更加综合复杂，教学中需进一步培养学生的演绎推理能力，注重数学思想方法的引导，同时继续强化书写的规范性与合理性。 三、教学目标 1.经历探索、猜测、操作、证明的过程，进一步掌握命题证明的步骤，巩固角平分线的性质定理和判定定理，发展学生的推理能力，感悟解决几何问题的方法。 2.通过对多个定理的综合运用，提高综合运用数学知识与方法解决实际问题的能力。 教学重点：运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题。 教学难点：综合运用数学知识与方法解决实际问题。 四、教学过程设计 【第一环节】复习定理，综合运用 1.活动内容 例1 如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。图1 （1）求证：AB＝AC＋CD； （2）已知CD＝4cm，求AC的长。 2.活动目的 本例题需要综合运用角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质及勾股定理等多个知识点，并将计算与证明有机融合。旨在帮助学生进一步理解与掌握所学的知识和方法，提升综合运用几何知识解决问题的能力。 3.注意事项 学生在证明DE＝CD时，可能会分别运用了全等三角形的性质和角平分线的性质两种不同的思路，这两种思路都体现了对几何知识的灵活运用，教师应予以肯定和鼓励。 【第二环节】问题情境，提出命题 1.活动内容 如图2，这是一块三角形草坪，现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？你觉得这个生活中的实际问题会与哪些数学知识相联系呢？ 2.活动目的 从生活中的实际问题出发，引导学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯，并尝试运用数学知识解决生活中的实际问题，从而激发学生的求知欲。 3.注意事项 在教学中，教师应关注学生面对数学问题时的不同反应：部分学生能主动关联已有知识并尝试画图，部分学生可能感到思路不明，也有部分学生充满探究兴趣。教师需通过启发式提问、分层任务或小组协作等方式，帮助学生找到切入点，引导学生深入探索，让每位学生都能在适切的引导下参与学习、建立信心。 【第三环节】实践操作，探究命题 1.活动内容 （1）请同学们拿出准备好的锐角三角形纸片，分别折出三个内角的角平分线，并在小组内交流通过折叠得出的结论。（三角形的三条角平分线相交于一点。） （2）（将全班学生分为三组）请各组分别用尺规作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线。观察每个三角形的三条角平分线，你发现了什么？ （三角形的三条角平分线相交于一点。） （3）请联系上节课所学的角平分线的相关性质，猜想三角形的三条角平分线还可能有什么结论？你能尝试通过画图和度量的方法进行探索吗？ （三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。） （4）刚才我们通过折叠、画图及尺规作图等操作，初步得出了关于三角形三条角平分线性质的结论，你觉得这个结论一定正确吗？ （不确定。一个命题是不是真命题还需要证明。） 2.活动目的 此环节学生通过观察、猜想、画图、度量等一系列操作活动，初步得出了关于三角形三条角平分线相关性质的命题。然而，仅凭操作与直观感知不足以断定命题的正确性，必须经过严密的推理证明才能确定其正确性。通过这一过程让学生再次感悟到数学证明的必要性与重要性。 3.注意事项 活动（1）引导学生通过折叠自主发现新结论并提出猜想，使学生在活动（2）的尺规作图中具有明确的思维目标，进而思考为什么通过不同的操作会得出相同的结论，从而激发学生的求知欲。活动（3）通过开放性设问发散学生的思维，同时引导学生通过画图、度量的方法，结合角平分线的性质进一步思考相关结论，使发散思维始终围绕核心方向展开。整个探究活动兼具小组合作交流的必要性与实践操作的可行性，有利于提升学生的参与度与理解深度，预期能取得较好的教学效果。 【第四环节】逻辑推理，证明命题 1.活动内容 教师出示命题（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等），引导学生画出相应的图形，写出已知、求证。 （1）例2 已知：如图3，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。 求证：∠A的平分线经过点P。图3 （2）学生根据第三环节中的实践操作经验，思考证明过程。 （3）全班交流此命题的证明过程，教师进行板书。 2.活动目的 学生在第三环节中已经经历“观察——猜想——操作”的探索过程，通过本环节的证明，学生能够进一步掌握从命题提出到得出结论所需要的步骤，再次体会到命题证明的严谨性。通过第三环节的实践操作与小组交流等活动，学生感悟到辅助线的构造思路，并尝试独立作出解决此类几何问题所需的辅助线。 3.注意事项 在教学中，教师应注意引导学生自主分析题意、探索解题思路，同时通过规范的板书演示证明过程，为学生提供清晰的书写范例，帮助学生逐步掌握严谨、合理的几何证明书写格式。 【第五环节】运用命题，解决问题 1.活动内容图4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N。 求证：FE＝FD。 2.活动目的 运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”这一命题综合解决相关几何问题。 3.注意事项 由于学生已通过本节课的活动积累了相关经验，他们能较容易地构建出辅助线，并运用两个三角形全等的方法推出结论。教学中务必给予学生充分的思考与分析时间，同时强调证明过程书写的规范性。 【第六环节】归纳小结，提炼升华 1.活动内容 （1）在本节课中，你学习的新命题是什么？你是通过哪些途径得到这个命题的？又是通过哪些步骤完成命题证明的？ （2）在对本节课涉及的综合题目的证明过程中，你积累了哪些经验？ 2.活动目的 用问题引导学生对本节课的学习进行归纳梳理。 3.注意事项 要引导学生结合具体例题或实际问题的解决过程，梳理学习收获，总结积累的经验，避免空谈。 【第七环节】作业布置，分层推进 1.活动内容 必做题： （1）教科书习题1.5 第3，4，5，6题。 （2）用思维导图梳理本章的知识结构。 选做题： 以撰写小论文的方式，梳理线段的垂直平分线和角平分线的联系。 2.活动目的 根据学生的实际情况，必做题作业设计包含两个目标：一是通过巩固习题强化本节课所学内容；二是引导学生系统梳理，构建总体知识体系。选做题则基于学生实际，帮助其进一步理解几何图形研究的一般路径与方法。 3.注意事项 为了保证学生能有效运用思维导图梳理所学知识，教师可从学生的作业中选择具有代表性的思维导图在班级内进行展示与点评，帮助学生学会梳理知识结构。 2 学科网（北京）股份有限公司 $