3.4 力的合成与分解 力的分解中的多解问题 导学案-2025-2026学年高一上学期物理必修第一册

该高中物理导学案聚焦力的分解中的多解问题，引导学生基于不同约束条件（已知合力与分力方向、大小或其一方向其一大小）绘制力的矢量图，通过情境创设和问题思考衔接前期知识，以模型建构为支架建立前后知识脉络。 资料以科学思维中的模型建构和科学推理为核心，结合斧头劈树桩等情境化课堂小练与分层练习题，引导学生分类讨论解的存在性及数量规律，培养学生分析几何关系和解决实际问题的能力，助力提升相互作用观念与科学探究素养。

力的分解中的多解问题 学习目标 1．能够基于不同约束条件绘制力的矢量图，体会模型建构的思想； 2．能够结合力的矢量图中的几何关系，分类讨论解的存在性及数量规律． 学习过程 情境创设 通过前面的学习，我们已经知道了力在一定条件下的分解可能存在多组解． 问题思考： 如何去找到这些解呢？ 新知讲授 一、已知合力F 和两个分力（不共线）方向 力的矢量表达：用射线表示方向已知，大小未知的力 已知合力F 和两个分力（不共线）方向的情况下，有唯一确定解． 课堂小练 1： 斧头劈开树桩的过程可简化成图乙中的力学模型，斧头截面为等腰三角形，斧头对树桩的作用力为竖直向下的力F ，请利用三角形定则将力F 分解成斧头对树桩的两个侧向压力． 二、已知合力F 和两个分力的大小（同一平面内） 力的矢量表达：用圆心和圆之间的有向线段表示大小已知，方向未知的力． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 已知合力F 和两个分力的大小（ F1 − F2 < F < F1 + F2 ），在一个平面内有两组解． 问题思考： 如果分别以F1 、F2 为半径画出的圆如下图所示，合力F 的分解有几组解？F 与F1 、F2 之间是什么样的大小关系？ 三、已知合力F 、一个分力的方向和另一个分力的大小 课堂小练 2： 将一个F = 12N 的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F1 方向与F 成30O 角，如图示，另一个分力为F2 ，则下列说法正确的是( ) A ．F2 的大小不可能小于6N B ．F2 为8N 时，有一个解 C ．F2 为18N 时，有两个解 D ．F1 的大小不可能等于10N 课堂小练 3： 物体静止于光滑水平面上，力F1 作用于物体上的O 点，现要使合力F 沿着OO’方向，如图所示，则必须同时再加一个力F2 ，如 F1 和F2 均在同一水平面上，则这个力的最小值为( ) 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．F1 cosθ B ．F1 sinθ C ．F1 tanθ D ．F1 学以致用 如图所示，两个小球a 、b 质量均为m ，用细线相连并悬挂于O 点．现用一轻质弹簧给小球a 施加一个力F ，使整个装置处于静止状态，且 Oa 与竖直方向的夹角为θ = 45o ，已知弹簧的劲度系数为k ，则弹簧形变量不可能为( ) A ． B ． C ． D ． 课堂小结 学习过程答案 新知讲授课堂小练 1： 课堂小练 2 ：A 课堂小练 3 ：B 学以致用 B 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题（本题共 4 小题） 1．如图所示为某款可以调节背带长短的挎包．现将该挎包分别用图中两种方式挂在挂钩上，下列说法正确的 是( ) A ．背带长时，背带上的张力大 B ．背带短时，背带上的张力大 C ．背带长时，背带受到挂钩的作用力大 D ．背带短时，背带受到挂钩的作用力大 【答案】B 【解析】AB ．两种方式下，挎包均处于平衡状态，重力大小相同，则背带上拉力的合力大小相同；背带短时，背带间的夹角更大，根据平行四边形定则，可知此时背带上的张力更大，故 A 错误，B 正确； CD ．两种方式下，挂钩对挎包的作用力大小均等于重力大小，故 CD 错误．故选 B． 2．如图，将力F （大小已知）分解为两个分力F1 和F2 ，F2 和F 的夹角θ 小于90O ．则关于分力F1 ，以下说 法中正确的是( ) A ．当F > F1 > F sinθ 时，肯定有两组解 B ．当F1 > F sinθ 时，肯定有两组解 C ．当F1 < F sinθ 时，有唯一一组解 D ．当F1 > F 时，无解 【答案】A 【解析】A 选项，已知合力、一个分力的方向、另一个分力的大小，根据三角形定则作图可知，F > F1 > F sinθ ,一定有两组解，A 正确； BD 选项，当F1 > F sinθ 时，至少有一组解，当F1 > F 时，只有一组解，BD 错误； C 选项，当F1 < F sinθ 时，无解，C 错误； 故选 A． 3．甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO’方向航行，甲用1000N 的力拉绳子，方向如图所示，则乙的拉力最小值为( ) A ． N B ．500N C ．1000N D ．400N 【答案】B 【解析】要使船沿OO’方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO’方向，如下图所示 可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO’时，乙的拉力F乙 最小，其最小值为 故选 B． 4．如图所示，倾角为θ 的光滑斜面长和宽均为l ，一质量为m 的质点由斜面左上方顶点P 静止释放，若要求质点沿PQ 连线滑到Q 点，已知重力加速度为g ．则在斜面上，可以对质点施加的作用力大小不可能为( ) A ．mg sinθ B ．mg 【答案】D 【解析】物体在斜面上受到重力、支持力和外力作用沿对角线做直线运动．将重力正交分解到沿斜面向下和垂直于斜面方向，沿斜面方向合力与PQ 共线，根据闭合矢量三角形法则可知，当外力和PQ 垂直时，外力最小，所施加的外力的最小值为 所以对质点施加的作用力大小应满足 故 ABC 错误，D 正确； 故选 D． 二、多选题（本题共 1 小题） 5．如图所示，作用于O 点的三个力F1 、F2 、F3 合力为零，F1 沿y 轴负方向，大小已知．F2 与x 轴正方向夹角为θ(θ < 90o) ，大小未知．则下列说法正确的是( ) A ．F3 一定指向第二象限 B ．F3 有可能指向第三象限 C ．F3 与F2 的夹角越小，则F3 与F2 的合力越大 D ．F1 和F2 的合力的最小值可能为F1 cosθ 【答案】B D 【解析】通过作图可知： F1 、F2 的合力F 可以在F1 与F2 之间的任意方向，而三力平衡时，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故力F3 只能在F1 与F2 之间的某个方向的反方向上，可以在第二象限，也可以在第三象限，当F1 、F2 的合力F 在第一象限时，力F3 在第三象限，故 A 错误，B 正确；由于三力平衡，F2 与F3的合力始终等于F1 ，保持不变，故 C 错误；通过作图可以知道，当F1 、F2 的合力F 与F2 垂直时合力F 最小，等于F1 cosθ ,此时F2 为F1 sinθ ,若F2 不能取到F1 sinθ ,则 F1 、F2 的合力不能取到F1 cosθ , D 选项说可能，故 D 正确．所以 BD 正确，AC 错误． 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $