这个寒假你准备好了吗？我们一起来进行七年级数学下册新版教材。我们的第一课时两直线相交学习目标主要是我们要了解香蕉模型以及我们对顶角和邻补角它们的性质与概念。我们一起来复习引入一下，说如果两个角的和等于多少度，就说它们互为余角了。余角概念在我们七年级的时候就学过，是不是90度？两个角和是90度是余角，两个角和是180度的话，它就是补角，一定要注意它是两个角。比如说你角一加角2加角三等于180度，那这个能叫补角吗？不能，这叫三角形内角和180。当然也可以是其他的概念，必须是两个角，一定要注意这一点。一会儿很有用的，是不叫说角阿尔法的余角是多少？我们先这两个写反了，大家改一下就可以了。然后说角阿尔法的余角是多少度？余角是和是90度了，那它的余角不就是90度减R方吗？它的补角就是180度减方法。同角的余角是怎么样的相同的吗？什么叫同角？相同的一个角相同的角。比如说角阿尔法，它的余角就是90度减阿尔法，它们是相等的。同角的补角一样的道理也是相等的，这个是没有什么疑问的。说等角的余角，同角和等角的区别是在于什么？比如说角A同角就是另一个角也是角A就一模一样的角叫同角等角。比如说角A等于角B等于30度，这叫相等的角。相等的角它们的余角，比如说30度的余角是多少度？60度，那它的余角角A的余角也是60度，角B的余角也是60度，所以是相等。同理补角也是相等的吗？这是我们需要了解什么是余角的概念，什么是补角的概念？什么是两直线相交？这个生活中并不陌生。你比如说这么多直线是这么多线是不是都是相交的？还有这一条是不是都是香蕉的？香蕉现在生活中太多了，你随意拿个东西它都是香蕉，对不对？比如说我们现在所用的屏幕、手机、电脑，它不就是边与边之间相交吗？说你还能举出其他的吗？比如说我们这个篱笆对不对？它也是典型的相交直线，以及我们所坐的板凳是不是马扎，那它们都有什么特征？首先它们是有什么？是两条直线，什么是直线？是两端没有端点，当然它也可以是线段相交，无所谓，就是线相交，相交就是他们是有一个交点的，明白吧？是有一个公共点，这个点既在第一条直线上又在第二条直线上，这叫公共点。那什么是香蕉信仰？人说了，你可以做一下，拿两个木条钉在一起，然后转动，你看是不是转动的过程中，也就是出现了相交的模型。OK这两条直线相交这个模型大家可以看一下。那么我们的概念就是什么？平面内有一个公共点的两条直线就叫做相交线。一定要注意有一个特别重要的点叫公共点，这是注意点，公共点就叫交点，因为相交了，是吧？交就是什么？就是你是交集吗？别人不是说了吗？你人生中最大的那个什么，你跟别人的缘分就在于什么？你跟他产生了一个交集吗？否则无缘对面不相逢吗？第二个知识点是邻补角与对顶角的概念。那么我们在刚才转动的过程中，刚才那个图形如果大家忘了可以倒回一下这个木条转动的过程中，哪些角是变化的，哪些角是不变的。那么我们一起来看一下，说学生呢画了刚才模拟了一下这两个直线，那么它所成了几个角？是不是很明显？有四个角角是什么概念？这个也是在七上学过的，有一个共同的顶点，然后向不同的方向，两个不同的方向是形成射线所组成的是一个角。那么焦点认识了O点，然后给了你角一角、二角、0.34元给你标了一下，这样的话不就是更简便了吗，对不对？那么我们来观察一下，说这些角可以两两配对，它能组成多少个角，就是组合吗？角一和角0.21元和角0.31元和角0.42元和角0.32元和角四是这种两两组合。那么我们总共会出现6种组合对吧？那么这六种组合中我们分了两种色，那么你能发现这两种色他们都是什么概念？比如说角一和角二有什么概念？角2和角四有什么概念？看角一和角2，我们很明显他们两个组成了一个平角，也就是互为补角。那么它们之和都是同样的道理，角0.23元角0.34元角，0.41元就是依次顺时针画出来的两个角，它们的和都是180度，也就是互为补角，互为补角。那么角2和角0.41元和角三它们是什么角呢？这就是我们八下不是7下所学的一个重点。我们一起来看一下模拟刚才的1234角1和角2，不管是哪些角，这四个角都有一个公共的顶点O那么角一和角0.22元和角0.33元和角0.44元和角一它们都是相加180度的那角1和角三我们怎么来看？从我们的图像上来看，它们其实是可以看到的大小是大概相同的，对不对？我们可以猜想一下角一和角三是相等的，角2和角四是相等的那它们到底相等吗？这个是我们这节课的重点。我们同样的道理，你来看一下角一和角二有什么特征，角1和角三又有什么特征？我们随意挑一组，角一和角2，它们的特征就是首先有一个公共点，共同的顶点吗？共顶点或者也可以这么说，共同的顶点。其次还有一个什么公共边，它们有一条边是都有的，这叫公共吗？公共就是共同拥有，共同拥有简称公共边。并且你看他们的另一条边是怎么样的，在同一条直线上的另一边是同一直线。当然我们后面还讲会不断的把它精进一下。具体的概念。那么来看一下角2和角4或者角一和角三它们有什么特征。首先也是共顶点，是不是有共同的顶点。另外你看它们的边的两个顶点都在同一直线，两不是两条边都在同一直线。那么它们具有什么名字呢？我们一起来看一下有什么特征。首先我们也要知道第一个概念叫零补角概念，我们知道补角概念是和为180。那什么是林？林组个词，乡邻邻居，对不对？邻居和你有什么关系？是不是隔一堵墙？你们是有一堵墙是共用的，对不对？是挨着的，我们这是相邻紧邻的邻居，这也可以组个词叫紧邻。数学都是中国人起的概念，所以也是一样的，你要通过我们的文字来散发思维。那么邻补角就怎么样呢？他们必须有相邻的一公共边，就是它们必须是相邻的挨着的，并且相加是180度。那角一和角二不就是挨着吗？角一和角四也是挨着，角一的邻补角有角2和角4。所以我们来看一下，首先它们有一条公共边，并且它们的另一条边是怎么样的，互为反向延长线。什么叫反向延长线？我们来看一下这个概念，反向指的是，比如说你这一个点这个是向右为正方向，那反方反向不就是相反的方向，那就向左延伸呗，延长线必须是向左延伸的这条线方向不能变，这叫反向延长线。那角一和角二你看有一条公共边OC它们OA和OB就是相反方向，并且在同一条直线，这就叫反向延长线。这样的两个角就是互为邻补角其实说白了就是一个平角，对吧？就是一条直线平角分了两个角，把它分成了两个角。那么角一的邻补角是角2和角4，对不对？是两个互为反向延长线。因为角一有两条边，一条边可以反向，另一条边也可以反向，所以它会出现两个角。所以邻补角有两个条件，首先他们得有一条公共边，其次另一条边是互为反向延长线的这是我们零补角的概念。那对顶角的概念对是什么？相对吗？头顶头对不对？这叫对相对对面等等，这是对，然后顶是顶点，说白了就是对着头的两个角，那么对着头就是头顶头呗，这样的叫对顶角。头顶头比如说角一和角0.32元和角4，它们就是头顶头的那两条边是怎么样的？根据刚才我们就能知道，它叫互为反向延长线，说如果一个角的两边是另一个角两边的反向延长线呗，比如说角一，它的两条边是OA和OC是这条边换个颜色和这条边这两条边，那么我们反向延长线一下，黑色的我们是不是往这儿接着延长？这是一个是不是一条？另外一条边也得反向延长，是两条边均要反向延长的，形成了一个角叫对顶角。那么角一的对顶角就有角3，只有唯一的一个，对吧？OK这就是我们的概念，它需要有三个特点。首先你得有公共的顶点，对不对？其次你要干嘛？两边互为反向延长线，它不是它没有公共边，不像刚才有公共边。其次互为反向延长线，这三点就可以了，必须是没有公共边的。那么我们一起来归纳一下这个，大家可以截屏看一下，这是我们的概念，刚才已经讲了就不再说了。我们一起来做一下练习题。说判断下列图中这些角一和角二是否为对顶角，对顶角有三个特点，一共顶点。首先角一和角二不是共顶点，错这个角一和角二共顶点。其次没有公共边，它也没有，但是它并不是反向延长线。因为反向延长线的前提是同一条直线上，而这个是拐弯了，所以不对，它的反向也让这条线歪了，这样才是它的反向延长线。二也不对，三我们一起来看一下，是不是这个很明显他们是有条公共边的。不对，这个叫什么？四角邻补角，对不对？它叫邻补角。零补角的概念也是不够，两条反向延长，第五个就没有问题了吗？共顶点没有公共边，并且两条边是反向延长线，这个都没有共顶点，所以只有第五个是正确的。我们接着来看，其实这是第三个知识点了，这叫对顶角的性质。那什么是对顶角的性质？我们已经知道对顶角的概念了，对不对？三个特征两边互为反向延长线共顶点，那它有什么性质呢？从字面从图像上看，我们很明显看到它们是大小大概一样的，对不对？我们已经知道了邻补角的概念了，那么我们来看一下角1和角三什么关系呢？我们猜想一下，它们是相等的对不对？对顶角是相等的那你能来验证一下为什么角一和角三相等吗？我们一起来验证推导一下。首先我们知道了一个平角的概念，也就零补角的概念是已经知道的，或者说补角的概念在上学期已经知道了，所以我们可以直接用，对不对？证明这个红色的。首先如图，对不对？我们能得到什么？首先根据邻补角的概念，我们知道角一加角二等于180度，并且角一的邻补角还有角4，所以角1加角4也等于180度。那么通过我们概念，同角的补角是相等的，所以角二等于角四呗。如果你说这个不好理解，那我可以推一下。角二就等于什么？180度减角1，那角四也等于什么？180度减角1，那么不就是角2和角四是相等的吗？那同理角一和角三也是相等的吗？这就是我们的验证，对不对？比如说老师我用写直线AB与CD相交吗？可写可不写，当然写上更好。是不是条件用到了，然后后面就是一样的，同理得到角二等于角四应用的格式一定要注意，考试的时候不用写这么多，推导过程不用写，直接就可以写角一等于角3，其实甚至连两直线相交都不用写。对顶角相等，这个是可以直接用的，是可以直接用的。那么来看一下归纳总结，主要这节课是概念是对顶角相等，邻补角是互补相加180度的。我们知识点学会了，一起来做一下例题。说如图直线AB相交，角一等于40度，求角。那么我们如图写过程的话，我们一起来写一下。如果根据刚才讲的，就是因为直线AB相交，对吧？角一等于40度，那角一是40度了，对顶角是相等的那也就是角三等于角一等于40度，可以直接用，不用推倒。对顶角相等初学你可以多次写几遍，对顶角相等也后写就不用写了。那角1和角角三和角一是相等的那角2和角4不就是角一和角三的邻补角吗？不就等于180度减角一吗？不就等于多少？等于140度。邻补角的概念可以写上邻补角的定义都可以。好，OK, 这是我们的礼仪。接着来看例2，说直线ABCD相交于点O角AOC这个角和角BC这个角2比7是个什么角？邻补角吗？那这个比例关系出现了我们怎么办？它非常的固定解，因为直线你可以原封不动抄一下，我就不再抄了，把这句话原封不动抄一下，插到这儿。所以我们就可以什么设出现这种比例关系的时候，就是一个它设设什么？设角AOC等于2X角BOC等于7XAOC和BOC是什么邻补角？所以因为角AOC加角BOC等于180度，所以再换一下，不就是2X加7X等于180度吗？也就是解得是不是也就是9X等于180度，那X不就等于20度吗？X是20度了，那我就可以求出BOD了。BOD是什么？BOD的对顶角是和AOC是相等的那等于2X等于40度，那AOD和它的对顶角是角BOC也就是7X也就是140度。两个题的答案是一样的，但是进行了一个变形，所以大家要把这种学会掌握。做题的关键就是你一定要学会邻补角和对顶角的概念。有人说老师如果你这个位置它还有一种写法，你也可以在这儿写上它，设它为2X度，然后这个是7X度，然后这儿就改成了2X度，加7X度等于180度，X度就等于22度。或者你也可以在这儿也可以写成或写成X等于不是这20，20度或者X等于20都可以。但是你想想写这些度很麻烦，所以就是直接就写成2X7X完全没有问题。OK我们一起来看一下相应的练习题，说在下列各图中，角一和角二是不是对顶角，这是我们书上的题目，说角一和角二是不是第一个很明显不是对不对？然有共顶点，但是它并不是两边互为反向延长线，所以一不对，二没有共顶点错三没有共顶点错，四共顶点并且互为反向延长线，没有公共边，所以是第四个才是。对不对？OK, 我们接着来看第二道练习，说一把剪刀角AOB加角cod，AOB和COD是互为对顶角的。它们相加180，那不就是它们又相等，因为角AOB加上角COD等于20度。又因为对顶角相等，是可以直接当条件用的，明白吗？它不用，所以它直接就可以。因为他们俩是相等的，所以我们就能得到每一个角都是十度吗？那每个角是十度了让你求的是BOD，所以角BOD就等于180度。因为它是互为零补角的，和AOB减角AOB不就180减去十度，170度吗？OK做完了，大家有什么不懂的，可以去问，去评论区我们留言。瑞哥讲的一般都比较细了，大家听懂是没有什么问题的。OK这是我们的这节课的总结，就是你需要知道什么是对顶角，什么是邻补角以及它的性质，对顶角相等，邻补角互补就可以了。