9.3二次根式的加法与减法第2课时二次根式的混合运算 课件2025-2026学年青岛版数学八年级下册

第9章 二次根式 整式 实数 ………… 青岛版 八年级下册 二次根式 数与式 内容提要 ◆ 二次根式的概念 ◆ 二次根式的性质 ◆ 二次根式的运算 1.二次根式的乘除法法则： 算术平方根的积（商）等于各个被开方数积（商）的算术平方根. 计算 2.公式逆用： 积（商）的算术平方根，等于积（商）中各因式的算术平方根的积（商）. 化简 温故而知新 = (a≥0，b＞0) = (a≥0，b＞0) 像二次根式 与 ，与 等的最简二次根式的被开方数相同，这样的几个二次根式称为被开方数相同的二次根式 （也称为同类二次根式）。 3.同类二次根式的概念： 温故而知新 4.二次根式的加减法法则： 二次根式相加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再分别将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）合并，不能合并的保留在结果中。 m + n = (m+n) 温故而知新 5.二次根式加法与减法的运算步骤： （1）化——将二次根式化为最简二次根式； （2）找——找出被开方数相同的二次根式； （3）并——把被开方数相同的二次根式合并. “一化二找三合并” 温故而知新 6. 计算: =8 =4 = 助力教学 (authorId_373264932) - 通过对加减乘除法则的回顾,掌握其运算的关键步骤,为混合运算奠定基础 创设情境 导入新课 我们已经学习了二次根式的乘法和除法，加法与减法，今天我们将进一步深入学习二次根式的混合运算。 如何进行二次根式的混合运算呢? 青岛版数学 八年级下册 第9章 二次根式 9.3 二次根式的加法与减法 第2课时 二次根式的混合运算 问题1.单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? 问题2.多项式与单项式的除法法则是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb (ma+mb+mc)÷m=a+b+c（m≠0） 探究一 二次根式的混合运算 回顾与思考 前面两个问题的思路是： 思考：若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替， 然后对比归纳，你们发现了什么？ 分配律 单×多 转化 单×单 探究一 二次根式的混合运算 回顾与思考 例如把m(a ＋ b ＋ c) ＝ ma ＋ mb ＋ mc中的字母换成 原式=(＋＋) ＝＋＋ ＝3＋2 乘法分配律 二次根式的 乘法法则 每项都化为最简 二次根式并合并 m=,a=,b=,c=,你能求出它的值吗？ 探究一 二次根式的混合运算 ＝＋＋ 你能类比整式的运算法则计算下列各式吗？ 你有什么发现？ (1)×(2－)； (2)(－)÷. (3)(－2)(2－)； 观察与发现 探究一 二次根式的混合运算 解：(1)×(2－)； = ×2 - × = - 乘法分配律或单项式乘多项式法则 二次根式的乘法法则 (2)(－)÷. = ÷ - ÷ = - = - = - 多项式除以 单项式法则 二次根式的 除法法则 每项都化为 最简 (3)(－2)(2－)。 = ×2 - × - 2 ×2 + 2 × = - - 4 + 4 = - 发现1. 整式的运算律及相关运算法则在二 次根式的运算中同样适用． 规律总结：二次根式的加、减、乘、除混合运算 与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘除法法则仍然适用. 探究一 二次根式的混合运算 例1、计算: (1) (+2)×； (2)(+2)(－5)； 解： = × +2 × = +2 = 3 +12 (2) (+2)(－5)； = × - ×5+ 2× - 2×5 = 3 - 5 + 2 -10 = - 3 -7 解： 练习1、计算: （3）( + 3)(- 5)； = -5+3-15 = 2-2-15 = -13-2 (4)(4 -4+3)÷2； ＝2＋2 (1)(3 - 2 )÷2＋； 例2、计算： （2） + | - 3| ； (1)(3 - 2 )÷2＋； ＝(6-+4)÷2＋ ＝×＋ ＝＋ ＝5； 解： 还有其他算法吗？ 有乘方的先算乘方。 有绝对值符号的，根据绝对值符号的法则先去绝对值， . （2） + | - 3| ； = × - ×- +3- = -3- 3 +3- =- 3 练习2.计算： （2） . = -2 （1）-2|. ＝－2 (1)二次根式的运算顺序与整式的运算顺序相同， 先算乘方，再算乘除，最后算加减； (2)有括号的先算括号内的，再算括号外的． 二次根式的运算顺序： 归纳与总结 探究一 二次根式的混合运算 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2; 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 因为整式的乘法公式实质是多项式×多项式，前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用. 探究二 二次根式的乘法运算与乘法公式 回顾与思考 助力教学 (authorId_373264932) - 　用代数替换的方法引入二次根式与乘法公式的综合问题,符合学生的认知规律,也让学生更能熟练应用乘法公式. （1）(2 + )(2 - )； 例3、计算： （3）. （2） ； 解：（1）(2 + )(2 - ) = 5−3 = 2. = - = + 2××+ = - 2×2 × （3） =20-4+2 =6+63 =9+6 =22-4 （2） ； （1）( +1 )( -1 )； 练习3、计算： （2） ； (3)(＋－)(－＋). ＝4； ＝5＋2； ＝－7＋6； (1)二次根式的运算顺序与整式的运算顺序相 同，先算乘方，再算乘除，最后算加减； (2)有括号的先算括号内的，再算括号外的． 整式的运算律及相关运算法则在二次根式的 运算中同样适用． 二次根式混合运算的核心是 “先化简，再运算，善用公式和运算律简便运算，化简结果”，同时需细心处理符号和运算顺序，才能确保计算准确. 注意事项 二次根式 的混合运算 法则 课堂小结 1. 下列计算中，正确的是 （ ） C A. 2+ = 2 B. 5-2 =2 C. 2 D. 当堂检测 2.填空 （1）( +2 )( 3-2 )的结果为 ； 17 （2）若a＋＝，则a－＝_________． （3） - = ； ±1 4 3.先化简，再求值：， 其中 a= -1. 解：原式=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a. 当a= -1时， =2-21+66 =43 原式= $