重难点3-5 极值点偏移问题（6重难点题型+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点3-5极值点偏移问题 一、极值点偏移基本定义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. ①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则 ②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则 ③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则 二、极值点偏移几种常考类型 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 三、极值点偏移的答题步骤（或方法） 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 重难点题型【一】、极值点偏移--加法类型 1．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）借助导数研究函数单调性后即可得其最小值； （2）（ⅰ）解法1：令得，再构造函数，结合导数求出该函数单调性后，利用图象与直线有两个交点即可得解；解法2：求导后，分及进行讨论，再利用导数研究其单调性后结合零点存在性定理即可得；（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2可得、的范围，从而可转化为证明，结合函数单调性，即证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证；证明2：由题意可知，，则，从而只需证明，再构造函数，结合（1）中所得即可得证；证明3：由题意可知，，则，从而只需证明，令，，令，即只需证（），再构造函数，再利用导数研究该函数单调性即可得证. 【详解】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为； （2）（ⅰ）解法1：令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； 解法2：函数的定义域为，， 若时，则，故在上单调递减，不满足题意； 若时，令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 因为函数有两个零点，所以， 即，解得， 此时，， 满足题意，故的取值范围为； （ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，， 要证，即证， 因为，所以， 又在单调递减，即证， 又，即证. 设，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以，函数在单调递增. 当时，，因此，， 因为，所以，故原不等式成立； 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 证明3：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 2．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)1； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调性. （2）将恒成立转化为恒成立，通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值. （3）先求出的表达式，根据有两个零点得到相关等式，然后通过构造函数利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 3．（25-26高三上·河南·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论研究函数单调性； （2）将题干恒成立问题转化为，设，利用导数法求得在上单调递增，从而转化为在上恒成立，设，，利用导数法求得，即可求解； （3）将证明转化为证，设，，利用导数法求得单调递减，则有，即可得证. 【详解】（1）函数，其定义域为，∴.     当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增.     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，∴即.     ∵，∴不等式可化为，即.     设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. （3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证.     设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴.     ，即， ∴. 4．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令，根据的单调性以及，得出，然后令，， 通过二次求导证明出，结合即可得证. 【详解】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 重难点题型【二】、极值点偏移--减法类型 1．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）对求导，分析函数单调性，根据极值定义即可求解； （2）令，则，令，则，令，则，分析单调性可得，即对任意恒成立．继而可得，由单调性可得，令，利用导数分析单调性可得，即对任意恒成立．可得，继而可得，由即可证明. 【详解】（1）定义域为，， 令，解得或， 当时，；当时，． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值为，极小值为． （2）证明：由（1）知． 令，则 ． 令，则． 令，则． 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，． 又，． 在上单调递增，，，即． 令，则 ． 在上单调递增， 在上恒成立， 在上单调递增，， 对任意恒成立． ．又． 在上单调递增，且， ．由，得， ，． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题是高考数学中的热点和难点，通常作为压轴题出现，这类题通常考查学生的逻辑推理能力和函数与方程思想，以下是三种常见的解法： （1）构造法：构造函数，通过判断其在时的符号来确定与的大小关系；代换，结合，得到与的大小关系；再利用函数的单调性解决问题. （2）利用对称性：找到函数的极值点，构造对称函数，分析的单调性，利用其对称性来证明极值点偏移。 （3）增量法：令，，通过比较与的大小来证明极值点偏移；再利用函数单调性和对称性进行推导. 2．已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可得出函数的零点个数； （2）由，构造函数并求出其单调性，求得即可证明得出结论. 【详解】（1）由可得， 令，其中， 则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数， ，令可得，列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 如下图所示： 当时，函数无零点； 当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点． （2）证明：因为，其中， 所以． 由已知可得， 上述两个等式作差得．要证，即证． 因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则． 因为函数在上单调递增，， 所以． 设函数的图象在处的切线交直线于点， 函数的图象在处的切线交直线于点， 因为，所以函数的图象在处的切线方程为． 联立，可得，即点． 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，所以， 所以对任意的，当且仅当时等号成立， 由图可知，则，所以． 因为，可得， 函数在处的切线方程为， 联立， 解得，即点． 因为，所以． 构造函数，其中，则． 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，则， 所以对任意的，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 因此，故原不等式成立． 3．（2024·河南南阳·一模）已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析：②证明见解析 【难度】0.15 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数判断原函数单调性，卡端点列出不等式求解即可. （2）①合理判断有两个零点，构造与的函数，求其单调性即可. ②求出关键点的函数值，结合不等式的运算性质证明不等关系即可. 【详解】（1）若函数在上单调递增，易知， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故原命题等价于求，且，故，解得， 即的取值范围为. （2）①引理：对，必有成立，令， 故，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，故成立， 设，则，即， 可得的最小值为 而，当时，， 且由引理知，故， 由零点存在性定理得有两个零点， 结合可得， 故当时，两个根一定会存在，设是关于的函数，记为， 我们同样可以定义为：对，存在唯一的，使得， 且这个就是关于的方程中的较大根，此时已有， 此时发现是上的函数，则证明在上单调递减即可， 由于， 首先，我们有，，所以，， 其次，我们实际上有，（因为要么，要么）， 所以，若，则，， 然后考虑，显然我们有， 若，则，所以另一根一定小于，从而， 若，由于是关于的较大根，故， 即，解得，但是对任意的时， 关于的方程的较小根都不超过， 要么，解得，要么， 所以是较大根，从而，这表明与关于对称， 所以我们只需要证明在上单调递减， 这里是的较大根，且， 由于，故对，设， 则，， 从而由是较大根，知，， 也意味着位于单调递增区间， 设，由于当时， ， 所以， 而，方程的较小根一定不超过， 这表明的较大根一定成立，所以， 这就证明了在上单调递减，从而一定在上单调递减， 故随着的增大而减小得证. ②由①知有两个零点，且， 由于， 由引理又有， 而根据单调性得，当或时，必有， 所以， 可得 即，原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用零点存在性定理证明函数有两个零点，然后构造函数，转化为证明函数单调性问题求解即可. 4．（2024·山东日照·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断函数单调性； （2）根据题意分析可知：在内单调递增，在内单调递减，，利用极值点偏离证明和，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 且，令，可得， 当，即时，可知在内恒成立， 即在内恒成立，所以在内单调递增； 当，即时，由解得或， 由可知， 若，；若，； 所以在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，可得，， 由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递减， 则，即； 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 重难点题型【三】、极值点偏移--乘法类型 1．已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若方程的两个实数根互为相反数，求实数的值； (3)在条件（2）下，若函数有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2)0 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间； （2）转化为方程的两根分别是和，得到方程组，相减后得到，令，求导，得到单调性，得到只有1个零点，即0，代入，此时无解，故，求出实数的值； （3）令，转化为，构造，求导得到其单调性，得到，再构造，求导，得到单调性，从而求出，根据基本不等式得到，得到， 又，故，根据的单调性得到，证明出结论.. 【详解】（1）的定义域为R， 故， 令得，令得， 故函数的增区间是，减区间是； （2），即， 设方程的两根分别是和， 故①， ，即②， 由①-②可得：③， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极小值，也时最小值， 故，即单调递增，注意到， 故只有1个零点，即0， 当时，由①可知：，即，无解， 故，则，则有，解得； （3）由（2）可得，， 则， 令得，即， 令，则函数在单调递增，， 函数有两个不同的零点，也即方程在有两根， 其中， 令，则， 令，解得，令，解得， ∴在为减函数，在为增函数， ∴，又时，；时，， ∴m，，， 令， 则，当且仅当时，等号成立， 又，故恒成立， ∴在单调递增，∴时，， 由得，即， 而在单调递减，且，所以，， 即有， ∵， ∴，又， ∴，而在单调递增， ∴，∴. 即得证 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，本题关键点为变形为，换元后再构造差函数进行求解. 2．已知函数 (1)若 在 上恒成立，求a的取值范围； (2)设 为函数g(x)的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）分离参数，利用导数求解函数最值可得答案； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合零点所在区间及函数单调性可证结论. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以； 令，， 当，，为减函数； 当，，为增函数； 所以有最小值，所以，即a的取值范围为. （2）证明:令，此时； 不妨设，函数定义域为. ， 令，可得， 所以函数在上单调递增， 又，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 不妨设， 此时，； 因为， 所以 令，在上恒成立， 所以为增函数，，所以，即； 又因为在上单调递减，所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二个：一是恒成立问题，利用分类参数法求解，求解新函数的最值即可；二是函数零点问题，把两个变量转化到同一个单调区间内，结合单调性可得结论. 3．（2025·北京通州·三模）已知函数 (1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； (2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. (3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得 【详解】（1）因为，所以. 所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为， 所以，解得.. （2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数， 所以在（0，+∞）上恒成立. 即恒成立.，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （3） 定义域为 当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意. 当时， 在（0，）上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在（1，）上存在一个零点（）. 当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴， 即成立， 所以成立. 【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧. 4．（2025·江西南昌·二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）运用导数研究的最小值不小于0即可. （2）消去参数a及比值代换法后得，运用导数研究在上最小值大于0即可. 【详解】（1）当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设， 所以，即， ， 设， 则， 所以，当时，，即在上单调递增， 所以， 所以当时，，即在上单调递增， 所以， 若恒成立，则． 所以时，恒成立，a的取值范围为. （2）由题意知，， 不妨设，由得， 则， 令， 则，即：． 要证， 只需证， 只需证， 即证， 即证（）， 令（）， 因为， 所以在上单调递增， 当时，， 所以成立， 故． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 重难点题型【四】、极值点偏移--除法类型 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【解析】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 故的递增区间为，递减区间为 （2）因为，故， 即，故， 设，则， 不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明： .   证明如下： 若，恒成立； 若， 即 时， 要证：，即证，而，即证， 即证：，其中 设，， 则， 因为，故，故， 所以，故在为增函数，所以， 故，即成立， 所以成立， 综上，成立. 2．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解； （2）不等式转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1），当时，单调递增； 当时，单调递减．所以， 解得，即的取值范围为． （2）证明：不妨设，则，要证， 即证，则证，则证， 所以只需证，即． 令，则，． 当时，，则， 所以在上单调递减，则．所以． 由（1）知在上单调递增，所以，从而成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明. 重难点题型【五】、极值点偏移--平方类型 1．已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到； （2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明. 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 2．（2024·四川眉山·三模）已知函数. (1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围； (2)若有两个不同极值点. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【难度】0.15 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，探讨函数有两个零点的的值范围. （2）①由有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线与函数图象有两个公共点的的值范围；②由方程根的意义可得，分析所证不等式，换元并证明即可. 【详解】（1）依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率， 切线方程为，而点在切线上， 则，即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， ①若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值， 又， 当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ②若，恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； ③若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又， 显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ④若，显然，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得， 当时，， 而函数在上的值域为，因此在上的值域为， 当时，令，求导得，函数在上单调递减， 则，， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是. （2）①由（1）知，， 由函数有两个极值点，得，即有两个实数根， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，上单调递减，， 且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根 所以函数有两个极点时，的取值范围是. ②由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 则在时单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 3．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上 (1)当顶点在轴上方时，求 以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值； (2)已知函数，关于的方程有两个不等实根. （i）求实数的取值范围; （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明过程见详解. 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）先确定所求几何体何时能取到最大值，写出函数关系，利用导数分析函数单调性，求最大值； （2）（i）根据题意知，，进行同构，将问题转化为方程有两个不等的实数根，再进行分离参数，研究的单调性和极值，即可求出a的取值范围. （ii）由知，先证，即极值点偏移问题，构造函数，求，在单调递增，，得，从而可得即，再由的单调性，即可得到. 【详解】（1）因为在轴上方，所以：； 为直角三角形，所以当轴时，所得圆锥的体积才可能最大. 设，则，（）. 设（），则，由. 因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 从而：. （2）（i）因为，即，即， 令，所以， 因为为增函数，所以即， 所以方程有两个不等实根等价于有两个不等实根， 令，所以 当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以. 当时，；当时，由洛必达法则知； 所以. （ii）由（i）知，， 令，， 因为，所以， 因为，，所以，即在单调递增，，所以. 因为，所以， 又因为，所以， 因为，，且在上单调递减， 所以，即，所以， 所以. 【点睛】方法点睛： 极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的步骤如下： （1）求极值点：求出函数的极值点，结合函数的图像，由得出的取值范围； （2）构造函数：对结论为的情况，构造函数； ①，则单调递增； ②注意到，则即； ③，根据在单调减，则 ④得到结论. 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答. （2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 重难点题型【六】、极值点偏移--综合类型 1．已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)上单调递增，上单调递减. (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性； （3）利用切割线放缩证明. 【详解】（1）,, ,, 上单调递增，上单调递减. （2）,, 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因为，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则.      连接和点的直线l2的方程为：, 当时，, 由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为,即， 令,得直线与直线的交点横坐标为, 由图可知，， 故要证不等式成立. 2．已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）如果，且，求证：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）；（3）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】导数中的极值偏移问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）先求出函数的值域，即可求出的范围； （3）构造函数，判断函数的单调性，即可证明． 【详解】解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得函数在处取得最大值，， 所以函数的图象大致如下： 易知函数的值域为． 因为方程有两个不同的根， 所以，即，，解得． 即实数的取值范围为． （3）证明：由，，不妨设， 构造函数，，， 则， 所以在，上单调递增，， 也即对，恒成立． 由，则，， 所以， 即，又因为，，且在上单调递减，所以， 即证． 即． 【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题． 3．（2025·福建厦门·三模）若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. (1)若正实数，满足，且，求的最大值； (2)若代数式为二元轮换式，比较与的大小； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.15 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、函数新定义、导数中的极值偏移问题、函数与导数综合 【分析】（1）整理等式可得参数的取值范围，根据二次函数的性质，可得答案； （2）由题意，构建函数，利用导数研究其单调性，可得取值范围，可得答案； （3）由题意对不等式进行分解因式，分析符号后，构造函数并求出其单调性，可得答案. 【详解】（1）正实数满足，可得，即， 所以， 又，所以，所以当即时，取得最大值为． （2）依题意可得，即， 由对称性不妨假设，令，则有， 则有， 设 所以在单调递增，则有， 所以，即，即，即， 综上，． （3）已知对任意的正实数，均有， 不妨设是中的最小值，则令，其中. 将代入不等式并化简可得. 若或，则不等式对任意实数均成立. 因为，所以要使不等式成立，即. 若，则不等式对任意实数均成立. 若，设. 当时，不等式可整理为. 设，对其进行变形可得. 对求导，，令，， 因为，所，即在上单调递增. 令，即，化简可得， 令，则，解得(舍去），即. 则存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，因为，所以，则，所以. 又因为，所以，则， 因为，所以，所以，所以，所以. 当时，不等式可整理为， 此时，所以时，不等式恒成立. 4．（2024·安徽合肥·二模）已知曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)证明：除点外，曲线在直线的下方； (3)设，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义写出切线方程； （2）令，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以，当且仅当等号成立，得到证明； （3）求导得到的单调性，结合函数图象得到，不妨令，结合曲线在点的切线方程为，得到，转化为证明，又，只要证，令，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以直线的方程为：，即 （2）令，则， 令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当等号成立， 所以除切点之外，曲线在直线的下方． （3）由，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，． 因为，则，不妨令． 因为曲线在点的切线方程为， 设点在切线上，有，故，    由（1）知时，， 则，即， 要证：， 只要证：， 只要证：， 又， 只要证：， 令， 则， 易证在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减，所以成立， 所以原命题成立． 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到，且，从而只需证明，再勾股函数进行求解. 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由恒成立，分参配方即可求解； （2）（i）由题意列出方程组，消去得，求导分析的整数零点，即可求； （ii）求导分析单调性，得出，构造函数证明，构造函数证明，由不等式的性质即可证明. 【详解】（1）， 由题意恒成立，则， 则. （2）（i）由题意，存在使得， 消去得， 设， 则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时， 极小值， ， 则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0， 则. （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则， 即， 由于，在单调递增， 则， 由，可得， 则， 即. 2．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【详解】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 3．已知函数，. （1）讨论函数的极值点； （2）若是方程的两个不同的正实根，证明：. 【答案】（1）当，无极值点；当，的极大值点为，极小值点为；（2）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、求已知函数的极值点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）令，对求导后按判别式分类讨论求极值点； （2）通过层层分析和转化，将要证的不等式“”最终转化为：“求证：当时，”. 【详解】（1），函数的定义域为， ，， ①当，即时，恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点； ②当，即时，方程有两个根，，解得，且， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以，函数的极大值点为，极小值点为 （2）方程即方程，设， ， ∴在上递减，在上递增，依题意知有两个零点， ∴，即，解得，且 两式相减得，设， ∴，∴， 要证明，只需证，只需证， 只需证，只需证， 记，， ∴在上递减，∴ ∴，故， 即. 【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中. 某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用. 因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的. 根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 1 学科网（北京）股份有限公司 $重难点3-5极值点偏移问题 可指的目 ①极值点偏移-加法类型 ②极值点偏移-减法类型 3极值点偏移-乘法类型 极值点偏移问题 ④极值点偏移-除法类型 ⑤极值点偏移-平方类型 ⑥极值点偏移-综合类型 1 一夯基·必备基础知识梳理 一、极值点偏移基本定义 众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)=f(2m-x),则函数f(x)关于直线 x=m对称；可以理解为函数∫(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则 x=m必为fx)的极值点。如二次函数f)的顶点就是极值点，若)=c的两根的中点为+五， 2 则刚好有占十立=，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移 2 ①左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x)=∫(x2),则x+x2=2x ②左陡右缓，极值点向左偏移：若∫(x)=f(x2),则x+x2>2x ③左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x)=f(x2),则x+x2<2x 二、极值点偏移几种常考类型 1.·若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证：x1+x2>2x。(x。为函数(x)的极值点)： 2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x)=f(x2),求证：x1+x2>2x。(x。为函数f(x)的 2 极值点)： 3.若函数f)存在两个零点x,,且x1≠2，令x=十立，求证：f(x,)>0: 2 4若函数f)中存在x,x且x,≠x满足fx)=fx),令=十之，求证：(x,)>0. 2 三、极值点偏移的答题步骤（或方法） 若己知函数f(x)满足∫(x1)=f(x2),x。为函数f(x)的极值点，求证：x1+x2<2x。 (1)讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x: 假设此处f(x)在(-o0,x)上单调递减，在(x。,+0)上单调递增 (2)构造F(x)=f(x+x)-f(x-x): 注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)=f(x)-f(2x。-x)的形式 (3)通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x。+x)与 f(x,一x)的大小关系： 假设此处F(x)在(0，+0)上单调递增，那么我们便可得出F(x)>F(x)=f(x)-f(x)=0,从而得到： x>x时，f(x+x)>f(x0-x) (4)不妨设x,<x。<x2,通过f(x)的单调性，f(x)=f(x2),f(x。+x)与f(x。-x)的大小关系 得出结论； 接上述情况，由于x>x时，f(x+x)>f(x-x)且x1<x<x2,f(x)=f(x2),故 f(x)=f(x2)=f[x+(x2-x)]>f[x-(x2-x)]=f(2x。-x2),又因为x1<x，2x-x2<x0且 f(x)在(-0，x)上单调递减，从而得到x<2x,-x2,从而x1+x2<2x得证. (5)若要证明f'(占+)<0，还需进一步讨论+龙与x,的大小，得出+所在的单调区间， 2 2 2 从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证此处只需继续证明：因为x+:,<2x,故十立<x, 2 由于f()在(-0，xo)上单调递减，故f"(凸十七)<0 2 3 提升·必考题型归纳 重难点题型【一】、极值点偏移-一加法类型 1.(25-26高三上陕西榆林.期末)已知函数fx)=ae-x-1. (1)当a=1时，求fx)的最小值： (2)已知函数f(x)有两个零点x,x,且x1<x2 (i)求a的取值范围； (i)证明：x+x2<2n二. 0 2.(25-26高二上广东汕头期末)已知函数f(x)=lnx+a-1(a∈R. (1)讨论f(x的单调性： (2)若f(x≥0对所有x>0成立，求a的最小值： (3)设gx)=fx)+x-1,若gx有两个零点x,x2(:<x2),求证：x+x2<2. 4 3.(25-26高三上河南期末)已知函数八)-是+nr, (1)讨论函数f(x)的单调性： 2设g=)-lnr,若对任意xelc,+w,er-g(x≥0恒成立，求实数a的取值范围， (3)当a=2时，函数y=f(x)-m有两个零点x1,为3，求证：+x2>4. 4.(2025·云南模拟预测)已知函数f(x=axInx(a≠0). (1)若a=2,求曲线y=f(x在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若a=2,x<x2,且fx)+(x2)+2=x2+x,证明：x1+x2>2. 重难点题型【二】、极值点偏移-一减法类型 1.已知函数f()=(x-e-le-2er+er. (1)求函数f(x)的单调区间与极值； 2)若fx)=f(x)=f(x(x<x<x),求证：5二i<e-1. 2 2.已知函数f(x)=e-2x-(a+1,gx)=x2+(a-1)x-a+2)(其中e≈2.71828是自然对数的底数). (1)试讨论函数∫(x)的零点个数： (2)当a>1时，设函数hx)=fx-gx)的两个极值点为x,x2,且x<x2,求证：e-e<4a+2. 6 3.(2024河南南阳一模)已知函数f(x=er-1-x-a(a>0). (1)若函数f(x)在(0，+o)上单调递增，求a的取值范围. (2)若函数f(x的两个零点分别是x,x2,且x1<x2,证明： ①x随着a的增大而减小； ②x-x>1+a. 4.(2024-山东日照.一模)己知函数f(x=3lnx+ax2-4x(a>0). (1)讨论函数f(x的单调性： {2)当a=时，若方程fx=b有三个不相等的实数根x,x,,且：<：<5，证明：X,-x<4. 7 重难点题型【三】、极值点偏移-一乘法类型 1.己知函数f(x)=(x+2)e- (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若方程fx)=x-2的两个实数根互为相反数，求实数a的值； 3)在条件(2》下，若函数g)=2e-nx-x-m-f(-刘有两个不同的零点，，证明：xx,< 2.已知函数fx=2lnx+ax(aeR (1)若∫x)≤0在(0，+o)上恒成立，求a的取值范围： (2)设g(x)=xGf(x),,2为函数g)的两个零点，证明：xr2<1. 8 3.(2025北京通州.三模)已知函数f(x)=ar-a-nx(a>0) (1)己知f(x)在点（1，f(1)处的切线方程为y=x-1,求实数a的值： (2)已知f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围 (3)已知g(x)=f(x)+“有两个零点x,,求实数a的取值范围并证明xx,>e2. 4.(2025-江西南昌二模)已知函数f=xnx-a,g=f+a-a (1)当x≥1时，f(x)≥-lnx-2恒成立，求a的取值范围. (2)若gx)的两个相异零点为X,x2,求证：xx2>e2. 9 重难点题型【四】极值点偏移-一除法类型 1.己知函数f(x=x(1-lnx. (1)讨论f(x)的单调性； (②)设a,b为两个不相等的正数，且blna-ahb=a-b,证明：2<1+} a b 2.(2024河北保定.二模)己知函数f(x)=ax-xnx,f'(x)为其导函数 (1)若f(x)≤1恒成立，求a的取值范围； (2)若存在两个不同的正数x,x2,使得f(x)=f(x,),证明：fVxx>0 6