第一章 重点突破3 数列求和(二）-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

学习目标 1.掌握错位相减法求和的一般过程和思路.　2.熟练掌握裂项相消法求和. 题型一　错位相减法求和 (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 当n≥3时，＝＝…＝＝1， 即an＝n－1， 当n＝1，2时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*). (2)因为＝，所以Tn＝1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n， Tn＝1×()2＋2×()3＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1， 两式相减得，Tn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1＝－n×()n＋1＝1－(1＋)()n， 即Tn＝2－(2＋n)()n，n∈N*. 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时的注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 对点练1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋1－3Sn－4＝0，a1＝4. (1)证明：数列{an}是等比数列； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 解：(1)证明：因为an＋1－3Sn－4＝0， 所以an＋1＝3Sn＋4， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋4， 所以an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 即an＋1＝4an(n≥2). 又因为a2＝3S1＋4＝3a1＋4＝16，所以＝4， 所以{an}是以4为首项，4为公比的等比数列. (2)由(1)知，an＝4×4n－1＝4n. 设bn＝nan，则bn＝n·4n， 因为Tn＝1×4＋2×42＋…＋n·4n，① 所以4Tn＝1×42＋2×43＋…＋n·4n＋1，② 由①－②得，－3Tn＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1 ＝－n·4n＋1＝(－n)·4n＋1－， 所以Tn＝·4n＋1＋. 学生用书⬇第48页 题型二　裂项相消法求和 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋). (1)记bn＝an＋1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：＋＋…＋＜. 解：(1)证明：由an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{bn}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以bn＝an＋1＝2n. (2)证明：易得Tn＝＝2(2n－1)， 于是＝＝－ ＝， 所以＋＋…＋ ＝ ＝， 因为＞0， 所以＋＋…＋＜. 1.裂项相消法求和的原理与规律 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的. (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 2.常见的裂项技巧 (1)＝. (2)＝－). (3)＝. (4)＝. 对点练2.已知数列{an}满足a1＝1，且点(，)在直线y＝x－2上. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{anan＋1}的前n项和为Tn，求能使Tn＜3m－12对n∈N＋恒成立的m(m∈Z)的最小值. 解：(1)由点(，)在直线y＝x－2上， 得－＝2， 所以数列＝1，公差为2的等差数列. 故＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＝. (2)anan＋1＝＝－)，所以Tn＝(1－)＋－)＋…＋－)， 即Tn＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－). 因为n≥1，n∈N＋，故Tn＜. 故要使Tn＜3m－12对n∈N＋恒成立， 需使3m－12≥，即m≥. 又m∈Z，所以m的最小值为5. 1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　) A.1 B. C. D. 答案：B 解析：因为an＝＝－，所以S5＝＋＋…＋＝1－＝.故选B. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝(2n＋1)·2n－1，则其前n项和Sn等于(　　) A.(2n－1)·2n－1 B.(2n－1)·2n＋1 C.(2n＋1)·2n－3 D.(2n－1)·2n＋1－1 答案：B 解析：Sn＝3＋5×2＋7×22＋9×23＋…＋·2n－1①，2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋9×24＋…＋·2n②，①－②得－Sn＝3＋22＋23＋24＋…＋2n－·2n＝3＋－·2n＝－1＋·2n，所以Sn＝·2n＋1.故选B. 3.设数列的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A.－ B.＋ C.－1 D.＋1 答案：C 解析：因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝－1.故选C. 4.1＋2a＋3a2＋…＋n＝　　　　. 答案： 解析：记Sn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1，当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；当a≠1时，aSn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)＋nan，(1－a)Sn＝1＋a＋a2＋a3＋…＋－nan.所以Sn＝－(a≠1)，所以原式＝ 学科网（北京）股份有限公司 $