第2章 1.1 平均变化率&1.2 瞬时变化率（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第二章导数及其应用 五维课堂兰 第二章 导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 课程标准 素养解读 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，1.通过对变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养 会求简单函数的平均变化率， 了学生直观想象和数学抽象的核心素养 2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变2.借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的 化率是描述函数变化快慢的量。 数学运算的核心素养」 课前。预习学案 对应学生用书P41 [情境引入] 2思考函数的平均变化率是固定不变的吗？ 高台跳水运动中，运动员 [提示]不一定.当x。取定值，△x取不同的数值 在运动过程中的重心相对水 时，函数的平均变化率不一定相同；当△x取定值， 面的高度h(单位：m)与起跳 2取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定. 后的时间t(单位：s)存在函数 [知识点二]瞬时变化率 关系h(t)=-4.9t+4.8. 1.定义：对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x。 如何利用上述函数关系 变到x1的过程中，若设△x=x1一x,△y=f(x1) 描述运动员从起跳到入水的 过程中运动速度的快慢程度呢？这就是这节课我们 -f(x,则函数的平均变化率为 要学习的变化率问题」 f(x1)-f(xo)_f(ao十△x)-f(xo) △x [知识梳理] 当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在xo点的 [知识点一]平均变化率 瞬时变化率。 1.定义：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从 2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的 x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2),它在区 快慢 间[x,]的平均变化率=，)一f2) [预习自测] 通常 x2一x1 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 我们把自变量的变化x2一x,称作自变量的改变 “X”) (1)由△x=x2一x1,知△x可以为0. () 量，记作△x,函数值的变化f(x2)一f(x,)称作函数 (2)△y=f(x2)-f(x1)是△x=x2一21相应的改变 值的改变量，记作△y.这样，函数的平均变化率就 量，△y的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率 可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之 可正，可负，可为零 () 比，即Ay=fx2)-f() (3)瞬时速度刻画某物体在某时刻变化快慢的情 △.x 22一x 况. 2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[，x2] (4)平均速度与瞬时速度可能相等. 上变化的快慢， 答案(1)×(2)/(3)/(4)/ ·75· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 2.y=2x+1在(1,2)内的平均变化率为 解析：A[因为△s=s(3十△t)一s(3)=6△t+ A.3 B.2 C.1 D.0 (△所以会=6+a.] [-)@）-2x2+1-(2x1+D 4.函数y=f(x)=3x十1在点x=2处的瞬时变化率 解析：B b-a 2-1 为 =2.] 解析：△y=f(2+△.x)-f(2)=3(2+△x)+1-(3 3.质点运动规律为s(t)=t+3,则从3到3十△t的平 ×2+1)=3Ax,则y=3△=3，.当△z趋于0 均速度为 △.x△x A.6+△t B.6+△t+ 9 △t 时是趋于 C.3+△t D.9+△t 答案：3 课堂。互动学案 对应学生用书P42 题型一 求函数的平均变化率 题型二 平均变化率的实际应用 [例1]求函数y=2.x2十3在x。到十△x之间的 [例2]甲、乙两人走过的路程s1(t),2(t)与时间t 平均变化率，并求当x0=2,△x=一 时该函数的 的关系如下图所示，试比较两人的速度哪个快？ s(0 平均变化率. s2 解：当自变量从变化到x,十△x时，函数的平均 变化率为 0to-At △y=f（2十△x)-f(x) △x [解]s(to)=s2(to),s(tn-△t)>s2(t-△t), [2(x。+△x)2+3]-(2x8+3) 故i）-s(4。-△)()-s(。-△) △x △t △t 4x。△x+2(△x)2 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如 =4x。十2△.x. △x 题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速 当x=2,△x= 2时，平均变化率的值为4×2十 度快 规律方法 2×(号)=7 平均变化率的意义 规律方法 (1)本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走 (1)①求函数值的增量：△y=f(x,十△x)一f(); 过的路程相对时间的平均变化率，通过比较平 =f(a,十△x)-f(.x) 均变化率的大小关系得出结论。 ②计算平均变化率是 △x (2)平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上 (2)要注意△x,△y的值可正，可负，但△x≠0.若 变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数 函数f(x)为常值函数，则△y=0. 在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越 ⊙[变式训练] 小，函数在区间上的变化越慢. 1.已知运动方程y=f(x)=2x2的图像上点P(1,2) ⊙[变式训练] 及邻近点Q1+dx,2+a.则会的值为（ 2.(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路 程的变化情况，则下列说法不正确的是( A.4 B.4z C.4+2△x2 D.4+2△x 解析，D[义=2+△-2X1=4十2A,故 △x △x 选D.] ·76· 第二章导数及其应用 五维课堂 A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均 “当△x趋于0时，A义=7十3△x趋于7十3X0 速度 △.x B.在0到t。范围内，甲的平均速度小于乙的平均 =7 速度 .函数y=3x2十x在点x=1处的瞬时变化率 C.在t。到t范围内，甲的平均速度大于乙的平均 为7. 速度 [当堂达标] D.在t。到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均 1.如图，函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率 速度 等于 解析：ABD[在0到t。范围内，甲、乙的平均速度 都为”，故A、B错误；在。到t1范围内，甲的平均 速度为二，乙的平均速度为二.因为，一5， t-to t一to A.1 B.-1 >,-5,1-,>0,所以>二，故C正 C.2 D.-2 t-to t-to 确，D错误.] 解析：B[平均交化率为}与=-1.] 题型目 求瞬时变化率 2.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t [例3]质点P的运动方程为s=8一3，其中s表示 的函数s=s(t),则物体在时间间隔[t。,t。十△t]内 位移（单位：m),t表示时间（单位：s). 的平均速度是 ( (1)求质点P在[1,1+△t]这段时间内的平均 △t A.v 速度； B.t,+△)-s(1 (2)求质点P在t=1时的瞬时速度. C.s+△)-s(,) D.(t) △t [解](1)质点P在[1,1十△t]这段时间内的平均 解析：C[由平均变化率的概念知C正确.] 速度为 _8-3(1+△)2-8+3X12 =-6-3△r(m/s). 3.观察函数f()的图像如图所示，平均变化率 △ △ △t (2)由1知签=-6-3A,当△趋于0时 △s趋 f()一f表示 于一6，所以质，点P在t=1时的瞬时速度为一6 -y=f(x) fx2) m/s. fx)-fx) fx) 规律方法 X-1 求函数f(x)在点x=x。处的瞬时变化率的步骤 (1)求△y=f(o+△x)-f(xo): 01 (2)计算会，并化筒，直到当△0或△x趋于0 A.直线AB的点斜式方程 B.直线AB的斜截式方程 时有意义为止； C.直线AB的两点式方程 (3)将△0或△x趋于0代入化简后的Ay即得 D.直线AB的斜率 △.x 瞬时变化率， 解析：D会=f》- x2一x1 AC =tan∠BAC ◇[变式训练] =kAB.] 3.求函数y=f(x)=3x2十x在点x=1处的瞬时变 4.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(xyo)处的瞬时 化率。 变化率为一8，则点M的坐标为 解：△y=f(1十△x)-f(1) 解析：△y=[2(x。+△x)2+1]-(2.x+1)=4x△x =3(1+△x)2+(1+△x)-(3+1) =7△x+3(△x)2. 十2(a是=4，十20，当楚子0时是 ”△x .Ay=7△x+3(△ 趋于42=一8.=-2..点M的坐标为(-2,9). -=7+3△x. △x △x 答案：（一2,9） ·77· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 课时。素养提升 对应学生用书P22 [基础达标练] 6.路灯距离地面8m,一个身高为1.6m的人以84 1.一质点的运动方程是s=5一3，则在时间[1,1十 m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离 △]内相应的平均速度为 开路灯，那么人影长度的变化速率为 m/s. A.3△t+6 B.-3△t+6 解析：如图，设S为路灯，人 S C.3△t-6 D.-3△t-6 的高度AB,则AB=1.6m, 、B 解析：D [0=[5-=31+A)1=-(5-3X1)=-6 1 84m/min=5m/s,ts时人 1.6 △t -3△t.] 的影子长AC=h,由直角三 084A 2.函数y=f(x)=3在x从1变到3时的平均变化 7 角形相似得品三h一2m则人影长度的 率等于 h+5 A.12 B.24 C.2 D.-12 变化速率为20 7 △y =△t=20 解析：A[△y=f(3)-f(1)=33-3=24,则 7 兴-12藏选A 答案：20 7.一质点M按运动方程s(t)=at十1做直线运动 3.函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化率 (位移单位：m,时间单位：s).若质点M在t=2s时 为3，则实数m的值为 ( 的瞬时速度为8m/s,则常数a的值为 A.3 B.2 解析：，△s=s(2十△t)-s(2)=a(2+△t)2+1-a C.1 D.4 ·22-1=4a△t+a(△t)2, 解析：B[由已知得m-1一（2-D=3,m十1 m-1 ÷总意u十a,当血趋于0时完趋于u,即4如 =3,.m=2.] =8,解得a=2. 4.函数y=f(x)=3.x十1在点x=2处的瞬时变化率 答案：2 估计是 ( 8.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， A.2 B.3 试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12 C.4 D.5 个月该婴儿体重的平均变化率，并说明哪一阶段体 解析：B[△y=f(2+△x)-f(2)=3(2+△x)+1 重的平均变化较快」 -(3×2+1)=3△x,则Ay=3△=3，当△x趋于 W千克； △x△x 11F 8.6 0时趋于故选区] 6.5 35 5.(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单 位：年)的函数关系如图所示，现有下列四种说法正 369121月 确的有 ) 解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率 为6.5-3.5=3 3-0 -3 =1(千克/月). 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化 012345678元 幸为2-装-04（千克/月.因为1> 6 A.前四年该产品产量增长速度越来越快 0.4,所以该婴儿在从出生到第3个月这段时间内 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 体重的平均变化较快。 C.第四年后该产品停止生产 [能力提升练] D.第四年后该产品年产量保持不变. 9.在x=1附近，取△x=0.3,在四个函数①y=x、② 解析：BD[设产量与时间的关系为y=f(x),由 题图可知f(3)-f(2)<f(2)一f(1),则前三年该 y=x2、③y=x、④y=1中，平均变化率最大的是 产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确，由 ( ) 题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且 A.④ B.③ f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.] C.② D.① ·78· 第二章导数及其应用 五维课堂兰 解析：B[当△x=0.3时，①y=x在x=1附近的 [素养培优练] 平均变化率，=1；②y=x2在x=1附近的平均变 13.(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有 化率k2=2十△x=2.3;③y=x3在x=1附近的平 关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测 均变化率kg=3+3△x十（△x)2=3.99;④y=1在 量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的 关系为c=f(t),甲、乙两人服用该药物后，血管中 药物浓度c随时间t变化的关系如图所示. x=1附近的平均变化率k:=一 10 1+△x 13 c(mg/mL) ∴>k2>k1>k,平均变化率最大的是③.故 选B.] 甲 10.如图所示，函数y=f(x)在[，x2],[x2,x3], [3,x]这几个区间内，平均变化率最大的一个区 ⊙ t3 t(h) 间是 给出下列四个结论正确的是 ( A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B.在t时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时 变化率相同 C. 在[t2,t]这个时间段内，甲、乙两人血管中药 解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区 物浓度的平均变化率相同 间[x2],[x2x],[3,4]上的平均变化率分别为 D.在[t1,t2],[t2,t]两个时间段内，甲血管中药 f)-f)f()-f),f)-f),结合 物浓度的平均变化率不相同 x2一x 4一X3 解析：ACD[A.在t1时刻，为两图像的交点，即 图像可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一 此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正 个区间是[x3,4]. 确；B.甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等， 答案：[3,24] 即两人的瞬时变化率不相同，所以甲、乙两人血管 中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确； 11.函数f(x)=x2与g(x)=lnx在区间(1，十o∞)上 C.根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变 增长较快的是 解标：在1，十)上取(a,a+1). 化率都是f,)-f》,故C正确：D在5，]时间 t3一t2 段，甲的平均变化率是f）f,在[，]时间 fo}@-2a+1,器-a@ t2一t a+1-a a+1-a -血(1+日)因为a≥1，所以2a+1≥3， 段，甲的平均变化率是4，）》，显然不相 5-t2 等，故D正确.门 n1+)n(1+)-n<1,所以 14.已知a>1,函数f(x)=lnx,则下面结论中正确 的有 .(填上所有正确结论的序号) 器，所以画数8a)=1nx在区间（1，十o0)上的 ①函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变化率总 是大于1； 增长速度慢于函数f(x)=x2的增长速度，故增长 ②函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率总 较快的为f(2)=x. 是小于1： 答案：f(x)=x ③函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变化率随 着a的增大而增大； 12.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率，取 ④函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率随 △都为号，哪一点附近的平均变化率最大？ 着a的增大而减小. 解：在x=1附近的平均变化率为1= 解桥：会=a}@-1na+1)-n4 a+1-a 1十△)-1=2十△x,在x=2附近的平均变化 △x n-n(1+)因为a>1,所以n+】 率为，=(2+△x)2-2 <ln(1+1)=ln2<1,所以①错误，②正确.又当a △2x =4十△x,在x=3附近 的平均变化率为，=3十△x)2-3 >≥1时，1+日随着。的增大而减小，n(1+)随 △2 =6十△x.若 着1十上的减小而减小， A=分，则，=2+子=子，=4十3号6 a 3 所以是随者a的增大而减小，所以国错误，国 =6十号-号：尚于<k<无：所以在=3附 正确. 近的平均变化率最大. 答案：②④ ·79·