第二章 重点突破4 曲线的切线问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦利用导数求切线方程及相关问题，系统梳理“在”点处切线（求导得斜率、点斜式写方程）、“过”点处切线（设切点列方程求参数），以及切线平行垂直、切线条数、公切线、距离最值等递进知识点，构建完整学习支架。 资料通过分类题型、步骤总结与对点练习，引导学生用数学眼光发现切线问题中的数量关系，用数学思维进行逻辑推理（如“过点切线”设切点建方程），用数学语言规范表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

学习目标 1.能够利用导数求切线的方程.　2.能利用导数解决与切线有关的问题. 题型一　“在”点P处的切线问题 (1)曲线y＝x2在x＝1处的切线方程为(　　) A.x＝1 B.y＝1 C.y＝x D.y＝x－1 (2)函数f＝ex＋e2x的图象在点处的切线方程为(　　) A.3x－y＋1＝0 B.2x－y＋2＝0 C.x－3y＋6＝0 D.3x－y＋2＝0 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为y＝x2，所以y'＝3x2－2x，所以曲线y＝x2在x＝1处的切线的斜率为1，当x＝1时，y＝0，所以切点为，所以切线方程为y－0＝x－1，即y＝x－1.故选D. (2)依题意，f＝2，因为f'＝ex＋2e2x，所以f'＝3，所以切线方程为y－2＝3，即3x－y＋2＝0.故选D. 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步(求斜率)：求出曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率f'(x0)； 第二步(写方程)：用点斜式y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)； 第三步(变形式)：将点斜式变成一般式. 对点练1.(1)已知函数f＝1＋2x－sin x，则曲线y＝f在x＝0处的切线方程为(　　) A.x＋y－1＝0 B.x－y＋1＝0 C.x－y－1＝0 D.2x－y＋1＝0 (2)函数f＝ln x＋2x的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)f＝1＋0－sin 0＝1，f'＝2－cos x，故f'＝2－cos 0＝2－1＝1，故y＝f在x＝0处的切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.故选B. (2)由f＝ln x＋2x，得f'＝＋2，f'＝3，则f处的切线方程为y－2＝3，即y＝3x－1，令x＝0，得y＝－1，令y＝0，得x＝，则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选C. 题型二　“过”点P处的切线问题 (1)(2025·江苏苏州高二检测)过点且与曲线f＝x3＋x＋2相切的直线方程为(　　) A.4x－y＝0 B.7x－4y＋9＝0 C.4x－y＝0或7x－4y＋9＝0 D.4x－y＝0或4x－7y＋24＝0 (2)已知直线l为曲线f＝x3＋过点P的切线，则直线l的方程为　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)x－y＋2＝0或4x－y－4＝0 解析：(1)由题意可知f'(x)＝3x2＋1，设切点为(x0，y0)，过点的曲线y＝f(x)的切线为l：y－y0＝， 有代入l可得4x－y＝0或7x－4y＋9＝0.故选C. (2)因为f(x)＝x3＋，所以f'(x)＝x2.设直线l与曲线f(x)相切于点M(x0，y0)，则直线l的斜率为k＝f'(x0)＝，所以在点M(x0，y0)处的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)，即y－(＋)＝(x－x0).又点P(2，4)在切线上，所以4－(＋)＝(2－x0)，整理得－3＋4＝0，所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.所以所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切线过点P，切点为Q(x0，f(x0))； 第二步：求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)； 第三步：利用Q在曲线上和f'(x0)＝kPQ，解出x0及f'(x0)； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 对点练2.(1)过点作曲线y＝2x的切线，则切点的坐标为　　　　　. (2)若曲线f＝ln x在点P处的切线过原点O，则x0＝　　　　　. 答案：(1)　(2)e 解析：(1)设切点的坐标为.由y＝2x，得y'＝2xln 2.所以过切点的切线方程为y－2t＝2tln 2(x－t)，把代入得－2t＝－t·2tln 2，即tln 2＝1，所以t＝，则切点坐标为，即. (2)因为f＝ln x，所以f'＝.所以f在点P处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0).又切线过原点O，则－ln x0＝－1，所以x0＝e. 题型三　切线的平行与垂直问题 若曲线y＝x2－aln x在点P处的切线与直线y＝x－2垂直，则实数a的值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案：D 解析：由y＝x2－aln x，求导y'＝2x－，则y＝x2－aln x在点P处的切线的斜率为y'2－a.而y＝x2－aln x在点P处的切线与直线y＝x－2垂直，则2－a＝－1，故a＝3.故选D. 　　对于平行问题，利用导数求出切线斜率，将斜率相等作为条件建立方程求解；对于垂直问题，利用两直线斜率乘积为－1建立方程.同时，结合函数图象和几何性质，灵活运用数形结合思想，快速定位关键点和条件，从而高效解决问题. 学生用书⬇第88页 对点练3.已知曲线C：y＝ex＋x在点A处的切线与直线2x－y＋2＝0平行，则该切线方程是(　　) A.2x－y＝0 B.2x－y－2＝0 C.2x－y－1＝0 D.2x－y＋1＝0 答案：D 解析：根据题意可得y'＝ex＋1，设A，则＋1＝2，解得x0＝0，所以y0＝e0＋0＝1，所以A(0，1)，故所求切线方程为y－1＝2，即2x－y＋1＝0.故选D. 题型四　根据切线条数求参数 若过点(m＞0)可以作两条直线与曲线y＝ln x相切，则下列选项正确的是(　　) A.2n＜ln m B.2n＞ln m C.2m＞ln n＞0 D.2m＜ln n＜0 答案：B 解析：设切点P，因为y＝ln x，所以y'＝，所以点P处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0).又因为切线经过点(m，n)，所以n－ln x0＝，即2n＋1＝ln x0＋.令f＝ln x＋，则y＝2n＋1与f＝ln x＋有两个不同的交点，f'＝－＝.当0＜x＜m时，f'＜0，当x＞m时，f'＞0，所以f＝f＝ln m＋1，则2n＋1＞ln m＋1，即2n＞ln m.故选B. 已知f(x)，过点(a，b)，可作曲线的n(n＝1，2，3)条切线问题 第一步：设切点P0(x0，y0)； 第二步：计算切线斜率k＝f'(x0)； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y－y0＝f'(x0)(x－x0). 第四步：将(a，b)代入切线方程，得：b－y0＝f'(x0)(a－x0)，整理成关于x0的方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于x0的方程就有几个实数解. 对点练4.若过点P(2a，a2)可作3条直线与曲线f(x)＝x3相切，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，8) B.(，＋∞) C.(－∞，0)∪(0，) D.(－∞，0)∪(8，＋∞) 答案：B 解析：设过点P的直线与曲线f(x)＝x3相切于点Q(t，t3)，则f'(t)＝kPQ，其中kPQ表示直线PQ的斜率，即3t2＝，整理，得2t3－6at2＋a2＝0.过点P可作3条直线与曲线f(x)相切等价于方程2t3－6at2＋a2＝0有3个不同的实数根.设g(t)＝2t3－6at2＋a2，则g'(t)＝6t2－12at.由g'(t)＝0，得t＝0或t＝2a，易知t＝0和t＝2a是g(t)的两个极值点.方程2t3－6at2＋a2＝0有3个不同的实数根，即g(t)有3个不同的零点，所以g(0)g(2a)＜0，即a2(a2－8a3)＜0，解得a＞.故选B. 题型五　两条曲线的公切线问题 已知函数f＝ex－2m，g＝x2－mx，若过点的直线与曲线y＝f和y＝g均相切，则实数m的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：C 解析：设直线与f＝ex－2m图象相切的切点为，由f'＝ex，则切线斜率为，切线方程为y－＋2m＝，即y＝x＋－x1－2m.又g＝0，且g'＝2x－m，即g'＝m，所以过点与曲线y＝x2－mx相切的直线方程为y＝mx－m2，联立解得m＝x1＋1，所以＝x1＋1.设n(x)＝ex－x－1，n'(x)＝ex－1，当x＞0，n'(x)＞0，n(x)单调递增，当x＜0，n'(x)＜0，n(x)单调递减，所以n(x)≥n(0)＝0，故ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号，故由＝x1＋1得x1＝0，所以m＝1.故选C. 已知f(x)和g(x)存在n(n＝1，2，3)条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设f(x)的切点A(x1，f(x1))，设g(x)的切点B(x2，g(x2))； 第二步：求公切线的斜率k＝f'(x1)与k＝g'(x2)； 第三步：写出并整理切线 (1)y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)整理得y＝f'(x1)·x－f'(x1)x1＋f(x1)， (2)y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)整理得y＝g'(x2)·x－g'(x2)x2＋g(x2)； 第四步：联立已知条件 对点练5.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－1的切线，也是曲线y＝ex－2的切线，则实数b＝(　　) A.ln 2＋1 B.ln 2＋ C.ln 2－ D.ln 2 答案：C 解析：根据题意，设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1的切点为，与曲线y＝ex－2的切点为，而y＝ex－1的导数为y'＝ex，y＝ex－2的导数为y'＝ex－2，所以两曲线的切线分别为y－＋1＝，y－＝，两条切线对应相同，可得所以切线方程为y－e－ln 2＋1＝e－ln 2，即y＝x＋ln 2－，则b＝ln 2－.故选C. 题型六　与切线有关的距离最值 曲线y＝ex＋x＋1上的点到直线y＝2x距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：令f(x)＝ex＋x＋1，则f'(x)＝ex＋1.设该曲线在点(x0，f(x0))处的切线为l，曲线到直线y＝2x的距离最小，必有该切线的斜率为2，所以f'(x0)＝＋1＝2，解得x0＝0，则切点为(0，2)，故切线l的方程为y－2＝2x，即2x－y＋2＝0，所以直线2x－y＋2＝0到直线2x－y＝0的距离为d＝＝，即该曲线上的点到直线y＝2x的最小距离为.故选C. 　　利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线. 对点练6.已知A是函数f＝xex＋3图象上的一点，点B在直线l：x－y－3＝0上，则的最小值是(　　) A. B.3 C.2 D.3 答案：D 解析：设f＝xex＋3上一点A处的切线与l：x－y－3＝0平行，则f'＝ex，则＝1.令t＝ex－1，显然t＝0，则t'＝ex，当x＜－2时，t'＜0，当x＞－2时，t'＞0，故t＝ex－1在上单调递减，在上单调递增，当x＜－2时，t＜0恒成立.易知t＝ex－1只有1个零点，即0，所以x0＝0，故A点坐标为，的最小值为A到直线l：x－y－3＝0的距离，即＝3.故选D. 学生用书⬇第89页 1.曲线f(x)＝cos πx＋在x＝处的切线方程为(　　) A.x＋y－1＝0 B.πx＋y－π＝0 C.πx＋y－1＝0 D.x＋y－π＝0 答案：B 解析：因为f(x)＝cos πx＋，所以f'(x)＝－πsin πx，可得f'＝－π，f＝，所以曲线f(x)在x＝处的切线方程为y－＝－π，即πx＋y－π＝0.故选B. 2.已知P是曲线f＝xln x＋1上一点，则点P到直线2x－y－8＝0的最短距离为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题知，f'＝ln x＋1，令f'＝2，得x＝e.又f＝e＋1，可得点P，所以点P到直线2x－y－8＝0的距离最短为＝＝.故选A. 3.若直线y＝2x＋a是函数f(x)＝x＋ln x的图象在某点处的切线，则实数a＝　　　　. 答案：－1 解析：令f'(x)＝1＋＝2，解得x＝1，所以切点为(1，1)，将(1，1)代入y＝2x＋a得1＝2＋a，a＝－1. 4.已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝　　　　. 答案：2e 解析：由y＝xex得y'＝ex(x＋1)，则曲线y＝xex在点(1，e)处的切线斜率为2e.由y＝aln x＋2得y'＝，则曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线斜率为a，而两切线平行，所以a＝2e. 学科网（北京）股份有限公司 $