第一章 重点突破1 求数列的通项-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

学习目标 1.了解求数列通项公式的常见方法.　2.掌握利用递推公式求通项公式的方法.　3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法. 题型一　累加、累乘法求通项公式 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式； (2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an. 解：(1)因为an＋1＝an＋n＋1， 所以an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n， 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2). 当n＝1时，也满足上式， 所以通项公式为an＝，n∈N＋. (2)由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1， 代入上式得(n－1)个等式累乘， 即···…·＝×××…×(n≥2)，所以＝(n≥2)， 又因为a1＝，所以an＝(n≥2). 又当n＝1时，a1＝满足上式，所以an＝，n∈N＋. 累加、累乘法的应用模型 1.累加法：形如an＋1－an＝f(n)型. 2.累乘法：形如＝f(n)型. 对点练1.(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝　　　　. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，则an＝　　　　. 答案：(1)4－　(2)en－1 解析：(1)原递推公式可化为an＋1－an＝－，则a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)，逐项相加得an－a1＝1－，故an＝4－(n≥2)，经验证a1＝3也符合上式，所以an＝4－. (2)因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1，即＝e(n≥2).所以an＝··…··a1 ＝·1＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1. 题型二　构造法求通项公式 模型1　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的递推关系求通项公式 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.求数列{an}的通项公式. 解：令an＋1＋t＝2(an＋t)，所以an＋1＝2an＋t， 又因为an＋1＝2an＋4，所以t＝4， 所以an＋1＋4＝2(an＋4)， 所以＝2， 因为a1＝－2，所以a1＋4＝2. 所以{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4. 学生用书⬇第43页 用待定系数法解决此类问题的一般步骤 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式. 注意：形如an＋1＝pan＋qn＋r的模型，可以利用待定系数法构造等比数列求解. 对点练2.(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4.则数列{an}的通项公式为　　　　. (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n－1.证明数列{an＋2n＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式. 答案：(1)an＝3n－2 解析：(1)令an＋1＋t＝3(an＋t)，所以an＋1＝3an＋2t.又因为an＋1＝3an＋4，所以2t＝4，即t＝2，所以an＋1＋2＝3(an＋2)，所以＝3.因为a1＝1，所以a1＋2＝3.所以{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列.所以an＋2＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2. (2)因为an＋1＝2an＋2n－1，所以an＋1＋2(n＋1)＋1＝2(an＋2n＋1)， 即＝2，所以数列{an＋2n＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝4×2n－1，所以an＝2n＋1－2n－1. 模型2　形如an＝p＋tqn(p≠1)的递推关系求通项公式 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－4an＝2n＋1，n∈N＋.求{an}的通项公式. 解：法一：因为an＋1＝2n＋1＋4an，所以an＋1＋2n＋1＝4an＋2n＋2＝4， 因为a1＋2＝4，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－2n. 法二：因为an＋1＝2n＋1＋4an， 所以＝2·＋1， 两边再同时加1，得＋1＝2， 所以数列成等比数列，且首项为2，公比为2，则＋1＝2n，所以an＝4n－2n. 用同除法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同除以qn，不管这一项是qn－1或，都同除以qn，为的是数列的下标和q的指数对应起来； 第二步：写出数列an与qn构造的式子； 第三步：写出数列{an}的通项公式. 注意：形如＝pan＋qan的模型，可以利用同除法构造等比数列求解. 对点练3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n.则数列{an}的通项公式为　　　　　　. 答案：an＝4n－3n 解析：因为an＋1＝3an＋4n，等式两边同时除以4n，得＝＋1，即－1＝－1)，所以数列是首项为－，公比为的等比数列，即－1＝(－)·()n－1＝－()n，所以an＝4n－3n. 模型3　形如＝(p，q，r≠0)的递推关系求通项公式 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝，n∈N＋，求{an}的通项公式. 解：对递推式an＋1＝的两边同时取倒数， 得＝，即＝2·＋3， 因此＋3＝2(＋3)，＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1，可得an＝，n∈N＋. 用取倒数法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同时取倒数； 第二步：变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数)； 第三步：利用待定系数法求出原数列的通项. 对点练4.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝ B.an＝ C.an＝ D.an＝ 答案：A 解析：因为an＋1＝(n∈N＋)，所以＝＝＋，即－＝.因为a1＝1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，所以an＝.故选A. 学生用书⬇第44页 题型三　由Sn与an的关系求通项公式 数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N＋)，求an的通项公式. 解：当n＝1时，a1＝5S1－3＝5a1－3，得a1＝. 当n≥2时，由an＝5Sn－3， 得an－1＝5Sn－1－3， 两式作差得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an， 所以an＝－an－1， 所以数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝－的等比数列， 所以an＝a1·＝×. 　　若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用先求出a1，若计算出的an中a1适合时可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解. 对点练5.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式. 解：(1)因为Sn＝n(n＋1)， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n， 经检验a1＝2满足an＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)因为an＝＋＋＋…＋， 所以an＋1＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得＝an＋1－an＝2， 则bn＋1＝2，故bn＝2， 而a1＝＝2，即b1＝8，满足bn＝2， 故bn＝2. 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　) A.36 B.35 C.34 D.33 答案：C 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝2n－3.当n＝1时，a1＝－1符合上式，所以an＝2n－3，则a2＝1，a18＝33，故a2＋a18＝34.故选C. 2.数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为(　　) A.1 B.－1 C. D.2 答案：D 解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.因为数列{an－1}是等比数列，所以＝1，即λ＝2. 3.若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝　　　. 答案： 解析：由题意得，a8＝1＋＝，则a7＝；a7＝1＋＝，则a6＝；a6＝1＋＝，则a5＝. 4.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝　　　　. 答案： 解析：由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2).又因为a1＝1，所以＝＋1＝.当n＝1时满足上式，所以an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $