2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平均变化率与瞬时变化率核心知识点，通过病人体温变化、物体运动等实例引入，构建概念定义与求法，再延伸至容器水面高度、气球体积等应用，形成“实例引入—概念构建—方法提炼—应用拓展”的学习支架。 资料以问题驱动（如体温变化快慢分析）培养数学抽象，步骤化教学（求平均变化率三步骤）提升数学运算，结合实例应用（容器水面高度变化）强化应用意识。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后通过对点练和练习题帮助学生巩固，有效弥补知识盲点。

§1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 学习目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系，培养数学抽象的核心素养.　 2.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法，提升数学运算的核心素养. 任务一　平均变化率 问题1.下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 提示：每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢. 平均变化率 1.定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝. 把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝. 2.作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. [微提醒]　(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零.(2)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快. 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求物体在区间和上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：(1)物体在区间上的平均速度为v1＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为v2＝＝＝. (2)由(1)可知v1－v2＝＞0， 所以v1＞v2. 作出函数s(t)＝sin t在［0，］上的图象，如图所示， 可以发现，s(t)＝sin t在［0，］上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢. 学生用书⬇第55页 求函数f(x)平均变化率的步骤 第一步：求函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)； 第二步：求自变量的改变量：Δx＝x2－x1； 第三步：作商：＝. 对点练1.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋a. (1)判断f(0)与f(3)的大小； (2)判断f(x)在区间[0，1]与[1，3]的平均变化率的大小. 解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋a，所以f(0)＝a，f(3)＝3＋a，所以f(0)＜f(3). (2)f(x)在区间[0，1]的平均变化率为＝f(1)－f(0)＝a－1－a＝－1， f(x)在区间[1，3]的平均变化率为＝＝2， 所以f(x)在区间[0，1]的平均变化率小于在区间[1，3]的平均变化率. 任务二　瞬时变化率 问题2.我们知道平均速度刻画了物体在一段时间内运动的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度.如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系呢？ 提示：瞬时速度是汽车在某一时刻的速度，而平均速度是在某一时间段内的平均值，若时间间隔进一步缩短，平均速度就更接近于那一时刻的瞬时速度. 问题3.物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度.当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，平均速度为v＝＝10＋5Δt.当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度. 瞬时变化率 1.定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝. 学生用书⬇第56页 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率. 2.作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. [微提醒]　平均变化率与瞬时变化率的关系 (1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢. (2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，这个值即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值. [微思考]　函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f(x)在(x1，x2)上一定为常数？ 提示：函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0，这时f(x1)＝f(x2)；平均变化率等于0，不能说f(x)在区间(x1，x2)上一定为常数，例如f(x)＝x2在区间(－1，1)上. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 解：因为＝ ＝＝3＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [变式探究] 1.(变设问)若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， 因为＝ ＝＝1＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于1，即物体的初速度为1 m/s. 2.(变设问)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝ ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. 当Δt趋于0时，趋于2t0＋1，则2t0＋1＝9， 所以t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 第一步：求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止； 第三步：将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率. 对点练2.求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率. 解：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2， 所以＝＝7＋3Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于7. 所以函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7. 学生用书⬇第57页 任务三　平均变化率与瞬时变化率的应用 有一个长方体的容器，如图所示，它的宽为10 cm，高为100 cm，右侧面为一活塞，容器中装有1 000 mL的水，活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度改变了多少？活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？ (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率. 解：(1)因为10xy＝1 000，所以y＝， 即y关于x的函数解析式为y＝(x≥1). (2)由(1)得y＝，设y＝f(x)，则f(x)＝， 所以f(1)＝100，f(2)＝50，f(2)－f(1)＝50－100＝－50(cm)， 所以活塞的位置x从1 cm变为2 cm水面高度改变了－50 cm； f(8)＝12.5，f(10)＝10，则f(10)－f(8)＝10－12.5＝－2.5(cm)； 所以活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了－2.5 cm； 因为＝＝－50，＝＝－1.25，且｜－50｜＞｜－1.25｜， 故从1 cm变为2 cm，水面高度的变化较快. (3)因为＝＝＝－， 当Δx趋于0时，趋于－1， 所以当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率为－1. 　　熟练掌握平均变化率与瞬时变化率的计算是关键，当自变量的改变量趋于零时，平均变化率即为瞬时变化率. 对点练3.已知某气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率(精确到0.01)，并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么规律？ (注： ≈0.62， ≈0.78) 解：(1)体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，即V＝πr3， 则r3＝，所以r＝ ，所以r(V)＝ . (2)气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中半径r的平均变化率： ＝ － ＝ ≈0.62， 气球的体积V从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率： ＝ － ≈0.78－0.62＝0.16， 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快. 此结论说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢. 任务 再现 1.平均变化率.2.瞬时变化率.3.平均变化率与瞬时变化率的应用 方法 提炼 定义法、极限思想 易错 警示 对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位 1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足(　　) A.Δx＞0 B.Δx＜0 C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数 答案：C 解析：因为平均变化率为，故Δx≠0.故选C. 2.若函数y＝在[1，a]上的平均变化率为－，则a等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：因为＝＝－＝－，所以a＝2.故选B. 3.已知函数f(x)＝x3，则用平均变化率估计f(x)在x＝1处的瞬时变化率为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：函数f(x)＝x3在[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3，当Δx→0时，→3.故f(x)在x＝1处的瞬时变化率为3.故选C. 4.一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则该质点在t＝1 s时的瞬时速度估计是　　　　 m/s. 答案：2 解析：Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，所以＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2，故该质点在t＝1 s时的瞬时速度估计为2 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $