第二章 重点突破5 函数单调性的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦函数导数与单调性的关系这一核心知识点，系统梳理含参函数单调区间的求解、由单调性求参数取值范围、利用单调性比较大小或解不等式的方法，构建从概念理解到应用实践的递进学习支架。 资料通过分类讨论（如含参函数单调性中参数不同范围的分析）培养数学思维的推理能力，变式探究与方法总结引导学生用数学眼光抽象问题本质，规范解题步骤提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固方法，查漏补缺。

学习目标 1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.　2.能求简单的含参的函数的单调区间.　3.能根据函数的单调性求参数的取值范围.　4.由函数的单调性能够比较大小(或解不等式). 题型一　含参函数的单调性 已知函数f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2，求函数f(x)的单调递减区间. 解：由题意，得f'(x)＝x2－(a＋a2)x＋a3 ＝(x－a)(x－a2)， 令f'(x)＜0，得(x－a)(x－a2)＜0. ①当a＜0时，解不等式得a＜x＜a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ②当0＜a＜1时，解不等式得a2＜x＜a，此时函数的单调递减区间为(a2，a)； ③当a＞1时，解不等式得a＜x＜a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ④当a＝0或a＝1时，f'(x)≥0，此时f(x)无单调递减区间. 综上所述，当a＜0或a＞1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)； 当0＜a＜1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2，a)； 当a＝0或a＝1时，函数f(x)无单调递减区间. [变式探究] 　(变条件，变设问)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.讨论函数f(x)的单调区间. 解：由题意，得f'(x)＝3x2＋2ax＋1， 令f'(x)＝0，Δ＝4(a2－3). 当Δ＞0，即a＞或a＜－时， 令f'(x)＞0，即3x2＋2ax＋1＞0，解得x＞或x＜； 令f'(x)＜0，即3x2＋2ax＋1＜0，解得＜x＜. 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，)，(，＋∞)； 单调递减区间是. 当Δ≤0，即－≤a≤时，对所有的x∈R都有f'(x)≥0，故f(x)是R上的增函数. 用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：确定函数f(x)的定义域； 第二步：求导数f'(x)； 第三步：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 第四步：在不同的参数范围内，解不等式f'(x)＞0和f'(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间. 注意：在研究函数的单调性时，当f'(x)为二次函数型时，要特别关注如下思考路径：f'(x)的二次项系数是否为0；开口方向；因式分解(Δ)；比较根的大小.并且始终要关注函数的定义域. 对点练1.已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋x＋1，其中a∈R.求函数f(x)的单调区间. 解：f(x)＝ln x＋ax2＋x＋1，定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝＋2ax＋a＋2＝， 当a＝0时，f'(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＞0时，f'(x)＝ ＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＜0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜－； 令f'(x)＜0，得x＞－. 即f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减. 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当a＜0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减. 学生用书⬇第90页 题型二　由单调性求参数的取值范围 已知关于x的函数f(x)＝x3－ax＋b. (1)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值. 解：f'(x)＝3x2－a. (1)若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增， 则f'(x)＝3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立， 则a≤(3x2)min. 因为x＞1，所以3x2＞3. 所以a≤3，即实数a的取值范围为(－∞，3]. (2)令f'(x)＞0，得x2＞. 若a≤0，则x2≥恒成立，即f'(x)≥0恒成立， 此时，函数f(x)＝x3－ax＋b在R上单调递增，与题意不符； 若a＞0，令f'(x)＞0，解得x＞或x＜－. 因为(1，＋∞)是函数f(x)的一个单调递增区间， 所以 ＝1，即a＝3. [变式探究] 1.(变条件)本例中若函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值. 解：由题意得f'(x)＝3x2－a，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞). ①当a≤0时，f'(x)≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，与已知矛盾，不符合题意； ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f'(x)＜0， 所以f(x)在上为减函数， 所以f(x)的单调递减区间为， 又函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)， 所以＝1，即a＝3. 2.(变条件)本例中若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围又如何？ 解：f'(x)＝3x2－a， 当a≤0时，f'(x)＝3x2－a≥0恒成立，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＞0时，函数f(x)在(1，＋∞)上不单调，即f'(x)＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有实根. 由3x2－a＝0，可得x＝或x＝－(舍去).依题意，有＞1， 所以a＞3，所以实数a的取值范围为(3，＋∞). 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用函数单调性与导数的关系得出参数的不等式，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f'(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意. 2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 对点练2.若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax是定义域上的增函数，求实数a的取值范围. 解：因为f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，且是(0，＋∞)上的增函数， 所以f'(x)＝4x＋－a≥0在(0，＋∞)上恒成立. 所以a≤4x＋在(0，＋∞)上恒成立. 令g(x)＝4x＋， 由于g(x)＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即x＝时取等号， 所以g(x)min＝4，所以a≤4. 又当a＝4时，f'(x)＝4x＋－4＝＝≥0满足条件. 所以实数a的取值范围为(－∞，4]. 题型三　由函数的单调性比较大小(或解不等式) (1)已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf'(x)＞0恒成立，则下列不等式成立的是(　　) A.f(－3)＜f(4)＜f(－5) B.f(4)＜f(－3)＜f(－5) C.f(－5)＜f(－3)＜f(4) D.f(4)＜f(－5)＜f(－3) (2)(多选题)已知函数f(x)＝，e为自然对数的底数，则(　　) A.f(2)＜f() B.f()＜f() C.f(8)＜f(e2) D.f(2)＞f(e) 答案：(1)A　(2)ABC 解析：(1)x∈(－∞，0)时，xf'(x)＞0即f'(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减.又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)＜f(5)，所以f(－3)＜f(4)＜f(－5).故选A. (2)由题意，得f'(x)＝，x＞0，所以当x∈(0，e)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减.对于A，因为e＜＜4，所以f(4)＜f().因为f(4)＝＝＝f(2)，所以f(2)＜f()，故A正确；对于B，因为0＜＜＜e，所以f()＜f()，故B正确；对于C，因为e＜e2＜8，所以f(8)＜f(e2)，故C正确；对于D，因为e＜2，所以f(2)＜f(e)，故D错误.故选ABC. 　　已知不等式构造函数，常利用乘积或商的导数，然后对构造的函数判断单调性，最后根据单调性比较大小或解不等式即可. 对点练3.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＜f'(x)＜0，则(　　) A.ef(2)＞f(1)，f(2)＞ef(1) B.ef(2)＞f(1)，f(2)＜ef(1) C.ef(2)＜f(1)，f(2)＜ef(1) D.ef(2)＜f(1)，f(2)＞ef(1) 答案：D 解析：构造函数g(x)＝⇒g'(x)＝，因为f(x)＜f'(x)，所以g'(x)＞0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)＞g(1)⇒＞⇒f(2)＞ef(1)；构造函数h(x)＝f(x)·ex⇒h'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]，因为f(x)＜f'(x)＜0，所以h'(x)＜0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)＜h(1)⇒e2f(2)＜ef(1)⇒ef(2)＜f(1).故选D. 学生用书⬇第91页 1.若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A.a≤0 B.a＜1 C.a＜2 D.a≤ 答案：A 解析：由题意f'(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A. 2.若函数f(x)＝－cos x＋ax在R上为增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－1，＋∞) D.(1，＋∞) 答案：B 解析：由题意可得，f'(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立.因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故选B. 3.若函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0，3)，则m＝　　　　. 答案： 解析：令f'(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，m＝. 4.函数f(x)＝x3－(2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4的单调递减区间是　　　　. 答案：(a，a＋1) 解析：f'(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f'(x)＜0，得a＜x＜a＋1，故f(x)的单调递减区间是(a，a＋1). 学科网（北京）股份有限公司 $