第二章 重点突破8 利用导数研究函数的零点问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“利用导数研究函数的零点问题”核心知识点，系统梳理从单调区间、极值分析到零点个数判断，再到参数范围求解及综合证明的完整脉络，搭建递进式学习支架。 通过具体例题（如f(x)=eˣ-ax-1）培养数学眼光观察函数性质，分类讨论参数范围发展数学思维的逻辑推理，构造新函数证明不等式提升数学语言表达能力。课中辅助教师系统授课，课后通过对点练和练习题帮助学生巩固，查漏补缺。

学习目标 1.能够结合函数图象利用导数研究函数的零点问题.　2.会求解与零点有关的参数问题. 题型一　利用导数研究函数的零点个数 已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)当a＝e时，求f(x)的单调区间； (2)讨论y＝f(x)在区间[0，1]上零点的个数. 解：(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ex－1， 所以f'(x)＝ex－e. 令f'(x)＝0，得x＝1， 所以当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞). (2)因为f(x)＝ex－ax－1，0≤x≤1， 所以f'(x)＝ex－a. ①当a≤1时，f'(x)≥0，f(x)在[0，1]上单调递增且f(0)＝0，所以f(x)在[0，1]上有1个零点； ②当a≥e时，f'(x)≤0，f(x)在[0，1]上单调递减且f(0)＝0，所以f(x)在[0，1]上有1个零点； ③当1＜a＜e时，由f'(x)＜0，得x＜ln a，由f'(x)＞0，得x＞ln a，所以f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，1)上单调递增， 而f(1)＝e－a－1，f(0)＝0， 故当e－a－1≥0，即1＜a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有2个零点； 当e－a－1＜0，即e－1＜a＜e时，f(x)在[0，1]上有1个零点. 综上所述，当a≤1或a＞e－1时，f(x)在[0，1]上有1个零点； 当1＜a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有2个零点. 利用导数研究函数的零点个数问题的思路与方法 思 路 1.求出函数的定义域. 2.求导数f'(x)及函数f'(x)的零点. 3.用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. 4.确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势. 5.画出f(x)的大致图象. 方 法 1.直接法：先对函数求导，找出函数的单调区间与极值，根据函数的性质作出图象，然后将问题等价转化为函数图象与x轴的交点问题. 2.构造新函数法：将问题等价转化为研究两个函数图象的交点问题. 3.分离变量法：由f(x)＝0，分离参数得出a＝g(x)，将问题等价转化为直线y＝a与函数g(x)的图象的交点问题. 学生用书⬇第96页 对点练1.已知函数f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)的最小值； (2)求函数g(x)＝f(x)－1的零点个数，并说明理由. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝ln x＋1. 令f'(x)＝ln x＋1＞0，解得x＞； 令f'(x)＜0，解得0＜x＜， 所以函数f(x)在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－. (2)g(x)＝f(x)－1＝xln x－1，x＞0， 则g'(x)＝ln x＋1. 令g'(x)＞0，解得x＞； 令g'(x)＜0，解得0＜x＜， 所以函数g(x)在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增. 当0＜x＜时，g(x)＝xln x－1＜－1＜0， 则g(x)在上无零点； 又g＝－－1＜0，g(e)＝e－1＞0， 则g(x)在上只有1个零点. 综上，g(x)在定义域(0，＋∞)上只有1个零点. 题型二　由函数的零点个数求参数的范围 已知函数f(x)＝ax2＋x－ex. (1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间； (2)若x≠0时，方程f(x)＝1有3个不同的实数解，求实数a的取值范围. 解：(1)若a＝0，则f(x)＝x－ex， 所以f'(x)＝1－ex. 令f'(x)＞0，得x＜0；令f'(x)＜0，得x＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). (2)当x≠0时，方程f(x)＝1等价于a＝. 令g(x)＝， 则方程f(x)＝1有3个不同的实数解， 即函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有3个交点. g'(x)＝. 当g'(x)＞0时，x＜0或x＞2， 则g(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增； 当g'(x)＜0时，0＜x＜2， 则g(x)在(0，2)上单调递减. 又当x→－∞时，g(x)→0； 当x→0时，g(x)→＋∞； 当x＝2时，g(2)＝＞0； 当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 所以实数a的取值范围为. 　　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围. 对点练2.已知函数f(x)＝(x－a)ex＋e2(a∈R). (1)若a＝3，求f(x)的极值； (2)若f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝3时，f(x)＝(x－3)ex＋e2， f'(x)＝(x－2)ex， 当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 故f(x)＝(x－3)ex＋e2的单调递减区间为(－∞，2)，单调递增区间为(2，＋∞)， 所以当x＝2时，函数f(x)取到极小值f(2)＝0，无极大值. (2)令f(x)＝(x－a)ex＋e2＝0，可得a＝e2－x＋x， 记g(x)＝e2－x＋x，原问题等价于g(x)＝e2－x＋x(x＞0)的图象与直线y＝a有唯一的交点，g'(x)＝1－e2－x，g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g'(2)＝1－e2－2＝0， 所以g(x)＝e2－x＋x在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且g(0)＝e2，g(2)＝3， 画出函数g(x)＝e2－x＋x(x＞0)的图象，如图所示： 由图可知，当a≥e2或a＝3时，g(x)＝e2－x＋x(x＞0)的图象与直线y＝a有唯一的交点， 故实数a的取值范围为[e2，＋∞)∪{3}. 题型三　关于零点的综合问题 已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).若f(x)有两个不相同的零点x1，x2，证明x1x2＞a2. 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f'(x)＝， 当a≤0时，f'(x)＞0成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，至多有1个零点，不符合题意； 当a＞0时，函数f(x)在(a，＋∞)上为增函数，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以f(a)为函数的极小值，函数有两个零点， 则f(a)＜0， 不妨设x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2， 要证x1x2＞a2， 即证x1＞， 因为x1，∈(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f＞f(x1)， 又f(x1)＝f(x2)＝0， 只需证明f＞f(x2)， 设函数F(x)＝f－f(x)＝－－2ln x＋2ln a(x＞a)， 所以F'(x)＝＞0， 所以F(x)在(a，＋∞)上为增函数， 所以F(x2)＞F(a)＝0， 所以f＞f(x2)成立， 从而x1x2＞a2成立. 学生用书⬇第97页 通过导数研究与函数零点有关的(不等式)证明问题的求解策略 1.一种是用综合法，通过导数求解零点或极值满足的条件式子，通过变形处理得到所证结果；另一种是用分析法，从结果入手，分析所需要证明的式子，直至得到一个比较容易证明的结论. 2.对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论. 对点练3.已知函数f(x)＝x－ln x－1. (1)求f(x)的最小值； (2)设F(x)＝x ln x－2x＋f(x)，若F(x)＝0有且仅有两个实根x1，x2(x1＜x2)，证明：x1x2＝1. 解：(1)f(x)的定义域为.f'(x)＝1－＝， 令f'(x)＝0，即＝0，解得x＝1， 当x∈(0，1)时，f'(x)＜0；当x∈时，f'(x)＞0， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增， 故x＝1是f(x)在上的唯一极小值点，也是最小值点. 所以f(x)min＝f(1)＝1－ln 1－1＝0. (2)证明：F(x)＝x ln x－2x＋f(x)＝(x－1)ln x－x－1，F(x)的定义域为， 因为F'(x)＝ln x－，所以F'(x)在上单调递增， 且F'(1)＝－1＜0，F'(2)＝＞0，故存在x0∈，使得F'(x0)＝0. 所以当x∈时，F'(x)＜0， F(x)在上单调递减； 当x∈时，F'(x)＞0， F(x)在上单调递增. 因为F(x)＝0有且仅有两个实根x1，x2，且x1＜x2，所以x1∈，x2∈， 又F(x0)＜F(2)＝ln 2－3＜0，F(e2)＝e2－3＞0，且F(x2)＝0，所以2＜x2＜e2，故＜＜. 又F()＝(－1)ln－－1＝＝0， 且F(x)在上单调递减，故是F(x)＝0在的唯一根，故＝x1. 所以x1x2＝1. 1.函数y＝sin x＋x的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：记y＝f(x)＝sin x＋x，函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝1＋cos x≥0，故函数f(x)在R上单调递增.又f(0)＝0，所以函数y＝sin x＋x的零点个数为1.故选B. 2.已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f'(x)的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 答案：C 解析：由题意得，f'(x)＝(x2＋2x＋a)ex，因为函数f(x)有最小值，且ex＞0，所以函数存在单调递减区间，即f'(x)＜0有解，所以x2＋2x＋a＝0有两个不等实根，所以函数y＝f'(x)的零点个数为2.故选C. 3.已知函数f(x)＝x3－x2－2x＋c恰有3个零点，则实数c的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：f'(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，由f'(x)＞0，可得x＞2或x＜－1，由f'(x)＜0，可得－1＜x＜2，所以函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.而函数f(x)恰有3个零点，故必有解得－＜c＜，所以使函数f(x)恰有3个零点的实数c的取值范围是.故选A. 4.若函数f(x)＝x3－kx＋k2有3个零点，则实数k的取值范围为　　　　. 答案： 解析：f'(x)＝3x2－k.当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当k＜0时，f'(x)＝3x2－k＞0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.故当k≤0时，f(x)不可能有3个零点.当k＞0时，令f'(x)＝0，得x＝±.当x∈(－∞，－)时，f'(x)＞0；当x∈时，f'(x)＜0；当x∈时，f'(x)＞0.故x＝－为f(x)的极大值点，x＝为f(x)的极小值点.若f(x)有3个零点，只需解得0＜k＜，所以k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $