2.7.2 实际问题中的最值问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“实际问题中的最值问题”核心知识点，系统梳理利用导数解决面积体积最值、用料费用最低、利润最大三类问题的脉络。通过链教材例题引入，以“问题情境—函数建模—求导分析—得出最值”为学习支架，衔接导数应用与实际问题，构建完整解题路径。 该资料以任务驱动设计，每个任务包含实例解析、方法提炼及对点练习，如圆锥容积问题引导学生抽象函数关系，高压线工程费用问题培养数学建模能力。通过求导分析单调性提升数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固方法，查漏补缺，落实数学抽象与应用意识。

7.2　实际问题中的最值问题 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.　2.掌握利用导数解决实际生活中简单的最优化问题，提升数学建模、数学抽象的核心素养. 任务一　面积、体积最值问题 (链教材P88例4)现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图①中阴影部分)，并将剩下的铁皮卷成一个深度为h米的圆锥筒(如图②)容器. (1)若所裁剪的扇形铁皮的弧长为2π米，求圆锥筒容器的容积； (2)当圆锥筒容器的深度h为多少米时，其容积最大？并求其容积的最大值. 解：设圆锥筒容器底面的半径为r米，容积为V立方米. (1)依题意得2πr＝2π，解得r＝1， 所以h＝＝. 所以V＝πr2h＝×12×＝， 故圆锥筒容器的容积为立方米. (2)由r2＋h2＝4，得r2＝4－h2(0＜h＜2). 所以V＝πr2h＝(0＜h＜2)， 所以V'＝(0＜h＜2). 由V'＞0得，0＜h＜；由V'＜0得，＜h＜2. 所以函数V(h)在区间上单调递增；在区间上单调递减， 所以当h＝时，V(h)max＝π. 故当圆锥筒容器的深度h为米时，其容积最大，且其最大值是π立方米. 1.利用导数解决最优化问题的基本思路 2.几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 对点练1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度). (1)将S表示为θ的函数； (2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积. 解：(1)由题图知，BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ， 则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π). (2)S'＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1). 令S'＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝.当θ变化时，S'，S的变化情况如下表： θ S' ＋ 0 － S ↗ 极大值 ↘ 所以当θ＝时，S取得最大值，Smax＝3 750 m2， 此时AB＝150 m，即点A到北京路一边所在直线l的距离为150 m. 学生用书⬇第85页 任务二　用料最省、费用最低问题 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间，等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线.已知建造一座高压电线塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为4x[ln(x＋0.48)－0.125]万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需要建造多少座高压电线塔，才能使余下的工程费用y有最小值？最小值是多少？(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30) 解：(1)由题意知，需要新建的高压电线塔为(－1)(0＜x≤16)座， 所以y＝2＋×4x[ln(x＋0.48)－0.125]＝＋64ln(x＋0.48)－10(0＜x≤16). (2)由(1)，得y'＝－＋＝， 令y'＝0得x＝0.8或x＝－0.3(舍去). 由y'＜0，得0＜x＜0.8； 由y'＞0，得0.8＜x≤16， 所以函数y在区间(0，0.8)上单调递减； 在区间(0.8，16]上单调递增， 所以当x＝0.8时，函数y取得最小值， 且ymin＝＋64ln 1.28－10＝30＋64(7ln 2－2ln 10)≈44.72， 此时应建高压电线塔为－1＝19(座). 故需建19座高压电线塔可使得余下的工程费用y有最小值，且最小值为44.72万元. 　　用料最省、费用最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. 对点练2.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？ 解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2. 因为当v＝12时，y1＝720，所以720＝k·122，得k＝5. 设全程燃料费为y元， 由题意，得y＝y1·＝， 所以y'＝＝. 令y'＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16. 所以当v0＞16时，v∈(8，16)，y'＜0，即y单调递减；v∈(16，v0]时，y'＞0，即y单调递增， 故当v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省； 当v0≤16时，v∈(8，v0]，y'≤0，即y在(8，v0]上单调递减， 故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省. 综上可得，若v0＞16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省；若v0≤16，则当v＝v0时，全程燃料费最省. 任务三　利润最大问题 (链教材P89例5)某同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品.经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万件)，需再投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万件时，C(x)＝＋6x－8，当年产量不小于9万件时，C(x)＝5x＋ln x＋－12.已知每件A产品的售价为5元，且该同学生产的A产品当年能全部售完. (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)当年产量约为多少万件时，该同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(注：取e3≈20) 解：(1)因为产品售价为5元， 则x万件产品销售收入为5x万元. 依据题意得，当0＜x＜9时，P(x)＝5x－(＋6x－8)－1＝7－， 当x≥9时，P(x)＝5x－－1＝11－ln x－， 所以P(x)＝x∈N＋. (2)当0＜x＜9时，P(x)＝7－， 因为＋x≥2＝4(当且仅当＝x，即x＝2时取等号)， 所以P(x)＝7－≤3， 即当x＝2时，P(x)取得最大值为P(2)＝3(万元)； 当x≥9时，P(x)＝11－ln x－， 所以P'(x)＝， 所以当9≤x＜e3时，P'(x)＞0，P(x)单调递增， 当x＞e3时，P'(x)＜0，P(x)单调递减， 所以当x＝e3时，P(x)取得最大值为P(e3)＝11－ln e3－1＝7(万元). 因为7＞3， 所以当x＝e3≈20时，P(x)的最大值为7万元. 所以当年产量约为20万件时，该同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元. 学生用书⬇第86页 　　利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值. 对点练3.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数.已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解：(1)因为当x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，所以a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. 从而f'(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6). 令f'(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去). 于是，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f'(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. [教材拓展6]　与ex，ln x有关的重要函数不等式链(源于教材P101A组T6(3)) 证明：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x. 证明：因为当x≠1时，易证ln x＜x－1. 故当x∈(1，＋∞)时，有＞1； 在ln x＜x－1中，令代替x，得ln ＜－1， 所以－ln x＜，所以ln x＞，当x∈(1，＋∞)时，有＜x. 综上，1＜＜x得证. 任务 再现 1.面积、体积最值问题.2.用料最省、费用最低问题.3.利润最大问题 方法 提炼 数学建模、函数与方程思想 易错 警示 题意理解不透彻，忽略实际问题的定义域，列解析式错误；求导错误，最值求错 1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 答案：C 解析：因为y＝－x3＋81x－234，所以y'＝－x2＋81(x＞0).令y'＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)，令y'＜0，得x＞9，令y'＞0，得0＜x＜9，所以函数在(0，9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，所以当x＝9时，函数取得最大值.故选C. 2.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　) A.π B.π C.π D.π 答案：A 解析：设圆柱的底面半径为R，高为h，体积为V，则4R＋2h＝l，所以h＝，V＝πR2h＝πR2l－2πR3，则V'＝lπR－6πR2.令V'＝0，得R＝0或R＝，而R＞0，所以R＝是其唯一的极值点.当0＜R＜时，V'＞0；当＜R＜时，V'＜0.所以当R＝时，V取得最大值，最大值为π.故选A. 3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为　　　　cm3. 答案：144 解析：设小正方形的边长为x cm，则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)(0＜x＜5)，即V＝4(x3－13x2＋40x)(0＜x＜5)，则V'＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2).令V'＝4(3x－20)(x－2)＝0，得x＝2或x＝(不符合题意，舍去)，所以x＝2是唯一极值点，当0＜x＜2时，V'＞0；当2＜x＜5时，V'＜0，所以当x＝2时，盒子的容积最大，最大值为144 cm3. 4.某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝　　　　. 答案：20 解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2.令f'(x)＝x－＝0，解得x＝20.且当0＜x＜20时，f'(x)＜0，当x＞20时，f'(x)＞0，故当x＝20时，f(x)最小. 学科网（北京）股份有限公司 $