2.2.1 导数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的概念这一核心知识点，从质点运动的平均速度与瞬时速度入手，通过问题链引导学生从平均变化率过渡到瞬时变化率，抽象出导数定义及记法，结合函数求导实例与实际意义解释，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以实际情境（如细菌数量变化、铁板膨胀）驱动学习，培养数学抽象与建模素养，通过定义法求导步骤及对点练强化数学运算与逻辑推理能力，任务再现与易错警示设计，助力课中教学效率提升，课后学生可回顾梳理知识，弥补理解盲点。

§2　导数的概念及其几何意义 2.1　导数的概念 学习目标 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，理解导数的概念，体会导数的内涵与思想，培养数学抽象的核心素养.　2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　3.理解导数的实际意义，提升数学建模的核心素养. 任务一　导数的概念 问题1.一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？ 提示：8 m/s，14 m/s. 问题2.对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：＝，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数. 导数的概念 条件 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值 结论 这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数 记法 函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f'(x0)表示，记作f'(x0)＝ ＝ [微提醒]　(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在.(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.(3)导数的实质是一个极限值. 设f(x)在x0可导，则 等于(　　) A.－4f'(x0) B.f'(x0) C.f'(x0) D.4f'(x0) 答案：D 解析： ＝4＝4f'(x0).故选D. 　　利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同. 对点练1.已知＝1，则f'(x0)等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 答案：C 解析：因为＝1，所以2＝2f'(x0)＝1，所以f'(x0)＝.故选C. 学生用书⬇第59页 任务二　函数在某点处的导数及意义 问题3.一质点的运动位移s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝s(t)＝－2t＋3.根据导数的定义你能求出s'(1)，并解释它的实际意义吗？ 提示：＝ ＝＝－2 m/s.当Δt趋于0时，趋于－2，则s'(1)＝－2 m/s.导数s'(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度. 　　对于函数f(x)，f'(x0)的意义就是函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率. (1)已知函数y＝f(x)＝2x2＋1，求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率. (2)利用导数的定义，求函数f(x)＝在x＝1处的导数. 解：(1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx. 所以＝2Δx＋8. 所以函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为＝(2Δx＋8)＝8. (2)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝－， 所以＝. 所以f'(1)＝＝ ＝＝. 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤 第一步：求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：取极限，得导数f'(x0)＝. 对点练2.(1)函数f(x)＝在x＝2处的导数为(　　) A.2 B. C. D.－ (2)已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是　　　　. 答案：(1)D　(2)6 解析：(1)＝＝ ＝＝－，所以函数f(x)在x＝2处的导数为－.故选D. (2)函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为＝＝＝＝6. 任务三　导数在实际问题中的意义 已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f＝105＋104t－103t2. (1)求f'； (2)f'的实际意义是什么？ 解：(1)由函数f＝105＋104t－103t2， 当h≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段内， 可得细菌数量关于时间的平均变化率为 ＝ ＝＝－104－103h， 当h趋近于0，就得到f'＝(－104－103h)＝－104＝－10 000. (2)f'的实际意义是细菌数量在t＝10时的瞬时变化率，它表明在t＝10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少. 　　首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义. 对点练3.有一边长为10 cm的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃)，加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃(t＞0)时，其边长膨胀为10cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率. 解：设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS＝100[1＋a(t＋Δt)]2－100(1＋at)2 ＝200Δt＋100a2(Δt)2， 则＝＝200(a＋a2t)＋100a2Δt. 当Δt→0时，S'(t)＝＝200a(1＋at). 故铁板面积对温度t的瞬时膨胀率为200a(1＋at). 任务 再现 1.导数的概念.2.函数在某点处的导数及意义.3.导数在实际问题中的意义 方法 提炼 定义法、极限思想 易错 警示 对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位 学生用书⬇第60页 1.f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A.2x B.2 C.2＋Δx D.1 答案：B 解析：f'(1)＝ ＝＝(2＋Δx)＝2.故选B. 2.函数在某一点的导数是(　　) A.在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比 B.一个函数 C.一个常数，不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 答案：C 解析：由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数.故选C. 3.设函数y＝f(x)在R上可导，则等于(　　) A.f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.以上都不对 答案：B 解析：＝＝f'(1).故选B. 4.已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f'(1)＝2，则a＝　　　　. 答案：1 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a，所以＝2a，所以a＝f'(1)＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $