2.2.1-2.2.2 导数的概念 导数的几何意义-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的概念及其几何意义，从函数平均变化率入手，通过Δx变化时割线的动态过程引导学生理解瞬时变化率，建立导数定义，进而揭示其几何意义即曲线切线斜率，构建“概念-意义-应用”的学习支架，突出定义求导及切线方程求解的重难点。 资料以问题链驱动数学抽象素养培养，如通过Δx→0时割线到切线的转化过程帮助学生抽象导数本质，结合定义求导（例1）、切线方程求解（例2）等例题训练数学运算能力。母题探究与分层作业设计，课中助力概念构建，课后便于学生查漏补缺，提升学习效果。

§2　导数的概念及其几何意义 2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 学习任务 核心素养 1．了解导数的概念；理解导数的几何意义．(重点) 2．会用导数的定义求导数．(重点) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(难点) 1．通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，培养数学运算素养． 函数y＝f (x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为，根据图示，回答问题． 问题1：的几何意义是什么？ [提示]　表示过A(x0，f (x0))和B(x0＋Δx，f (x0＋Δx))两点的直线的斜率． 问题2：当Δx变化时，直线如何变化？ [提示]　直线AB绕点A转动． 问题3：当Δx→0时，平均变化率变成了什么？直线转动到什么位置？ [提示]　平均变化率变成了瞬时变化率，即f′(x0)，直线过点A与曲线y＝f (x)相切位置． 1．导数的概念 定义 ＝ 记法 f ′(x0)(或y′ 实质 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数就是y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率 2．导数的几何意义 (1)切线：如图，当点Pn(xn，f (xn))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲线f (x)趋近于点P(x0，f (x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn＝．当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率． 图①　　　　　　　图② 图③　　　　　　　图④ (2)几何意义：函数y＝f (x)在x0处的导数f ′(x0)，是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率．函数y＝f (x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． 如图所示，直线l是曲线y＝f (x)在点P0处的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线与圆有且仅有一个公共点是否相同？如何理解？ [提示]　不相同．曲线y＝f (x)在某点处的切线只是在切点P0附近区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止一个，因此，直线l是曲线y＝f (x)在切点P0处的切线，但在点A处不是曲线的切线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． (　　) (2)曲线y＝f (x)在某点处的切线与曲线y＝f (x)过某点的切线意义是相同的． (　　) (3)若f (x)＝|x|，则f ′(0)不存在． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝f (x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x　　　　　　　　　 B．2＋Δx C．2 D．1 C　[函数y＝f (x)＝x2在x＝1处的导数为 f ′(1)＝＝2．] 3．设函数f (x)＝ax＋b，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)＝________． 4　[函数f (x)＝ax＋b在x＝1处的导数为 f ′(1)＝ ＝＝＝a， 又f ′(1)＝2，得a＝2，而f (1)＝2，有a＋b＝2，于是b＝0， 所以f (x)＝2x，所以f (2)＝4．] 4．曲线y＝f (x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________． x＋2y＋4＝0　[∵点(－2，－1)在曲线y＝上， ∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝在x＝－2处的导数． ∴k＝f ′(－2)＝ ＝ ＝＝－， ∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0．] 类型1　利用定义求函数在某点处的导数 【例1】　求函数y＝f (x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． [解]　Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，因为＝＝3Δx＋4， 所以＝＝4． [母题探究] 在本例条件下，若f ′(x0)＝0，则x0为何值？ [解]　Δy＝－2x0) ＝＋2x0 ＝6x0Δx＋3(Δx)2－2Δx， 所以＝6x0＋3Δx－2， 所以＝6x0－2，所以f ′(x0)＝6x0－2． 由f ′(x0)＝0，得x0＝． 　　求函数y＝f (x)在点x0处的导数的步骤 类型2　求曲线上一点处的切线方程 【例2】　【链接教材P60例5】 已知曲线y＝f (x)＝x3上一点P． (1)求点P处切线的斜率； (2)写出曲线在点P处的切线方程． [思路点拨]　本题考查导数的几何意义．根据导数的几何意义知，函数f (x)在点x＝x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程． [解]　(1)∵y＝f (x)＝x3， ∴f ′(2)＝＝ ＝ ＝4． ∴点P处切线的斜率为4． (2)∵由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为， ∴在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)， 即12x－3y－16＝0． 【教材原题·P60例5】 求函数y＝f (x)＝2x3在x＝1处的切线的方程． [解]　＝ ＝ ＝6＋6Δx＋2(Δx)2． 令Δx趋于0，可知y＝2x3在x＝1处的导数为f ′(1)＝6． 于是，函数y＝2x3在点(1，f (1))即(1，2)处的切线斜率为6，所以即该切线经过点(1，2)，且斜率为6． 因此，函数y＝f (x)＝2x3在x＝1处的切线方程为y－2＝6(x－1)， 即y＝6x－4． 切线如图2-7． 　　1．求曲线y＝f (x)在点P处的切线方程的步骤 (1)求出点P的坐标(x0，f (x0))； (2)求出函数在x＝x0处的导数f ′(x0)，从而得到曲线在点P(x0，f (x0))处切线的斜率； (3)利用点斜式写出切线方程． 2．求过点P的切线，要注意点P不一定是切点．因此，在解题时先设出切点，再求出切线斜率(该点处导数的值)，根据切点与斜率写出切线方程，最后再将该点坐标代入．在解题过程中不必考虑该点是否为切点． [跟进训练] 1．求过曲线f (x)＝x3上的点(1，1)的切线方程． [解]　设切线与曲线y＝f (x)切于点)， 则＝ ＝ ＝． 所以＝，即f ′(x0)＝， 故切线方程为＝(x－x0)．而该切线经过点(1，1)，所以＝(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－． 所以切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋＝，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0． 类型3　求切点的坐标 【例3】　曲线f (x)＝－在点P处的切线方程为2x＋y＋3＝0，求点P的坐标． [思路点拨]　设出切点的坐标，求出切线斜率，由斜率间的关系及曲线方程求得切点坐标． [解]　设切点P为(x0，y0)，则 k＝f ′(x0)＝ ＝＝ ＝＝． ∵切线方程为2x＋y＋3＝0， ∴切线斜率为 ＝－2．∴x0＝－1． ∴f (x0)＝f (－1)＝－1． ∴切点P的坐标为(－1，－1)． 　求切点坐标的一般思路 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求切线的斜率f ′(x0)； (3)由斜率k＝f ′(x0)列出关于x0的方程，解方程求x0； (4)由于点(x0，y0)在曲线y＝f (x)上，将x0代入求y0，得切点坐标． [跟进训练] 2．曲线f (x)＝2x2－x在点P处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，求点P的坐标． [解]　设切点P为(x0，y0)，则k＝f ′(x0)＝ ＝＝＝4x0－1． ∵在点P处的切线与x＋y－1＝0垂直，∴4x0－1＝1． ∴x0＝． ∴f (x0)＝f＝2×－＝0． ∴切点P的坐标为． 1．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f ′(x0)＜0　　　　　 B．f ′(x0)＞0 C．f ′(x0)＝0　　 D．f ′(x0)不存在 B　[f ′(x0)＝2＞0．] 2．已知y＝f (x)的图象如图，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　) A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)<f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定 B　[由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(xA)<f ′(xB)，故选B．] 3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则为(　　) A． C．－ D．－ D　[曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线斜率k＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－．] 4．已知曲线y＝f (x)＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P的坐标为________． (3，30)　[设＋4x0)， 则f ′(x0)＝ ＝＝4x0＋4， 又∵f ′(x0)＝16， ∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3，30)．] 5．(教材P61习题2－2B组T1改编)已知f (x)＝，求f ′(1)的值． [解]　∵A(1，f (1))是圆x2＋y2＝4(y≥0)上一点， ∴f ′(1)＝－＝－． 1．f ′(x0)就是函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．其几何意义是函数y＝f (x)的图象在x＝x0处切线的斜率． 2．求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程． 课时分层作业(十二)　导数的概念及其几何意义 一、选择题 1．已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则下列结论一定成立的是(　　) A．f ′(－x)＝f ′(x) B．f ′(－x)＝－f ′(x) C．f ′(－x)－f ′(x)≠0 D．f ′(－x)＋f ′(x)≠0 A　[由导数的几何意义知，A正确．] 2．抛物线y＝f (x)＝x2在点Q(2，1)处的切线方程为(　　) A．x－y－1＝0 　　　　 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 　 D．x＋y－1＝0 A　[f ′(2)＝＝＝1，∴过点(2，1)的切线方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0．故选A．] 3．曲线y＝f (x)＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　　　 B． C．1 　　　 D．2 A　[f ′(1)＝＝＝＝2， 则曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1． 因为y＝2x－1与坐标轴的交点为(0，－1)，， 所以所求三角形的面积为S＝×1×＝．] 4．已知曲线y＝f (x)＝x3＋3x在点P处的切线与直线y＝15x＋3平行，则P点坐标为(　　) A．(2，14) B．(－2，－14) C．(2，14)或(－2，－14) D．以上都不对 C　[由题意可得f ′(x)＝＝3x2＋3， 又由题意得3x2＋3＝15，所以x＝±2． 当x＝2时，y＝23＋6＝14，当x＝－2时，y＝－6＝－14． 所以点P的坐标为(2，14)或(－2，－14)．] 5．已知曲线y＝f (x)＝x3＋，则以点P(2，4)为切点的切线方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0 C．4x－y＋4＝0 D．4x＋y＋4＝0 A　[f ′(x)＝＝(Δx)2＋Δx·x]＝x2， ∴k＝f ′(2)＝22＝4，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A．] 二、填空题 6．已知函数y＝f (x)的图象在点M(1，f (1))处的切线方程是y＝x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________． 3　[由导数的几何意义得f ′(1)＝，由切线方程得f (1)＝×1＋2＝，所以f (1)＋f ′(1)＝3．] 7．已知直线x＋y＝b是函数f (x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________，m＝________． 5　3　[由题意知m＝a＋2，1＋m＝b， 因为f ′(1)＝＝＝a－2，所以曲线f (x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5．] 8．若抛物线y＝f (x)＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为________． 4　[ ＝ ＝－5＋Δx． 令Δx趋于0，则函数y＝x2－x＋c在x＝－2处的切线斜率为－5． ∴切线方程为y＝－5x． ∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10， 将P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4．] 三、解答题 9．(源自湘教版教材)判断曲线f (x)＝x3是否存在斜率为1的切线．若存在，试求出切线方程；若不存在，试说明理由． [解]　存在．设曲线f (x)＝x3在点)处切线的斜率为1． 因为＝＝＋3x0Δx＋(Δx)2， 所以，当Δx→0时． 又切线的斜率为1， 所以＝1，解得x0＝±． 所以在点和处切线的斜率为1． 由点斜式方程可得切线方程为y＝x－和y＝x＋． 10．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1，2)处的切线斜率及切线方程． [解]　因为＝＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1，2)处的切线斜率是5． 所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0． 11．已知函数f (x)＝ 为奇函数，则曲线f (x)在x＝2处的切线斜率等于(　　) A．6 B．－2 C．－6 D．－8 B　[y＝f (x)为奇函数，则f (－x)＝－f (x)．取x>0，得x2－2x＝－(－x2＋ax)，则a＝2． ∴f ′(2)＝ ＝＝－2．] 12．若曲线y＝f (x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) C　[y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为 k＝f ′(x0)＝ ＝＝＜1，即k＜1．] 13．(多选题)下列各点中，在曲线y＝f (x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A．(0，0) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(1，1) BC　[设切点坐标为(x0，y0)， 则 ＝ ＝， 令Δx趋于0，则f ′(x0)＝－2＝tan ＝1， 所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1， 当x0＝－1时，y0＝1．故选BC．] 14．如图，函数f (x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f ′(4)＝________，＝________． 1　－2　[f ′(4)＝kBC＝＝1． 由导数的概念和几何意义知， ＝f ′(1)＝kAB＝＝－2．] 15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． [解]　设切点为P(x0，y0)， ∵＝＝2x0＋Δx， 则切线的斜率为k＝＝2x0， 由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)． 又∵切线过点(1，a)，且y0＝ ＋1)＝2x0(1－x0)，即－2x0＋a－1＝0． 又∵其切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2． 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $