1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及证明思路，提升逻辑推理的核心素养.　2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　等比数列的前n项和公式 问题1.若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示：思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1＋a1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，根据等比数列的性质，有＝＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式. 通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1相互转化. 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和 公式 Sn＝ Sn＝ [微提醒]　(1)等比数列前n项和公式及通项公式中共有五个量a1，q，an，n，Sn，这五个量可“知三求二”.(2)利用等比数列的前n项和公式求和时，要特别注意公比q的取值，应分q＝1和q≠1两种情况，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论. (链教材P29例5)在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q； (4)若S3＋S6＝S9，求其公比q. 解：(1)由题意知 解得 从而Sn＝×5n＋1－ 或Sn＝. (2)法一：由题意知 从而S5＝＝. 法二：由a4＋a6＝(a1＋a3)q3， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，且a1＋an＝66， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根. 从而 又Sn＝＝126，所以q＝2或. (4)若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，显然满足S3＋S6＝S9，所以q＝1符合题意； 若q≠1，则＋＝， 整理得(q6－1)(q3－1)＝0， 解得q＝－1(q＝1舍去). 综上，公比q的值等于1或－1. [变式探究] 　(变条件)本例(4)中，若将条件改为“数列{an}是等比数列，且S3＝3a3”，求其公比q的值. 解：法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意； 当q≠1时，＝3a1q2，因为a1≠0， 所以1－q3＝3q2(1－q)， 解得q＝－.综上，q＝1或q＝－. 法二：由S3＝3a3可知a1＋a2＋a3＝3a3， 即a1＋a1q－2a1q2＝0. 由于a1≠0，则2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. 等比数列前n项和运算的技巧 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. 2.对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体. 注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 对点练1.在等比数列{an}中： (1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解：(1)由Sn＝，得11＝， 解得q＝－2. 又由an＝a1，得16＝·(－2)n－1， 解得n＝5. 所以n＝5，q＝－2. (2)显然q≠±1，则S4＝＝1， S8＝＝17， 两式相除得＝1＋q4＝17，解得q＝±2. 当q＝2时可解得a1＝， 则an＝·2n－1； 当q＝－2时可解得a1＝－， 则an＝－·(－2)n－1. 所以an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1. 学生用书⬇第31页 任务二　等比数列前n项和公式的函数特征 问题2.你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？ 提示：Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 1.Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 2.Sn＝＝－an＋. [微提醒]　等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. (一题多解)数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解：法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式. 所以an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 法二：{an}的通项公式同法一.由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，1≠2，故{an}不是等比数列. [变式探究] 1.(变条件，变设问)若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝　　　　. 答案： 解析：因为Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝. 2.(变条件，变设问)若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·＋5，则实数a＝　　　　. 答案：－ 解析：由Sn＝a·＋5，可得Sn＝3a·＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. 1.已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证当n＝1时是否满足此式. 2.若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 对点练2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·2n－1＋，则m＝　　　　. 答案：－ 解析：法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝m·2n－1＋－m·2n－2－＝m·2n－2，显然m＝0不合题意，可得＝＝2.当n＝1时，a1＝S1＝m＋.若{an}为等比数列，则a1＝m＋≠0，且＝＝2，解得m＝－. 法二：因为Sn＝m·2n－1＋＝·2n＋，结合等比数列{an}的前n项和的结构特征可得＝－，解得m＝－. 任务三　综合应用 应用1　利用an与Sn的关系判断等比数列 已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an＋1＝kSn＋1(k为常数). (1)当k＝2时，求a2，a3的值； (2)试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由. 解：(1)由题意可得，a2＝2S1＋1＝3，a3＝2S2＋1＝2×(1＋3)＋1＝9. (2)当n≥2时，an＝kSn－1＋1. 由an＋1＝kSn＋1，an＝kSn－1＋1 两式相减得an＋1＝(k＋1)an. 当k＝－1时，{an}不是等比数列； 当k≠－1时，可得＝k＋1(n≥2)， 当n＝1时，a1＝1，a2＝ka1＋1＝k＋1， 所以＝k＋1，故对任意的n∈N*都有＝k＋1，此时数列{an}是等比数列. 综上，当k＝－1时，{an}不是等比数列；当k≠－1时，{an}是等比数列. 学生用书⬇第32页 解决Sn和an的关系的方法 1.由an与Sn的关系式，结合an＝来求解. 2.由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，则Sn＝Aan＋B.A＝－，B＝. 3.由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，赋值求解. 对点练3.(一题多解)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝　　　　. 答案：(－2)n－1 解析：法一：当n＝1时，由Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，即an＝－2an－1，故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法二：因为Sn＝an＋，所以数列{an}是等比数列，则＝，＝－，于是q＝－2，a1＝1，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法三：因为Sn＝an＋，所以数列{an}是等比数列，由所以公比q＝－2，所以{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 应用2　等比数列前n项和的实际应用 (链教材P29例6)新能源汽车技术的发展有着诸多的作用，它不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，还能够减轻对环境的污染.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为电力型和混合动力型公交车.今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50％，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆. (1)求经过n年，该市被更换的公交车总辆数S(n)(不必写出n的取值范围)； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值. 解：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的辆数， 依题意，数列{an}是首项为128，公比为1＋50％＝的等比数列，数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列， 故数列{an}的前n项和为 ＝256×， 数列{bn}的前n项和为400n＋a， 所以经过n年，该市被更换的公交车总辆数 S(n)＝256×＋400n＋a. (2)若计划7年内完成全部更换， 则S(7)≥10 000， 即256×＋400×7＋a≥10 000， 即21a≥3 082，解得a≥146， 又a∈N＋，所以a的最小值为147. 解答数列实际应用问题的方法 1.判断、建立数列模型 (1)变化“量”是同一个常数：等差数列； (2)变化“率”是同一个常数：等比数列. 2.提取基本量 从条件中提取相应数列的基本量a1，q(d)，n，an，Sn，列出方程(组)求解. 对点练4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么此人第一天所走路程里数为(　　) A.96 B.126 C.192 D.252 答案：C 解析：由题意得，此人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列.因为此人6天后到达目的地，则有S6＝＝378，解得a1＝192，所以此人第一天所走路程里数为192.故选C. [教材拓展4]　错位相减法求和(源于教材P28　抽象概括) 我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n项和，进而可利用该法求数列的前n项和Sn，其操作步骤如下：由于Sn＝1×31＋3×32＋…＋·3n，3Sn＝1×32＋3×33＋…＋·3n＋1，从而2Sn＝－3－(2×32＋…＋2×3n)＋·3n＋1，所以Sn＝·3n＋1＋3， 类比如上方法可求数列的前n项和Tn，则2Tn＋3＝　　　　　　. 答案：·3n＋1 解析：由题意，Tn＝12×31＋22×32＋…＋n2·3n，3Tn＝12×32＋22×33＋…＋n2·3n＋1，两式相减得2Tn＝－3＋·32＋·33＋…＋·3n＋n2·3n＋1，即2Tn＝－3－[3·32＋5·33＋…＋(2n－1)·3n]＋n2·3n＋1，即2Tn＝－3－＋n2·3n＋1， 即2Tn＝－Sn＋n2·3n＋1＝－＋n2·3n＋1＝·3n＋1－3，所以2Tn＋3＝·3n＋1. 任务 再现 1.等比数列前n项和公式的基本运算.2.等比数列前n项和公式的结构特点.3.等比数列前n项和公式的实际应用 方法 提炼 公式法、错位相减法 易错 警示 等比数列前n项和公式中项数的判断易出错 学生用书⬇第33页 1.等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于(　　) A.－63 B.31 C.－31 D.63 答案：D 解析：S6＝＝26－1＝64－1＝63.故选D. 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn＝3n＋1－A，则A＝(　　) A.－ B. C.－3 D.3 答案：D 解析：由Sn＝3n＋1－A＝3×3n－A，所以A＝3.故选D. 3.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A. B. C.15 D.40 答案：C 解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q＞0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C. 4.某病毒研究所为了更好地研究某病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.已知第一到第五实验室的设备费依次构成等比数列，且第一实验室的设备费为3万元，第三实验室的设备费为12万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费总共为　　　　万元. 答案：93 解析：设第n个实验室的设备费为an万元，各实验室的设备费构成的等比数列的公比为q，则q＞0.由题意可得a1＝3，a3＝12，故a1q2＝12，解得q＝2.所以改建这五个实验室投入的设备费总共为＝＝93(万元). 学科网（北京）股份有限公司 $