1.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

第2课时　等比数列的前n项和的性质及应用 学习目标 1.熟练应用等比数列前n项和的性质解题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　等比数列前n项和的“片段和”性质 问题1.你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n？ 提示：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 问题2.类似于等差数列中的“片段和”的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝.S2n－Sn＝－＝，S3n－S2n＝－＝，而＝，Sn(S3n－S2n)＝·，故有＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 思路二：由性质＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. “片段和“性质 1.若{an}是公比为q的等比数列，则＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 2.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. [微提醒]　”片段和“性质成立的条件：Sn≠0. (一题多解)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解：法一：因为S2n≠2Sn，所以q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③ ③代入①得＝64， 所以S3n＝＝64＝63. 法二：因为{an}为等比数列，显然公比不等于－1， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 法三：由性质＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝， 所以S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×＝63. 学生用书⬇第34页 [变式探究] 　(变条件，变设问)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若an＞0，S3＝5，a7＋a8＋a9＝20，则S15＝　　　　　　　. 答案：155 解析：由等比数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12是等比数列，由条件可知S3＝5，S9－S6＝20，设此等比数列的公比为q，则q2＝＝＝4，又an＞0，所以q＝2，S15＝S3＋＋＋＋，所以S15＝＝155. 处理等比数列前n项和的”片段和“有关问题的常用方法 1.充分利用＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算量. 2.运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 对点练1.(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于(　　) A.－9 B.－21 C.－25 D.－63 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4.故选A. (2)因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列前n项和的性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21.故选B. 任务二　等比数列前n项和的”奇偶项“性质 问题3.类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：若等比数列{an}共有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶. 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q； (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). [微提醒]　若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)；S奇＝a1＋qS偶. (1)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝　　　　. (2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则n＝　　　　　　　. 答案：(1)12×　(2)4 解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×. (2)因为等比数列{an}有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，设公比为q，得到奇数项的和为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝341，偶数项的和为q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝170，整体代入上式得q＝2，所以前2n＋1项的和为＝341＋170＝511，解得n＝4. 处理等比数列前n项和的”奇偶项”有关问题的常用方法 1.若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点. 2.运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 3.灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 对点练2.已知等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项的和为255，所有偶数项的和为－126，末项是192，则其首项a1＝　　　　. 答案：3 解析：设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1＋192＝255，故a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1＝255－192＝63，设等比数列{an}的公比为q，则a2＋a4＋a6＋…＋a2k＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1)·q，即63q＝－126，解得q＝－2，因为a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝a1＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2k)·q，即255＝a1＋(－126)·(－2)，解得a1＝3. 学生用书⬇第35页 任务三　综合应用 应用1　利用错位相减法求数列的前n项和 已知等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn为数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an·log3(Sn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 则q＝＝＝3. 故a1＋a2＝a1＋3a1＝8，解得a1＝2， 所以an＝a1＝2×3n－1. (2)由(1)知an＝2×3n－1，Sn＝3n－1， 所以bn＝an·log3(Sn＋1)＝2×3n－1×log33n＝2n·3n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n·3n－1，① 3Tn＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n·3n，② ①－②得－2Tn＝2×30＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2n·3n＝－2n·3n＝3n(1－2n)－1. 所以Tn＝. 关于错位相减法求和 1.适用范围：{an}是等差数列，{bn}是等比数列(q≠1)，形如cn＝anbn的数列适合利用错位相减法求和. 2.求和步骤：(1)对求和式Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn(ⅰ)，要写出倒数第二项cn－1； (2)式子的两边同乘以等比数列的公比q，写成qSn＝c1q＋c2q＋…＋cn－1q＋cnq(ⅱ)的形式，要空一位书写，(ⅰ)(ⅱ)式形成错位； (3)(ⅰ)式－(ⅱ)式，左边＝(1－q)Sn，右边考查利用等比数列求和公式求和、整理； (4)两边同除以1－q，整理得Sn. 对点练3.求Sn＝＋＋＋…＋. 解：由Sn＝＋＋＋…＋， 得Sn＝＋＋…＋＋， 两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－， 即Sn＝－＝1－－， 所以Sn＝2－－＝2－. 应用2　等差、等比数列的综合运算 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N＋).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值. 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0). 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以Tn＝＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.① 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，② 联立①，②得a1＝1，d＝1，故an＝n. 所以Sn＝. (2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4. 所以n的值为4. 　　与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧： 1.化归思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题. 2.等差(比)数列公式和性质的灵活应用. 3.当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 对点练4.已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项. (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和. 解：(1)根据已知条件 整理得 (2)因为q≠1，所以 解得 所以Sn＝＝－. 任务 再现 1.等比数列前n项和的“片段和”性质.2.等比数列前n项和的“奇偶项”性质.3.利用错位相减法求数列的前n项和.4.等差、等比数列的综合运算 方法 提炼 公式法、分类讨论法、错位相减法、整体思想 易错 警示 应用“片段和”性质时易忽略其成立的条件 学生用书⬇第36页 1.等比数列{an}中，a3＝a4，则＋＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a3＝a4，所以q＝3，所以＋＋＋…＋＝q＋q2＋q3＋…＋qn＝＝＝.故选B. 2.已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是(　　) A.30 B.60 C.90 D.120 答案：D 解析：设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q＝3S1，又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120.故选D. 3.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A.数列{kan}(k≠0)为等比数列 B.数列an，，，…为等比数列 C.数列an，an＋m，an＋2m，an＋3m，…为等比数列 D.数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等比数列 答案：AB 解析：由等比数列的定义可知，数列{an}每项乘以一个不为0的常数构成的数列为等比数列，故A正确；等比数列中等距离项构成的数列为等比数列，故B正确；因为m，2m，3m，…构成一个等差数列，所以当m≠0时不能构成等比数列，故C错误；若an＝(－1)n，此时S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，…不能构成等比数列，故D错误.故选AB. 4.(一题多解)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为　　　　　　　. 答案：－ 解析：法一：若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意.所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 法二：由法一知q≠1，因为8S6＝7S3，所以＝，所以由性质＝，得＝＝，所以8·＝7·，即8·(1＋q3)＝7·，即8·＝7，解得q＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $