1.3.1 第2课时 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

第2课时　等比数列的性质及实际应用 学习目标 1.掌握等比中项的概念并会应用，培养数学抽象的核心素养.　2.熟悉等比数列的有关性质，并能利用性质简化运算，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　3.理解等比数列的单调性与a1，q的关系.　4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的实际应用问题，提升数学建模的核心素养. 任务一　等比中项 问题1.我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝.如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ 提示：因为a，G，b成等比数列，所以＝＝q，即G＝±. 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±.我们称G为a，b的等比中项. [微提醒]　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.(2)只有同号的两个实数才有等比中项.(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. (1)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为(　　) A. B.4 C.2 D. (2)在和之间添加三个实数，使这五个数成等比数列，则添加的三个数的乘积等于(　　) A.36 B.216 C.－216 D.216或－216 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，所以＝a1a7.设数列{an}的公差为d，d≠0，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，所以a3＝a1＋2d＝4d，所以数列{bn}的公比为＝＝2.故选C. (2)设这三个数为a1，a2，a3，根据等比中项的性质得＝×＝36，所以a2＝6或a2＝－6，当a2＝6时，a1，a2，a3的乘积等于＝216；当a2＝－6时，不存在实数a1，使，a1，－6成等比数列.故选B. 等比中项应用的关注点 1.只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个. 2.已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算量. 3.要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零. 对点练1.(1)若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m＝(　　) A.12 B.16 C.8 D.20 (2)若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为(　　) A.5 B.－5 C.±5 D.－13 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)3与13的等差中项为8，所以8是4与m的等比中项，所以82＝4m，解得m＝16.故选B. (2)设等比数列的公比为q，所以b＝(－1)·q2＜0，根据等比中项可知b2＝×＝25，解得b＝－5.故选B. 学生用书⬇第28页 任务二　等比数列的性质 问题2.类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式与我们熟悉的哪一类函数有关. 提示：由an＝a1＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 问题3.在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示：在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq. 1.等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q＜0时，数列{an}是摆动数列，当q＞0时，情况如下： a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1 {an}的单调性 递减 常数列 递增 递增 常数列 递减 2.等比数列的常用性质 性质1：通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N＋). 性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. 性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{}，{an·bn}，仍是等比数列. 已知数列{an}为等比数列. (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：(1)根据等比数列的性质及已知，得 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝(a3＋a5)2＝25. 因为an＞0，所以a3＋a5＞0， 所以a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. [变式探究] 1.(变条件，变设问)在本例(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4， 又由典例2(1)知a3＋a5＝5， 解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1. 若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 2.(变条件)把本例(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)· q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10) ＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300(a1a2a3…a10)3＝3300， 所以a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 利用等比数列的性质解题的关注点 1.判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质. 2.充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 对点练2.(1)(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a8＋a9＞a8a9＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列选项中正确的是(　　) A.q＞1 B.a8＞1 C.T16＞1 D.T17＞1 (2)在等比数列{an}中，a1a2a3＝2，an－1an＝4，且a1a2a3·…·an＝64，则数列{an}有　　　　项. 答案：(1)BC　(2)12 解析：(1)由a8＋a9＞a8a9＋1，得(a8－1)(1－a9)＞0，即a8，a9中一个大于1，另一个小于1.因为等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，即q＞0，所以数列{an}要么递增，要么递减，而a1＞1，所以综上可知，a8＞1＞a9，即数列{an}为递减数列且1＞q＞0.因为T16＝a1·a2·…·a16＝(a8a9)8，又a8a9＞1，所以T16＞1，而T17＝a1·a2·…·a17＝(a9)17＜1，故选BC. (2)由题意及等比数列的性质得a1a2a3an－1an＝(a1an)3＝8，即a1an＝2，则a1a2a3·…·an＝64，即(a1an＝＝26，解得n＝12，故数列{an}有12项. 学生用书⬇第29页 任务三　等比数列的实际应用 (链教材P26例4)某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(保留一位小数) 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10％)，a3＝13.5(1－10％)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10％＝0.9， 所以an＝a1·＝13.5×0.9n－1，n∈N＋， 所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元. (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 等比数列应用题的关注点 1.常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等. 2.解题关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题. 3.解题步骤： 构造数列→判断数列→寻找条件→建立方程→求解方程→正确解答 对点练3.从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的体积分数是多少？ (2)当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的体积分数低于10％？ 解：(1)由题意知开始时溶液的体积分数为1， 设第n次操作后溶液的体积分数为an，则第1次操作后溶液的体积分数为a1＝1－，第n＋1次操作后溶液的体积分数为an＋1＝an， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列， 所以an＝a1＝， 即第n次操作后溶液的体积分数是. (2)当a＝2时，由an＝＜，解得n≥4. 故至少操作4次后才能使溶液的体积分数低于10％. 任务 再现 1.等比中项.2.等比数列的性质.3.等比数列的实际应用 方法 提炼 函数与方程思想、转化与化归思想、整体思想 易错 警示 不注重运用性质，使解题过程繁琐或者性质运用不正确而出错 1.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案：D 解析：由于公比q＝－＜0，所以数列{an}是摆动数列.故选D. 2.－1与＋1的等差中项和等比中项分别是(　　) A.，± B.， C.，－ D.，±2 答案：A 解析：－1与＋1的等差中项是＝，－1与＋1的等比中项是± ＝±.故选A. 3.在等比数列{an}中，a3a9＝4a4，则a8＝(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 答案：C 解析：由题意可知，a3a9＝a8a4＝4a4，因为a4≠0，所以a8＝4.故选C. 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　　　　平方厘米. 答案：2 048 解析：依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝＝[2×()9]2＝4×29＝2 048(平方厘米). 学科网（北京）股份有限公司 $