1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.　3.能解决与等比数列的通项公式有关的问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　等比数列的概念 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……，依次排成一列数：－，，－，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，…；对于(3)，＝－，…；也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数). 等比数列的定义 文字 语言 从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，这样的数列就叫作等比数列 符号 语言 若＝q(n≥2，n∈N＋，q≠0)，则数列{an}为等比数列 [微提醒]　(1)等比数列定义的符号语言也可以表示为：＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋).(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”.(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. (链教材P23例1)判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，，，，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…. 解：(1)不是等比数列； (2)是等比数列，公比为1； (3)是等比数列，公比为； (4)不是等比数列； (5)是等比数列，公比为－4. 等比数列定义的理解 1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零. 2.要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒. 学生用书⬇第25页 对点练1.(1)(多选题)下列各组数成等比数列的是(　　) A.1，－2，4，－8 B.－，2，－2，4 C.x，x2，x3，x4 D.a－1，a－2，a－3，a－4 (2)以下数列中是等比数列的有　　　　.(填序号) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0). 答案：(1)ABD　(2)④ 解析：(1)对于A，由＝＝＝－2，得数列是以－2为公比的等比数列；对于B，由＝＝＝－，得数列是以－为公比的等比数列；对于C，当x＝0时，不是等比数列；对于D，由＝＝＝a－1，得数列是以a－1为公比的等比数列.故选ABD. (2)在数列①中，≠，所以①不是等比数列；在数列②中，不一定都满足＝2；在数列③中，a若为0，则不是等比数列；④中数列是等比数列. 任务二　等比数列的通项公式 问题2.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 法一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1，当n＝1时，上式也成立. 法二：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，由此可得an＝a1，当n＝1时，上式也成立. 等比数列的通项公式 　　若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1(a1≠0，q≠0). [微提醒]　(1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点.(2)等比数列通项公式的变形：an＝am(m，n∈N＋). (链教材P24例2)在等比数列{an}中： (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； (2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n； (3)(2023·全国乙卷改编)a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，求a7. 解：(1)法一：设等比数列的公比为q， 则 所以an＝a1＝(－8)×＝. 法二：设等比数列的公比为q，则＝q3， 即q3＝－，解得q＝－. 所以an＝a5＝×＝. (2)根据题意，有 易知q≠±1，方程两边分别相除，得＝. 整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. 当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16(此时an＜0，舍去). 由an＝a1＝64，得2n－1＝64，解得n＝7. (3)设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. [变式探究] (变条件，变设问)本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5. 解：由已知得 解得 所以q＝±，a5＝a4q＝±. 关于等比数列基本量的运算 1.公式法：等比数列的通项公式an＝a1·中有四个量a1，q，n，an，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 2.整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. [占领思想高点]　基本量的计算主要是方程思想的应用，根据已知条件列出方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出基本量，在解题中注意准确运用公式，注意公式运用的合理性和准确性. 对点练2.在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an＞0，求an. 解：设等比数列{an}的公比为q. (1)由得q＝. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·＝32×＝，又an＝，所以n－8＝1，所以n＝9. (2)由a7＝a5·q2得q2＝. 因为an＞0，所以q＝， 所以an＝a5·＝8×＝. 学生用书⬇第26页 任务三　等比数列的判定与证明 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. (1)求证：数列{an＋n}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋n－1， 所以an＋1＋(n＋1)＝2an＋(n－1)＋(n＋1)， 即an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n). 因为an＋n≠0， 所以＝2，且a1＋1＝2， 所以数列{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由(1)知an＋n＝2·2n－1＝2n， 所以an＝2n－n. [变式探究] (变条件，变设问)本例已知变为：a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，求证：数列{an－n}是等比数列. 证明：由an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)， 又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0， 所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列. 判断或证明数列为等比数列的常用方法 1.定义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于数列{an}是等比数列. 2.通项公式法：an＝a1(a1≠0且q≠0)等价于数列{an}是等比数列. 对点练3.已知数列{an}满足a1＝1，2nan＋1＝(n＋1)an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式. 解：(1)因为数列{an}满足a1＝1， 2nan＋1＝(n＋1)an，可得a2＝1，a3＝. 又因为bn＝，可得b1＝＝1，b2＝＝， b3＝＝. (2)数列{bn}为等比数列.理由如下：由数列{an}满足a1＝1，且2nan＋1＝(n＋1)an， 可得＝×. 又因为bn＝，可得bn＋1＝bn. 因为b1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，为公比的等比数列. (3)由(2)得bn＝1×＝. 因为bn＝，可得an＝nbn＝. 所以{an}的通项公式为an＝. 任务 再现 1.等比数列的概念及判断.2.等比数列的通项公式.3.利用定义判断或证明一个数列是等比数列 方法 提炼 方程(组)思想、构造法、整体代换法、定义法、通项公式法 易错 警示 未考虑首项的非零及比值为非零常数 1.正项等比数列{an}满足a1＝2，a3＝8，则其通项公式an＝(　　) A.2n－1 B.2n C.2n＋1 D.2n＋2 答案：B 解析：因为{an}是正项等比数列，所以q＞0，又因为a1＝2，a3＝8，所以q2＝＝4，故q＝2，所以an＝a1＝2×2n－1＝2n.故选B. 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A.4 B.8 C.6 D.32 答案：C 解析：由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，即2n－1＝32，所以n＝6.故选C. 3.(多选题)下列说法正确的有(　　) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22，42，62，82，…成等比数列 答案：AC 解析：A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，所以D错误.故选AC. 4.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项为　　　　. 答案：－24 解析：由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，得＝＝2，所以x＝－3.所以第4项为－3×23＝－24. 学科网（北京）股份有限公司 $