1.3.1 等比数列的概念及其通项公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦等比数列的概念、通项公式、性质及应用，以实例观察引入概念，通过定义归纳、累乘法与归纳法推导通项公式，结合项的运算性质及等比中项探究性质，构建从基础到应用的完整知识支架。 通过情境化实例培养数学抽象，多种推导方法提升逻辑推理，例题变式与易错分析强化数学运算。课中助力教师分层教学，课后易错案例和练习题帮助学生查漏补缺，深化知识理解与应用能力。

　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 学业标准 素养目标 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的判断与证明方法．(重点) 2．会归纳等比数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题．(重点、难点) 1.借助等比数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过等比数列通项公式的求解与运用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1 等比数列的概念 　观察下面几个数列：①3，9，27，81，243，…；②1，，，，，…；③，，，，，…；④1，－2，4，－8，16，…. 思考：(1)这些数列是等差数列吗？ (2)这几个数列的共同特征是什么？ [提示]　(1)③是等差数列，其余都不是等差数列． (2)这些数列的共同特点是从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数． ◎结论形成 等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示． [导学点睛]　 对等比数列概念的理解 (1)每一项与它的前一项的比值必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征). (2)等比数列中的任何一项均不能为零． (3)等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零． 导学2 等比数列的通项公式 　给出等比数列{an}：1，3，9，27，81，…，请根据下列两种思路探求其通项公式． (1)根据等比数列的定义，{an}的递推公式可以如何表示？利用累乘法能否求得{an}的通项公式？ (2)根据等比数列的定义，能否将{an}的各项都用首项和公比表示出来？由此归纳{an}的通项公式． [提示]　(1){an}的递推公式是a1＝1，＝3(n≥2)，利用累乘法可得an＝3n-1. (2)由等比数列的定义：＝q，所以a2＝a1q， ＝q，a3＝a2q＝a1q2，…，＝q， an＝an－1q＝…＝a1qn-1. ◎结论形成 等比数列的通项公式 　若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)． [拓展] 等比数列通项公式的推导 (1)方法一(归纳法)：由等比数列的定义可知，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn-1(n≥2). 当n＝1时，上面的等式两边均为a1，所以等式也成立，因此当n∈N＋时，an＝a1qn-1成立．需要注意的是上述过程不是证明的过程，我们以后可以用数学归纳法来完成证明． (2)方法二(累乘法)：根据等比数列的定义，可知＝q，＝q，＝q，…，＝q.上述(n－1)个等式两边分别相乘，得＝qn-1，所以an＝a1qn-1(n≥2).当n＝1时等式也成立． (3)方法三(迭代法)：由于数列{an}是等比数列，所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝…＝a1qn-1(n≥2).当n＝1时，等式也成立． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列是等比数列．(　　) (2)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列．(　　) (3)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．(　　) (4)若数列的通项公式为an＝则{an}是等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．在等比数列{an}中，a1＝1，＝，则a6的值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　设等比数列{an}的公比为q，由＝＝q3＝，得q＝，所以a6＝a1q5＝. 答案　C 3．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．5 解析　设公比为q(q≠0且q≠1)， 由题知 ①②得q4＝4，故q2＝2， 则a5＝a3q2＝2×2＝4，故选A. 答案　A 4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＝3，则公比q的值为 ． 解析　由题意得 解得或 答案　1或－ 题型一　等比数列通项公式的应用 　[教材例2迁移]在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解析]　设首项为a1，公比为q. (1)法一　因为所以 由①②得q3＝4，从而q＝， 而a1q3＝2，于是a1＝＝， 所以an＝a1qn-1＝2. 法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝. 所以an＝a4qn-4＝2·()n-4＝2. (2)因为 由③④得q＝，从而a1＝32，又an＝1， 所以32×＝1，即26-n＝20，所以n＝6. 与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·北京二中高二期末)已知数列{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b3－b2＝12，则{bn}的通项公式为(　　) A．bn＝2n B．bn＝2×3n C．bn＝2×3n-1 D．bn＝2×6n-1 (2)已知{an}是以q为公比的等比数列，a3－a1＝3，a6－a4＝81，则q＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　(1)设的公比为q.由b3－b2＝12，得2q2－2q＝12，解得q＝3或q＝－2.又公比大于0，所以q＝3，所以bn＝2×3n-1.故选C. (2)因为a3－a1＝3，a6－a4＝81，所以a6－a4＝a3·q3－a1·q3＝q3(a3－a1)＝3q3＝81，解得q＝3.故选B. 答案　(1)C　(2)B 题型二　等比数列的判定与证明 　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋). (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． (1)[解析]　由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－，又S2＝(a2－1)， 即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)[证明]　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－，又a1＝－≠0， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． [母题变式] 1．(变条件、变结论)将本例条件“Sn＝(an－1)(n∈N＋)”改为“a1＝1，a＝2a＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式． 解析　由已知得a－anan＋1－2a＝0， 所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0. 所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0， (1)当an＋1－2an＝0时，＝2.又a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以an＝2n-1. (2)当an＋1＋an＝0时，＝－1，又a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列， 所以an＝1×(－1)n-1＝(－1)n-1. 综上，an＝2n-1或an＝(－1)n-1. 2．(变条件、变结论)将本例的条件改为“a1＝，且an＋1＝an＋”，求证：数列是等比数列． 证明　因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝an＋－＝， 所以＝， 又a1－＝－＝，所以是首项为，公比为的等比数列． [素养聚焦]　本题主要考查等比数列的判定，突出考查逻辑推理和数学运算等核心素养． 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [提醒]　不管用哪种方法判定等比数列都要先强调某一项不等于零．　 [触类旁通] 2．(1)(多选题)(2025·浙江培优联盟高二联考)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，则(　　) A．a3，a5，a7是等比数列 B．{a}是等比数列 C．{lg an}是等比数列 D．是等比数列 (2)设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求证：数列是等比数列． 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0). 对于A，＝＝q2，＝＝q2，所以＝，则a3，a5，a7成等比数列，A正确； 对于B，因为＝q3，所以是等比数列，B正确； 对于C，不妨设等比数列{an}的通项公式为an＝1，则lg an＝0，此时{lg an}不是等比数列，C错误； 对于D，因为＝＝，所以是等比数列，D正确．故选ABD. (2)证明　因为nSn＋(n＋2)an＝4n， 即Sn＋＝4， 当n≥2时，Sn－1＋＝4， 两式相减得an＋－＝0， 整理得＝·， 所以数列是等比数列． 答案　(1)ABD　(2)略 [缜密思维提能区] 易错案例 忽视等比数列中奇、偶项的符号特点致误 [典例]　在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝ ． [错解]　因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，所以a5·a9＝1.又{an}是等比数列，所以a5，a7，a9也成等比数列． ＝，即a＝a5·a9＝1，所以a7＝±1. [正解]　因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根， 所以所以所以a7＞0. 依题意a5，a7，a9也成等比数列． 故a＝a5·a9＝1，所以a7＝1. [答案]　1 [纠错心得]　解等比数列的问题时，一定要特别注意符号，所有奇数项(或偶数项)的符号是相同的． 知识落实 技法强化 (1)等比数列及有关的概念． (2)等比数列的通项公式及判定． 等比数列的证明方法 (1)定义法：＝q(与n无关的常数). (2)通项公式法：an＝a1qn-1(a≠0，q≠0) [必备知识·基础巩固] 1．在正项等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝64，则的值是(　　) A．4　　　　　　 B．8 C．16 D．64 解析　设正项等比数列{an}的公比为q. 因为a3＝2，a4a6＝64，所以a1q2＝2，aq8＝64， 解得q2＝4，则＝42＝16. 答案　C 2．已知数列是公比为的等比数列，且a2＝4，则a6＝(　　) A．64 B．32 C． D． 解析　根据题意，数列是公比为的等比数列，即＝，变形可得＝2，则数列{an}是公比为2的等比数列． 因为a2＝4，所以a6＝a2q4＝64. 答案　A 3．下列说法正确的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．常数列既是等差数列，也是等比数列 C．若{an}是等比数列，则不一定是等比数列 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 解析　对于A，等比数列中任意一项都不为0，A不正确；对于B，若常数列的各项均为0，则该数列不是等比数列，B不正确；对于C，设an＝(－1)n，则an＋an＋1＝(－1)n＋(－1)n+1＝(－1)n＋(－1)·(－1)n＝(－1)n－(－1)n＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，C正确；对于D，设a＝0，b＝0，c≠0，满足b2＝ac，但是a，b，c不成等比数列，D不正确．故选C. 答案　C 4．(多选题)(2025·上海师大附中期中)若数列{an}对任意n≥2，n∈N＋都有(an－an－1－1)·(an－2an－1)＝0，则下列说法正确的是(　　) A.{an}可以是等差数列 B．{an}可以是等比数列 C．{an}可以既是等差数列又是等比数列 D．{an}可以既不是等差数列又不是等比数列 解析　∵数列{an}对任意n≥2(n∈N＋)都有(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，∴an－an－1＝1或an＝2an－1，若an－an－1＝1，则数列{an}是等差数列，若an＝2an－1，且an≠0，则数列{an}是等比数列，故A、B正确；由(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，得不出数列{an}是非零常数列，故{an}不可以既是等差数列又是等比数列，故C错误；当数列{an}的各项依次为0，1，2，4，8，16，32，…时，满足条件，但数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，故D正确． 答案　ABD 5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝ ． 解析　设等差数列的公差为d， 则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)， 解得d＝－1， ∴q＝＝＝1. 答案　1 6．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝ ． 解析　由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 所以q＝＝＝， 所以an＝a1qn-1＝4×. 答案　4× 7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q＝ ，＝ ． 解析　由题设a1，a3，2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝＋1，＝＝q2＝3＋2. 答案　＋1　3＋2 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1， ∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴＝2，∴{an}是等比数列， ∴an＝－1×2n-1＝－2n-1. [关键能力·综合提升] 9．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，那么a5＝(　　) A．32 B．64 C．－32 D．－64 解析　由已知得＝(－)n-1， 则＝－，＝(－)2， ＝(－)3，＝(－)4， 以上四式相乘得a5＝(－)1+2+3+4， 解得a5＝32.故选A. 答案　A 10．(2025·河北衡水中学月考)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N＋，都有aman＝am＋n，且a2＝3，则a20等于(　　) A．320 B．±320 C．310 D．±310 解析　对于aman＝am＋n，令m＝1，则an＋1＝a1an，再令n＝1，则a2＝a＝3，可知a1≠0，故数列{an}是首项为a1，公比为a1的等比数列，∴an＝a1×a＝a，∴a20＝a＝(a)10＝310. 答案　C 11．已知正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a4＝81，则{an}的通项公式是 ；记Sn为数列{log3an}的前n项和，若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，则m＝ ． 解析　设{an}的公比是q(q＞0)，因为{an}是正项等比数列，a2a4＝a＝81，解得a3＝9， 所以q2＝＝9，因为q＞0，所以q＝3， 又a1＝1，所以an＝3n-1. log3an＝n－1， 所以Sn＝0＋1＋2＋…＋(n－1)＝， 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得＋＝，解得m＝6或m＝－1(舍去)，所以m＝6. 答案　an＝3n-1　6 12．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为 ． 解析　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，所以an＝(n∈N＋)，即数列为递减数列．当n≤4时，an≥1；当n≥5时，0＜an＜1，所以当n＝3或n＝4时，a1a2…an最大．又a2＝4，a3＝2，a4＝1，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64. 答案　64 13．(2025·烟台二模)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数． (1)对于任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论． (1)证明　假设若存在实数λ，使得数列{an}是等比数列，则必有a＝a1a3，因为a1＝λ， 所以a2＝λ－3，a3＝－2＝λ－4. 由＝λ，整理得9＝0. 故假设错误，因此对于任意实数λ，数列{an}都不是等比数列． (2)解析　因为bn＋1＝(－1)n+1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n+1·＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn， 又b1＝－(λ＋18)， 所以λ＝－18时，b1＝0(n∈N＋)，此时{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0， 则bn≠0，所以＝－(n∈N＋). 故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列． [学科素养·探索创新] 14．(2025·淄博高二月考)已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为 ． 解析　设公差为d， 由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，① 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)， 解得d＝3或d＝0，② 当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1. 由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项， a92＝3×92－1＝275. 当d＝0时，an＝8，a92＝8. 答案　275或8 15．已知数列{an}满足：a1＋a2＋…＋an＝n－an. (1)求证：数列{an－1}是等比数列； (2)令bn＝(2－n)(an－1)，求数列{bn}的最大项． (1)证明　当n＝1时，a1＝1－a1， 所以a1＝. 又a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝n＋1－an＋1， 即n－an＋an＋1＝n＋1－an＋1， 所以2an＋1＝1＋an，所以an＋1－1＝(an－1). 又a1－1＝－≠0， 所以数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列． (2)解析　由(1)，知an－1＝×＝－， 所以bn＝(2－n)·(an－1)＝， 所以bn＋1－bn＝－＝. 当n＜3时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3， 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b4＝b3， 当n＞3时，bn＋1－bn＜0，即b4＞b5＞b6＞…， 所以数列{bn}的最大项为b4＝b3＝. 第2课时　等比数列的性质及其应用 学业标准 素养目标 1.理解等比中项的概念，会求两个数的等比中项．(易错点) 2．掌握等比数列的常用性质并能解决有关问题．(重点) 3．能运用等比数列的知识解决一些实际问题．(难点) 1.通过等比中项的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过等比数列性质的探究与应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过等比数列的实际应用，培养数学建模等核心素养． 导学1 等比数列的增减性 　研究数列的增减性，并求项的最大值． [提示]　设an＝，由指数函数的单调性知数列是递减数列，故项的最大值为a1＝. ◎结论形成 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q＝1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 导学2 等比数列项的性质 　已知等比数列{an}：1，2，4，8，16，…，2n-1，… (1)计算a1a4＝ ；a2a3＝ ．并说明a1a4与a2a3有什么关系？它们的项数之间有什么关系？ [提示]　a1a4＝8，a2a3＝8，所以a1a4＝a2a3；项数之和对应相等，即1＋4＝2＋3. (2)若项数满足4＋5＝2＋7，那么a4a5＝a2a7吗？ [提示]　相等，a4＝23＝8，a5＝24＝16，a2＝2， a7＝26＝64，所以a4a5＝128＝a2a7. (3)若m＋n＝p＋l(m，n，p，l∈N＋)，那么aman＝apal吗？ [提示]　相等，aman＝2m-1×2n-1＝2m＋n-2， apal＝2p-1×2l-1＝2p＋l-2.因为m＋n＝p＋l， 所以m＋n－2＝p＋l－2，所以aman＝apal. 　对任意的等比数列{an}，若aman＝apal(m，n，p，l∈N＋)，则m＋n＝p＋l吗？ [提示]　不一定相等，当数列{an}为常数列时，m＋n与p＋l不一定相等． ◎结论形成 1．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，aman＝a． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝…. 2．由等比数列衍生的新数列 (1)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，则下列数列： ①{can}(c为任意不为零的常数)是公比为q的等比数列． ②{|an|}是公比为|q|的等比数列． ③{a}(m为常数，m∈N＋)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{anbn}是公比为q1q2的等比数列． 导学3 等比中项 　若三个数a，b，c成等比数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　＝，即b2＝ac. 　等比数列中的任意连续三项之间有什么关系？ [提示]　a＝an－1·an＋1. ◎结论形成 1．等比中项的概念 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±．我们称G为a，b的等比中项． 2．结论 在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等比中项，且其等比中项有两个．(　　) (2)在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q.(　　) (3)等比数列去掉前面若干项后，余下的项仍构成等比数列．(　　) (4)在等比数列{an}中，若m＋n＝p，则aman＝ap.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选题)在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　) A．27　　 B．－27　　　 C．81　　 D．－81 解析　因为q2＝＝9，所以q＝±3， 因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27，故选AB. 答案　AB 3．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a3和a7的等比中项是(　　) A．8 B．±8 C． D．± 解析　a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝32，故a3和a7的等比中项是±＝±8. 答案　B 4．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为 ． 解析　a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100. 答案　100 题型一　等比数列性质的综合应用 　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5　　　　　　　 B．7 C．6 D．±5 (2)(2025·江西省六校联考)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 (3)(多选题)已知等比数列{an}各项均为正数，满足a2·a16＝16，＝，记等比数列{an}的前n项的积为Tn，则当Tn取得最大值时，n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 [解析]　(1)法一　由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，所以a2a8＝50，所以a4a5a6＝a＝()3＝(50)3＝5. 法二　由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5.又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5. (2)法一　由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n-6＝aq2n-2＝22n，所以(a1qn-1)2＝(2n)2. 又an＞0，所以a1qn-1＝2n. 故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(aq2+4+…+2n-2)＝log2[aqn(n-1)]＝log2(a1qn-1)n＝log2(2n)n＝n2. 法二　由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n. 利用特殊值法，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合． 法三　由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n. 于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. (3)因为a2·a16＝16，由等比数列的性质可得， a＝a2·a16＝16， 因为an＞0，所以a9＝4， 因为＝，即＝， 所以q＝， 所以a10＝a9q＝4×＝2，a11＝a10q＝1， 因为0＜q＝＜1，an＞0， 所以等比数列{an}为递减数列， 当n≥12时，0＜an＜1， 所以当n＝10或n＝11时，Tn取得最大值． 答案　(1)A　(2)C　(3)CD 1．在等比数列的有关运算中，涉及次数较高的指数运算时，一般是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．若能避开求a1，q直接利用等比数列的性质求解，往往可简化求解过程． 2．在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·泰安模拟)在各项均为正数的等比数列中，若a1a7＝9，则－a4＝(　　) A．6 B．12 C．56 D．78 (2)等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝ ． 解析　(1)在各项均为正数的等比数列中，由等比数列的性质可得a＝a1a7＝9，解得a4＝3. 所以a2a6＝a1a7＝9， 所以－a4＝92－3＝78. 故选D. (2)设等比数列{an}的公比为q， 则由题意T13＝4T9， 可得a1a2…a13＝4a1a2…a9， 所以a10a11a12a13＝4. 由等比数列的性质可得a8a15＝a10a13＝a11a12， 所以a8·a15＝±2. 又因为{an}是递减等比数列，所以q＞0， 所以a8·a15＝2. 答案　(1)D　(2)2 题型二　灵活设项求解等比数列 　有四个数，其中前三个数成等比数列，它们的积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数． [解析]　设这四个数为，a，aq，b， 由题意·a·aq＝a3＝216，解得a＝6， 则这四个数为，6，6q，b， 由题意，得 解得或 故这四个数分别为9，6，4，2或12，6，3，0. [母题变式] (变条件)若将本例的条件改为“前三个数成等比数列，它们的积为－8，后三个数成等差数列，它们的积为－80”，其他条件不变，试求这四个数． 解析　由题意设此四个数分别为，b，bq，a， 则有解得或 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. [素养聚焦]　本题主要考查等比数列及其性质，突出考查逻辑推理、数学运算等核心素养． 在等比数列中，灵活设项是非常重要的．一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a，aq，aq2或，a，aq，此时公比为q；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3(公比为q)，当四个数均为正(负)数时，可设为，，aq，aq3(公比为q2).　 [触类旁通] 2．(2025·山西太原高二月考)已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比q＝ ． 解析　设该等比数列的前4项依次为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意得 所以 所以＝±，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2或q＝－5±2. 答案　3±2或－5±2 题型三　等比数列的实际应用 　[教材例4拓展]从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后，又用水添满摇匀……如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%? [解析]　由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1＝1－，第n＋1次操作后溶液的浓度为an＋1＝an， 所以{an}是首项为a1＝1－， 公比为q＝1－的等比数列， 所以an＝a1qn-1＝， 即第n次操作后溶液的浓度是. 当a＝2时，由an＝＜，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%. 与等比数列有关的实际应用解题方法 (1)建模：将实际问题转化为数学中的等比数列模型； (2)求解：利用等比数列知识求出该问题的解； (3)还原：将所求结果还原到实际问题中． [注意]　建立等比数列模型时，要根据题意找准首项、公比和项数．　 [触类旁通] 3．(1)朱载堉(1536—1611)，明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为f2，第八个音的频率为f8，则等于(　　) A． B． C． D． (2)某传媒公司决定逐年加大直播的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过 年其投入资金开始超过7 000万元． (参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845) 解析　(1)依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，且a13＝2a1，所以q＝2，所以＝q6＝(2)6＝.故选A. (2)设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列， 所以an＝2 000×1.12n， 由an＝2 000×1.12n＞7 000， 可得n＞log1.12 ＝≈11.1， 因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元． 答案　(1)A　(2)12 [缜密思维提能区] 规范答题 等比数列性质的综合应用 [典例]　(13分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an＋2n+1(n∈N＋). (1)令bn＝＋1，求证：数列{bn}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求满足an≥240的最小正整数n. [审题指导]　(1)利用已知条件合理构造数列{bn}，进而证明为等比数列． (2)由(1)的结论，求an. (3)由(2)的结论，解不等式即可． [规范解答]　(1) 证明　因为an＋1＝4an＋2n+1， 所以＝2×＋1①， 所以＋1＝2，(3分) 即bn＋1＝2bn，又b1＝＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项， 2为公比的等比数列②.(6分) (2)由(1)可得bn＝2n， 所以an＝4n－2n.(8分) (3)由4n－2n≥240，即4n－2n－240≥0， 解得2n≥16(2n≤－15舍去)，(11分) 解得n≥4③， 所以满足an≥240的最小正整数n为4.(13分) 知识落实 技法强化 (1)等比数列的性质． (2)等差数列、等比数列的综合应用和实际应用． (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量． (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列，与首末项等距离的两项的积相等，等比中项的性质． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A．4　 　 B．－4　 　 　 C．2　 　 D．－2 解析　由an＝·2n-1＝2n-4，知a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4. 答案　AB 2．已知实数列1，a，b，c，2成等比数列，则abc的值为(　　) A．4 B．±4 C．2 D．±2 解析　因为实数列1，a，b，c，2成等比数列， 所以ac＝1×2＝2，b2＝2，即b＝(负值不合题意，奇数项符号相同)， 所以abc＝2，故选C. 答案　C 3．(2025·湖北襄阳四中期末)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝8，则＋＋＋的值为(　　) A．20 B．10 C．5 D． 解析　由等比数列的性质可得a4·a6＝a2·a8＝8， 所以＋＋＋＝＋＝＝＝.故选D. 答案　D 4．(多选题)(2025·安徽六安高二期中)已知数列{an}是单调递增的等比数列，且a2＋a4＝10，a1a5＝16，则(　　) A．a1＝2 B．an＝2n-1 C．a1与a5的等比中项为4 D．数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列 解析　由a1a5＝a2a4＝16，a2＋a4＝10， 解得或 因为数列{an}是单调递增的等比数列， 所以a2＝2，a4＝8. 则数列{an}的公比q＝2，a1＝1，an＝a1qn-1＝2n-1，则a5＝16，a1与a5的等比中项为±4，所以A，C错误，B正确； 因为lg an＋1－lg an＝lg 2n－lg 2n-1＝lg 2，所以数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，所以D正确． 故选BD. 答案　BD 5．在和之间插入三个实数，使这五个数成等比数列，则插入的三个实数的乘积等于 ． 解析　设这三个实数为a1，a2，a3，根据等比中项的定义与性质得a＝×＝36，所以a2＝6或a2＝－6(舍去).所以a1，a2，a3的乘积等于a＝216. 答案　216 6．(2025·四川绵阳南山中学高二期中)已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为 ． 解析　不妨设这三个数分别为，a，aq，且q>0， 三个数的乘积为·a·aq＝a3＝27，解得a＝3. 由三个数的平方和为91， 得＋9＋9q2＝91⇒9q4－82q2＋9＝0， 解得q＝±3或q＝±， 又q>0，所以q＝3或q＝. 答案　3或 7．设等比数列{an}的前n项之积为Tn(n∈N＋)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝ ． 解析　因为{an}为等比数列， 所以am－1am＋1＝a， 所以am－1am＋1－2am＝a－2am＝0，得am＝0(舍)或am＝2.又T2m－1＝a＝22m-1＝128＝27， 所以2m－1＝7，得m＝4. 答案　4 8．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列， 所以2S3＝S1＋1＋S4，a＝a1a5， 即a2＋a3＝1＋a4，(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 所以a1＝1，d＝2， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N＋. (2)由(1)可得Sn＝＝n2， 所以S4＝42＝16，S6＝62＝36， 所以S4，S6，Sn成等比数列， 所以S＝S4·Sn， 所以362＝16n2，解得n＝9， 此等比数列的公比为＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a3a4a5＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a4＝1 B．T2＝T5 C．T7＝7 D．若a1＝1，则a2＝1 解析　对于A，因为a3a4a5＝a＝1，所以a4＝1，故A正确；对于B，因为a1a2＝a1a2a3a4a5，所以T2＝T5，故B正确；对于C，T7＝a1a2a3a4a5a6a7＝a＝1，故C错误；对于D，若a1＝1，则q3＝＝1，解得q＝1，所以a2＝a1q＝1，故D正确． 答案　ABD 10．(多选题)(2025·湖南师大附中期末)设{an}是各项均为正数的等比数列，其公比为q，前n项积为Tn，且T6<T7，T7＝T8>T9，则下列结论正确的是(　　) A．q>1 B．a8＝1 C．T10>T6 D．T7与T8均为{Tn}的最大项 解析　由T7＝T8可得a8＝＝1，故B正确； 由T6＜T7可得a7＞1，则q＝∈(0，1)，故A错误；由{an}是各项均为正数的等比数列，q∈(0，1)，得a1>a2>…>a7>a8＝1>a9>a10>…，＝a7a8a9a10＝(a8a9)2＝a＜1，则有T10<T6，故C错误； 对于D，T1<T2<…<T7＝T8>T9>T10>…，则T7与T8均为{Tn}的最大项，故D正确．故选BD. 答案　BD 11．(2025·江苏南京师大附中阶段性检测)已知数列{an}是等比数列，(a4＋ma7)·a8＝(a6－a9)2，且公比q∈(1，2)，则实数m的取值范围为 ． 解析　原式可变形为a4·a8＋ma7·a8＝a－2a6·a9＋a，由等比数列的性质可得(m＋2)a6·a9＝a， 易知a9≠0，所以m＋2＝＝q3.因为q∈(1，2)，所以q3∈(1，8)，则m∈(－1，6). 答案　(－1，6) 12．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形……这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米． 解析　这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)， 则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048. 答案　2 048 13．(2025·佛山高二月考)某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解析　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1. ∴第n年这辆车的价值为an＝13.5×0.9n-1万元． (2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×0.95-1≈8.857. ∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元． [学科素养·探索创新] 14．在正项等比数列{an}中，a1＝，且a2a4＝16，记数列{an}的前n项积为Tn.若Tn∈[1，1 000)，请写出一个满足条件的n的值为 ． 解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>0，又a1＝，a2a4＝a·q4＝16，所以q＝4，故an＝a1·qn-1＝×4n-1＝4n-2.所以T3＝a1a2a3＝4-1×40×41＝1，满足要求；T4＝a1a2a3a4＝4-1×40×41×42＝16，满足要求；T5＝a1a2a3a4a5＝16×43＝1 024，不满足要求．故答案为3，4之中的一个即可． 答案　3(答案不唯一，3，4均可) 15．(2024·山东烟台期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，a3，a4－1，a5＋1成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋2＝2bn(n∈N＋). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记[x]表示不超过x的最大整数，例如[－2.1]＝－3，[1.2]＝1，设cn＝，求数列{bncn}的前7项和． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a3，a4－1，a5＋1成等比数列， 所以(a4－1)2＝a3(a5＋1)， 即(3d－6)2＝(2d－5)(4d－4)， 整理可得d2－8d＋16＝0，所以d＝4， 故an＝a1＋(n－1)d＝－5＋4(n－1)＝4n－9. 由已知得Tn＝2bn－2①， 当n≥2时，Tn－1＝2bn－1－2②， ①－②可得bn＝2bn－2bn－1， 即bn＝2bn－1(n≥2)， 当n＝1时，b1＋2＝2b1，所以b1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，故bn＝2·2n-1＝2n. (2)由(1)知an＝4n－9，则cn＝， 易得c1＝c2＝－1，c3＝c4＝0，c5＝c6＝c7＝1， 则数列{bncn}的前7项和为－1×(21＋22)＋0×(23＋24)＋1×(25＋26＋27)＝218. 学科网（北京）股份有限公司 $