1.3.1 等比数列的概念及其通项公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　等比数列

3．1　等比数列的概念及其通项公式

第1课时　等比数列的概念及其通项公式

　观察下面几个数列：①3，9，27，81，243，…；②1，，，，，…；③，，，，，…；④1，－2，4，－8，16，….

思考：(1)这些数列是等差数列吗？

(2)这几个数列的共同特征是什么？

[提示]　(1)③是等差数列，其余都不是等差数列．

(2)这些数列的共同特点是从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数．

◎结论形成

等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．

[导学点睛]　

对等比数列概念的理解

(1)每一项与它的前一项的比值必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).

(2)等比数列中的任何一项均不能为零．

(3)等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零．

　给出等比数列{an}：1，3，9，27，81，…，请根据下列两种思路探求其通项公式．

(1)根据等比数列的定义，{an}的递推公式可以如何表示？利用累乘法能否求得{an}的通项公式？

(2)根据等比数列的定义，能否将{an}的各项都用首项和公比表示出来？由此归纳{an}的通项公式．

[提示]　(1){an}的递推公式是a1＝1，＝3(n≥2)，利用累乘法可得an＝3n-1.

(2)由等比数列的定义：＝q，所以a2＝a1q，

＝q，a3＝a2q＝a1q2，…，＝q，

an＝an－1q＝…＝a1qn-1.

◎结论形成

等比数列的通项公式

　若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)．

[拓展]

等比数列通项公式的推导

(1)方法一(归纳法)：由等比数列的定义可知，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn-1(n≥2).

当n＝1时，上面的等式两边均为a1，所以等式也成立，因此当n∈N＋时，an＝a1qn-1成立．需要注意的是上述过程不是证明的过程，我们以后可以用数学归纳法来完成证明．

(2)方法二(累乘法)：根据等比数列的定义，可知＝q，＝q，＝q，…，＝q.上述(n－1)个等式两边分别相乘，得＝qn-1，所以an＝a1qn-1(n≥2).当n＝1时等式也成立．

(3)方法三(迭代法)：由于数列{an}是等比数列，所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝…＝a1qn-1(n≥2).当n＝1时，等式也成立．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列是等比数列．(　　)

(2)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列．(　　)

(3)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．(　　)

(4)若数列的通项公式为an＝则{an}是等比数列．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．在等比数列{an}中，a1＝1，＝，则a6的值为(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．    D．

解析　设等比数列{an}的公比为q，由＝＝q3＝，得q＝，所以a6＝a1q5＝.

答案　C

3．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　)

A．4    B．－4

C．±4    D．5

解析　设公比为q(q≠0且q≠1)，

由题知

①②得q4＝4，故q2＝2，

则a5＝a3q2＝2×2＝4，故选A.

答案　A

4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＝3，则公比q的值为        ．

解析　由题意得

解得或

答案　1或－

题型一　等比数列通项公式的应用 

　[教材例2迁移]在等比数列{an}中．

(1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.